2011年考研数学三真题及答案解析
2011年考研数学（三）真题及答案详解
一．选择题
1.已知当0x →时，函数()3sin sin3f x x x =-与k
cx 是等价无穷小，则
（A ） 1,4k c == （B ）1,4k c ==-
（C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==- 2．已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()()23302lim x x f x f x x →-=
（A ）()'20f - （B ）()'0f -
(C) ()'0f (D)0
3．设{}n u 是数列，则下列命题正确的是
（A ）若1
n n u
∞=∑收敛，则()2121n n n u u ∞-=+∑收敛 （B ）若()2121
n n n u
u ∞-=+∑收敛，则1
n n u ∞
=∑收敛 （C ）若1
n n u
∞=∑收敛，则()2121n n n u u ∞-=-∑收敛 （D ）若()2121n n n u
u ∞-=-∑收敛，则1
n n u ∞
=∑收敛 4．设44
4000ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx ππ
π===???，则,,I J K 的大小关系是
（A ）I J K <<
（B ）I K J <<
（C ）J I K <<
（D ）K J I <<
5．设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵.
记1100110001P ????=??????
,2100001010P ????=??????,则A = （A ）12P P （B ）112P
P -
（C ）21P P （D ）121P
P - 6．设A 为43?矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为
（A ）()23
1212k ηηηη++- （B ）()232212
k ηηηη-+- （C ）()()231312212k k ηηηηηη++-+- （D ）()()232213312
k k ηηηηηη-+-+- 7．设()()12,F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度()()12,f x f x 是连续函数，则必为概率密度的是
（A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x
（C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x +
8．设总体X 服从参数为λ()0λ>的泊松分布，()12,,,2n X X X n ≥L 为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量111n i i T X n ==∑，121111n i n i T X X n n
-==+-∑ （A ）1212,ET ET DT DT >>
（B ）1212,ET ET DT DT ><
（C ）1212,ET ET DT DT <>
（D ）1212,ET ET DT DT <<
二、填空题
9．设0()lim (13)x t
t f x x t →=+，则()f x '= 10．设函数(1)x y x z y
=+，则(1,0)dz = 11．曲线tan()4y x y e π++
=在点(0,0)处的切线方程为 12
．曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为
13．设二次型123(,,)T f x x x x Ax =的秩为1，A 中行元素之和为3，则f 在正交变换下x Qy =的标
准为
14．设二维随机变量(,)X Y 服从22
(,;,;0)N μμσσ，则2()E XY = 三、解答题
15
．求极限0x →
16.已知函数(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，
[](),(,)z f x y f x y =+。求2(1,1)z x y
???
17
．求
18
．证明44arctan 03x x π-+
=恰有2实根.
19．''()(0)1()()t t
D D f x f f
x y dxdy f x y dxdy =+=+????在[0,1]有连续的导数，，且 {}(,)|0,0(01),()t D x y y t x t t f x =≤≤≤≤<≤求的表达式。
20．()()()1231,0,1,0,1,1,1,3,5T T T ααα===不能由()()()1231,,1,1,2,3,1,3,5T T T
a βββ===线性表出。①求a ；②将123,,βββ由123,ααα线性表出。
21．A 为三阶实矩阵，()2R A =，且111100001111A -???? ? ?= ? ? ? ?-????
（1）求A 的特征值与特征向量（2）求A
22. X 0 1 P
1/3 2/3
Y
-1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 ()221P X Y ==
求：（1）(),X Y 的分布；（2）Z XY =的分布；（3）XY ρ.
23. (),X Y 在G 上服从均匀分布，G 由0,2x y x y -=+=与0y =围成。 ①求边缘密度()X f x ；②求|(|)X Y f x y