2012广州一模(数学理)

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数 学（理 科） 2012.3

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答

题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式Sh V 3

1

=

，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 方差()()()

2222

121n s x x x x x x n ??=-+-+???+-????，其中12n

x x x x n

+++= .

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的． 1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为

A ．2-

B ．1-

C ．0

D ．2

2．已知全集U =R ，函数

y =

A ，函数()2log 2y x =+的定义域为集合

B ，则集合()U

A B = e

A ．()2,1--

B ．(]2,1--

C ．(),2-∞-

D ．()1,-+∞ 3．如果函数()sin 6f x x ωπ??

=+

???

()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为 A ．3 B ．6 C ．12

D ．24

4．已知点()P a b ，（0ab ≠）是圆O ：2

2

2

x y r +=内一点，直线l 的方程为2

0ax by r ++=，那么直线l

与圆O 的位置关系是

A ．相离

B ．相切

C ．相交

D ．不确定

5．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ?=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，

则?a b 的值为

A ．8-

B ．6-

C ．8

D ．6

7．在△ABC 中，60ABC ∠=

，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概

率为 A ．

16 B ．13 C ．12 D ．23

8．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标

(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为

A ．252

B ．216

C ．72

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分（一）必做题（9～13题） 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．

10．已知()2

1

1d 4kx x +?

2≤≤，则实数k 的取值范围为 ． 11．已知幂函数(

)

22

6

57m y m m x

-=-+在区间()0,+∞上单调递增，

则实数m 的值为 ．

12．已知集合{}

1A x x =≤≤2，{}

1B x x a =-≤，若A B A =I ，

则实数a 的取值范围为 ．

13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石

子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被

称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，

3OP =cm ，弦CD 过点P ，且

1

3

CP CD =，则CD 的长为 cm ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的

参数方程分别为l ：1,

1x s y s =+??=-?

（s 为参数）和C ：2

2,x t y t =+??=?（t 为参数）， 若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．

5 12 1

22 图3

图1 俯视图 正(主)视图

侧(左)视图

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知函数()tan 34f x x π?

?=+

???

． （1）求9f π??

???的值； （2）设3,

2απ??∈π ??

?

，若234f απ??+= ???，求cos 4απ?

?- ??

?的值．

17．（本小题满分12分）

如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中

的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．

已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同． （1）求a 的值； （2）求乙组四名同学数学成绩的方差；

（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学

成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）．

（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） 18．（本小题满分14分）

如图5所示，在三棱锥ABC P -

中，AB BC ==⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，

1AD =，3CD =

，PD =．

（1）证明△PBC 为直角三角形；

（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．

图4 甲组 乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 6 图5

P

A

C

D

19．（本小题满分14分）

等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()

25

2123n n n b a n n +=

++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

20．（本小题满分14分）

已知椭圆2

2

14

y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B

双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；

（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ?=；

（3）设TAB ?与POB ?（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uu r

g ≤15，求2212S S -的

取值范围．

21．（本小题满分14分）

设函数()e x

f x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!

n

n x x x g x x n =+++++L （*n ∈N ）． （1）证明：()f x 1()g x ≥；

（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；

（3）证明：()123222211e 2341n

n g n ????????+++++< ? ? ? ?+????????

≤L （*

n ∈N ）

．

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如

果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15

题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．

9 10．2,23??

????

11．3 12．[]1,2 13．35，10 14．

15

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：9f π??

???

tan 34ππ??=+ ???……………………………………………………………………………1分 tan

tan 341tan tan

34

ππ

+=

ππ-…………………………………………………………………………3分 2=

=-4分

（2）解：因为3tan 3444f ααπππ???

?+=++

? ????

?………………………………………………………………5分

()tan α=+π……………………………………………………………………6分

tan 2α==．……………………………………………………………………7分

所以

sin 2cos α

α

=，即sin 2cos αα=． ① 因为2

2

sin cos 1αα+=， ②

由①、②解得2

1

cos 5

α=．………………………………………………………………………………9分 因为3,

2απ??

∈π ?

??

，所以cos 5α=-

，sin 5α=-10分 所以cos 4απ?

?

-

??

?

cos cos sin sin 44ααππ=+ ………………………………………………………11分

?== ??．……………………………………12分

17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：依题意，得

11

(87899696)(87909395)44

a ?+++=?++++，……………………………1分 解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分 （2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分

所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()2222

2

1879293929392959294s ??=

-+-+-+-=?

?. ……………………………5分

（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416?=种可能的结果．……………6分

所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分

由表可得1(0)16P X ==

，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4

(3)16P X ==， 2(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2

(9)16

P X ==.

所以随机变量X 随机变量X 的数学期望为

121423012346161616161616EX =?

+?+?+?+?+?12891616+?+?…………………………11分 6817164

==.…………………………………………………………………………………………12分

……………………10分

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ?平面PAC ，AC PD ⊥，

所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分

记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，AB BC =，所以AC BE ⊥．

因为AB BC =4=AC

，所以

BE =

=

=3分 因为PD ⊥AC ，所以△PCD 为直角三角形．

因为PD =，3CD =，

所以

PC ==

=4分

连接BD ，在Rt △

BDE 中，因为BE ，1DE =，

所以

BD =

=

=．…………5分

因为PD ⊥平面ABC ，BD ?平面ABC ，所以PD ⊥BD ． 在Rt △

PBD 中，因为PD

，BD =，

所以

PB =

=

6分

在PBC ?

中，因为BC

，PB =PC =

所以2

2

2

BC PB PC +=．

所以PBC ?为直角三角形．………………………………………………………………………………7分 证明2：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =， PD ?平面PAC ，AC PD ⊥， 所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分 记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB

BC =，所以AC BE ⊥． 因为

AB BC =4=AC

，所以BE =

=

=3分

连接BD ，在

Rt △BDE 中，因为90BED ∠=o

，

BE =，1DE =，

所以BD ==

=． (4)

分

在△BCD 中，因为3CD =

，BC =BD =，

所以222

BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．……………………………………………………………5分

因为PD ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，

所以BC PD ⊥．…………………………………………………………………………………………6分 因为BD PD D = ，所以BC ⊥平面PBD ．

因为PB ?平面PBD ，所以BC PB ⊥．

所以PBC ?为直角三角形．………………………………………………………………………………7分

（2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，

则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．…………………………………………………………8分

B

P

A

C

D

E

由（1）知，△ABC

的面积1

2

ABC S AC BE ?=??=9分

因为PD =，所以13P ABC ABC V S PD -?=

?

?13=?10分 由（1）知PBC ?

为直角三角形，BC =

PB =

所以△PBC

的面积11

322

PBC S BC PB ?=

??==．……………………………………11分 因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=，

即1

333AH ??=

3

AH =．……………………………………………………………12分 在Rt △PAD

中，因为PD ，1AD =，

所以

2AP =

=

．………………………………………………………13分

因为3sin 2AH APH AP ∠=== 所以直线AP 与平面

PBC 14分 解法2：过点D 作DM AP ∥，设DM PC M = ，

则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………8分

由（1）知BC PD ⊥，BC PB ⊥，且PD PB P = ，

所以BC ⊥平面PBD ．

因为BC ?平面PBC ，

所以平面PBC ⊥平面PBD ．

过点D 作DN PB ⊥于点N ，连接MN ，

则DN ⊥平面PBC ． 所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分 在Rt △

PAD 中，因为PD ，1AD =

，

所以2AP =

=

．………………………………………………………11分因为

DM AP ∥，所以

DM CD AP CA =，即324DM =，所以3

2

DM =．………………………………12分 由（

1）知BD

=，PB

=PD =，

所以PD BD DN PB ?=

==

13分 B

P A

C D M

N

因为2sin 332

DN DMN DE ∠===

所以直线AP 与平面PBC

14分 解法3：延长CB 至点G ，使得BG BC =，连接AG 、PG ，……………………………………8分 在△PCG

中，PB BG BC == 所以90CPG ∠=o

，即CP PG ⊥．

在△PAC

中，因为PC =2PA =，4AC =

， 所以2

2

2

PA PC AC +=， 所以CP PA ⊥． 因为PA PG P =I ，

所以CP ⊥平面PAG ．…………………………………………………………………………………9分

过点A 作AK PG ⊥于点K ， 因为AK ?平面PAG ， 所以CP AK ⊥． 因为PG CP P =I ，

所以AK ⊥平面PCG ．

所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分 由（1）知，BC PB ⊥， 所以PG PC ==．

在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点，

所以2AG BE ==12分 在△PAG 中，2PA =，AG =PG =

所以222

PA AG PG +=，即PA AG ⊥．……………………………………………………………13分

因为sin AG APK PG ∠=

==

所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为

3

14分 解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系

E xyz -，…………………………………………………………………………………………………8分

则()0,2,0A -，)B

，()0,2,0C ，(0,P -．

B

P

A

C

D

E

G

K

于是(AP =

，PB =

，(0,3,PC =

．

设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，

则0,0.PB PC ??=???=?? n n

即0,30.

y y +==?? 取1y =

，则z =

x =

所以平面PBC

的一个法向量为=

n ．……………………………………………………12分

设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，

则sin cos 3AP AP AP θ?=<>===?

n ,n n ． 所以直线AP 与平面PBC

所成角的正弦值为

3

14分

若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：

（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系

E xyz -，…………………………………………………………………………………………………1分

则)B

，()0,2,0C

，(0,P -．

于是(BP =-

，()

2,0BC =

．

因为(

()

0BP BC =-=

，

所以BP BC ⊥ ．

所以BP BC ⊥．

所以PBC ?为直角三角形．………………………………………………………………………………7分 （2）由（1）可得，()0,2,0A -．

于是(AP =

，PB =

，(0,3,PC =

．

设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，

则0,0.PB PC ??=???=?? n n

即0,30.

y y +-==?? 取1y =

，则z =

x =

A

所以平面PBC

的一个法向量为=

n．……………………………………………………12分

设直线AP与平面PBC所成的角为θ，

则sin cos

AP

AP

AP

θ

?

=<>===

?

n

,n

n

．

所以直线AP与平面PBC

所成角的正弦值为

3

14分

19．（本小题满分14分）

（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）

（1）解：设等比数列{}n a的公比为q，依题意，有

45

3

2

32

24

,

2

2.

a a

a

a a

+

?

=

?

?

?=

?

即345

2

32

2,

2.

a a a

a a

=+

??

?

=

??

……………………………………………………………………2分所以

234

111

222

11

2,

2.

a q a q a q

a q a q

?=+

?

?

=

??

………………………………………………………………………………3分

由于

1

a≠，0

q≠，解之得

1

1

,

2

1

.

2

a

q

?

=

??

?

?=

??

或1

1

,

2

1.

a

q

?

=

?

?

?=-

?

……………………………………………………5分

又

1

0,0

a q

>>，所以

1

11

,

22

a q

==，…………………………………………………………………6分所以数列{}n a的通项公式为

1

2

n

n

a

??

= ?

??

（*

n∈N）．…………………………………………………7分

（2）解：由（1），得

()()

25

2123

n n

n

b a

n n

+

=?

++()()

251

21232n

n

n n

+

=?

++

．………………………………8分所以

211

21232

n n

b

n n

??

=-?

?

++

??

1

11

(21)2(23)2

n n

n n

-

=-

++

．…………………………………………………………………10分

所以

12

n n

S b b b

=+++

L

()()

21

111111

3525272212232

n n

n n

-

??

????

=-+-++-

??

? ?

???++

??????

L

()11

3232n

n =-

+． 故数列{}n b 的前n 项和()11

3232

n n

S n =

-+．………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）

（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）

（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分

设双曲线C 的方程为2

2

21y x b

-=()0b >，

=，即2b =．

所以双曲线C 的方程为2

2

14

y x -=．……………………………………………………………………3分 （2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），

则直线AP 的方程为(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分

联立方程组()22

1,

1.4

y k x y x ?=+?

?+

=??………………………………………………………………………………5分 整理，得()

2222

4240k x k x k +++-=，

解得1x =-或2244k x k -=+．所以2

22

44k x k -=+．…………………………………………………………6分 同理可得，2

12

44k x k +=-．…………………………………………………………………………………7分

所以121x x ?=．……………………………………………………………………………………………8分

证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =）， 则111AP y k x =

+，2

21AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分 因为AP

AT k k =，所以12

1211y y x x =++，即()()

221222

1211y y x x =++．……………………………………5分

因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以22

11

14y x -=，22

2214

y x +=． 即()

221141y x =-，()

22

2241y x =-．…………………………………………………………………6分

所以

()

()

()

()

22122

2

12414111x x x x --=

++，即

12

121111

x x x x --=

++．……………………………………………………7分 所以121x x ?=．……………………………………………………………………………………………8分 证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为1

1(1)1

y y x x =

++，………………………………………4分 联立方程组()11

2

21,11.4

y y x x y x ?=+?+???+=??…………………………………………………………………………5分

整理，得222222

111114(1)24(1)0x y x y x y x ??++++-+=??，

解得1x =-或221122

114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分 将2

21

1

44y x =-代入22

1122

114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即21

1x x =． 所以121x x ?=．…………………………………………………………………………………………8分 （3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），

则()111,PA x y =--- ，()111,PB x y =--

．

因为15PA PB ?≤ ，所以()()2

1111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分

因为点P 在双曲线上，则2

211

14

y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤． 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分

因为1221||||||2S AB y y =

=，21111

||||||22

S OB y y ==， 所以()()22222222

122121121441544

S S y y x x x x -=-=---=--．……………………………11分

由（2）知，121x x ?=，即21

1x x =． 设21t x =，则14t <≤，

221245S S t t

-=--

． 设()45t t f t =--，则()()()22

2241t t f t t t -+'=-+=， 当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为()21f =，()()140f f ==，

所以当4t =，即12x =时，()

()22

12min

40S S f -==．……………………………………………12分

当2t =，即1x =()

()22

12

max

21S S f -==．………………………………………………13分

所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分

说明：由()

2222

12121254541S S x x x x -=-+≤-=，得(

)

22

12

max

1S S -=，给1分．

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）证明：设11()()()1x x f x g x e x ?=-=--，

所以1()1x

x e ?'=-．………………………………………………………………………………………1分

当0x <时，1()0x ?'<，当0x =时，1()0x ?'=，当0x >时，1()0x ?'>．

即函数1()x ?在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，………2分 因为1(0)0?=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ??=≥． 即1()()0f x g x -≥，

所以()f x 1()g x ≥．………………………………………………………………………………………3分 （2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．………………………………………………………………………4分

用数学归纳法证明如下：

①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >．

②假设当n k =（*

k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，…………………………………5分 令()()()k k x f x g x ?=-，11()()()k k x f x g x ?++=-，

因为对任意的正实数x ，()()11()()()k k

k x f x g x f x g x ?++'''=-=-， 由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ?+'=->．…………………………………………………………6分 即11()()()k k x f x g x ?++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ??++>， 因为1(0)0k ?+=，所以1()0k x ?+>． 从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->． 即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．

这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +．

由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．………………………………………………………8分 （3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．

由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ． 令1x =，得()()11=e n g f <．

所以()1e n g <．……………………………………………………………………………………………9分

再证对任意正整数n ，()1232222112341n

n g n ????????

+++++≤ ? ? ? ?+????????

111112!3!!n =+++++ ． 要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!

n

n n ??

≤ ?

+??成立． 即要证明对任意正整数n ，不等式1!2n

n n +??

≤ ???

（*）成立．……………………………………10分

以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）： 方法1（数学归纳法）：

①当1n =时，1

111!2+??≤ ???

成立，所以不等式（*）成立．

②假设当n k =（*

k ∈N ）时，不等式（*）成立，

即1!2k

k k +??

≤ ???．………………………………………………………………………………………11分

则()()()1

111!1!1222k

k k k k k k k +++????

+=+≤+= ? ?

????

．

因为1

1110111111

2211121C C C 2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++??

?+????????==+=+++≥ ? ? ?++++??????+??

???

，…12分 所以()1

1

121!222k k k k k ++++??

??+≤≤ ?

???

??

．……………………………………………………………13分

这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．

由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．

综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341n

n g n ????????

+++++≤< ? ? ? ?+????????

成立．

……………………………………14分

方法2（基本不等式法）：

1

2n +≤

，……………………………………………………………………………………11分

1

2

n +≤，

……，

1

2

n +， 将以上n 个不等式相乘，得1!2n

n n +??

≤ ???

．……………………………………………………………13分

所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．

综上可知，对任意正整数n ，不等式()1

2

3

222211e 2341n

n g n ????????

+++++≤< ? ? ? ?+????????

成立．

……………………………………14分

挑战中考数学压轴题(2012版精选)

目录 第一部分函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2012年苏州市中考第29题 例2 2012年黄冈市中考第25题 例3 2011年上海市闸北区中考模拟第25题 例4 2011年上海市杨浦区中考模拟第24题 例5 2010年义乌市中考第24题 例6 2010年上海市宝山区中考模拟第24题 例7 2009年临沂市中考第26题 例8 2009年上海市闸北区中考模拟第25题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 2012年扬州市中考第27题 例2 2012年临沂市中考第26题 例3 2011年湖州市中考第24题 例4 2011年盐城市中考第28题 例5 2010年上海市闸北区中考模拟第25题 例6 2010年南通市中考第27题 例7 2009年重庆市中考第26题 1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 2012年广州市中考第24题 例2 2012年杭州市中考第22题 例3 2011年沈阳市中考第25题 例4 2011年浙江省中考第23题 例5 2010年北京市中考第24题 例6 2009年嘉兴市中考第24题 例7 2008年河南省中考第23题 1.4 因动点产生的平行四边形问题 例1 2012年福州市中考第21题 例2 2012年烟台市中考第26题 例3 2011年上海市中考第24题 例4 2011年江西省中考第24题 例5 2010年河南省中考第23题 例6 2010年山西省中考第26题 例7 2009年福州市中考第21题 例8 2009年江西省中考第24题 1.5 因动点产生的梯形问题 例1 2012年上海市松江中考模拟第24题 例2 2012年衢州市中考第24题 例3 2011年北京市海淀区中考模拟第24题

2012全国各地中考数学压轴题精选(21-30)解析版

2012年各地中考数学压轴题精选21~30_解析版 【21.2012上海】 24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1， 0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=， EF⊥OD，垂足为F． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）； （3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值． 考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；勾股定理。 解答：解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0）， ∴，解得， ∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8； （2）∵∠EFD=∠EDA=90° ∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，∴∠DEF=∠ODA ∴△EDF∽△DAO ∴． ∵， ∴=， ∴，∴EF=t． 同理， ∴DF=2，∴OF=t﹣2． （3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8， ∴C（0，8），OC=8． 如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．

∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）； 在△CAG与△OCA中，， ∴△CAG≌△OCA，∴CG=4，AG=OC=8． 如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中， ∴EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t， 由勾股定理得： ∵AE2=AM2+EM2=； 在Rt△AEG中，由勾股定理得： ∴EG=== ∵在Rt△ECF中，EF=t，CF=OC﹣OF=10﹣t，CE=CG+EG=+4 由勾股定理得：EF2+CF2=CE2， 即， 解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6， ∴t=6．

2009级(即2012年)各地中考数学压轴题及答案

2012中考数学压轴题及答案 1.（2011年四川省宜宾市） 已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式； （2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积； （3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为??? ? ? ?--a b ac a b 44,22 ） 2. （11浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所 示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ； (1)求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围； (3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由.

3. （11浙江温州）如图，在Rt ABC △中，90A ∠= ，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长； （2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使P Q R △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 4.（11山东省日照市）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

2018年广州一模理综生物(试卷+答案)

2018年广州一模 1．下列关于细胞结构与成分的叙述，正确的是 A．细胞间的通讯都与细胞膜表面的糖蛋白有关 B．核糖体是细胞内蛋白质的“装配机器”，主要由蛋白质和tRNA组成 C．细胞核是遗传信息库，遗传信息的表达在细胞核中完成 D．细胞骨架是由蛋白质纤维组成的网架结构，能保持细胞形态 2．下列有关细胞的生命历程的叙述，错误的是 A．细胞分裂能力随分化程度的提高而增强 B．癌变细胞的形态结构会发生显著变化 C．细胞凋亡有助于机体维持自身的相对稳定 D．衰老的细胞，细胞新陈代谢的速率减慢 3．下列与神经调节有关的叙述，正确的是 A．人体细胞中只有神经元能产生兴奋，其他细胞不能 B．细胞膜外Na＋的内流是神经元产生静息电位的主要原因 C．神经递质通过主动运输的方式由突触前膜分泌到突触间隙 D．位于脊髓的低级中枢可受脑中相应的高级中枢调控 4．河北塞罕坝林场的建设者们在“黄沙遮天日，飞鸟无栖树”的荒漠沙地上艰苦奋斗、甘于奉献，创造了荒漠变林海的人间奇迹，是推动生态文明建设的一个生动范例，下列有关叙述错误的是 A．在一定条件下，群落可按照不同于自然演替的方向和速度进行演替 B．荒漠生态系统的组成成分是生产者、消费者和分解者 C．最初阶段，随着森林覆盖率上升塞罕坝林场固定的太阳能逐渐增加 D．森林对水土的保持作用体现了生物多样性的间接价值 5．下列关于科学研究技术和方法的叙述，错误是 A．分离真核细胞各种细胞器的常用方法是差速离心法 B．同位素标记法可用于了解生物化学反应的详细过程 C．沃森和克里制作的DNA模型反映了DNA分子结构的特征 D．目测估计法是估算种群密度最常用的方法之一 6．右图示某动物体内的两个细胞，乙细胞由甲细胞分裂形成。 以下分析错误的是

2012中考数学压轴题及答案40例(3)

2012中考数学压轴题及答案40例（3） 9.已知，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB ＝2。若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内。将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处。 （1）求点C 的坐标； （2）若抛物线bx ax y +=2（a ≠0）经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式； （3）若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M 。问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由。 注：抛物线c bx ax y ++=2 （a ≠0）的顶点坐标为??? ? ? ?--a b a c ，a b 4422 ，对称轴公式为a b x 2-= 解: （1）过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H ∵在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB ∴OB ＝4，OA ＝32 由折叠知，∠COB ＝300，OC ＝OA ＝32 ∴∠COH ＝600，OH ＝3，CH ＝3 ∴C 点坐标为（3，3） （2）∵抛物线bx ax y +=2（a ≠0）经过C （3，3）、A （32，0）两点

∴() () ?????+=+=b a b a 323203332 2 解得：???=-=321b a ∴此抛物线的解析式为：x x y 322+-= （3） 存在。因为x x y 322+-=的顶点坐标为（3，3）即为点C MP ⊥x 轴，设垂足为N ，PN ＝t ，因为∠BOA ＝300，所以ON ＝3t ∴P （3t ，t ） 作PQ ⊥CD ，垂足为Q ，ME ⊥CD ，垂足为E 把t x ?=3代入x x y 322+-=得：t t y 632+-= ∴ M （3t ，t t 632+-），E （3，t t 632+-） 同理：Q （3，t ），D （3，1） 要使四边形CDPM 为等腰梯形，只需CE ＝QD 即() 16332-=+--t t t ，解得：3 4 1=t ，12=t （舍） ∴ P 点坐标为（ 33 4 ，34） ∴ 存在满足条件的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形，此时P 点的坐为（ 33 4 ，34） 10.如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A

2018年广州市高考一模数学试卷(理科)

秘密 ★ 启用前 试卷类型： A 2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学 2018．3 本试卷共5页，23小题， 满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．设复数z 满足()2 1i 4i z -=，则复数z 的共轭复数z = A ．2- B ．2 C ．2i - D ．2i 2．设集合301x A x x ?+? =

2012年中考数学压轴题精选

2010年中考数学压轴题 【001 】如图，已知抛物线2 (1) y a x =-+a≠0）经过点(2) A-，0，抛物线的顶点为D， 过O作射线OM AD ∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为() t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长． 【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点

P、Q运动的时间是t秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围） （3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成 为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接 ．．写出t的值． 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长? ②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值。

2012中考数学压轴题 函数梯形问题(二)

2012中考数学压轴题函数梯形问题(二) 例3 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝2114 x ，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上． (1) 写出点M 的坐标； (2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时． ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1∶2时，求t 的值． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“10杭州24”，拖动点Q 在抛物线上运动，从t 随x 变化的图像可以看到，t 是x 的二次函数，抛物线的开口向下．还可以感受到，PQ ∶CM ＝1∶2只有一种情况，此时Q 在y 轴上；CM ∶PQ ＝1∶2有两种情况． 思路点拨 1．第（1）题求点M 的坐标以后，Rt △OCM 的两条直角边的比为1∶2，这是本题的基本背景图． 2．第（2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关于t 与x 的比例式，从而得到t 关于x 的函数关系． 3．探求自变量x 的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况． 4．梯形的两底的长度之比为1∶2，要分两种情况讨论．把两底的长度比转化为QH 与MO 的长度比．

满分解答 (1)因为AB ＝OC ＝ 4，A 、B 关于y 轴对称，所以点A 的横坐标为2．将x ＝2代入y ＝2114x +，得y ＝2．所以点M 的坐标为（0，2）． (2) ① 如图2，过点Q 作QH ⊥ x 轴，设垂足为H ，则HQ ＝y 2114 x =+，HP ＝x – t ． 因为CM //PQ ，所以∠QPH ＝∠MCO ．因此tan ∠QPH ＝tan ∠MCO ，即 12HQ OM HP OC ==．所以2111()42x x t +=-．整理，得2122 t x x =-+-． 如图3，当P 与C 重合时，4t =-，解方程21422 x x -=-+-，得15x =±． 如图4，当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x ＝± 2． 因此自变量x 的取值范围是15x ≠±，且x ≠± 2的所有实数． 图2 图3 图4 ②因为sin ∠QPH ＝sin ∠MCO ，所以HQ OM PQ CM =，即PQ HQ CM OM =． 当 12PQ HQ CM OM ==时，112HQ OM ==．解方程21114 x +=，得0x =（如图5）．此时2t =-． 当2PQ HQ CM OM ==时，24HQ OM ==．解方程21144 x +=，得23x =± 如图6，当23x =823t =-+6，当23x =-时，823t =--

2018届广州市高三一模数学(理)

2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数 学(理科) 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1、设复数z 满足 ()2 1i 4i z -=，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．2- B ．2 C ．2i - D ．2i 2、设集合 301x A x x ?+?=

2012全国各地中考数学压轴题精选(31-40)解析版

2012年各地中考数学压轴题精选31~40_解析版 【31. 2012娄底】 24．已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足． （1）求这个二次函数的解析式； （2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由． 考点：二次函数综合题。 分析：（1）欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值．根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值，从而问题得到解决．注意：解答中求得两个m 的值，需要进行检验，把不符合题意的m值舍去； （2）利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，进而得到P点的横坐标，从而求得P点坐标． 解答：解：（1）∵二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B （x2，0），x1＜x2， 令y=0，即x2﹣（m2﹣2）x﹣2m=0 ①，则有： x1+x2=m2﹣2，x1x2=﹣2m． ∴===， 化简得到：m2+m﹣2=0，解得m1=﹣2，m2=1． 当m=﹣2时，方程①为：x2﹣2x+4=0，其判别式△=b2﹣4ac=﹣12＜0，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去； 当m=1时，方程①为：x2+x﹣2=0，其判别式△=b2﹣4ac=9＞0，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意． ∴m=1， ∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2． （2）假设在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形． 如图所示，连接PA．PB．AC．BC，过点P作PD⊥x轴于D点． ∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点， ∴A（﹣2，0），B（1，0），C（0，2），∴OB=1，OC=2．

2018届广州市高三一模数学(文)

是 否 开始 结束 输出S 19?n ≥ 2,0n S == 2n n =+ () 1 + 2S S n n =+ 2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数 学(文科) 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1、设复数z 满足 () 2 i =1i z -，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．2- B ．2 C ．2i - D ．2i 2、设集合 {} =0,1,2,3,4,5,6A ， {} =2,B x x n n A =∈，则A B =（ ） A ．{}0,2,4 B ．{ }2,4,6 C ．{}0,2,4,6 D ．{}0,2,4,6,8,10,12 3、已知向量)2,2(OA =→ ，)3,5(OB =→，则|OA |→→-AB =（ ） A ．10 B 10 C 2 D ．2 4、等差数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ， 若2 12n n n a a a ++=+，则21=n S +（ ） A ．42n + B ．4n C ．21n + D ．2n 5、执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ） A ．920 B ．49 C ．29 D ．9 40 6、在四面体ABCD 中，E F ，分别为AD BC ，的中点，AB CD =， CD AB ⊥，则异面直线EF 与AB 所成角的大小为（ ） A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π2 7、已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是（ ） A ．ln y x x = B ．ln 1 y x x x =-+ C ． 1 ln 1 y x x =+- D ． ln 1x y x x =- +- 8、椭圆22 194x y +=上一动点P 到定点()1,0M 的距离的最小值为（ ） A ．2 B ．455 C ．1 D ．25

中考数学压轴题解题技巧及训练 完整版

中考数学压轴题解题技巧 （完整版） 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。

(2018年广州一模文科-)有答案

秘密★启用前 试卷类型： A 2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 文科数学 2018．3 本试卷共5页，23小题，满分150分。测试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。测试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．设复数z 满足()2 i =1i z -，则复数z 的共轭复数z =A A ．2- B ．2 C ．2i - D ．2i 2．设集合{}=0,1,2,3,4,5,6A ，{}=2,B x x n n A =∈，则A B =C A ．{} 0,2,4 B ．{} 2,4,6 C ．{} 0,2,4,6 D ．{}0,2,4,6,8,10,12 3．已知向量()2,2OA =，()5,3OB =，则OA AB =- C A ．10 B 10 C 2 D ．2 4．等差数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若 212n n n a a a ++=+，则21=n S + A A ．42n + B ．4n C ．21n + D ．2n 5．执行如图所示的程序框图，则输出的S =D A ．920 B ．49 C ． 29 D ． 9 40 6．在四面体ABCD 中，E F ，分别为AD BC ，的中点，AB CD =， AB CD ，则异面直线EF 和AB 所成角的大小为B A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π2 是 否 开始 结束 输出S 19?n ≥ 2,0n S == 2n n =+ () 1 + 2S S n n =+

2018年广州一模理科数学试题(word精校版)

绝密 ★ 启用前 试卷类型： A 2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学 2018．3 本试卷共5页，23小题， 满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．设复数z 满足()2 1i 4i z -=，则复数z 的共轭复数z = A ．2- B ．2 C ．2i - D ．2i 2．设集合301x A x x ?+? =

中考数学压轴题(含答案) 1

一、中考数学压轴题 1．如图，直线y ＝﹣x+4与抛物线y ＝﹣12 x 2 +bx+c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标； （3）点E 是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图所示，在平面直角坐标系中，点(),C m m 在一三象限角平分线上，点(),0B n 在x 轴上，且m=2n -+2n -+4，点A 在y 轴的正半轴上；四边形AOBC 的面积为6 （1）求点A 的坐标； （2）P 为AB 延长线上一点，//PQ OC ，交CB 延长线于Q ，探究OAP ∠、ABQ ∠、 Q ∠的数量关系并说明理由； （3）作AD 平行CB 交CO 延长线于D ，BE 平分CBx ∠，BE 反向延长线交CO 延长线于，若设ADO α∠=，F β∠=，试求2αβ+的值． 3．如图1，正方形CEFG 绕正方形ABCD 的顶点C 旋转，连接AF ，点M 是AF 中点． （1）当点G 在BC 上时，如图2，连接BM 、MG ，求证：BM =MG ； （2）在旋转过程中，当点B 、G 、F 三点在同一直线上，若AB =5，CE =3，则MF = ；

（3）在旋转过程中，当点G 在对角线AC 上时，连接DG 、MG ，请你画出图形，探究DG 、MG 的数量关系，并说明理由． 4．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”． （1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”： ①个位上的数字是千位上的数字的两倍； ②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数； （3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”． 例如：1423于4132为“相关和平数” 求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数． 5．如图，在等边ABC ?中，延长AB 至点D ，延长AC 交BD 的中垂线于点E ，连接 BE ，DE ． （1）如图1，若310DE =，23BC =，求CE 的长； （2）如图2，连接CD 交BE 于点M ，在CE 上取一点F ，连接DF 交BE 于点N ，且 DF CD =，求证：12 AB EF =； （3）在（2）的条件下，若45AED ∠=?直接写出线段BD ，EF ，ED 的等量关系 6．（1）阅读理解：

2018年广州中考数学一模尺规作图题专题汇编

2018一模尺规作图汇编 例题分析 作一个角等于已知角 例题1、（18番禺）如图，四边形ABCD是平行四边形，把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△A′BD．（1）利用尺规作出△A′BD．（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）设DA′与BC交于点E，求证：△BA′E≌△DCE． 作角平分线 作垂直平分线 例题3、（18四中、聚贤）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线． （1）利用尺规作出AC的垂直平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）设AC的垂直平分线分别与AB，AC，CD交于点E，O，F，求证：以A，E，C，F为顶点的四边形为菱形．

例题4、（18一中）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A ，B ，C ． （1）请完成如下操作：①以点O 为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系； ②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD ，CD ． （2）请在（1）的基础上，完成下列问题： ①写出点的坐标：C _______，D _______； ②⊙D 的半径＝________（结果保留根号）； ③若点E （7，0），试判断直线EC 与⊙D 的位置关系，并说明你的理由． 例题5、（18省实、培正、广州中学）如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12. （1）动手操作：利用尺规作以BC 为直径的⊙O ，⊙O 交AB 于点D ，⊙O 交AC 于点E ，并且过点D 作DF ⊥AC 交AC 于点F ． （2）求证：直线DF 是⊙O 的切线； （3）连接DE ，记△ADE 的面积为S 1，四边形DECB 的面积为S 2，求S 1S 2 的值．

209-2012挑战中考数学压轴题精选 及 答案

初中数学压轴题 目录 第一部分函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2012年苏州市中考第29题 例2 2012年黄冈市中考第25题 例3 2011年上海市闸北区中考模拟第25题 例4 2011年上海市杨浦区中考模拟第24题 例5 2010年义乌市中考第24题 例6 2010年上海市宝山区中考模拟第24题 例7 2009年临沂市中考第26题 例8 2009年上海市闸北区中考模拟第25题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 2012年扬州市中考第27题 例2 2012年临沂市中考第26题 例3 2011年湖州市中考第24题 例4 2011年盐城市中考第28题 例5 2010年上海市闸北区中考模拟第25题 例6 2010年南通市中考第27题 例7 2009年重庆市中考第26题 1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 2012年广州市中考第24题 例2 2012年杭州市中考第22题 例3 2011年沈阳市中考第25题 例4 2011年浙江省中考第23题 例5 2010年北京市中考第24题 例6 2009年嘉兴市中考第24题 例7 2008年河南省中考第23题 1.4 因动点产生的平行四边形问题 例1 2012年福州市中考第21题 例2 2012年烟台市中考第26题 例3 2011年上海市中考第24题 例4 2011年江西省中考第24题 例5 2010年河南省中考第23题 例6 2010年山西省中考第26题 例7 2009年福州市中考第21题 例8 2009年江西省中考第24题 1.5 因动点产生的梯形问题

例1 2012年上海市松江中考模拟第24题 例2 2012年衢州市中考第24题 例3 2011年北京市海淀区中考模拟第24题 例4 2011年义乌市中考第24题 例5 2010年杭州市中考第24题 例6 2010年上海市奉贤区中考模拟第24题 例7 2009年广州市中考第25题 1.6 因动点产生的面积问题 例1 2012年菏泽市中考第21题 例2 2012年河南省中考第23题 例3 2011年南通市中考第28题 例4 2011年上海市松江区中考模拟第24题 例5 2010年广州市中考第25题 例6 2010年扬州市中考第28题 例7 2009年兰州市中考第29题 1.7因动点产生的相切问题 例1 2012年河北省中考第25题 例2 2012年无锡市中考第28题 1.8因动点产生的线段和差问题 例1 2012年滨州市中考第24题 例2 2012年山西省中考第26题 第二部分图形运动中的函数关系问题 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 例2 2012年连云港市中考第26题 例3 2010年上海市中考第25题 2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例1 2012年广东省中考第22题 例2 2012年河北省中考第26题 例3 2011年淮安市中考第28题 例4 2011年山西省中考第26题 例5 2011年重庆市中考第26题 第一部分函数图象中点的存在性问题

2012中考数学压轴题精选讲解(1)

中考数学提高题精选(1) 1．某工厂大楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=600，为了防止山体滑坡，保障安全，工厂决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡． （1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长； （2）为确保安全，工厂计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC 削进到F点处，问BF至少是多少米？ 2．点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，BD是⊙O的切线,且AB＝AD． （1）求证：点A是DO的中点． （2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的 2，求△ACF 面积为8，cos∠BFA＝Array 3 的面积． _ C

3．姚明将带队来我市体育馆进行表演比赛，市体育局在策划本次活动，在与单位协商团购票时推出两种方案．设购买门票数为x（张），总费用为y（元）．方案一：若单位赞助广告费8000元，则该单位所购门票的价格为每张50元；（总费用＝广告赞助费+门票费）。方案二：直接购买门票方式如图所示． 解答下列问题： （1）方案一中，y与x的函数关系式为； 方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为， 当x＞100时，y与x的函数关系式为； （2）如果购买本场篮球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由； （3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场篮球赛门票共700张，花去总费用计56000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张．

4．一、阅读理解：在△ABC 中，BC =a ，CA =b ，AB =c ； （1）若∠C 为直角，则2 2 2 c b a =+； （2）若∠C 为为锐角，则2 2 b a +与2c 的关系为：2 2 2 c b a >+ 证明：如图过A 作AD ⊥BC 于D ，则BD =BC －CD =a －CD 在△ABD 中：AD 2=AB 2－BD 2 在△ACD 中：AD 2=AC 2－CD 2 AB 2－BD 2= AC 2－CD 2 c 2－(a －CD )2= b 2－CD 2 ∴CD a c b a ?=-+22 2 2 ∵a >0，CD >0 ∴02 2 2 >-+c b a ，所以：2 2 2 c b a >+ （3）若∠C 为钝角，试推导2 2 2 c b a 与+的关系． 二、探究问题：在△ABC 中，BC =a =3，CA =b =4，AB =c ；若△ABC 是钝角三角形，求第三边c 的取值范围． B C D

广东省广州市广大附中2018届初三一模数学试卷(含详细答案)

广州市广大附中2018届初三一模数学试卷 (满分150分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题．（每小题3分，共30分．每题四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果+10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（） A．﹣18% B．﹣8% C．+2% D．+8% 2．在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形的是（）3. 某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：85，95，85，80，80，85．下列表述错误 的是（） A．众数是85 B．平均数是85 C．中位数是80 D．极差是15 4．已知点A（a，2017）与点A′（－2018，b）是关于原点O的对称点，则b a+的值为（） A. 1 B. 5 C. 6 D. 4 5. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（） A．28°B．52°C．62°D．72° 第5题第9题第10题 6. 下列运算正确的是（） A．5 2 3x x x= +B．x x x= -2 3C．6 2 3x x x= ?D．x x x= ÷2 3 7. 若分式 21 1 x x - - 的值为零，则x的值为（） A．0 B.1 C.-1 D．1 ± 8. 关于x的一元二次方程2210 kx x --=有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．1 k>- B .1 k>-且0 k≠C．1 k