江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题

江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题

一、单选题（每小题5分，计40分）

1. 已知集合{}

2

230A x x x =-++≥，{}20B x x =-<，则A B =（ ）

A. 3,2

B. (]1,3

C. [)1,2-

D. ()1,2-

C

分别求出集合A ，B ，再按交集的定义运算即可.

由2230x x -++≥，得13x -≤≤，所以[]1,3A =-，又(),2B =-∞， 所以[)1,2A B =-．故选：C

2. 已知直线l 经过点()0,4A ，且与直线230x y --=垂直，则直线l 的方程是（ ） A. 280x y +-= B. 280x y ++= C. 240x y +-= D. 240x y -+=

A

由直线垂直可得直线l 的斜率，再由点斜式方程即可得解. 因为直线230x y --=的斜率为2，直线l 与该直线垂直，

所以直线l 的斜率1

2

l k =-，

又直线l 经过点()0,4A ，所以直线l 的方程为1

42

y x -=-即280x y +-=.故选：A.

3. 据记载，欧拉公式cos sin ()ix e x i x x R =+∈是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x π=时，得到一个令人着迷的优美恒等式10i e π+=，将数学中五个重要的数（自然对数的底e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数i 4

e z π=的共轭复数为z ，则z =（ ）

A. 22

-- B. 22

-

+ C.

22

+ D.

22

- D

复数i 4

e cos

sin

4

4

z i π

π

π==+，进而得出共轭复数为z.

因为复数i 4

22

e cos isin i 4422

z π

ππ==+=+，

所以2222

z i =

-，故选：D 本题主要考查了欧拉公式，共轭复数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A. 45 B. 50

C. 60

D. 80

C

利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解

{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =

1158158()15215

156022

a a a S a +??=

===故选：C

本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 5. 已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）

A. ()221x f x x =-

B. ()2x

f x x =?

C. ()()1f x x x =-

D. ()2

12x f x x -=?

D

根据函数的奇偶性和特值，逐个分析判断，即可得解. 对A ，11x -≤≤，且()2210x f x x =-≥，故A 错；

对B ，()20x

f x x =?≥，故B 错误；

对C ，当01x <<，()()10f x x x =-<，故C 错误； 对D ，()2

2

1()122()x x f x x x f x ----=-?=-?=-，

且0x >，()2120x f x x -=?>，0x <，()2

120x f x x -=?<，故D 正确，故选：D.

6. 幂函数()()222a f x a a x =--在()0,∞+上单调递增，则()()11x a

g x b b +=+>过定点（ ）

A. ()1,1

B. ()1,2

C. ()3,1-

D. ()3,2-

D

利用已知条件得到2221a a --=求出a 的值，再利用指数型函数过定点问题求解即可. 由题意得：

22211a a a --=?=-或3a =，

又函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 则3a =， 则()()3

11x g x b

b +=+>，

当303x x +=?=-时，

()32g -=， 则()()11x a

g x b

b +=+>过定点()3,2-.故选：D.

7. 已知3

π2πcos 263m αα????-+-= ? ?????，3

π2πcos 263m ββ????-+-=- ? ?????

，其中m ∈R ，则

()cos αβ+=（ ）

A. B.

C. 12

-

D.

12

D

将已知等式变形为3ππsin 266m αα????-+-= ? ?????，3

ππsin 266m ββ???

?-+-=- ? ????

?，构造函数

()3sin f x x x =+，通过研究函数的单调性与奇偶性即可得到解决.

设()3sin f x x x =+，则()'2

3cos f x x x =+，易知()f x '是偶函数．当01x ≤<时，230x ≥，cos 0x >，所以()'

0f x >；

当1≥x 时，233x ≥，cos 1x ≥-，所以()'0f x >．所以()'

0f x >恒成立，即()f x 在定义域内单

调递增．

因为()()3

sin f x x x f x -=--=-，所以()f x 为奇函数，从而()f x 的图象关于点()0,0对称，因

为2ππππcos cos sin 3266ααα???????

?-=--=-

? ? ???????????

， 所以3π6α?

?-+ ??

?3

2πππcos sin 2366m ααα??????-=-+-= ? ? ???????，

同理可得3

3

πππππcos sin 262666m ββββ?????????

?-+--=-+-=- ? ? ? ??????

???????．

则ππ066f f αβ?

??

?-+

-= ? ????

?，从而ππ066αβ-+-=，即π3αβ+=，

故()π1

cos cos

32

αβ+==．故选：D 关键点睛：本题解题关键是构造函数()3

sin f x x x =+，将已知条件转化为

ππ066f f αβ?

??

?-+

-= ? ????

?，再利用函数()f x 的单调性及奇偶性解决.

8. 若ABC 的外接圆半径为2，且2AB =，则AB AC ?的取值范围是（ ） A. []2,6- B. []2,6 C. []22-, D. []2,4

A

【分析】设ABC 的外接圆圆心为O ，由题设可知AOB 为正三角形，则,120AB BO =，

()24cos ,AB AC AB AB BO OC AB AB AB BO AB OC AB OC

?=?++=?+?+?=+，由

0,AB OC π≤≤，知1cos ,1AB OC -≤≤，计算可求解.

如图设ABC 的外接圆圆心为O ，

ABC 的边2AB =，ABC 的外接圆半径为2， AOB ∴为正三角形，且,120AB BO =，

则()AB AC AB AB BO OC AB AB AB BO AB OC ?=?++=?+?+?

2222cos ,22cos ,AB BO AB OC =+?+? 1444cos ,2AB OC ??

=+?-+ ???

24cos ,AB OC =+

0,AB OC π≤≤，1cos ,1AB OC ∴-≤≤，26AB AC ∴-≤?≤故选：A

关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题的关键是将未知的AC 通过向量的加法及数量积运算转化为已知的向量，本题将AB AC ?的最小值转化为AB OC ?的最小值，结合数量积及余弦函数即可求解，考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力. 二、多选题（每小题5分，计20分，多选得0分，少选得3分）

9. 已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=则（ ） A. ()g x 的图象关于点(,0)6

π

对称

B. ()g x 的图象的一条对称轴是6

x π

=

C. ()g x 在5,66ππ??

- ??

?上递减 D. ()g x 在(,)33

ππ

-

值域为(0,1)

BC

首先根据求导公式得到()2sin 3g x x π?

?=-+ ??

?，再利用三角函数的性质依次判断选项即可.

()

sin 2sin 3f x x x x π??'=-=-+ ???，所以()2sin 3g x x π?

?=-+ ???.

对选项A ，2sin 2062g ππ??

=-=-≠ ?

??

，故A 错误； 对选项B ，2sin 262g ππ??

=-=- ???，所以6x π=为()g x 图象的一条对称轴，

故B 正确. 对选项C ，因为566x ππ-

<<，所以232

x πππ-<+<， 所以函数sin 3y x π?

?=+ ???在5,66ππ??-

??

?为增函数， 即()2sin 3g x x π?

?=-+ ??

?在5,66ππ??-

???为减函数，故C 正确.

对选项D ，33

x ππ-

<<，所以2033x ππ<+<，

所以0sin 13x π?

?<+≤ ???，()20g x -≤<，故D 错误.故选：BC

10. 已知0a >，0b >，且14

1a b

+=，则下列结论正确的是（ ） A. 1a >

B. ab 的最小值为16

C. +a b 的最小值为8

D.

19

1a b

+-的最小值为2 ABD

【分析】根据选项逐个判断，A 选项中由已知条件化为

411

10a b a a

-=-=>可求，B 选项利用基本不等式可求最小值，C 选项利用“1”的代换可求+a b 的最小值，D 选项把两个变量化为一个变量，再利用基本不等式求解即可. 【

详解】对于A

，由已知得41110a b a a -=-=>，0b >，41

0a b a

-∴=>，又

0a >，1a ∴>，故A 正确； 对于B ，

由已知得141a b =

+≥=当且仅当2a =，8b =时等号成立，1

4

≤，得16ab ≥，故B 正确； 对于C ，()144559b a a b a b a b a b ??

+=++=++≥+= ???

，当且仅当3a =，6b =时等号成立，故C 错误； 对于D ，由已知得

144

1b a b b -=-=，0a >，40b b -∴>，又0b >，4b ∴>.又4

b

a b =-，4104a b ∴-=

>-19499112144b b a b b b -∴+=+=+-≥=-，当且仅当6b =时等号成立，故D 正确.故选：ABD

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

11. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC ，AB ＝AC ＝4，点B (－1，3)，点C (4，－2)，且其“欧拉线”与圆M ：222(3)x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ） A. 圆M 上点到直线30x y -+=的最小距离为22 B. 圆M 上点到直线30x y -+=的

最大距离为32 C. 圆M 上到直线BC 的距离为

1

2

的点有且仅有2个 D. 圆22(1)()8x a y a --+-=与圆M 有公共点，则a 的范围是[122,122]-+ AD

【分析】由欧拉线定义及已知B 、C 坐标且AB ＝AC ，可得“欧拉线”为1y x =-，与圆M 相切求r ，进而由各选项描述，结合点线距离公式、圆与圆的位置判定即可确定各项的正误. 由题意，可得如下示意图：

∵ABC 为等腰三角形且AB ＝AC ，知：外心、重心在BC 的中垂线上，由“欧拉线”定义即FH

为“欧拉线”且B 、C 中点31

(,)22

在直线上，而1BC k =-， ∴直线FH ：1y x =-，而圆M 与直线FH 知2r = ∴圆M ：22(3)2x y -+=，且直线BC ：20x y +-= 圆心M 到直线30x y -+=的距离322

d =

=[22,42]，故A

正确，B 错误；

圆心M 到直线BC 的距离1

22d =

=>，故C 错误；

圆22(1)()8x a y a --+-=与圆M ≤≤

11a -≤+D 正确.故选：AD

关键点点睛：由欧拉线定义及与圆的位置关系求出圆的半径，根据圆心到30x y -+=、BC 距离，进而判断M 上点到直线的距离范围，由两圆有交点时，圆心距离与半径和的大小关系确定参数范围.

12. 已知实数a ，b ，c ，d 满足2111

a a e c

b d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()

22

a c

b d -+-的值可能是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

BCD

由题中所给的等式，分别构造函数()2x

f x x e =-和()2

g x x =-+，则()()2

2

a c

b d -+-的表示

()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.

由212a a a e b a e b

-=?=-，令()2x f x x e =-，()12x

f x e '∴=- 由

1121

c

d c d -=?=-+-，令()2g x x =-+ 则()()2

2

a c

b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N

c

d 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y

由()0001210x

f x e x '=-=-?=，∴切点为()00,2M -

所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为2

8=的距离为(),M a b 与()

,N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD.

本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.

三、填空题（每小题5分，计20分）

13. 方程22

1410x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是_____.

710k <<

根据椭圆的标准方程的类型列式可得结果.

因为方程22

1410x y k k

+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，

所以410100k k k ->-??->?，解得710k <<.

故答案为：710k <<

14. 椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，C 上存在一点P 使得

12120F PF ?∠=，则椭圆离心率的范围是_______．

2?

?????

先根据椭圆定义得到1121,PF a ex PF a ex =+=-，再利用余弦定理，求出2221

2

43c a x e -=，利用

椭圆的范围列出不等式求出离心率的范围. 设()()()1112,,,0,,0,0P x y F c F c c ->， 则1121,PF a ex PF a ex =+=-， 在12PF F △中，由余弦定理得：

222

1212

12

cos1202PF PF F F PF PF +-?=

()()()()2

2

211114122

a ex a ex c a ex a ex ++--=

=-+-，

解得22

21

2

43c a x e -=，

因为22

10,x a ??∈??，

所以22

22

430c a a e

-≤≤， 即22430c a -≥，且21e <， 所以3

2

c e a =

≥

， 故椭圆的离心率的取值范围是3,12??

?????. 故答案为：3,1???????

. 方法总结：考查了椭圆的应用，当P 点在短轴的端点时12F PF ∠值最大.

15. 数列{}n a 的通项公式cos 2

n n a n π

=?，其前n 项和为n S ，则2021S =______. 1010

【分析】由21()n k k Z =+∈有0n a =，2()n k k Z =∈时k 为奇数有cos 1k π=-，k 为偶数有

cos 1k π=，可知20212462020...S a a a a =++++，即可求2021S . ∵当21()n k k Z =+∈有cos

02

n π

=，即0n a =； 而当2()n k k Z =∈有cos n a n k π=，若k 为奇数有cos 1k π=-，k 为偶数有cos 1k π=； ∴

20212020202120202462020...2cos 4cos 26cos3...2020cos1010S S a S a a a a ππππ

=+==++++=++++，即20212468...2018202050521010S =-+-+--+=?=. 故答案为：1010.

关键点点睛：讨论n 为奇、偶数时，结合余弦函数的性质求出对应n a 的值，再根据所得规律，由前n 项和求值即可.

16. 在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为________.

2139525

++

【分析】首先通过线面之间的平行关系，画出过点A ，E ，F 和正方体的截面五边形，再利用

平行线相交的应用和成比例问题的应用，求出截面五边形AEPFH 的边长，进而求得周长得解. 通过线面之间的平行关系，画出过点A ，E ，F 的截面五边形AEPFH ，如图所示

如图，过点F 作//FH AE 交11A D 于H ，易知11D H =，故点H 为11A D 的4等分点， 在直角1AA H 中，14AA =，13A H =，由勾股定理知22345AH =+= 在直角1FD H 中，11D H =，12D F =，由勾股定理知22125HF =+ 连接AH ，过点E 作//EP AH 交1CC 于点P ，则1AA H

PCE

11AA CP A H CE ∴

=，即432CP =，解得8

3

CP =， 在直角PCE 中，83CP =，2CE =，由勾股定理知2

2810233PE ??+= ???

． 在直角1PC F 中，184433C P =-=，12C F =，由勾股定理知2

2

421323PF ??=+ ???

．

在直角ABE △中，4AB =，2BE =，由勾股定理知222425AE =+= 所以截面五边形AEPFH 的周长为10213213952555253++++ 2139525++.

关键点点睛：本题考查了平面和几何体的截面问题，考查了利用线面关系补全截面，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题，解决此类问题的关键为：通过部分截面补完整截面，利用了线面平行的性质.

四、解答题（共6小题，计70分） 17.

ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7c =sin cos 6

c A a C π??

?=?- ??

?

.

（1）求角C 的大小； （2）在①23ABC

S

=②1a b -=，③sin 2sin A B =这三个条件中任选一个，若这样的三角形

存在，求三角形的周长；若该三角形不存在，请说明理由. （1）3

C π

=

；（2）答案不唯一，具体见解析.

【分析】（1）由题设条件和正弦定理，整理得sin cos 6C C π

??=- ???，得到2sin sin 3C C π

??

=- ???

，即可

（2）由余弦定理化简得227a b ab +-=，选①：根据面积公式，得到8ab =，得出矛盾；选②：因为1a b -=，结合余弦定理，求得6ab =，进而求得5a b +=，即可求得三角形周长；选③：求得2a b =，联立227a b ab +-=，解得,a b 的值，即可求解.

（1）因为sin cos 6c A a C π?

?

=- ??

?

，由正弦定理可得sin sin sin cos 6

C A A C π??

=- ??

?

，

又因为sin 0A ≠，所以sin cos 6C C π??=- ???，即2sin sin 3C C π

??

=- ???

，

又因为(0,)C π∈，所以23C C π

=-，解得3

C π=. （2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即227a b ab +-=， 若选①：因为1

sin 2

ABC

S

ab C =

，所以8ab =， 所以2()781a b -=-=-，与2()0a b -≥矛盾，所以满足条件的三角形不存在. 若选②：因为1a b -=，所以2221a b ab +-=，又227a b ab +-=，所以6ab =， 故22

225a b ab ++=，即5a b +=，所以三角形周长5C a b c =++=.

若选③：因为sin 2sin A B =，所以2a b =，联立227a b ab +-=，解得a =，b =，所

以三角形周长

C a b c =++. 对于解三角形问题的常见解题策略：

对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.

18. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，//PA BE ，2BE =，

4AB PA ==.

（1）求证：//CE 平面PAD ；

（2）在棱AB 上是否存在一点F ，使得二面角E PC F --的大小为60?？如果存在，确定点F 的位置；如果不存在，说明理由.

（1）证明见解析；（2）存在；F 为AB 的中点.

【分析】（1）根据已知条件可证明//EC DH ，再利用线面平行的判定定理证得结果. （2）分别以AB ，AD ，APx ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面PCE 的法向量m ，设(,0,0)F a ，求出平面PCF 的法向量n ，再利用空间向量求夹角公式结合已知条件即可求得a ，从而知F 为

AB 的中点..

（1）证明：取PA 中点H ，连接EH ，DH ，

//EB PA ，1

2

EB PA AH =

=，∴四边形ABEH 是平行四边形， //EH AB ∴，EH AB =，

四边形ABCD 是正方形，//CD AB ∴，CD AB =，

//EH CD ，EH

CD =，∴四边形CDHE 是平行四边形，//EC DH ∴，

又EC ?平面PAD ，DH ?平面PAD ，//EC ∴平面PAD .

（2）存在点F ，使得二面角E PC F --的大小为60?，以A 为原点，以AB ，AD ，AP 三直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示：

则()4,4,0C ，()4,0,2E ，()0,0,4P ，()4,4,4PC =-，()4,0,2PE =-，

设平面PCE 的一个法向量为(),,m x y z =，则0

0200x y z m PC x z m PE ?+-=??=???-=?=??

令1x =，则()1,1,2m =．

假设存在点(),0,0F a (04)a ≤≤，则()4,4,0FC a =-，(),0,4FP a =-．

设平面PCF 的法向量为111(,,)n x y z =，则111140

·0(4)40·0ax z n FP a x y n FC -+=??=???-+==??，

令1z a =，则4,)(4,a a n -=，

又二面角E PC F --的大小为60?，故2||1

|cos ,|2

62832m n m n m n a a ?<>===?-+， 即2280a a +-=，解得2a =，4a =-（舍），

∴当F 为AB 的中点时，二面角E PC F --的大小为60?.

方法点睛：本题考查线面平行，及面面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角： 设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则

①两直线,l m 所成的角为θ(02

π

θ<≤

),cos a b a b

θ?=

；

②直线l 与平面α所成的角为θ(02

π

θ≤≤

),sin a u a u

θ?=

；

③二面角l αβ--的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v u v

θ?=

19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()3n n S n m a =+，m R ∈.

（1）求实数m 的值，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设2

2n n

n n b a +=

?，求数列{}n b 的前n 项和n T . （1）2m =，()1n a n n =+；（2）()1

112n n -

+?.

【

分析】(1)当1n =时，()1131a m a =+，则2m =,故()32n n S n a =+,再根据11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?求

解得

11

1

n n a n a n -+=-,最后利用累乘法求通项公式即可得答案； （2）由（1）得()()1211212212n n

n n n b n n n n +??+==- ? ?+??+???

，进而利用裂项求和法求和即可.

解：（1）当1n =时，()1131a m a =+，则2m =，

故()32n n S n a =+，①

当2n ≥时，()1131n n S n a --=+，② ①-②得()()1321n n n a n a n a -=+-+，则

11

1

n n a n a n -+=-. 故()()122112311132121231

n n n n n n n a a a a n n n a a n n n a a a a n n n -----+-=

??????=????????=+≥---. 当1n =时，12a =满足上式，故()1n a n n =+.

（2）()()1211

212212n n

n n n b n n n n +??+==- ? ?+??+???

， ()223111111122222232212n n n T n n +??=-+-+???+- ? ?????+??

()1112n n =-+?. 本题考查累加法求通项公式，裂项求和，考查运算求解能力，是中档题.第一问解题的关键在

于利用n a 与n S 的关系得11

1

n n a n a n -+=-，进而累乘求通项公式；第二问主要在于裂项：()()1211212212n n

n n n b n n n n +??+=

=- ? ?+??+???

. 20. 某生物研究所为研发一种新疫苗，在200只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统计

数据：

现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为13

20

. （1）直接写出x ，y ，z ，w 的值（不需写出过程）； （2）能否有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效？

（3）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取2只进行病理分析，记注射疫苗的小白鼠只数为X ，求X 的概率分布和数学期望()E X .

附：()

()()()()2

2,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=

=++++++

+，

（1）65x =，100y =，35z =，100w =；（2）有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效；（3）分布列见解析；期望为

77

110

. 【分析】（1）根据题中条件直接得到x ，y ，z ，w 的值即可； （2）由公式计算2K ，结合临界值表，即得结果；

（3）由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，再分别计算对应的概率，即得分布列及期望. 解：（1）65x =，100y =，35z =，100w =； （2）()2

2200353565651810.828100100100100

K ??-?=

=>???，

所以有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效； （2）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2.

2652100C 208(0)495C P X ===，116535

2100C C 91(1)198C P X ===，2

352100C 119(2)990

C P X ===，

所以X 的概率分布为

数学期望2089111977

()012495198990110

E X =?+?+?=. 思路点睛：

求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；

（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；

（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.

21. 已知函数ln 1

()x

x f x e +=

． （1）求()f x 的最大值；

（2）当1≥x 时，2(ln 1)x ax x e +<恒成立，求a 的取值范围．

（1）1e

；（2）()2

,e -∞.

【

分析】

（1）对()f x 求导并分析导函数的分子，将导函数的分子看成新函数，分析其单调性和取值情况从而得到()f x '的取值情况，从而()f x 的单调性可知则最大值可求；

（2）先分析0a ≤的情况，然后分析0a >的情况：将不等式变形，转变为两个函数最值的关系，从而求解出a 的取值范围.

（1）因为()ln 1()0x

x f x x e +=>，所以()()1

ln 1x

x x f x e -+'= ， 设()()1

ln 1g x x x =-+，所以()2110g x x x '=--<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，且()10g =，

所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<， 所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，

所以()()max 11f x f e

==

； （2）因为1≥x ，所以()ln 10x x +>，所以当0a ≤时，()ln 10ax x +≤且20x e >，所以

()2ln 1x ax x e +<恒成立，

当0a >时，若()2ln 1x

ax x e +<恒成立，则ln 1x

x

x e a e x

+?<恒成立（*）， 设()x e h x x =，所以()()2

1x x e h x x

-'=，又因为[)1,x ∈+∞，所以()()210x x e h x x -'=≥， 所以()h x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 1h x h e ==，

又因为由（1）知max ln 11x

x e e +??= ???且[)ln 1

1,,0x x x e +?∈+∞> ， 所以若（*）成立，只需要1

a e e

?<，所以2a e <，

综上可知：()2

,a e ∈-∞.

本题考查导数的综合应用，其中涉及到利用导数求最值以及利用导数解决不等式恒成立求解参数范围问题，对学生的综合运用能力要求较高，难度较难.不等式恒成立求解参数范围的方法：（1）分离参数并构造函数解决问题；（2）采用分类讨论的方式解决问题.

22. 已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>过点12(2,1),,P A A 分别是椭圆C 的左右顶点，且直线1PA 与

直线2PA 的斜率之积为1

2-．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设不过点P 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，若直线PM 与直线PN 斜率之积为1，试问直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．

（1）22

163

x y +=；（2）过定点，定点为(6,3)-.

（1）设12,A A 坐标分别为(,0),(,0)a a -，由122

11

42

PA PA k k a ?=

=--

，可得a =(2,1)P ，带入即可得解；

（2）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线l 的斜率存在时，设直线方程为

y kx b =+，带入椭圆方程22

163

x y +=整理可得：222(1)4260k x kbx b +++-=，

设1122(,),(,)M x y N x y ，所以2121222

426

,1212kb b x x x x k k -+=-=

++，根据条件带入整理即可得解，当直线l 的斜率不存在时，直接求解即可，综合考虑即可得解. （1）易知12,A A 坐标分别为(,0),(,0)a a -， 则1221111

2242

PA PA k k a a a ?=

?==-+--，

解得a =(2,1)P 为22

22:1x y

C a b

+=上一点，

可得

22

41

1a b +=

，b = 所以椭圆C 的方程为22

163

x y +

=； （2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，

带入椭圆方程22

163

x y +

=整理可得：222(1)4260k x kbx b +++-=， 设1122(,),(,)M x y N x y ，

所以2121222426

,1212kb b x x x x k k -+=-=++， 121211122

MP NP y y k k x x --?=

?=--，整理可得：12121212()2()30y y y y x x x x -+-++-=， 11y kx b =+，22y kx b =+，带入整理可得：

221212(1)(2)()230k x x kb k x x b b -+-+++--=，

2121222

426

,1212kb b x x x x k k -+=-=++带入可得：

22

222

264(1)(2)()2301212b kb

k kb k b b k k

--+-+-+--=++， 整理可得：222

12823

012k b kb b k

----+=+， 即22128230k b kb b +++-=，(21)(63)0k b k b +-++=，

所以210k b +-=，此时直线方程为21y kx k =-+过定点(2,1)，舍去，

或630k b ++=，此时直线方程为63y kx k =--，过定点(6,3)-，

当斜率不存在时设直线方程为x t =（t <， 带入椭圆方程可得22260y t +-=，

所以120y y +=，21262

t y y -=，1

2

x x t ，

同理由12121212()2()30y y y y x x x x -+-++-=可得： 解得2t =（舍去）或6t =， 此时6x =也过定点(6,3)-，

综上可得直线l 过定点，定点为(6,3)-.

本题考查了求椭圆方程以及椭圆中的定点问题，考查了利用韦达定理解决圆锥曲线问题，计算量较大，属于难题. 本题几个关键点如下：

（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间的桥梁，是解决直线和圆锥曲线的最重要的方法，体现了转化思想；

（2）计算能力和计算技巧，在解决圆锥曲线问题时，计算能力和计算技巧至关重要.