三个正数的算术-几何平均值不等式的证明
河南省：必修(5)：算术平均数与几何平均数(焦作市第十一中学-郭振东)
《算术平均数与几何平均数》 焦作市第十一中学 郭振东 【教学目标】 （1） 知识目标 使学生能准确表达两个重要不等式；理解它们成立的条件和意义；能正确运用算术平均数与几何平均数定理求最值. （2） 能力目标 通过对实例的分析和提炼培养学生的观察、分析和抽象、概括能力；通过师生间的合作交流提高学生的数学表达和逻辑思维能力. （3） 情感目标 让学生经历知识的发生、发展、应用的全过程，鼓励学生在学习中勤于思考，积极探索；通过去伪存真的学习过程培养学生批判质疑的理性思维和锲而不舍追求真理的精神. 【教学重点】两个正数的算术平均数与几何平均数定理及应用定理求最值. 【教学难点】在求最值时如何正确运用定理. 【教学过程】 Ⅰ.引言： 某人中秋节到超市买两斤糖果，不巧超市的电子秤坏了，但超市还有一个不等臂但刻度准确的坏天平，于是售货员先把糖果放在天平的左侧称出“一斤”，再拿出一些糖果放在天平的右侧称出“一斤”，然后把两次称出的糖果合在一起给了他，并且解释:“一边多一边少，加在一起就正好.”这种称法准确么？如果不准确，那么是称多了还是称少了？ 【分析】设天平左右两侧力臂长分别为1l 、2l ，两次称得的糖果实际重量为x 、y 则：12xl l =，12l yl =，
∴2112 l l x y l l +=+ 这个数比2大还是小呢？有没有好的解决方法？请同学们阅读课本第9，10页算术平均数与几何平均数一节的正文及例1，看看能否在课本中找到答案。同时思考以下问题： 问题1.糖果给多了还是少了？你用什么知识解决了这个问题？如何解决的？ 问题 2.除定理外还有一个重要不等式，内容是什么？它与定理有哪些相同点和不同点？ 问题3.认真分析例1及其证明过程，你能得到什么启示？ Ⅱ. 阅读课文，找寻答案 学生阅读课本后回答问题1和问题2，引出本节知识 一．两重要不等式 如果,a b R ∈那么222a b ab +≥ （当且仅当a b =时取“=”号）. 定理 如果,a b 是正数，那么2 a b +（当且仅当a b =时取“=”号）. 想一想：“当且仅当”的含义是什么？ 介绍2 a b +叫做a 、b a 、 b 的几何平均数. 数列解释：两个正数的等差中项不小于它们的正项等比中项. Ⅲ.例题精析,去伪存真 二．定理应用 例1． 已知,x y 都是正数，求证： （1）如果积xy 是定值P ，那么当x y =时，和x y + 有最小值 （2）如果和x y +是定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214 S . 回答问题3，得出：
(完整版)均值不等式及其证明
1平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式 一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 112(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥， 当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。 上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥。 那么，当1n k =+时，由于
121 1 (1) k k a a a A k +++++= +，1k G +=， 关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以 1111211 1(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-= == 2111...()k k k a a a a A k ++++++-=≥即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。 从而，有11k k A G ++≥ 证法二（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么，当1n k =+时，由于
不等式典型例题之基本不等式的证明
5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????
证明不等式的几种方法
证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词：不等式，公式法，构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. （*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12-
几个范数不等式的证明
设X为一n维赋范空间，其范数定义为, 1≤p<∞，证明以下命题： 1. ||x||2≤||x||1≤; 2. ||x||p≤||x||1； 3. ||x||q≤||x||p≤，p|≤||x||2||y||2，令x=( |x1|, |x2|,..., |x n|)，y=(1,1, (1) 可得(|x1|+|x2|+…+|x n|)≤(|x1|+| x2|+…+|x n|)1/2n1/2 ||x||1≤成立。 根据Jensen不等式，令α=2，β=1可以证明。 2. 令f(x)= p=1,f(x)=1，所以只考虑p>1的情况
从上图可以看出f(x)在x=0时为1，先上升，在x=1达到最大值2p-1，然后下降，但始终≥1。所以有，即，令x=b/a，有a p+b p≤(a+b)p，同理，使用归纳法可 证明：|x1|p+|x2|p+…+|x n|p≤(|x1|+|x2|+…+|x n|)p②(|x1|p+|x2|p+…+|x n|p)1/p≤|x1|+|x2|+…+|x n| 也即||x||p≤||x||1成立。 3. 先证||x||q≤||x||p (p
算术-几何平均值不等式
算术-几何平均值不等式 信息来源：维基百科 在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为个正实 数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有： 等号成立当且仅当。 算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。 算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。 例子 在的情况，设: ，那么 .可见。 历史上的证明
历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。 柯西的证明 1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]： 命题：对任意的个正实数， 当时，显然成立。假设成立，那么成立。证明：对于个正实数， 假设成立，那么成立。证明：对于个正实数，设，，那么由于成立，。 但是，，因此上式正好变成 也就是说
综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。 归纳法的证明 使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]： 由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且 有。 根据二项式定理， 于是完成了从到的证明。 此外还有更简洁的归纳法证明[3]： 在的情况下有不等式和成立，于是：
高考数学百大经典例题 算术平均数与几何平均数
典型例题一 例1 已知R c b a ∈,,，求证.2 2 2 ca bc ab c b a ++≥++ 证明：∵ ab b a 22 2 ≥+， bc c b 222 ≥+， ca a c 22 2 ≥+， 三式相加，得 )(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++ 说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握． 典型例题二 例2 已知c b a 、、是互不相等的正数， 求证：abc b a c c a b c b a 6)()()(2 2 2 2 2 2 >+++++ 证明：∵022 2>>+a bc c b ，， ∴abc c b a 2)(22 >+ 同理可得：abc b a c abc c a b 2)(2)(2 2 2 2 >+>+，． 三个同向不等式相加，得 abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ ① 说明：此题中c b a 、、互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立．特别地，b a =，c b ≠时，所得不等式①仍不取等号． 典型例题三 例3 求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++． 分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 22 2≥+，并能由) (2c b a ++这一特征，思索如何将ab b a 22 2≥+进行变形，进行创造”． 证明：∵ab b a 22 2≥+， 两边同加2 2b a +得2 2 2 )()(2b a b a +≥+． 即2 )(2 2 2 b a b a +≥+．
证明n元均值不等式
学习好资料 欢迎下载 证明n 元均值不等式 1212n n n a a a n a a a +++≥证明： 首先证明，23n 2,222当，，，，时，不等式成立。 显然，12122a a a a +≥， 又因为412341234123412342+2222=4a a a a a a a a a a a a a a a a +++≥≥?， 同理可以证明得到n 2也成立。 再证明，当k k+1n 22∈（，） 也成立。 k k n=2+i 1i 2-1≤≤不妨设 ，其中，则有k k k k 21212 222a a a a a a ++ +≥， k+1k+1k+1k+121212 222a a a a a a ++ +≥ 则k k k 121222+12+i =++ +n a a a a a a a a +++++ +（）， k k k k k k k k k k k k k k k k+1212 22k 2+i 1212 22+12+i 1222+1k 2+i 12 22+1 2++1 2+i i 2+2-i =++++2-i 2i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++ ?+≥? （则（）（）） k k k k k k k k k 2+i 12 22+1 2+i k 2+i 12 22+1 2+i 2-2i i -a a a a a a a a a a 其中可以看成是（）个相（）加所得。 k k k k k k k k k k k k 2+i 12 22+12+i k 2+i 1212 22+12+i 22+1 2+i 2-i ++ +2+i a a a a a a a a a a a a a a a ?++ +≥（）最后，在式两边同时减去就得到了（）（） 1212 n n n a a a n a a a ++ +≥即：得证。
不等式证明的常用基本方法
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t
算术—几何平均不等式
江苏省郑梁梅高级中学高二数学教学案（理） 主备人：冯龙云 做题人：顾华章 审核人：曾庆亚 课题：算术—几何平均不等式 一、教学目标： 1．掌握平均不等式的基本形式和特点，体会特殊化到一般化的思考方法； 2．利用平均不等式证明相关结论； 二、教学重点、难点 重点：掌握平均不等式的基本形式和特点； 难点：利用平均不等式证明相关结论。 三、教学过程 1、问题情境 复习回顾：基本不等式 2、建构数学 算术—几何平均不等式： 3、数学运用 例1、设,,a b c 为正数，证明：2 (1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥。
例2、设12,,,n a a a L 为正数，求证：1212111n n a a a n n a a a +++≥+++L L 。 例3、证明：对于任意正整数n ，有111(1)(1)1n n n n ++<+ +。 4、课堂练习 （1）已知x 、y 都是正数，且 141x y +=，求x y +的最小值。 （2）已知x 、y 都是正数，且x y >，求证：22 12232x y x xy y + ≥+-+。 5、课堂小结 四、板书设计 五、教学后记
江苏省郑梁梅高级中学高二数学作业（理） 班级__________ 姓名________ 学号_________ 1、设,,a b c 为正实数，求证：333111abc a b c +++≥ 2、已知a 、b 为正数，求证：22 (1)(1)9a b a b ab ++++≥。 3、已知a 、b 、c 为正数，且()1abc a b c ++=，求()()a b a c ++的最小值。
均值不等式的证明(精选多篇)
均值不等式的证明(精选多篇) 第一篇：常用均值不等式及证明证明 常用均值不等式及证明证明 这四种平均数满足hn?gn? an?qn ?、ana1、a2、 ?r?，当且仅当a1?a2?? ?an时取“=”号 仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用 均值不等式的变形： (1)对实数a,b，有a 2 22 ?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a,b?0?2ab (4)对实数a,b，有 a?a-b??b?a-b? a2?b2? 2ab?0 (5)对非负实数a,b，有 (8)对实数a,b,c，有
a2? b2?c2?ab?bc?ac a?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有 均值不等式的证明： 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序 不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?b n 注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0 ，a+b≥0 (用数学归纳法)。 当n=2时易证； 假设当n=k时命题成立，即 那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则设 a1,a2,?,ak?1中最大者， kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak 用归纳假设 下面介绍个好理解的方法琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点， 设f?x??lnx，f
?x?为上凸增函数所以， 在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦） 第二篇：均值不等式证明 均值不等式证明一、 已知x,y为正实数，且x+y=1求证 xy+1/xy≥17/4 1=x+y≥2√(xy) 得xy≤1/4 而xy+1/xy≥2 当且仅当xy=1/xy时取等 也就是xy=1时 画出xy+1/xy图像得 01时，单调增 而xy≤1/4 ∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4 得证 继续追问： 拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证 补充回答： 我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二： 证xy+1/xy≥17/4
高中数学基本不等式证明
不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
均值不等式的证明方法
柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong （数学之家） 本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥: 一些大家都知道的条件我就不写了 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出： 8444844)()(: 4422)()(abcdefgh efgh abcd h g f e d c b a abcd abcd cd ab d c b a d c b a ≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时： 这样的步骤重复n 次之后将会得到 n n n x x x x x x n 2 221221 (2) ...≥ +++ 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++= =====++......;,...,2122111 由这个不等式有 n n n n n n n n n n A x x x A x x x A n nA A 2 121 212 221)..(..2 )2(- -=≥ -+= 即得到 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子： 例1： 1 1 12101(1,2,...,)11(...)n i i i n n n a i n a a a a =<<=≥ --∑ 若证明 例2：
1 1 1211(1,2,...,)1 1(...)n i i i n n n r i n r r r r =≥=≥ ++∑ 若证明 这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法： 给出例1的证明： 12121 2 212 2 123 4 211(1)2(1)(1) 11,(1)(2)2(1) 22(1)2(1)2211111111n a a a a a a p a q a q p p q p q pq q p q q q p q a a a a =+ ≥ ?- --≥----=+= ?--≥-+?-+≥?+≥+?≥+ + + ≥+ ----≥ 当时设，而这是元均值不等式因此此过程进行下去 因2 1 1 2 1221 1212221 12 2 1 1 2 11(...)...(...)112 2 (2) 1111() 111n n n n n n n n i i n n n n n n n n n i i n n i i a a a a a a a a a a G n a G G G G n a G =++-==≥ --=====+-≥ = ----≥ --∑ ∑ ∑ 此令有即 例3： 1 115,,,,1(1),,111,,11( )( ) 1 1 n n i i i i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i i i i i i i n r s t u v i n R r S s n n T t U u V v n n n r s t u v R ST U V r s t u v R ST U V =>≤≤== = = = ++≥--∑∑∑∑∑∏ 已知个实数都记，求证下述不等式成立： 要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式
4 基本不等式的证明(1)
4、基本不等式的证明（1） 目标： (,0)2 a b a b +≥的证明过程，并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程： 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计） ，那么a 并非物体的实际质量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢？ 把两次称得的物体的质量“平均”一下，以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗？ 设天平的两臂长分别为12,l l ，物体实际质量为M ，据力学原理有1221,l M l a l M l b == ，有2,M ab M == ,0a b >时，2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般，判断两数的大小可采用“比较法”： 02a b +-=≥ 2 a b +≤（当且仅当a b =时取等号） 说明：当0a =或0b =时，以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥（称之“基本不等式” ）当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释： 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数，证明：1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意：基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ???
例2 证明： 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=，求证：123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1，2，3
几个重要不等式
几个重要不等式(二)柯西不等式 ，当且仅当b i=l a i(1￡i￡n)时取等号 柯西不等式的几种变形形式 1.设a i?R,b i>0 (i=1,2,…,n)则，当且仅当b i=l a i(1￡i￡n)时取等号 2.设a i,b i同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当b1=b2=…=b n时取等号 例1.已知a1,a2,a3,…,a n，b1,b2,…,b n为正数，求证： 证明：左边= 例2.对实数a1,a2,…,a n,求证： 证明：左边= 例3.在DABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证：
证明：左边3 例4.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证：证明：左边= 3 = = 例5.若n是不小于2的正整数，试证： 证明： 所以求证式等价于 由柯西不等式有
于是： 又由柯西不等式有 < 例6.设x1,x2,…,x n都是正数(n32)且，求证： 证明：不等式左端即 (1) ∵，取，则(2) 由柯西不等式有 (3) 及 综合(1)、(2)、(3)、(4)式得：
三、排序不等式 设a1￡a2￡…￡a n,b1￡b2￡…￡b n;r1,r2,…,r n是1,2,…,n的任一排列，则有：a1b n+ a2b n-1+…+ a n b1￡a1b r1+ a2b r2+…+ a n b rn￡ a1b1+ a2b2+…+ a n b n 反序和￡乱序和￡同序和 例1.对a,b,c?R+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小 解：取两组数a,b,c；a2,b2,c2，则有a3+b3+c33a2b+b2c+c2a 例2.正实数a1,a2,…,a n的任一排列为a1/,a2/,…a n/，则有 证明：取两组数a1,a2,…,a n； 其反序和为，原不等式的左边为乱序和，有 例3.已知a,b,c?R+求证： 证明：不妨设a3b3c>0,则>0且a123b123c12>0 则
范数概念
一、范数的定义 若X是数域K上的线性空间，泛函║·║: X->R 满足： 1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0； 2. 正齐次性：║cx║=│c│║x║； 3. 次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。 那么║·║称为X上的一个范数。 （注意到║x+y║≤║x║+║y║中如令y=-x，再利用║-x║=║x║可以得到 ║x║≥0，即║x║≥0在定义中不是必要的。） 如果线性空间上定义了范数，则称之为赋范线性空间。 注记：范数与内积，度量，拓扑是相互联系的。 1. 利用范数可以诱导出度量：d(x,y)=║x-y║，进而诱导出拓扑，因此赋范线性空间是度量空间。 但是反过来度量不一定可以由范数来诱导。 2. 如果赋范线性空间作为(由其范数自然诱导度量d(x,y)=║x-y║的)度量空间是完备的，即任何柯西(Cauchy)序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿赫(Banach)空间。 3. 利用内积<·,·>可以诱导出范数：║x║=
三个正数的算术-几何平均不等式优秀教学设计
三个正数的算术－几何平均不等式 【教学目标】 1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。 【教学重难点】 1．三个正数的算术-几何平均不等式 2．利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题 【教学过程】 一、知识学习： 定理3：如果+∈R c b a ,,，那么 33abc c b a ≥++。当且仅当c b a ==时，等号成立。 推广： n a a a n +++ 21≥n n a a a 21 。当且仅当n a a a === 21时，等号成立。 语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 思考：类比基本不等式，是否存在：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时，等号成立）呢？试证明。 二、例题分析： 例1：求函数)0(322>+=x x x y 的最小值。 解一： 3322243212311232=??≥++=+=x x x x x x x x y ∴3min 43=y 解二：x x x x x y 623223222 =?≥+=当x x 322=即2123=x 时 ∴633min 324212322 1262==?=y 上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？ 变式训练1 b b a a b a R b a )(1,,-+>∈+求且若的最小值。
由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值。 由例题，我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________。 三、巩固练习 1．函数)0(1232>+=x x x y 的最小值是 ( ) A ．6 B ．66 C ．9 D ．12 2．函数2 22)1(164++=x x y 的最小值是____________ 3．函数)20)(2(24<<-=x x x y 的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2716 D ． 2732 4．(2009浙江自选)已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求2 444z y x ++的最小值。 5.（2008，江苏，21）设c b a ,,为正实数，求证：32111333≥+++abc c b a 四、课堂小结： 通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。