第7讲 正切函数的性质与图象-教师版(基础)

第7讲：正切函数的性质与图象

【学习目标】

1.能画出tan y x =的图象，并能借助图象理解tan y x =在,22ππ??

- ???

上的性质；

2.会利用正切函数的单调性比较函数值大小； 3．理解正切函数的对称性． 【要点梳理】

要点一：正切函数的图象

正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ

2

的图象，称“正切曲线” （1）复习单位圆中的正切线： AT=tan α （2）利用正切线画函数y= tanx ，x ∈)2

,2(π

π-

的图象 步骤是：①作直角坐标系，并在x=2π

-

的左侧作单位圆 ②把单位圆的右半圆分成8份，（每份8

π

）.分别在单位圆中作出正切

线；

③把横坐标从2π-到2

π

也分成8份

④把正切线的端点移到对应的位置； ⑤把上面的点连成光滑的曲线．

由于tan （x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x ∈)2

,2(π

π-的图象左、右移动k π个单位（k ∈z ）就得到y=tanx （x ∈R 且x ≠k π+2

π

）的图象.

要点二：正切函数的性质

1．定义域：???

???∈+≠z k k x x ,2|ππ，

2．值域：R

由正切函数的图象可知，当()2

x k k z π

π<

+∈且无限接近于

2

k ππ+时，tan x 无限增大，

记作tan x →+∞（tan x 趋向于正无穷大）；当()2

x k k z π

π>-

+∈，tan x 无限减小，记作

tan x →-∞（tan x 趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tan x 可以

取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线,2

x k k z π

π=+∈为正切函数的渐进线．

3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π

4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-． 要点诠释：

观察正切函数的图象还可得到：点,0()2k k z π??

∈ ???是函数tan ,y x x R =∈，且2x k ππ≠+的

对称中心，正切函数图象没有对称轴

5．单调性：在开区间z k k k ∈??

?

??++-ππππ2,2内，函数单调递增

要点诠释：

正切函数在开区间z k k k ∈???

??++-ππππ2,2内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上

是增函数．

要点三：正切函数型tan()(0,0)y A x A ω?ω=+≠>的性质 1．定义域：将“x ω?+”视为一个“整体”．令,2

x k k z π

ω?π+≠+∈解得x ．

2．值域：(),-∞+∞

3．单调区间：（1）把“x ω?+”视为一个“整体”；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2

y x x k k z π

π=≠+

∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围．

要点诠释：

若0ω<，一般先用诱导公式化为0ω>，使x 的系数为正值，然后求单调区间．

4．奇偶性：当()2k k z π

?=∈时为奇函数，否则，不具备奇偶性．

5．周期：最小正周期为||

T π

ω=

． 【典型例题】

类型一：正切函数的定义域 例1．求下列函数的定义域． （1）1

lg(tan )y x =

；（2）y =．

【思路点拨】求函数的定义域应面面俱到，必须从各个角度来考虑，从各个角度来看，

都必须有意义，通常需要考虑的方面有：分母不为0，真数大于0，偶次根式内的数大于或等于0，正切函数、余切函数自身有意义等．

【答案】（1）,,442k k k k πππππππ????

+++ ? ?????

（k ∈Z ）

（2）,,,2332k k k k k k ππππππππππ???

???-+++ ? ? ???????（k ∈Z ）

【解析】 （1）要使1

lg(tan )

y x =

有意义，必须满足

()2

tan 0tan 1x k k Z x x ππ?≠+∈??>??≠??，即()2()2()4x k k Z k x k k Z x k k Z πππππππ?

≠+∈???

<<+∈?

?

?

≠+∈??

， ∴函数1lg(tan )y x =

的定义域为,,442

x k k k k πππππππ????

∈+++ ? ?????

（k ∈Z ）．

（2）要使y

=有意义，必须满足2()3x k x k x k k Z πππππ?

?≠?

?

≠+??

?

≠+∈??

，

∴函数y =

的定义域为,,,2332x k k k k k k ππππππππππ???

???∈-+++ ? ? ????

???（k

∈Z ）．

【总结升华】求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．

举一反三：

【变式1】（2016 宁夏期中）已知函数()tan()2

3

f x x ππ

=+

（1）求f （x ）的最小正周期．

（2）求f （x ）的定义域和单调区间． （3）求方程()f x =

【思路点拨】由条件利用正切函数的周期性、定义域、单调性，求得函数的周期、定义域的单调区间，解三角方程，求得方程()f x =

【答案】（1）2；（2）定义域为：1{|2,}3x x k k Z π≠+∈；单调增区间为51

(2,2)33

k k -+，

k ∈Z ；（3）{x ｜x =2k ，k ∈Z}．

【解析】（1）对于函数()

tan()23

f x x ππ=+，它的周期等于22

T π

π==．

（2）令232x k

ππππ+≠+，求得1

23

x k ≠+，k ∈Z ，故函数的定义域为：

1

{|2,}3x x k k Z π≠+∈；

令2232k x k ππππππ-<+<+，求得1

2523

k x k -<<+，

可得函数的单调增区间为51

(2,2)33k k -+，k ∈Z ．

（3）由方程()tan()323f x x ππ=+=，可得233

x k πππ

π+=+，

求得x =2k ，故方程的解集为{x ｜x =2k ，k ∈Z}． 类型二：正切函数的图象

例2．函数1

tan 2

3y x π??=- ???在一个周期内的图象是下图中的（ ）

【答案】A

【解析】该题目借助于函数的图象考查了函数1

tan 23y x π??=- ???的周期、单调性、图象

分布的规律等知识，可从函数的周期与坐标轴的交点两个方面确定答案． 由函数周期212

T π

π==，排除选项B 、D ．将23x π=代入函数式中，

12tan tan 00233ππ???-== ???．故函数图象与x 轴的一个交点为2,03π??

???

．故选A ．

【总结升华】借助于函数周期公式及特殊点进行排除、验证是做选择题的有效方法．

举一反三：

【变式1】（2015秋 安徽舒城县期末）如图所示，函数3cos |tan |(02

y x x x π

=≤≤且

)2

x π≠

的图象是（ ）

【答案】C

【解析】∵

sin, 0

2

cos|tan|sin,

2

3

sin,

2

x x

y x x x

x

x x

π

π

π

ππ

?

≤<

?

?

?

==-<≤

?

?

?

<<

??

，

∴函数

3

cos|tan|(0

2

y x x x

π

=≤≤且)

2

x

π

≠的图象是C．

故选C．

类型三：正切函数的周期性

例3．求下列函数的周期

（1）y=3tan(2x+

3

π

) （2）y=7tan(

3

x

－

6

π

)

【解析】（1）f(x)= 3tan(2x+

3

π

)=3tan(2x+

3

π

+π)= 3tan[2（x+

2

π

）+

3

π

]=f(x+

2

π

). ∴

周期为

2

π

.

（2）f(x)= y=7tan(

3

x

－

6

π

)=7tan(

3

x

－

6

π

+π)=7 tan[

3

1

（x+3π）－

6

π

]=f(x+3π) ∴周期为3π.

举一反三：

【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期.

（1）2

tan

y x

=；

（2）|tan|

y x

=；

（3）tan||

y x

=．

【答案】（1）是（2）是（3）不是

【解析】

（1）22

()tan tan()()

f x x x f x

ππ

==+=+

∴函数2

tan

y x

=是周期函数，最小正周期是π．

（2）()|tan||tan()|()

f x x x f x

ππ

==+=+

∴|tan|

y x

=是周期函数，最小正周期是π．

（3）由图象知，函数不是周期函数

类型四：正切函数的单调性

例4．（2015秋 新疆阿勒泰市月考）已知函数()3tan(2)3

f x x π

=-．

（1）求f （x ）的定义域与单调区间

（2）比较()2f π与()8

f π

-的大小．

【思路点拨】（1）由题意利用正切函数的定义域和单调性，求得f （x ）的定义域与单调区间．

（2）根据函数的解析式，求得()2f π与()8f π-的值，可得()2f π与()8f π

-的大小．

【答案】（1）定义域为5{|,}212k x x k Z ππ≠+∈，单调增区间为5(,)212212

k k ππππ

-+；

（2）()()28

f f ππ

<-

【解析】（1）由函数()3tan(2)3f x x π=-，可得232

x k ππ

π-≠+，

求得5212k x ππ≠+，k ∈Z ，故函数的定义域为5{|,}212k x x k Z ππ

≠+∈．

令2232k x k πππππ-<-<+，求得5212212

k k x ππππ

-<<+

， 故函数的单调增区间为5(,)212212

k k ππππ

-+．

（2

）2()3tan 23

f ππ

==-

1tan

73()3tan()3tan()336812431tan 3

f π

πππππ+-=-=-+=-?

=-=+- ∴()()28

f f ππ

<-．

【总结升华】比较三角函数值大小时，①异名函数化为同名函数，②利用诱导公式化为同一单调区间，③利用函数的单调性比较大小． 举一反三：

【变式1】求函数1

tan 2

4y x π??=-+ ???的单调区间．

【解析】11

tan tan 242

4y x x ππ????=-+=-- ? ?????，

由1()2

242

k x k k Z π

ππ

ππ-

<

-<+∈．

得3

2222

k x k π

πππ-

<<+，k ∈Z ． ∴函数1tan 24y x π??=-+ ???的单调递减区间为32,222k k ππππ?

?-+ ???，k ∈Z ．

【变式2】求函数|tan(2-)|3

y x =π

的单调增区间.

【答案】5,26212k k ππππ??

++ ???

【巩固练习】

1．函数tan()3

y x π

=+的定义域（ ）.

A ．|,6x R x k k Z ππ??∈≠+∈????

B ．|,6x R x k k Z ππ??

∈≠-∈????

C ．|2,6x R x k k Z ππ??∈≠+∈????

D ．|2,6x R x k k Z ππ??

∈≠-∈????

2．函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为（ ）

A ．4π

B ．2π

C ．π

D ．2π

3．tan (,)2

y x x k k Z π

π=≠+

∈在定义域上的单调性为（ ）.

A ．在整个定义域上为增函数

B ．在整个定义域上为减函数

C ．在每一个开区间(,

)()2

2

k k k Z π

π

ππ-++∈上为增函数 D ．在每一个开区间(2,

2)()2

2

k k k Z π

π

ππ-++∈上为增函数

4．当22

x π

π

-

<<

时，函数y=tan |x|的图象（ ）

A ．关于原点对称

B ．关于x 轴对称

C ．关于y 轴对称

D ．不是对称图形 5．下列各式正确的是（ ）.

A ．1317tan()tan()45ππ-<-

B ．1317

tan()tan()45ππ->-

C ．1317

tan()tan()45

ππ-=- D ．大小关系不确定

6．函数1tan y x =（44

x ππ

-≤≤且x ≠0）的值域是（ ）

A ．[―1，1]

B ．（―∞，－1]∪[1，+∞）

C ．（－∞，1]

D ．[－1，+∞）

7．（2017 广东惠州月考）直线y ＝a （a 为常数）与正切曲线y ＝tan x 相交的相邻两点间的距离是( )

A ．

2

π

B ．2π

C ．π

D ．与a 值有关 8．（2015秋 重庆期中）对于函数f (x )=tan 2x ，下列选项中正确的是（ ）

A ．f （x ）在(,)24

ππ

-上是递增的

B ．f （x ）在定义域上单调递增

C ．f （x ）的最小正周期为π

D ．f （x ）的所有对称中心为(,0)4

k π

9．函数5tan 3x y ??

=- ???

的最小正周期是________。

10．已知tan 2)3

ααπ=

<<，那么α所有可能的值是 。 11. 函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 ．

12．（2015春 山西小店区期中）函数1tan()23

y x π

=-+的单调递减区间为________．

13. 比较下列各数大小： （1）tan2与tan9； （2）tan1与cot4.

14．已知函数1()3tan()23

f x x π

=-．

（1）求 f （x ）的定义域、值域；

（2）讨论f （x ）的周期性，奇偶性和单调性． 15．（2017 四川泸州月考）求函数2tan 10tan 1y x x =-+-，,43x ππ??

∈????

的值域．

【答案与解析】 1．【答案】A

【解析】要使函数有意义，须3

2

x k π

π

π+≠+

，解之得,6

x k k Z π

π≠+

∈。

2．【答案】B

【解析】正切型函数的最小正周期为

2

π。 3．【答案】C

【解析】由图象可知C 正确。 4．【答案】C

【解析】y=tan|x|为偶函数，故图象关于y 轴对称。 5．【答案】B

【解析】13tan(3)tan()44πππ-

+=-，17172tan()tan(3)tan()555ππππ-=-+=-，

又245ππ

->- 所以2tan()tan()45

ππ

->-，故B 成立。

6．【答案】B 【解析】当,00,44x ππ????

∈-? ??????

时，tan [1,0)(0,1)x ∈-，∴(,1][1,)y ∈-∞-+∞

7．【答案】C

【解析】直线y ＝a （a 为常数）与正切曲线y ＝tan x 相交，知相邻两点间的距离就是此正切曲线的最小正周期，因此可得相交的相邻两点间的距离是π． 8．【答案】D 【解析】4

x π

=-

时，函数没有意义，A 不正确；

正切函数在定义域上不是单调函数，B 不正确；

函数f （x ）=tan 2x 的周期为：2

π

，所以C 不正确；

(,0)4

k π

是函数的对称中心，所以D 正确． 故选：D ． 9．【答案】3π

【解析】这里13ω=-，31

||3

T ππ

πω===。

10．【答案】766

ππ

或

11．【答案】3

【解析】因为sin sin cos x

x x =，解得sin 0cos 1x x ==或，结合图象知有3个交点。

12．【答案】5(2,2)33k k ππ

ππ-+，k ∈Z

【解析】11tan()tan()2323

y x x ππ

=-+=--，

令12232k x k πππππ-<-<+，k ∈Z 52233

k x k ππ

ππ?-<<+，k ∈Z

又1tan()23y x π=--的单调递减区间为1tan()23

y x π

=-的递增区间，

故答案是5(2,2)33

k k ππ

ππ-+，k ∈Z

13．【解析】同名函数比较大小时，应化为同一单调区间上两个角的函数值后，应用函数的单调性解决；而对于不同名函数，则应先化为同名函数再按上面方法求解.

（1）tan9=tan （－2π+9），

因为2

π<2<－2π+9<π， 而y =tan x 在（

2

π

，π）内是增函数，

所以tan2

π3－4）， 0<

2π3－4<1<2

π

， 而y =tan x 在（0，2

π

）内是增函数， 所以tan （

2

π

3－4）

14．【解析】（1）由1232x k πππ-≠+，k ∈Z ，解得523x k π

π≠+，k ∈Z ．

∴定义域为5{|2,}3

x x k k Z π

π≠+∈，值域为R ．

（2）f （x ）为周期函数，周期212

T π

π=

=．

再根据11()3tan()3tan()2323

f x x x ππ

-=--=-+，

∴f (－x )≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )， ∴f （x ）为非奇非偶函数．

由12232k x k πππππ-+<-<+，k ∈Z ，解得52233

k x k ππππ-+<<+，k ∈Z ，

故函数的增区间为5(2,2)33

k k ππ

ππ-++，k ∈Z ．

15．【解析】设tan x ＝t ，∵,43x ππ??

∈????

，∴1t ?∈?， ∴2tan 10tan 1y x x =-+-

22101(5)24t t t =-+-=--+

∴当t ＝1，即4

x π

=时，y min ＝8；

当t =，即3

x π=

时，max 4y =

∴函数的值域为84????．

正切函数的图像和性质-公开课教案

正切函数的图像和性质-公开课教案

1.4.2 正切函数的性质与图象 考纲要求：能画出y=tanx的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在 区间（）的单调性. 教学目的 知识目标：了解利用正切线画出正切函数图象的方法； 了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； 掌握正切函数的性质。 能力目标：掌握正弦函数的周期性，奇 偶性，单调性，能利用正切 曲线解决简单的问题。 情感目标：在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体会类比的思想。 教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质 教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象 2、对正切函数单调性的理解 教学方法：探究，启发式教学 教学过程 复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表 示，正切函数tan 的定义域是什么？ y x 2. 正弦曲线是怎样画的？ 讲授新课： 思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？

画正切函数选取哪一段好呢? 画多长一段呢? 思考2：正切函数是不是周期函数？若 是，最小正周期是什么？ 思考3. 诱导公式 体 现了正切函数的哪种性质？ （一）作tan y x =，x ∈?? ? ? ?-2 ,2ππ的图象 说明： （1）根据正切函数的周期性，把上述图 象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ 2 的图象，称“正切曲线”。 tan()tan x x -=-

（2）由图象可以看出，正切曲线是由被相 互平行的直线()2x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。 （二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠z k k x x ,2 |ππ； （2）周期性：π=T ； （3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （4）单调性： 思考：正切函数在整个定义域内是增函数

正切函数的图象与性质

§1.4.3 正切函数的图象与性质 （第二课时） 授课： 徐晓晖 学习目标：使学生能借助正切函数的图象探求其性质.并解决问题并在教学过成中培养学生的 数形结合思想。 学习重点：运用三角函数的图象与性质解题 学习难点：观察图像得正切函数的性质并应用 学习过程： 一、复习、探究 问题1：正切函数图像的作图方法：（1）利用正切线；（2）“三点两线”法，即 )1,4(),1,4(),0,0(ππ-- 和直线2π-=x 及2π =x ，然后向左右两边扩展. 问题2：观察x y tan =的图象，类比x y x y cos ,sin ==的性质，你能得到x y tan =的一些怎样性质？ 二、正切函数的性质 1. 定义域： ? ?????∈+ ≠Z k k x x ,2ππ 2. 值域：R . 当Z k k k x ∈??? ??+ ∈,2,πππ时0yt ，当Z k k k x ∈??? ??-∈,,2πππ时0 y 3. 周期性： π=T 4. 奇偶性：奇函数 对称中心：Z k k ∈?? ? ??,0,2π 渐近线：Z k k x ∈+=,2ππ 5. 单调性：在开区间Z k k k ∈?? ? ??++-,2,2ππππ内，函数单调递增 三、教学精讲 例1.讨论函数?? ? ?? +=4tan πx y 的性质 解析：法一：观察正切函数图像，该图像可通过正切函数图像向左平移 4π单位得到 定义域：? ????? ∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且值域：R 奇偶性：非奇非偶函数

单调性：在?? ? ?? +-4,43ππππk k 上是增函数 法二：由学生思考或引导学生类比例5完成 变式训练： 1、 根据正切函数图象，写出满足下列条件的x 的范围 ①tan 0x > ②tan 0x = ③tan 0x < ④tan x > 答案：①Z k k k ∈??? ??+,2,πππ, ②,{}z k k x x ∈=,π ③Z k k k ∈?? ? ??-,,2πππ, ④Z k k k ∈?? ? ??++,2,3πππ π 2 、求)4 2tan(π-=x y 的定义域及周期 答案：2},,832|{πππ=∈+≠ T z k k x x 例2 比较tan 27π与tan 107 π的大小 解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正切函数单调性比较大小 解：tan 107π＝tan 37π ∵0＜27π＜37π＜2π 又∵y ＝tan x 在(0，2 π)上单调递增 ∴tan 27π＜tan 37π，则tan 27π＜tan 107 π 变式训练: 比较)56tan(π与tan (－135π)的大小， 答案：)56tan(π＜ tan (－135 π) 四、巩固练习 1、与函数tan(2)4y x π=+ 的图象不相交的一条直线是（ ）. A ．2π -=x B ．2π =x C ．8π -=x D ． 8π =x 2、函数x y π3tan =的最小正周期是（ ） A 、31 B 、32 C 、π6 D 、π 3 3、函数1tan += x y 的定义域是 . 4、确定函数)23tan(x y -=π 的奇偶性和单调区间. 五、小结：（1）数形结合思想 （2）正切函数的性质

高中必修第一册数学《3.2 函数的基本性质》获奖说课教案教学设计

【新教材】3.2.2 奇偶性（人教A 版） 《奇偶性》内容选自人教版A 版第一册第三章第三节第二课时;函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此奇偶性成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后指对函数、幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用. 课程目标 1、理解函数的奇偶性及其几何意义； 2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3、学会判断函数的奇偶性． 数学学科素养 1.数学抽象：用数学语言表示函数奇偶性； 2.逻辑推理：证明函数奇偶性； 3.数学运算：运用函数奇偶性求参数； 4.数据分析：利用图像求奇偶函数； 5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决实际问题。 重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断； 难点：函数奇偶性概念的探究与理解． 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、 情景导入 前面我们用符号语言准确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质.下面继续研究函数的其他性质. 画出并观察函数21()()2||()()= f x x g x x f x x g x x ==-=和、和的图像，你能发现这两个函数图像

()()()()0f x f x f x f x -=?--=()()()()0 f x f x f x f x -=-?+-= 有什么共同特征码？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课 阅读课本82-84页，思考并完成以下问题 1.偶函数、奇函数的概念是什么？ 2.奇偶函数各自的特点是？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、 新知探究 1．奇函数、偶函数 （1）偶函数（even function ） 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）奇函数（odd function ） 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 2、奇偶函数的特点 （1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点 不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。 （2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对 称，那么，这个函数是奇函数． （3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以 得到另一半定义域上的图象和性质． （4）偶函数： ,

《正切函数的图像与性质》 教案及说明

课题：正切函数的图像与性质 教材：上海教育出版社高中一年级第二学期（试用本）第六章第二节 授课教师： 教学目标 （1）理解正切函数的定义及正切函数的图像特征，研究并掌握正切函数的基本性质． （2）在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯． （3）在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦． 教学重点 掌握正切函数的基本性质． 教学难点 正切函数的单调性及证明． 教学方法 教师启发讲授，学生积极探究． 教学手段 计算机辅助． 教学过程 一、 设置疑问，引入新课 1、正切函数的定义 有同学，类比正弦函数、余弦函数的定义，定义了一个正切函数： 对于任意一个实数x ，都有唯一确定的值tan x 与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为tan y x =，叫做正切函数． 大家认为这个定义是否完善？ 强调：,2 x k k Z π π≠+ ∈．

(设计意图：,2 x k k Z π π≠+∈，是学生容易出错的地方，通过学生之间的自我纠错，理 解不能取,2 k k Z π π+ ∈的理由) 今天我们就要研究正切函数tan y x =（,2 x k k Z π π≠+∈）的图像与性质． 2、作函数图像的常用的方法是什么？ （1）描点法是作函数图像最基本的方法； （2）利用基本初等函数图像的变换作图． 大家认为应该选择哪种方法呢？ 学生的回答会选择（1）． 教师引导：描点应该结合函数的性质，描关键点、特殊点． 所以，首先研究函数的基本性质． 二、 主动探究，解决问题 （一）利用定义，研究函数的性质 学生自主研究探索正切函数的性质 1、 定义域：|,,2x x R x k k Z π π? ?∈≠+∈??? ? ． 学生可以迅速解决． 2、 值域：R 请学生回答，并讲清楚理由，从而引出对正切线的复习． 复习正切线： 正切线是角x 与tanx 关系的直观体现，正切函数的性质融于其中． 3、 奇偶性：奇函数． 学生会利用tan()tan x x -=-迅速做出判断． 问：该函数是偶函数吗？

高中数学必修1函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）； 注意： ○ 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○ 2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1

正切函数的性质和图象

1.4.3正切函数的性质和图象 荥阳市第二高级中学 王青琴 【学习目标】 1.通过预习，能根据正切函数定义，诱导公式，正切线从“数”的角度，推出正切函数性质； 2.通过师生合作,能根据正切函数的性质与正切线，画出正切函数的图象； 3.通过师生合作，能根据正切函数的图象和性质解决相关问题。 【学习重点】 1.正切函数的图象与性质； 2.利用正切函数图象与性质解决问题 【学习难点】 利用正切线研究正切函数的单调性及值域 【学习方法】 自主探究 合作交流 【学习思想】类比、数形结合、整体代换、转化 【学习过程】 一、温故知新 1、正切的定义式是什么？ 即：角a 的终边不能落在 y 轴上 即：使的集合为有意义的角tan αα . 2、正弦，弦函数的相关性质有哪些？ 思考？正切函数y=tanx 是否有这样的性质呢？ 二、新知探究 探究1：根据正切函数定义，诱导公式，正切线推导正切函数的相关性质。 问题1.正切函数的定义域是什么？ 结论：正切函数定义域为： . 问题2、你能根据诱导公式，判断正切函数是不是周期函数吗？ 结论：正切函数的最小正周期为 . 问题3、你能根据诱导公式，判断正切函数的奇偶性吗？ 结论：正切函数为 函数 问题4.你能利用正切线，研究正切函数在一个周期内 的单调性吗？ y =tanx y =tanx ππ(-,)22)0(tan ≠=x x y α

结论： 问题5. 观察正切线：当x 大于2π -且无限接近2π -时，正切值如何变化？ 当x 小于2π且无限接近2π 时, 正切值又如何变化？ 结论：正切函数的值域是___________ 探究2：利用正切线做出正切函数的图象. 问题1. 类比正弦函数图象画法，你能利用正切线，画出y=tanx 在 内的图象吗？ 问题2. 根据正切函数周期性，你能画出在其整个定义域内的图象吗？ 利用正切线作tan y x =，x ∈?? ? ??-2,2ππ的图象 思考？ 正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ 三、利用性质解题 例题1.求函数)3 2tan(ππ+=x y 的定义域、周期和单调区间。 ??? ??-2,2ππ

正切函数的图象与性质(习题)

1 正切函数的图象与性质（习题） ? 例题示范 例1：已知sin33cos55tan35a b c =?=?=?， ，，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 思路分析： 观察33°，55°，35°之间的关系，利用三角函数在区间[090]??， 上的单调性，选择合适的公式化简，转化为可比较的函数值． 由诱导公式可得， cos55cos(9035)sin35b =?=?-?=?， ∵sin y x =在区间[090]??，上单调递增，且sin 33a =?， ∴b a >， ∵sin 35tan 35cos35c ?=?= ? ，且0cos351?=， ∴c b a >>，故选C ． 例2：函数23()sin cos 4f x x x =++，2π[0]3 x ∈，的值域是（ ） A ．[12]， B ．[]44-， C ．[1]4 -， D ．[2]4-， 思路分析： 2223()sin cos 4 31cos cos 4 7cos cos 4 f x x x x x x x =++=-++=-++由题意， 设cos t x =，2π[0]3x ∈，，由余弦函数的单调性得，12 1t -≤≤， 则原函数可化为27()4f x t t =-++，12 1t -≤≤， 由二次函数性质得，()[12]f x ∈，，故选A ． ? 巩固练习

A ．2 π B ．π C ．2π D ．4π C ．(1)(0)(1)f f f >>- D ．(0)(1)(1)f f f >-> 4. 下列函数属于奇函数的是（ ） A ．()tan(π)f x x =+ B ．π()sin()2f x x =- C ．()cos(3π)f x x =- D ．π()sin()2f x x =+ 5. 已知函数()tan f x x x =+，2()=cos g x x x +，则（ ） A ．()f x 与()g x 都是奇函数 B ．()f x 与()g x 都是偶函数 C ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 D ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数 6. 函数sin()2 y x π=+在（ ） A ．[]22 ππ-，上是增函数 B ．[0]π，上是减函数 C ．[0]-π，上是减函数 D ．[]-ππ，上是减函数 7. 函数()cos f x x =的一个单调递减区间是（ ） A ．[]44 ππ-， B ．[]44π3π，

1.4.3正切函数的性质与图象

1.4.3正切函数的性质与图象 教学目的： 知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。 教学过程： 一、复习引入： 问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线： ． 下面我们来作正切函数的图象． 二、讲解新课： 1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ? ?????∈+≠ z k k x x ,2|ππ 2．正切函数是不是周期函数？ ()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ?? +=∈≠+∈ ??? 且， ∴π是tan ,,2y x x R x k k z π π? ? =∈≠+ ∈ ?? ? 且的一个周期。 π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。 3．作tan y x =，x ∈??? ? ?-2,2ππ的图象 说明： （1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π； （2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象，称“正切曲线” 。

（3）正切曲线是由被相互平行的直线()2 x k k Z π=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。 4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠ z k k x x ,2|ππ ； （2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2 π π，2 π+π?→?k x 时，tan x ?? →+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ 2 ，ππ k x +?→? 2 时，-∞?→? x tan 。 （3）周期性：π=T ； （4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （5）单调性：在开区间z k k k ∈?? ? ??++-ππππ2,2内，函数单调递增。 5.讲解范例： 例1比较??? ??- 413tan π与?? ? ??-517tan π的大小解：tan 413tan -=??? ??- π 4π，52tan 5 17tan ππ-=??? ??- ，?? ? ??=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单 调递增， ??->??? ??-->-∴<∴ππππππ 517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan 4tan 即 例2：求下列函数的周期： （1）3tan 5y x π? ? =+ ?? ? 答：T π=。 （2）tan 36y x π?? =- ?? ? 答：3 T π = 。 说明：函数()() tan 0,0y A x A ω?ω=+≠≠的周期T πω = ． 例3：求函数??? ? ? - =33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性， 解：1、由233πππ+≠-k x 得1853ππ+≠k x ，所求定义域为? ?? ???∈+≠ ∈z k k x R x x ,1853,|ππ且 y

高一数学：正切函数的性质和图象

高一数学：正切函数的性质和图象 1．函数tan()3y x π =+的定义域（ ）. A ．|,6x R x k k Z ππ??∈≠+∈???? B ．|,6x R x k k Z π π??∈≠-∈???? C ．|2,6x R x k k Z ππ??∈≠+∈???? D ．|2,6x R x k k Z π π??∈≠-∈???? 2．函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．2π 3．tan (,)2y x x k k Z π π=≠+∈在定义域上的单调性为（ ）. A ．在整个定义域上为增函数 B ．在整个定义域上为减函数 C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππ ππ-++∈上为增函数 D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππ ππ-++∈上为增函数 4．当22x ππ -<<时，函数y=tan |x|的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．不是对称图形 5．下列各式正确的是（ ）. A ．13 17 tan()tan()45ππ-<- B ．1317 tan()tan()45ππ->- C ．13 17 tan()tan()45ππ-=- D ．大小关系不确定 6．函数1 tan y x =（44x π π -≤≤且x ≠0）的值域是（ ） A ．[―1，] B ．（―∞，－1]∪[1，+∞） C ．（－∞，1] D ．[－1，+∞） 7．已知函数y=tan （x+?）的图象过点,012π ?? ???，则?可以是（ ）

A ．6π - B ．6π C ．12 π- D ．12π 8．下列函数中同时满足：①在0,2π?? ???上是增函数；②奇函数；③以π为最小正 周期的函数的是（ ） A ．y=tan x B ．y=cos x C ．tan 2x y = D ．y=|sin x| 9．函数5tan 3x y ??=- ??? 的最小正周期是________。 10．已知tan 2)ααπ= <<，那么α所有可能的值是 。 11. 函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 ． 12. 函数y=tan(2x+π4 )的单调递增区间是__________． 13. 比较下列各数大小： （1）tan2与tan9； （2）tan1与cot4.

正弦、余弦、正切函数的图像与性质

正弦、余弦、正切函数的图像与性质 一、选择题： 1．函数y ＝sin x 2＋cos x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 3．已知函数f (x )＝sin ????x －π 2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间????0，π 2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )的奇函数 4．设a ＝12log sin81o ，b ＝12log sin 25o ，c ＝12 log cos25°，则它们的大小关系为( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 5．函数y ＝ lncos x ????－π2＜x ＜π 2的图像是( ) A ． B C ． D. 6．当－π2＜x ＜π 2时，函数y ＝tan|x |的图像( ) A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．不是对称图形 7．函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) D ．以上均不对

8．若直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图像相交，则相邻两交点的距离是( ) A ．π 二、填空题 9．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的范围是__________． 10．函数y ＝1＋2sin x 的最大值是__________，此时自变量x 的取值集合是__________． 11．函数y ＝sin 2x －cos x 的值域是__________． 12．函数y ＝3sin ????2x ＋π6的单调递减区间是__________． 13．已知f (n )＝sin n π4(n ∈Z )，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝__________. 14．若关于x 的方程cos 2x －sin x ＋a ＝0有解，则a 的取值范围是__________． 15．如果函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有三个不同的交点，那么k 的取值范围是__________． 16．关于三角函数的图像，有下列命题： ①y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图像关于y 轴对称； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图像相同； ③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图像关于x 轴对称； ④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图像关于y 轴对称． 其中正确命题的序号是__________． 三、解答题： 17．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin ????2x ＋3π2； (2)f (x )＝sin x 1－sin x 1－sin x 18．作出下列函数的图像： (1)y ＝tan|x |； (2)y ＝|tan x |. 19、求函数f (x )＝13log tan ??? ?2x ＋π3的单调递减区间．

正切函数的图像和性质 公开课教案

1.4.2 正切函数的性质与图象 考纲要求：能画出y=tanx 的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在区间 （）的单调性. 教学目的 知识目标： 了解利用正切线画出正切函数图象的方法； 了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； 掌握正切函数的性质。 能力目标： 掌握正弦函数的周期性，奇偶性，单调性，能利用正切曲线解决简单的 问题。 情感目标： 在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体 会类比的思想。 教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质 教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象 2、对正切函数单调性的理解 教学方法：探究，启发式教学 教学过程 复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表示，正切函数tan y x =的定义域是什么？ 2. 正弦曲线是怎样画的？ 讲授新课： 思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？ 画正切函数选取哪一段好呢?画多长一段呢? 思考2：正切函数是不是周期函数？若是，最小正周期是什么？ 思考3. 诱导公式 体现了正切函数的哪种性质？ （一）作tan y x =，x ∈??? ? ?- 2,2ππ的图象 tan()tan x x -=-

说明： （1）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象，称“正切曲线” 。 （2）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2 x k k Z π π=+∈所隔开的 无穷多支曲线组成的。 （二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠ z k k x x ,2|ππ ； （2）周期性：π=T ； （3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （4）单调性： 思考：正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 引导学生观察正切曲线，小组讨论的形式。 师举例说明：

正切函数的性质与图象课后反思.docx

《正切函数的性质与图象》课后反思 三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数是三角函数这个小分支中的一个内容节点，让学生能清晰的认识所研究的内容与方法：在内容上主要研究函数的性质一一定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。在此也向学生进一步说明“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数的美无处不在，数学无处不美。 在本节课中我采用“类比一一探究一一讨论”教学法。在学习了正弦函数图像与性质，平移正弦线得到正弦函数图像的方法类比作正切函数图象。设计问题让学生进一步探究正切函数的性质与图象，学生通过对这些“有结构”的材料进行探究，获得对止切函数的感性认识和形成止切函数图象的了解。通过创设问题情境，引发认知冲突，较好地调动了学生的积极性和主动性，符合新课程理念的精神. 通过多媒体显示得出函数图像。引导学生在有限的时间内完成正切函数性质的归纳和总结，让学生思考、动手画图、课堂交流、亲身实践。通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对正切函数图像与性质的认识从感性的认识上升到理性认识，获得一定水平层次的科学概念。这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研。”的学习方法。这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。使学生真正成为教学的主体。学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣。 在课堂教学屮注重学生的学，让学生自己思考得到问题的答案，以至于后半段课堂吋间仓促，课堂练习只能变成课后练习。在以后的教学中会注意调节好学牛的研究时间。 一、指导思想与理论依据 贝塔朗菲强调，任何系统都是一个有机的整体,它不是各个部分的机械组合或简单相加, 而

《函数的基本性质》培优训练题(教师版)

《函数的基本性质》培优训练题 1．（2016?义乌市模拟）已知a为实数，函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（） A．[1，8]B．[3，8]C．[1，3]D．[﹣1，8] 【解答】解：令函数g（x）=x2﹣ax﹣2，由于g（x）的判别式△=a2+8＞0，故函数g（x）一定有两个零点， 设为x1和x2，且 x1＜x2． ∵函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|=，故当x∈（﹣∞，x1）、（x2，+∞）时， 函数f（x）的图象是位于同一条直线上的两条射线， 当x∈（x1，x2）时，函数f（x）的图象是抛物线y=2x2﹣ax﹣2下凹的一部分，且各段连在一起． 由于f（x）在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，∴a＞0且函数g（x）较小的零点x1=≥﹣1，即a+2≥，平方得a2+4a+4≥ａ2+8，得a≥1，同时由y=2x2﹣ax﹣2的对称轴为x=，若且﹣1≤≤2，可得﹣ 4≤a≤8． 综上可得，1≤a≤8，故实a的取值范围为[1，8]，故选：A． 2．（2016?江西校级模拟）已知定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y=f（x+2）为偶函数，则关 于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0的解集为（） A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）B．（﹣，2）C．（﹣∞，）∪（2，+∞）D．（，2） 【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y=f（x+2）为偶函数， ∴y=f（x+2）关于x=0对称，即函数f（x+2）在（0，+∞）上为减函数，由f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得f（2x﹣1）＞f（x+1），即f（2x﹣3+2）＞f（x﹣1+2），即|2x﹣3|＜|x﹣1|，平方整理得3x2﹣10x+8＜0， 即＜x＜2，即不等式的解集为（，2），故选：D 3．（2016?四川模拟）设f（x）满足：①任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）=0；②当x≥１时，f（x）=|x﹣a|﹣1，（a ＞0），若x∈R，恒有f（x）＞f（x﹣m），则m的取值范围是（） A．（0，+∞）B．（4，+∞）C．（3，+∞）D．（5，+∞） 【解答】解：∵任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）=0，∴f（2﹣x）=﹣f（x），则函数关于（1，0）点对称， 当x=1时，f（1）+f（2﹣1）=0，即2f（1）=0，则f（1）=0，∵当x≥１时，f（x）=|x﹣a|﹣1，∴f（1）=|1﹣a|﹣1=0， 则|a﹣1|=1，则a﹣1=1或a﹣1=﹣1，则a=2或a=0，∵a＞0，∴a=2，即当x≥１时，f（x）=|x﹣2|﹣1

正切函数图像及性质

第14讲 正切函数的性质与图像 第一部分 知识梳理 1. 正切函数的图像 2. 正切函数 的性质 3. 函数tan()y A x ω?=+的周期为T πω = 第二部分 精讲点拨 考点1 正切函数的图像的应用 （1） 直线y a =（a 为常数）与正切曲线tan y x =相交的相邻两点间的距离是（ ） .A π .B 2 π .C 2π D 与a 值有关 y

[].1EX 解不等式tan 1x ≥- 考点2 正切函数性质应用 （2）不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小 ①0 tan167与0 tan173； ② 11tan 4π??- ???与13tan 5 π ?? - ??? （3）求函数tan 2y x =的定义域、值域和周期，并且求出它在区间[],ππ-内的图像 考点3 利用整理的思想求函数的单调区间和定义域 【例2】 求函数tan()3 y x π =+的定义域，并讨论它的单调性 [].1EX 求函数3tan(2)4 y x π =-的单调区间

考点4 正切函数综合应用 【例3】试判断函数tan 1 ()lg tan 1 x f x x +=-的奇偶性 【例4】已知3 4 x π π -≤≤ ,2 ()tan 2tan 2f x x x =++,求()f x 的最大值与最小值，并且 求相应x 的值 第三部分 检测达标 一、选择题 1．函数)4 tan(π - =x y 的定义域是 （ ） A.{x R x x 且,|∈}Z k k ∈+ ≠,4 2π π B. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈+≠,43ππ C. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈≠,π D. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈±≠,4 2ππ 2．若 ,2 4 π απ < <则（ ） A ．αααtan cos sin >> B ．αααsin tan cos >> C ．αααcos tan sin >> D ．αααcos sin tan >>

高一数学教案：函数的基本性质

教学要求：理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。 教学难点：理解概念。 教学过程： 一、复习准备： 1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？ 2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？ 3. 画出函数f(x)= x ＋2、f(x)= x 2的图像。（小结描点 法的步骤：列表→描点→连线） 二、讲授新课： 1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念： ①根据f(x)＝3x ＋2、 f(x)＝x 2 (x>0)的图象进行讨论： 随x 的增大，函数值怎样变化？ 当x 1>x 2时，f(x 1)与f(x 2)的大小关系怎样？ ②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？ ③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

正切函数的图象与性质

《正切函数的图象与性质》教学设计 【课标解读】高中数学课程标准在本部分内容的要求和解读： 1.数学教材要自然、生动、要激发学生的兴趣和美感，引发学生的学习激情；要引导学 生提问，要强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用. 2.具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性 的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观. 3.关注三角函数本质(起源于圆周运动的周期函数），使学生获得研究周期函数的基本思 想方法. 4.关注数学内容的内在联系(数形结合)：三角函数——关于圆与三角形的解析几何 5.关注研究方法——类比、推广、特殊化（化归）； 【教学内容解析】 (一）本节教材的地位和作用： 《正切函数的图象和性质》是《普通高中课程标准实验教科书》（人教版B）高一数学的必修4第1.3.2节的内容，它是紧接着正弦和余弦函数的图象和性质后的又一通过图象来研究性质的三角函数。正切函数的图象和性质也是三角函数的重要内容之一，本节课既是对前面正余弦函数知识的延展，也是为学习已知三角函数值求角的问题,对必修二中直线的斜率和选修2-2中导数求切线方程的斜率问题都有联系。 为后续知识作了铺垫。因此掌握好正切函数的图象和性质，意义非常重要。同时，这节课也是进一步培养高一学生的类比、观察和数形结合能力的重要内容. (二)教材分析处理 1.本节课是在学习了正余弦函数的基础上，利用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，通过图象系统的研究正切函数的性质。三角函数的图象和性质贯穿了全章教材，它不仅是继续学习三角知识不可缺少的基本知识和基本工具，也是科学研究、生产实践中的重要工具之一，通过学习本节课，培养学生的数形结合能力，形象思维能力和想象能力；同时培养学生观察、发现、独立思考、总结归纳的能力. 2.在内容上主要研究函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性、奇偶性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。但也要让学生明白，作为正切函

函数的基本性质(教案)

[课题]：第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月30日使用班级（21）（22） 计划上课时间：2013-2014学年第一学期第6 周星期一至三（四至六月考）[课标、大纲、考纲内容]： 学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定义理解透彻。 1、重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。 2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。 第1课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（1） 【教学目标】 1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定义及其几何意义； 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3. 会用定义证明函数的单调性

【教学重难点】 教学重点: 理解函数的单调性的含义及其几何意义. 教学难点: 用定义证明函数的单调性. 【教学过程】 一、引入课题 1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： 2． ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x 2 ○ 1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1