非齐次常系数线性微分方程的特殊解法论文1 推荐

非齐次常系数线性微分方程的特殊解法

摘要：本文首先给出了升阶法的定义，以及利用升阶法求常微分方程的特解，然后给出几个定理及其证明，运用这些定理可以求解非齐常系数线性微分方程，此为一般的方法.最后将所有常见的几种类型的微分方程归纳为一类，使得解方程的过程得到了有效的简化.

关键词：非齐次；常系数；线性；解法

1.引言

线性微分方程在常微分方程学中占有一定的地位，其中，研究非齐常系数线性微分方程的解法对进一步研究其他更复杂的常微分方程具有指导意义.微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究近几年，国内外学者对非齐常系数线性微分方程的解法也有许多研究：2005年11月，唐烁在安徽教育学院学报第二十三卷第六期发表的《常系数线性非齐次微分方程组的初等解法》中利用初等方法，直接得到两个未知函数的一阶常系数线性非齐次微分方程组的通解方式.

2007年4月，赵辉在安徽电子信息职业技术学院学报第六期发表的《二阶常系数线性非齐次微分方程的一种特殊解法》中对二阶常系数非齐微分方程运用了一种特殊的解法，使得求解此方程变的方便快捷.

2008年6月，陈新明、胡新姣在大学数学第二十四卷第三期发表的《常系数线性非齐次微分方程的简单解法》中得到的求n阶常系数线性非齐次微分方程一般解更方便的方法，以及几种特殊情形的表达式.

对于非齐次方程，我们的解法是通解加特解得方法，所谓通解，就是先解出非齐次方程组所对应其次方程组的基础解系，然后再随便找一个特解满足非齐次方程组即可，然后把它们相加组合起来，就是非其次方程的解本文将给出非齐次常系数线性微分方程的一些解法，有助于以后更简便的求解这类方程。

2.主要结果

2.1非齐次常系数线性微分方程的一般解法

2.1.1升阶法

为了求解非齐常系数线性微分方程，首先要求方程的特解，这里给出求特解的一种方法-升阶法。]1[

定义：当)(x f 为多项式时，设

n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)(

此时，方程)(''x f qy py y =++ （1）两边同时对x 求n 次，得

12110'''''')1(---++-?+?=++n n n a x n a nx a qy py y

!)!

1(!0)()1()2(10)1()()1(n a qy py y n a x n a qy py y n n n n n n ?=++-?+?=++++-+

显然方程（1）的解存在，且满足上述各方程。最后一个方程的一个明显解（不妨设0,0=≠q q 时情况类似）是：

q

n a y n !0?= 此时0)1()2(==++n n y y 。由)1(+n y 与)(n y 通过倒数第二各方程可得)1(-n y ，依次往上推，一直推到（1），即可得到方程（1）的一个特解)(x y 。上面这种方法称为升阶法。

2.1.2 解的结构定理

定理1(解的叠加原理)：设)(),(*

2*1x y x y 分别是方程)(1'''x f qy py y =++和)(2'''x f qy py y =++的特解，则有)(*)(2*

1x y x y +是方程)()(21'''x f x f qy py y +=++的特解。]2[

证明：将)()(2*1x y x y *

+代人方程)()(21'''x f x f qy py y +=++的左端， )

()())()()(())()()(())

()(())()(())()((21*2*2*2*1*1*1*

2*1'*2*1''*2*1x f x f x qy x py x y x qy x py x y x y x y q x y x y p x y x y +=+++++=+++++ 得证。

定理2 设是方程的特解，则

)(),(21x y x y 分别是方程x x p qy py y ωcos )('''=++和x x p qy py y ωsin )('''=++的特解。(其中)(),(),(21x p x y x y 是实系数多项式)]2[

证明：把Y 代人方程x i e x p qy py y ω)('''=++

有：]

sin )[cos ()()(]

sin )[cos ()()()(2'2''21'1''21'21''21x i x x p i qy py y qy py y x i x x p i y y q i y y p i y y ωωωω+=++++++=+++++ 所以x x p qy py y ωcos )(1'1''=++；x x p qy py y ωsin )(2'2''2=++

(方程的两端实部、虚部相同) 得证。

n 阶常系数非齐次线性微分方程的定义

对n 阶常系数非齐次线性微分方程

)('1)1(1)(x f y p y p y p y n n n n =++++-- ， （1）

其中n p p p ,,,21 为常数．记

n n n n n p r p r p r p r r A +++++=---12211)( ， （2）

称为方程(1)的特征函数，记),,1,0(n k dx d D k k

k

==，方程(1)可写成)()(x f y D A =

又记m 次多项式0111)(a x a x a x a x p m m m m m ++++=-- （3）]3[ 引理1

)()())()((x p D A e x p e D A m x m x λλλ+= ， （4）

其中

n n n n n p D p D p D p D D A +++++++++=+---)()()()()(12211λλλλλ ]4[

证明： 先证明)()())((x p D e x p e D m x m x k λλλ+=， ),,2,1n k = （5） 用数学归纳法．由求导法则得)()())((x p D e x p e D m x m x λλλ+=．假设(5)式对1-k 的情形成立，则

)()()())(())((1x p D e x p D D e x p e D m k x m k x m x k λλλλλλ+=++=-， 即(5)式成立．由)(D A 的定义得(4)式．

记????==--x x

x x

dx dx x Q x Q D dx x f x f D 0

00101)()(,)()( ),,2,1(n k = 引理2 若)(x p m 由(3)式给出，且0≠λ，则

)()1()([011x P D e x p e D m k m k k k x m x ∑=+--=λλλ （6）]4[

证明： 引理1中取D D A =)(，得)()())((x p D e x p e D m x m x λλλ+=。在上式中将)(x P m 换为m 次多项式)(1x P D

m +λ，得 )(1)[()](1[x P D

D e x P D e D m x m x ++=+λλλλλ， 由此有

)(1)]([1x P D

e x P e D m x m x +=-λλλ 因为

11101)1(1])1()[(+++=+--=-+∑m m m k m k k k D D D λλλ，以及0)(1=+x P D m m ， 所以有)(])1()[(0

1x P D D m k m k k k ∑=+-+λλ，由此得 )()1()(1)]([011x P D e x P D e x P e D m k m k k k

x m x

m x ∑=+--=+=λλλλλ， （6）式成立。

定理3 记),,1,0(!

)()(n k k A A k k ==λ。对n 阶常系数非齐线性微分方程 )()()()(0111a x a x a x a e x P e x f y D A m m m m x m x ++++===-- λλ，其中λ为常数，可以是复常数。若λ为0)(=r A 的l 重根，则方程（7）的特解为

)(1'x Q D e y m x -=λ， （8）

其中0111)(b x b x b x b x Q m m m m m ++++=-- 由

)('1)1(1)1(x P Q A Q A Q A Q m m l m l l n m n n m

=+++++---- （9） 确定]5[

高阶线性微分方程常用解法介绍

高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根

二阶线性微分方程的解法

二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念

设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r , 使rx e y =满足方程(2).

(整理)常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法 摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法 Method for solving the system of differential equation with Constant Coefficients Linear Abstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysis and synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution. Key Words: Characteristic root ；Variation law ；The undetermined coefficient method 前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。 1．预备知识 复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复值()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数，1i =-是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于 0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义

二阶常系数齐次线性微分方程求解方法

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为

函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x )

常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法 摘 要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解. 关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法 The Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically. Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation. 前言 为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解. 1. 预备知识 1.1复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应,其中 ()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间 a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们 就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ?ψ→→→=+. 如果0 0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ?,()t ψ在0 t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极

齐次微分方程

1 第二讲一阶微分方程 【教学内容】 齐次微分方程、一阶线性微分方程 【教学目的】 理解齐次微分方程的概念，掌握齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。 【教学重点与难点】 齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法 【教学过程】 、齐次微分方程: 形如 凹f （-）的微分方程；叫做齐次微分方程 dx x u ■y 原方程便化为可分离变量的微分方程来求解。 x 此方程是可分离变量的微分方程。按可分离变量微分方程的解法，求出方程的通解，再将变量 为y ，所得函 数就是原方程的通解。 x 解：方程可化为 1 C)2 X 2(乂) x 分离变量，则有 u 1 u 2 两边积分，得 例1、 求微分方程（x )dx 2xydy ，满足初始条件y x 1 0的特解。 它是齐次方程。令u ，代入整理后，有 du dx 2xu 对它进行求解时，只要作变换 于是有 dy y ux,亠 u dx du dx du x 一 dx f(u) u x pl ，从而原方程可化为 u x —— f （u ）， dx u 还原 dy dx 2 x_ 2xy du 2x dx

(2)ln(1 u 2) (2)ln x (1 )ln c cx(1 u 2) 1 将u y 代入上式，于是所求方程的通解为 x x 2 二、一阶线性微分方程 形如 的方程称为一阶线性微分方程，其中 P （x ）、Qx ）都是连续函数。 当Qx ） = 0时，方程 y P (x)y 0 称为一阶线性齐次微分方程; 当Qx ）工0，方程称为一阶线性非齐次微分方程。 1. 一阶线性齐次微分方程的解法 将方程 P(x)y 0 分离变量得 两边积分得 方程的通解为 求微分方程 y 2xy 0的通解。 c(x 2 y 2 ) x 2 把初始条件y 0代入上式，求出c 1，故所求方程的特解为 y P (x)y Q(x) dy P(x)dx In y P(x)dx InC Ce P （x ）dx （C 为任意常数） 解法1 （分离变量法）

线性微分方程的解法

§12.4 线性微分方程 一、 线性方程 线性方程: 方程)()(x Q y x P dx dy =+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dx dy =+的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？ (1)y dx dy x =-) 2(?021=--y x dx dy 是齐次线性方程. (2) 3x 2+5x -5y '=0?y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程. (3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程. (4)y x dx dy +=10, 不是线性方程. (5)0)1(32=++x dx dy y ?0)1(23=+-y x dx dy 或3 2)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 齐次线性方程的解法: 齐次线性方程 0)(=+y x P dx dy 是变量可分离方程. 分离变量后得 dx x P y dy )(-=, 两边积分, 得 1)(||ln C dx x P y +-=? , 或 )( 1)(C dx x P e C Ce y ±=?=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）. 例1 求方程y dx dy x =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得 2 -=x dx y dy ,

两边积分得 ln|y |=ln|x -2|+lnC , 方程的通解为y =C (x -2). 非齐次线性方程的解法: 将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把 ?=-dx x P e x u y )()( 设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得 )()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =?+?-?'---, 化简得 ?='dx x P e x Q x u )()()(, C dx e x Q x u dx x P +?=?)()()(, 于是非齐次线性方程的通解为 ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +??=? -, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ? ??+?=--)()()()(. 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和. 例2 求方程25)1(1 2+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程 012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得 1 2+=x dx y dy , 两边积分得 ln y =2ln (x +1)+ln C , 齐次线性方程的通解为 y =C (x +1)2. 用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ?(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得

(整理)二阶常系数线性微分方程的解法版.

第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)

的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,

常系数线性微分方程的解的结构分析

常系数线性微分方程的解的结构分析 【 摘要】在参考和总结了许多场系数线性微分方程的解法的基础上，本文总结了一些常系数微分方程的解的解法，并针对一类常系数线性微分方程的已有结论给予证明，以解给予一些结论证明思路，以及一些实例，并向高阶推广。 【关键词 】常系数 线性 微分方程 结构 一阶常系数齐次线性微分方程 0=+ax dt dx ， （1.1） 的求解 上式可以改写为 adt x dx -= ， （1.2） 于是变量x 和t 被分离，再将两边积分得 c at x +-=ln ， （1.3） 这里的c 为常数。又由对数的定义，上式可以变为 at ce x -= ， （1.4） 其中c= , 因为x=0也是方程的解，因此c 可以是任意常数。 这里首先是将变量分离，然后再两边积分，从而求出方程的解。这便要方程式可以分离变量的，也就是变量分离方程。 一阶常系数微分方程 )()(x Q y x P dx dy += ， （2.1） 其中P （x ），Q(x)在考虑的区间上式连续函数，若Q （x ）=0 ,上式就变为 y x P dx dy )(= ， （2.2） 上式为一阶齐次线性微分方程。还是变量分离方程我们可以参考上面变量分离方程的解法，先进行变量分离得到 dx x P y dy )(= ， （2.3） 两边同时积分，得到 ? =dx x p ce y )( ， （2.4） 这里c 是常数。 若Q （x ）≠ 0 , 那么上式就变成了 一阶非齐次线性微分方程。 我们知道一阶齐次线性微分方程是一阶常微分方程的一种特殊情况，那么可以设想将一阶

齐次线性微分方程的解 ? =dx x p ce y )( ， （2.5） 中的常数c 变易成为待定的函数c （x ）,令 ?=dx x p e x c y )()( ， （2.6） 微分之，就可以得到 ?+?=dx x p dx x p e x P x c e dx x dc dx dy )()()()()( ， （2.7） 以（2.7），（2.6）代入2.1，得到 )()()()()()()()()(x Q e x c x p e x P x c e dx x dc dx x p dx x p dx x p +?=?+?，（2.8） 即 ?=-dx x p e x Q dx x dc )()() (， 积分后得到 c （x ）=c dx e x Q dx x p +?? -)()( , (2.9) 这里c 是任意常数，将上式代入（2.6）得到方程（2.1）的通解 ))(()()(c dx e x Q e y dx x p dx x p +? ? =?- (2.91) 在上面的一阶线性微分方程中，是将一阶齐次线性微分方程中的通解中的常数c 变成c(x) ,常数变易法一阶非齐次线性微分方程的解, 感觉这个方法之所以用x 的未知函数u(x)替换任意常数C,是因为C 是任意的，C 与x 形成函数关系，要确定C,需要由初始条件确定，一个x,确定一个C,也就形成一对一或多对多的映射，也就是函数关系，而这里的C 是任意的，也就可以用一个未知的，也就是任意的函数u(x)来代替，进而求得非齐次线性微分方程的解。这种将常数变异为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。常数变易法实质也是一种变量变换的方法，通过变换（2.6可将方程（2.1）化为变量分离方程。 二阶常系数线性微分方程 （1）二阶常系数线性齐次方程 022=++qy dx dy p dx y d （3.1） 其中p 、q 是常数，我们知道，要求方程（3.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特 解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(3.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，

高阶线性微分方程常用解法简介

高阶线性微分方程常用解法简介 摘要：本文主要介绍高阶线性微分方程求解方法，主要的内容有高阶线性微分方程求解的常 用方法如。 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3, ,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++= 其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++ 其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ 是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++= 的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ （5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ= 均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++ 其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.

高阶齐次线性微分方程

第七章常微分方程7.8 高阶齐次线性微分方程 数学与统计学院 赵小艳

1 2 高阶线性微分方程的概念 1 主要内容 3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关 高阶齐次线性微分方程通解的结构

1 2 高阶线性微分方程的概念 1 主要内容 3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关 高阶齐次线性微分方程通解的结构

解 受力分析 1 高阶线性微分方程的概念 例1 （弹簧的机械振动） 如图，弹簧下挂一物体.设在垂直方向有一随时间变化的外力 作用在物体上，物体将受外力驱使而上下振动，求物体的振动规律. pt H t f sin )(1= 以物体的平衡位置为坐标原点，x 轴的方向垂直 向下. x x o )(1t f ;sin )()1(1pt H t f =外力;)2(kx f -=弹性力v f μ-=0)3(介质阻力,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2可得.t x d d μ-= 设振动开始时刻为0，t 时刻物体离开平衡位 置的位移为x (t ).

,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2 可得t t 2d d 物体自由振动的微分方程 .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：

一般地，称 )()()(2122t F x t P t x t P t x =++d d d d 为二阶线性微分方程， ,0)(时当≡t F 称为二阶齐次线性微分方程, ,0)(时当≠t F 称为二阶非齐次线性微分方程. )()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- n 阶线性(微分)方程 ,0)(时当≡t F n 阶齐次线性微分方程, t t 2d d .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：物体自由振动的微分方程

二阶非齐次线性微分方程的解法

目 录 待定系数法 常数变异法 幂级数法 特征根法 升阶法 降阶法 关键词：微分方程，特解，通解， 二阶齐次线性微分方程 常系数微分方程 待定系数法 解决常系数齐次线性微分方程[]21220, (1) d x dx L x a a x dt dt ≡++= 12,. a a 这里是常数 特征方程212()0F a a λλλ=++= (1.1) (1)特征根是单根的情形 设 12,,,n λλλ是特征方程的 (1.1)的2个彼此不相等的根，则相应的方程 (1)有如 下2个解： 12,t t e e λλ (1.2) 如果(1,2)i i λ=均为实数，则 (1.2)是方程 (1)的2个线性无关的实值解，而方程 (1)的通解可表示为 1212t t x c e c e λλ=+ 如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设 i λαβ=+是一特征根，则i λαβ=-也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程 (1)有两个复值解 (i)t (cos t sin ),t e e i t αβαββ+=+

(i)t (cos t sin ).t e e i t αβαββ-=- 它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根 i λαβ=±，我们可求得方程 (1)的两个实值解 cos ,sin .t t e t e t ααββ （2）特征根有重跟的情形 若10λ=特征方程的 k 重零根，对应于方程 (1)的k 个线性无关的解21 1,t,t ,k t -。 若这个 k 重零根10, λ≠设特征根为12,,,,m λλλ其重数为 1212,,,k (k 2)m m k k k k ++ =。方程 (1)的解为 11112222111,t ,t ;,t , t ; ;,t , t ;m m m m t t k t t t k t t t k t e e e e e e e e e λλλλλλλλλ--- 对于特征方程有复重根的情况，譬如假设i λαβ=+是k 重特征根，则i λαβ=-也是k 重特征根，可以得到方程 (1)的2k 个实值解 2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin , ,sin .t t t k t t t t k t e t te t t e t t e t e t te t t e t t e t ααααααααββββββββ-- 例1 求方程 220d x x dt -=的通解。 解 特征方程 210λ-=的根为121,1λλ==-有两个实根，均是单根，故方程的通 解为 12,t t x c e c e -=+ 这里12,c c 是任意常数。 例2 求解方程 220d x x dt +=的通解。 解 特征方程 210λ+=的根为12,i i λλ==-有两个复根， 均是单根，故方程的通解 为 12sin cos ,x c t c t =+

线性常系数微分方程典型例题

二阶常系数非齐次微分方程典型例题 例1：y′′?5y′+6y=e?x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=k e?x y?′=?k e?x ,y?′′=k e?x 代入原方程得：12ke?x=e?x, k=1 12 答案：y=C1e2x+C2e3x+1 12 e?x 例2：y′′?5y′+6y=2e3x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=k xe3x y?′=k(1+3x)e3x ,y?′′=k(6+9x)e3x 代入原方程得：k e3x=2e3x ,k=2 答案：y=C1e2x+C2e3x+2xe?x 例3：y′′?5y′+6y=2x+4cos3x?e x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=ax+b+ccos(3x)+dsin(3x)+ke x y?′=a?3csin3x+3dcos3x+ke x ,y?′′=?9ccos3x?9dsin3x+ke x 代入原方程得：a=1 3,b=5 18 ,c=?2 39 ,d=?10 39 ,k=?1 2 . 答案：y=C1e2x+C2e3x+1 3x+5 18 ?2 39 cos(3x)?10 39 sin(3x)?1 2 e x 例4：y′′?2y′+y=2e3x 解：通过特征根方程可知，y′′?2y′+y=0的通解为： y=C1e x+C2xe x 观察通解特征，设特解y?=k e3x y?′=3k e3x ,y?′′=9k e3x 代入原方程得：k=1 2 答案：y=C1e x+C2xe x+1 2 e x 例5：y′′?2y′+y=2e x 解：通过特征根方程可知，y′′?2y′+y=0的通解为： y=C1e x+C2xe x 观察通解特征，设特解y?=k x2e x

二阶线性微分方程及其解法

n 阶微分方程的一般形式为： () (,,',",,)0n F x y y y y =L ， 一般情况下，求n 阶微分方程的解是困难的. 作为基础知识，本节仅讨论二阶常系数线性微分方程的求解方法. 一、 二阶线性微分方程解的结构 如果二阶微分方程)',,(''y y x F y =的未知函数及其导数都是一次项的，称为二阶线性微分方程. 二阶线性微分方程的一般形式为 ).()(')(''x f y x q y x p y =++ （） 如果0)(≡x f ，则方程（）成为 .0)(')(''=++y x q y x p y （） 方程（）称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程（）称为二阶非齐次线性微分方程. 定理 齐次线性微分方程解的叠加性定理. 设1y 和2y 是二阶齐次线性微分方程（）的两个解，则 2211y c y c y += 也是微分方程（）的解，其中21,c c 为任意常数. 证： 将2211y c y c y +=代入方程（）的左端，可得 ))(()')((')'(221122112211y c y c x q y c y c x p y c y c +++++ ))(()'')(()''''(221122112211y c y c x q y c y c x p y c y c +++++= =+++))(')(''(1111y x q y x p y c ))(')(''(2222y x q y x p y c ++ =0， 所以，2211y c y c y +=也是微分方程（）的解.□ 定理表明，二阶齐次线性微分方程的解可叠加. 如果我们已知二阶齐次线性微分方程的两个解1y 和2y ，很容易得到含有任意常数21,c c 的解，2211y c y c y +=. 如果解1y 和2y 有一定关系，那么，解2211y c y c y +=中的任意常数21,c c 可以合并成一个任意常数. 因此，依据本章第一节的论述，它并不是二阶齐次线性微分方程的通解. 那么，二阶齐次线性微分方程的两个解1y 和2y 要满足哪些条件才能使解2211y c y c y +=成为二阶齐次线性微分方程的

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02 =++q p λλ的特征根为12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? …（1） 1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为

二阶常系数线性微分方程的解法word版

创作编号： BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理 1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则 2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y

将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 , ,,,21n k k k 使得当在该区间内有 02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关, 否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法