高三数学备考冲刺140分问题40与几何概型相结合的问题理科包括与定积分的交汇含解析

问题40与几何概型相结合的问题

一、考情分析

数学学科内知识交汇问题,试题比较新颖,具有一定的综合性,因此在近几年的高考中,是出题的热点,而几何概型与其他知识的交汇问题,以其新颖,综合性,而渐成为命题的一个重要的着眼点,体现高考中考查学生探究能力和创新能力的立意,及在知识交汇处命题的原则,所以这类题应引起学生的注意.

二、经验分享

1.求解与长度、角度有关的几何概型的方法

求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．

2.求解与面积有关的几何概型的注意点

求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．

3.求解与体积有关的几何概型的注意点

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．

4.解决几何概型问题，注意正确区分古典概型与几何概型.

例1：在区间[0，10]上任意取一个整数x，则x不大于3的概率为________.

例2：在区间[0，10]上任意取一个实数x，则x不大于3的概率为________.

例1的基本事件总数为有限个11，不大于3的基本事件有4个，此为古典概型，故所求概率为4

11

.例2的基

本事件总数为无限个，属于几何概型，所求概率为3

10

.

5.几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题可考虑利用几何概型解决.

三、知识拓展

准确分清几何概型中的测度.

例1：在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，求∠CAM＜30°的概率.

例2：在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB内过点A作射线交线段BC于点M，求∠CAM＜30°的概率.

例1中的测度定性为线段长度，当∠CAM 0＝30°，CM 0＝

33AC ＝3

3

C B.满足条件的点M 等可能的分布在线段CM 0上，故所求概率等于CM 0CB ＝3

3

.例2中的测度定性为角度，过点A 作射线与线段CB 相交，这样的射线有

无数条，均匀分布在∠CAB 内，∠CAB ＝45°.所以所求概率等于∠CAM 0∠CAB ＝30°45°＝2

3.

2.科学设计变量，数形结合解决问题.

例1：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待时间不多于10分钟的概率.

例2：某人午觉醒来，发现表停了，求表停的分钟数与实际分钟数差异不超过5分钟的概率.

例1中的变量(单变量)可看作是时间的长度，故所求概率为1060＝1

6.例2容易犯解例1形成的定势思维的错

误，得到错误答案

560＝1

12

.原因在于没有认清题中的变量，本题的变量有两个：手表停的分钟数和实际分钟数，都可取[0，60]内的任意时刻，故所求概率需用到面积型几何概型，由|x －y |≤5结合线性规划知识可解，所求概率为602

－552

602

＝23

144.通过这两道例题我们也可以看出，单变量多用线型测度，多变量需用面积(或体积)型测度.在画好几何图形后，利用数形结合思想解题. 四、题型分析

与函数,方程,不等式相结合的几何概型

【例1】已知,a b 都是区间[]0,4内任取的一个数,那么函数23

1)(222

++-=x b ax x x f 在R x ∈上是增函数的概率是 ． 【分析】函数23

1)(222

++-=

x b ax x x f 在R x ∈上是增函数,这是一个三次函数,故只需它的导函数在R x ∈上'22()20f x x ax b =-+≥,即22440a b =-≤,求出,a b 满足的关系式,再有线性规划可求出所

求的概率.

【 解析】答案填

1

2

,因为,a b 都是区间[]0,4内任取的一个数,所以点(),a b 构成边长为4的正方形.'22

()2f x x ax b =-+,要满足函数23

1)(222++-=x b ax x x f 在R x ∈上是增函数,需

22440a b =-≤,即220a b -≤,又,a b 都是区间[]0,4内任取的一个数,所以a b <,画出边长为4的正方

形及a b <的可行域,由可行域知：函数是增函数的概率为

12

. 【点评】本题将几何概型与方程及不等式交汇在一起,解题时应综合运用相应的知识进行转化,同时数形结合,有利于直观准确求解.

【小试牛刀】【河南名校联盟2019届2月联考】．在区间内，任取个数，则满足

的概

率为（）

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】D

【解析】由题意，满足

，则

，解得

，

所以在区间内，任取1

个数时，概率为，故选D 。

二．与解析几何相结合的几何概型

【例2】已知直线1()4

y k x =+

与曲线y 恰有两个不同的交点,记k 的所有可能取值构成集合A ；(),P x y ,

是椭圆221169

y x +=上一动点,111(,)P x y 与点P 关于直线y ＝x ＋1对称,记114y -的所有可能取值构成集合B ,若随机的从集合A ,B 中分别抽出一个元素12,λλ,则12λλ>的概率是___________

【分析】直线1()4y k x =+

与曲线y 恰有两个不同的交点,求出k 满足的条件,即得集合A ；再根据

111(,)P x y 与点P 关于直线y ＝x ＋1对称,求出对称椭圆的方程,从而得

11

4

y -的范围,即得集合B ；可由几何概型的求法,求出12λλ>的概率.

【解析】答案填34,

1()4

k x +,当0x ≥时,显然0k >,两边平方得,22

22216k k x k x x =++,即

2

2

22(1)0216k k k x x +-+=,由题意,该方程有两个不相等的正实数根,即22222102(1)40216

k k k k ?-

??--?>?即221210k k ??结合0k >解得()0,1k ∈,即()0,1A =,对于椭圆

221169

y x +=,由于原点关于1y x =+的对称点为()1,1-,所以,椭圆关于1y x =+的对称椭圆为22

(1)(1)1169

y x -++=, 111(,)P x y 在改椭圆上,可知[]114,4y -∈-,于是[]11

1,14

y -∈-,即[]1,1B =-. 【方法一】由12,A B λλ∈∈,分别以12,λλ为横坐标和纵坐标,可知点(12,λλ)构成一个面积为2的矩形,其中

满足12λλ>的是图中阴影部分,面积为32,所以,满足12λλ>的概率是34

.

【方法二】当12,[1,0]A λλ∈∈-时,此事件发生的概率为12,此时必有12λλ>,当12,(0,1]A λλ∈∈时,此事件发

生的概率为12,此时12λλ>与12λλ≤概率相等,各占12,于是此时满足12λλ>的概率为14,以上两事件互斥,

且[－1,0]与(0,1]的区间长度相等,故满足12λλ>的概率为311244

+=.

【点评】本题将直线与曲线的交点,轴对称图形,坐标的取值范围,几何概型交汇在一起,综合性强,解题时把各个知识点分解转化；注意：当基本事件受两个连续变量控制时,一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决． 【小试牛刀】【2019年四川省达州市一诊】b 是区间上的随机数，直线

与圆

有公共点的概率为

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】C 【解析】b 是区间上的随机数即，区间长度为

，

由直线

与圆有公共点可得，，

，区间长度为

，

直线与圆

有公共点的概率

， 故选C ．

三．与向量,三角相结合的几何概型

【例3】已知三点()()()3

12,1,1,2,,,,0255A B C P a b OP OA ??--≤?≤ ???

动点满足,且02OP OB ≤?≤,则动点P 到点C 的距离小于

1

5

的概率为（ ）

1

A.

20

π

B. 120

π

-

C.

1920

π

D. 19120

π

-

【分析】根据条件02OP OA ≤?≤与02OP OB ≤?≤,找出,a b 满足的条件022,

022,

a b a b ≤+≤??≤-≤?,作出图像,数

形结合,即可求出动点P 到点C 的距离小于

1

5

的概率. 【解析】答案选A,动点(,)P a b 满足的不等式组为022,022,

a b a b ≤+≤??

≤-≤?画出可行域可知P 在以31,55C ??

- ???为中

的正方形及内部运动

15?

-??

为圆心且半径,一定要

正确选择合理的测度

）

【解析】由()sin 2sin()13f x x x x π

==+

≥及[0,]x π∈得[0,]2

x π

∈,所以所求概率为

1

22

P π

π==,故选D.

解几何概型题注意：

1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个． 2．转化思想的应用

对一个具体问题,可以将其几何化,如建立坐标系将试验结果和点对应,然后利用几何概型概率公式．

(1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需把这个变量放在坐标轴上即可；

(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件,然后利

用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；

(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个变量组成的有序数组来表

示基本事件,利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．

失误与防范：1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；

2．几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．

四、迁移运用

1．【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试（3月)】随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地.在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分.第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域.在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】图标第一部分的面积为8×3×1＝24，

图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32＝9π，

图标第三部分的面积为π×22＝4π，

故此点取自图标第三部分的概率为，

故选B．

2．【福建省2019届适应性练习（三)】部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个

图形，如图.

现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为( )

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S，

则图（3）中阴影部分的面积为：9S，

又图（3）中大三角形的面积为16S，

由几何概型中的面积型可得：

此点取自阴影部分的概率为，故选A.

3．【福建省莆田市2019届高三下学期教学质量检测】中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息。现有一幅剪纸的设计图，其中的个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边。若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】分析题意可知，阴影部分刚好可以拼凑成一个圆形，设圆的半径为R，该正方形的边长为l，则对于正方形的对角线而言，可以分为三个部分，第一个部分为正方形的对角线上的顶点到圆心的距离，两圆的圆心距，对角线上顶点到圆心的距离，故

，解得，故概率,故选A。

4．【东北三省三校2019届高三第一次模拟】圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示，早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年，在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值；从区间内随机抽取200个数，构成100个数对，其中满足不等式

的数对共有11个，则用随机模拟的方法得到的的近似值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

在平面坐标系中作出边长为1的正方形和单位圆，

则符合条件的数对表示的点在轴上方、正方形内且在圆外的区域，

区域面积为，

由几何概型概率公式可得

解得，故选A.

5．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷(一)】若在区间上任取一实数，则“”的概率是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由得，因为，所以，

所以“”的概率是.故选D

6．【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟】在区间上随机取一个数，则的值介于0到

之间的概率为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】在区间内满足关系的x的范围为，故概率为

，故选A。

7．【福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查】如图，和是圆两条互相垂直的直径，分别以

,,,为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据圆的对称性只需看四分之一即可，

设扇形的半径为r，则扇形OBC的面积为，

连接BC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：，

∴此点取自阴影部分的概率是．

故选：A．

8．【广东省深圳市2019届高三第一次（2月)调研】古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段，过点作的垂线，并用圆规在垂线上截取，连接；（2）以为圆心，为半径画弧，交于点；（3）以为圆心，以为半径画弧，交于点．则点即为线段的黄金分割点．若在线段上随机取一点F，则使得的概率约为

（参考数据：）

A．0.236 B．0.382 C．0.472 D．0.618

【答案】A

【解析】由勾股定理可得，

由图可知，

则，

由长度比的几何概型，可得概率为的概率为，

故选A。

9．【湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期一模】美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知，，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由勾股定理可得CE=ED=5

因为CE⊥ED，所以

等腰直角三角形CED的内切圆半径

所以等腰直角三角形CED的内切圆面积为

直角梯形的面积为

所以从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为

所以选C

10．【安徽省定远重点中学2019届高三下学期第一次模拟】2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段，月食的初亏发生在19时48分，20时51分食既，食甚时刻为21时31分，22时08分生光，直至23时12分复圆全食伴随有蓝月亮和红月亮，全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始，生光时刻结束，一市民准备在19：55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月

亮”的时间不超过30分钟的概率是

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意可知，该市民在19：55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，其时间区间长度为121分钟．该市民等待“红月亮”的时间不超过30分钟，

则应该在21：01至21：56分之间的任意时刻到达，区间长度为55．

如图：

由测度比为长度比，可知他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是．

故选：A．

11．【河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四)】已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（）

附：若随机变量，则，.

A．0.1359 B．0.7282 C．0.8641 D．0.93205

【答案】D

【解析】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：

，

故所求的概率为.故选D.

12．【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则

A. p1=p2

B. p1=p3

C. p2=p3

D. p1=p2+p3

【答案】A

【解析】

设，则有，

从而可以求得的面积为，

黑色部分的面积为

，

其余部分的面积为，所以有，

根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.

13．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟】“”是计算机软件产生随机数的函数，每调

用一次函数，就产生一个在区间内的随机数.我们产生个样本点，其中

.在这个样本点中，满足的样本点的个数为，当足够大时,可估算圆周率的近似值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

发生的概率为，在这个样本点中，满足的样本点的个数为，当足够大时,可估算圆周率的近似值为，，即.

故选A．

14．【江西省临川一中2018届高三模拟考试】已知三地在同一水平面内，地在正东方向处，地

在地正北方向处，某测绘队员在之间的直线公路上任选一点作为测绘点，用测绘仪进行测绘，地为一磁场，距离其不超过的范围内会对测绘仪等电子仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由题意，△AOB 是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2

O 地为一磁场，距离其不超过

km 的范围为

个圆，与AB 相交于C ，D 两点，作OE ⊥AB ，则OE=，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概

率是1﹣ =1﹣

．

故选：A ．

15.已知01a <<,01b <<,则函数2

()log 2log 8a b f x x b x a =++的图象恒在x 轴上方的概率为（ ）

A ．

14 B ．34 C.13 D ．23

【答案】D

【解析】因为函数()f x 的图象恒在x 轴上方,则2

4(log )32log 0b a a b -<．因为01a <<,01b <<,所以

log 0,log 0b a a b >>,所以31(log )8a b >,所以1

log 2

a b >,所以1

2b a <．如图建立,a b 的直角坐标系,如图

所示,图中阴影部分的面积即为满足条件,a b 的范围．因为1

31

1

2

20022|33

S a da a ===?阴,所以所求概率

2

2

3113

P ==?,故选C ．

考点：1、几何概型；2、定积分的几何意义；3、函数的图象．

16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且120a =-,在区间()3,5内任取一个实数作为数列{}n a 的公差,则n S 的最小值仅为6S 的概率为（ ） A ．

15 B ．16 C ．314 D ．13

【答案】D

【解析】617152050,62060a a d d a a d d =+=-+<=+=-+>,解得

10

43

d <<,所以概率为10

41323

-

=. 17．记集合(){}

2

2,16x y x

y A =

+≤,集合()(){}

,40,,x y x y x y B =+-≤∈A 表示的平面区域分别为

1Ω,2Ω．若在区域1Ω内任取一点(),x y P ,则点P 落在区域2Ω中的概率为（ ）

A ．

24ππ- B ．324ππ+ C ．24ππ+ D ．32

4ππ

- 【答案】B

【解析】如下图所示,集合A 所表示的区域为图中的圆,集合B 所表示的区域为下图中的阴影部分,所以P 落

在区域2Ω中的概率为13

44162324164P ππ

ππ

??+?+==,故选B ．

18.已知实数[1,10]x ∈,执行右图所示的程序框图,则输出x 的值不小于55的概率为 （A ）19 （B ）29 （C ）49 （D ）5

9

【答案】C

【解析】当32155x +≥时,22127x +≥,12113x +≥ ,6x ≥,因为实数[1,10]x ∈,输出x 的值不小于55的概率为4

9

19.在[]4 3-，上随机取一个数m ,能使函数(

)22f x x =++在R 上有零点的概率为 ． 【答案】

37

【解析】若(

)22f x x =++有零点,则2280m ?=-≥,解得2m ≥或2m ≤-, 由几何概型可得函数()y f x =有零点的概率37

P =. 20.设(){},|0,01A x y x e y =

<<<<（e 为自然对数的底数）,任取(),a b A ∈,则满足1ab >的概率是

（结果用e 表示）． 【答案】21e

-

【解析】样本空间为一个矩形,面积为e ,而满足1ab >的面积为

11

(1)(ln )21

e

e dx x x e x -=-=-?,所以概率是

2

e e

- 21.设不等式组22100x y y ?+-≤?≥?，表示的平面区域为M ,

不等式组0t x t y -≤≤???≤≤??，

表示的平面区域为N .在M

内随机取一个点,这个点在N 内的概率的最大值是_________. 【答案】

2

π

【解析】不等式组22100

x y y ?+-≤?≥?，表示的平面区域M 为半径是1的半圆,面积为2π

；不等式组

0t x t y -≤≤???≤≤??，表示的平面区域N 为长为2t ,

,

面积为：21==≤,面积最大是1.所以在M 内随机取一个点,这个点在N 内的概

率的最大值是

1

2

2

π

π

=

.

三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总：导数的几何意义、定积分与微积分基本定理

第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理 2019年 1.（2019全国Ⅰ理13）曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 1.解析：因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31x y x x =++（）， 所以当0x =时，'3y =，所以23e x y x x =+（）在点00（，） 处的切线斜率3k =， 又()00y =所以切线方程为()030y x -=-，即3y x =． 2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，） 处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -= ，1b =- 2.解析 e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1x y a x =++， 又函数e ln x y a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+， 可得e 012a ++=，解得1e a -=， 又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-．故选D ． 2017、2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = D 【解析】通解 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以()()-=-f x f x ， 所以3232 ()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ， 因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ， 所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．

高二定积分的简单应用(理科)

年 级 高二 学科 数学 内容标题 定积分的简单应用（理科） 编稿老师 胡居化 一、教学目标 1. 能用定积分知识解决在物理学中的一些简单问题及求曲边图形的面积等问题 2. 体会数与形结合的思想、等价转化的数学思想的应用. 二、知识要点分析 1. 定积分在物理学中的简单应用 （1）变速直线运动的路程：作变速直线运动的物体在时间t=a 到时间t=b （a

（2）求曲边图形面积的一般步骤： （a ）画图，并将图形分割成若干个曲边梯形 （b ）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上下限. （c ）确定被积函数 （d ）求出各曲边梯形的面积和，即各种定积分的绝对值之和. 【典型例题】 知识点一：定积分在物理学中的简单的应用 例1：一物体在力F ?? ?>+≤≤=) 2(,43) 20(,10)(x x x x （单位：N ）的作用下沿力F 相同的方向， 从x=0处运动到x=4处（单位：米），这力F （x ）所做的功是（ ） A . 44 B . 46 C . 48 D . 50 【题意分析】本题考查物理学中的变力做功问题，物体在x=0到x=4距离内所做的功是函 数F （x ）在区间［0，4］上的定积分. 【思路分析】由已知F （x ）的表达式是分段函数，故物体所做的功是函数F （x ）在［0，2］，［2，4］上的积分之和. 【解题步骤】由定积分的物理意义知： ????++=+=42202042)43(10)()(dx x dx dx x F dx x F W ＝4222 0|)42 3(|10x x x ++ ＝46， 故选（B ） 【解题后的思考】本题考查的知识点是利用定积分求变力做功的问题，易错点是：认为F （x ）在区间［0，4］内所做的功是 ? +4 )43(dx x . 例2：一物体做变速直线运动，其v －t 曲线（如图所示），求物体在s s 62 1 -内的运动路程. 【题意分析】本题考查物理学中变速直线运动路程问题，由v （t ）曲线知：0)(≥t v ，故在 s s 621-间的物体运动的路程是v （t ）在区间]6,2 1 [上的定积分.

高考数学几何概型及随机模拟

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座21）—几何概型及随机模拟 一．课标要求： 1．了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义； 2．通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。 二．命题走向 本讲内容在高考中所占比较轻，纵贯近几年的高考对概率要求降低，但本讲内容使新加内容，考试涉及的可能性较大。 预测07年高考： （1）题目类型多以选择题、填空题形式出现，； （2）本建考试的重点内容几何概型的求值问题，我们要善于将实际问题转化为概率模型处理。 三．要点精讲 1．随机数的概念 随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。 2．随机数的产生方法 （1）利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数； （2）在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数。 3．几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； 4．几何概型的概率公式： P （A ）=积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A 。 5．几种常见的几何概型 （1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为： P=l 的长度/L 的长度 （2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为： P=g 的面积/G 的面积 （3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为： P=v 的体积/V 的体积

高中数学 定积分练习与解析1 苏教版选修2-2

定积分 练习与解析1 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内 1.根据定积分的定义，dx x ?2 02=( ) A. n n i n i 112 1???? ??-∑= B. n n i n i n 1 12 1lim ??? ? ??-∑=∞→ C. n n i n i 2 22 1??? ? ??∑= D. n n i n i n 222 1lim ??? ? ??∑=∞→ 解析：由求定积分的四个步骤：分割，近似代替，求和，取极限.可知选项为D 2、?-+22 )cos (sin π πdx x x 的值为（ ） A 0 B 4 π C 2 D 4 解析：?-+22 )cos (sin π πdx x x =() 22 sin cos ππ- +-x x ?? ? ?????? ??-+??? ??---??? ??+-2sin 2cos 2sin 2cos ππππ=2， 故选C. 3、直线4-=x y 与抛物线x y 22=所围成的图形面积是（ ） A 15 B 16 C 17 D 18 解析：直线4-=x y 与抛物线x y 22=的交点为()().4,8,2,2-结合图像可知面积 ()()[]1812303 1213021248221 4 2 3242=-=?-=---?+= --?y dy y s .此题选取y 为积分变量较容易. 选D. 4.以初速度40m/s 素质向上抛一物体，ts 时刻的速度 21040t v -= ，则此物体达到最高时的高度为（ ） A . m 3160 B. m 380 C. m 340 D. m 320 解析：由 2 1040t v -==0，得物体达到最高时 t =2.高度 () ()m t t dt t h 3160310401040203202= ??? ? ? -=-=? 5.一物体在力()5232+-=x x x F （力单位：N ，位移单位:m ）作用下沿与()x F 相同的方向由m x 5=直线运动到 m x 10=处作的功是（ ）

北师大版数学高二选修2试题 4.3定积分的简单应用--简单几何体的体积

4.3定积分的简单应用 定积分在物理中应用及简单几何体的体积同步练习 1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间 [a ，b ]上的 定积分 ，即?=b a dt t v s )(． 2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是 ()dt t ?-5 3sin 3．（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s 所走过的路程为 3 25 ． 4．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W = F （b —a ）． 5．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的 功W =?b a dx x F )(． 6．一物体在力F (x ) =10(02)34(2)x x x ≤≤?? +>?（单位：N ）的作用下沿与力F (x )做功为（ B ） A ．44J B ．46J C ．48J D ．50J 7．证明：把质量为m （单位kg ）的物体从地球的表面升高h （单位：m ）处所做的功W = G ·() Mmh k k h +，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径． 证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力f 为f = G ·122 m m r ，其中G 为引力常数． 则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·2 ()Mm k x +故该物体从地面升到h 处所做的功为 0()h W f x =?d x =20() h Mm G k x ?+?·d x = GMm 201()h k x +? d (k + 1) = GMm 01()|h k x -+ =11()() Mnh GMm k G k h k k h -+=?++． 8．直线2y x =，1x =，2x =与x 轴围成的平面图形绕旋x 轴转一周得到一个圆台，

(新)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

年 级 高二 学科 数学 内容标题 定积分的计算 编稿老师 马利军 一、教学目标： 1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：? b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分? b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ） 与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下. ? b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、 函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=? ，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=? ，在图（3）中：dx )x (f b a ? 表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于? b a dx x f )(，仅 当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于 ? b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）?? =b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3） ?? ?+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ，b ］上，? ≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则

历年高考数学真题精选44 几何概型

历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题44 几何概型（学生版） 一．选择题（共13小题） 1．（2019?全国）在Rt ABC ?中，AB BC =，在BC 边上随机取点P ，则30BAP ∠

则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为() A．4n m B． 2n m C． 4m n D． 2m n 5．（2016?新课标Ⅰ）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是() A． 1 3 B． 1 2 C． 2 3 D． 3 4 6．（2016?新课标Ⅱ）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为() A． 7 10 B． 5 8 C． 3 8 D． 3 10 7．（2015?福建）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D 在函数 1,0 ()1 1,0 2 x x f x x x + ? ? =? -+< ?? … 的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于() A． 1 6 B． 1 4 C． 3 8 D． 1 2 8．（2015?陕西）设复数(1)( z x yi x =-+，) y R ∈，若||1 z?，则y x …的概率为() A． 31 42π +B． 11 2π +C． 11 2π -D． 11 42π - 9．（2015?山东）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“ 1 2 1 1log()1 2 x -+ 剟”发生的概率为() A． 3 4 B． 2 3 C． 1 3 D． 1 4 10．（2014?陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为() A． 1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示 函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 （2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理： 一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且 注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据

2019高考数学概率：几何概型

几何概型 【考点梳理】 1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P (A )＝ 构成事件A 的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 . 【考点突破】 考点一、与长度(角度)有关的几何概型 【例1】(1)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ， CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( ) A ．16 B ．13 C ．23 D ．45 (2)如图所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________． [答案] (1) C (2) 1 3 [解析] (1)设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )>20，解得2

P ′在C ''B 上发生”． 又在Rt△ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π 6 . 故所求事件的概率P ＝ C D l l ''B 'B ＝π6·1π2 ·1＝13 . 【类题通法】 1．解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置． 2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比． 【对点训练】 1．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A ．1 3 B ．12 C ．23 D ．34 [答案] B [解析] 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝1 2 .故选 B. 2．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与 AB 交于点M ，则AM

吉林省高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理(理科专用)B卷

吉林省高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理（理科专用）B卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分）直线y=x与抛物线y=x(x+2)所围成的封闭图形的面积等于（） A . B . C . D . 2. （2分） (2018高二下·西安期末) 如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形内随机投一点(该点落在正方形内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（） A . B . C . D . 3. （2分）如图所示，由函数f（x）=sinx与函数g（x）=cosx在区间[0，]上的图象所围成的封闭图形

的面积为（） A . 3﹣1 B . 4﹣2 C . D . 2 4. （2分）由直线，曲线及轴所围图形的面积为（） A . 3 B . 7 C . D . 5. （2分）由幂函数y=和幂函数y=x3图象围成的封闭图形面积为（） A . B . C . D .

6. （2分）(2018·安徽模拟) 由直线及曲线所围成的封闭图形的面积为（） A . 3 B . C . D . 7. （2分）曲线与直线所围成图形的面积为（） A . 2 B . 1 C . D . 8. （2分）由直线，曲线及x轴所围图形的面积为（） A . B . C . D . 9. （2分）做变速直线运动的物体的速度满足，该物体在内经过的路程为9，则的值为（） A . 1 B . 2

C . 3 D . 4 10. （2分）抛物线与直线y=2x围成的封闭图形的面积是（） A . B . C . D . 11. （2分）设函数在区间上连续，用分点，把区间 等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式(其中为小区间的长度)，那么的大小（） A . 与和区间有关，与分点的个数和的取法无关 B . 与和区间以及分点的个数有关，与的取法无关 C . 与和区间以及分点的个数，的取法都有关 D . 与和区间以及的取法有关，与分点的个数无关 12. （2分）由曲线y=x2 ， y=x3围成的封闭图形面积为（） A . B . C .

高中数学定积分知识点

数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；

6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/() f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如

高中培优讲义定积分及其简单应用

第十三讲定积分及其简单应用 教学目标：1、了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2、了解微积分基本定理的含义. 一、知识回顾课前热身 知识点1、定积分 (1)定积分的相关概念在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质 ①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x. (4)．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 知识点2、微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|b a，即∫b a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)． 基础练习 1.∫421 x d x等于( ) A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2 解析：选D ∫421 x d x＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 2．一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移

(完整word版)2019届高考数学专题二十几何概型总结练习题及答案

专题二十 几何概型 1.长度类几何概型 例1：已知函数()2 2f x x x =--，[]5,5x ∈-，在定义域内任取一点0x ，使()00f x ≤的概 率是（ ） A ．1 10 B ．2 3 C ．3 10 D ．4 5 【答案】C 【解析】先解出()00f x ≤时0x 的取值范围：22012x x x --≤?-≤≤， 从而在数轴上[]1,2-区间长度占[]5,5-区间长度的比例即为事件发生的概率，∴ 3 10P = ，故选C ． 2．面积类几何概型 （1）图形类几何概型 例2-1：如图所示，在矩形ABCD 中，2AB a =，AD a =，图中阴影部分是以AB 为直径的半圆，现在向矩形ABCD 内随机撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（ ） A ．1000 B ．2000 C ．3000 D ．4000 【答案】C 【解析】在矩形ABCD 中，2AB a =，AD a =，面积为22a ，半圆的面积为21 2a π， 故由几何概型可知，半圆所占比例为4π ，随机撒4000粒豆子，

落在阴影部分内的豆子数目大约为3000，故选C ． （2）线性规划类几何概型 例2-2：甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（ ） A ．1 4 B ．1 3 C ．3 4 D ．7 16 【答案】D 【解析】设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ， 则所有基本事件构成的区域 满足024 024x y ≤≤≤≤??? ， 这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A 满足 0240246x y x y ?≤≤? ≤≤??-≤? ，作出对应的平面区域如图所示： 这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为()18187 1242416 S P A S Ω ?==- =?阴，故选D ． （3）利用积分求面积 例2-3：如图，圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（ ）

高考数学定积分与微积分基本定理(理科专用)专题卷

高考数学定积分与微积分基本定理（理科专用）专题卷 一、单选题（共12题；共24分） 1.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（） A. B. C. 4 D. 2.由直线，曲线及轴所围成的图形的面积为（） A. B. C. D. 3.由曲线，围成的封闭图形的面积为（） A. B. C. D. 4.曲线与直线所围成图形的面积为（） A. 2 B. 1 C. D. 5.定积分的值是（） A. B. C. D. 6.向平面区域Ω＝{(x，y)| ，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是( ) A. B. C. D. 7.如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形内随机投一点(该点落在正方形内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( ) A. B. C. D. 8.已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（） A. B. C. D.

9.设函数在区间上连续，用分点，把区间 等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式 (其 中为小区间的长度)，那么的大小( ) A. 与和区间有关，与分点的个数和的取法无关 B. 与和区间以及分点的个数有关，与的取法无关 C. 与和区间以及分点的个数，的取法都有关 D. 与和区间以及的取法有关，与分点的个数无关 10.函数与两条平行线，及轴围成的区域面积是（） A. B. C. D. 11.在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi+1]上的近似值等于() A. 只能是左端点的函数值f(xi) B. 只能是右端点的函数值f(xi+1) C. 可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi+1]) D. 以上答案均不正确 12.由y=﹣1，y=0，x=2所对应的曲线围成的封闭图形的面积为（） A. ln2﹣ B. ﹣ln2 C. 1﹣ln2 D. ln2﹣1 二、填空题（共6题；共6分） 13.在区间内任取一个实数，在区间内任取一个实数，则点位于曲线的图像上方的概率为________． 14.直线y=4x与曲线y=x2围成的封闭区域面积为________． 15.由曲线与直线所围成图形的面积等于________． 16.设，则二项式的展开式的常数项是________. 17.设a＞0．若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=________ 18.________. 三、解答题（共3题；共15分） 19.已知函数f（x）=ln|x|（x≠0），函数g（x）=（x≠0） （1）当x≠0时，求函数y=g（x）的表达式； （2）若a＞0，函数y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值； （3）在（2）的条件下，求直线y=与函数y=g（x）的图象所围成图形的面积． 20.计算椭圆+ =1所围成的平面图形的面积A．

全国高考数学复习微专题：几何概型

全国高考数学复习微专题：几何概型 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

几何概型 一、基础知识： 1、几何概型： 每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型 2、对于一项试验，如果符合以下原则： （1）基本事件的个数为无限多个 （2）基本事件发生的概率相同 则可通过建立几何模型，利用几何概型计算事件的概率 3、几何概型常见的类型，可分为三个层次： （1）以几何图形为基础的题目：可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域，从而求出比例即可得到概率。 （2）以数轴，坐标系为基础的题目：可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行域），从而可通过计算长度（或面积）的比例求的概率（将问题转化为第（1）类问题） （3）在题目叙述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用变量个数。从而可依据变量个数确定几何模型：通常变量的个数与几何模型的维度相等：一个变量→数轴，两个变量→平面直角坐标系，三个变量→空间直角坐标系。从而将问题转化成为第（2）类问题求解 二、典型例题： 例1：已知函数()[]22,5,5f x x x x =--∈-，在定义域内任取一点0x ，使()00f x ≤的概率是（ ） A. 110 B. 23 C. 310 D. 45

思路：先解出()00f x ≤时0x 的取值范围：22012x x x --

高中数学~定积分和微积分基本原理

高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程：

规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。

高中数学定积分计算习题

定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 （1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（ （10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ） （ （14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（ （16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+

三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积

高中数学几何概型

第6讲几何概型 一、选择题 1.在区间[－2，3]上随机选取一个数x，即x≤1，故所求的概率为() A.4 5 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 解析在区间[－2，3]上随机选取一个数x，且x≤1，即－2≤x≤1，故所求的 概率为P＝3 5. 答案 B 2.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆 中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是1 3，则阴影部分的 面积是() A.π 3 B.π C.2π D.3π 解析设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.由几何概型的概率， 得S S′＝ 1 3，则S＝3π. 答案 D 3.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log1 2? ? ? ? ?x＋ 1 2 ≤1”发生的概率为() A.3 4 B. 2 3 C. 1 3 D. 1 4 解析由－1≤log1 2? ? ? ? ? x＋ 1 2≤1， 得1 2≤x＋ 1 2≤2， 解得0≤x≤3 2，所以事件“－1≤log1 2 ? ? ? ? ? x＋ 1 2≤1”发生的 概率为3 2 2＝ 3 4，故选A. 答案 A

4.(2017·东北师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ) A.π2 B.π4 C.π6 D.π8 解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积 ＝ 12π×121×2＝π 4. 答案 B 5.在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12 B.1－π12 C.π6 D.1－π6 解析 设“点P 到点O 的距离大于1”为事件A . 则事件A 发生时，点P 位于以点O 为球心，以1为半径的半球的外部. ∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝43π·13×12＝2 3π.∴P (A )＝23－23π2 3 ＝1－π12. 答案 B 6.已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23 解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4 时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C ，F 点)上时，△ABD 为钝角