高考理科数学一轮复习各专题复习题及答案解析
课后限时集训(一)
(建议用时：40分钟)
A组基础达标
一、选择题
1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A．4 B．2 C．0 D．0或4
A[由题意知方程ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解或两个相等的根．当a＝0时，方程无实根，则a≠0，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4，故选A.]
2．(2019·济南模拟)已知集合A＝{x|x2＋2x－3＝0}，B＝{－1,1}，则A∪B＝( ) A．{1} B．{－1,1,3}
C．{－3，－1,1} D．{－3，－1,1,3}
C[A＝{－3,1}，B＝{－1,1}，则A∪B＝{－3，－1,1}，故选C.]
3．(2019·重庆模拟)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{x|3x－x2≥0}，则A∩B的子集的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．8
C[B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝{0,2}，故其子集的个数是22＝4个．]
4．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5
B[当m＝2时，n＝3或4，此时x＝6或8.
当m＝3时，n＝4，此时x＝12.
所以B＝{6,8,12}，故选B.]
5．设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A?B的集合B的个数是( ) A．5 B．4 C．3 D．2
B[满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．]
6．(2019·石家庄模拟)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{x|3≤x≤7，x∈N}，则?U A ＝( )
A．{3,4,5,6,7} B．{1,2}
C．{1,3,4,7} D．{1,4,7}
B[A＝{x|3≤x≤7，x∈N}＝{3,4,5,6,7}，则
?U A＝{1,2}，故选B.]
7．(2019·武汉模拟)已知集合A＝{x|x2－2x＜0}，B＝{x|lg(x－1)≤0}，则A∩B＝( ) A．(0,2) B．(1,2)
C．(1,2] D．(0,2]
B[A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|0＜x－1≤1}＝{x|1＜x≤2}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}，故选
B.]
二、填空题
8．已知集合A ＝{x |x 2
－2 019x ＋2 018＜0}，B ＝{x |x ≥a }，若A ?B ，则实数a 的取值范围是________．
(－∞，1] [A ＝{x |1＜x ＜2 018}，B ＝{x |x ≥a }， 要使A ?B ，则a ≤1.]
9．若集合A ＝{y |y ＝lg x }，B ＝{x |y ＝x }，则A ∩B ＝________. {x |x ≥0} [A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，则A ∩B ＝{x |x ≥0}．]
10．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2
－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________． －2或1 [由A ∩B ＝{－1,2}得
?????
a ＋1＝－1，a 2－2＝2，
或?????
a ＋1＝2，
a 2
－2＝－1，
解得a ＝－2或a ＝1.]
B 组 能力提升
1．(2019·潍坊模拟)已知集合M ＝{x |lg x ＜1}，N ＝{x |－3x 2
＋5x ＋12＜0}，则( ) A ．N ?M B ．?R N ?M
C ．M ∩N ＝(3,10)∪? ????－∞，－43
D ．M ∩(?R N )＝(0,3]
D [由M ＝{x |lg x ＜1}得M ＝{x |0＜x ＜10}；由－3x 2
＋5x ＋12＝(－3x －4)(x －3)＜0得
N ＝??????????x ?
??
x ＜－4
3或x ＞3
，所以?R N ＝??????
???
?x ???
－4
3
≤x ≤3， 则有M ∩(?R N )＝(0,3]，故选D.]
2．(2019·南昌模拟)在如图所示的Venn 图中，设全集U ＝R ，集合A ，B 分别用椭圆内图形表示，若集合A ＝{x |x 2
＜2x }，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则阴影部分图形表示的集合为( )
A ．{x |x ≤1}
B ．{x |x ≥1}
C ．{x |0＜x ≤1}
D ．{x |1≤x ＜2}
D [由x 2
＜2x 解得0＜x ＜2，∴A ＝(0,2)，由1－x ＞0，解得x ＜1，∴B ＝(－∞，1)，阴影部分图形表示的集合为A ∩(?U B )＝{x |1≤x ＜2}，故选D.]
3．已知A ＝[1，＋∞)，B ＝?
?????
???
?x ∈R ??
?
1
2a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠?，则实数a 的取值范围
是________．
[1，＋∞) [由A ∩B ≠?，得?
???
?
2a －1≥1，2a －1≥1
2a ，解得a ≥1.]
4．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ?A ，则实数m 的取值范围是________．
(－∞，4] [当B ＝?时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠?时，若B ?A ，如图．
则????
?
m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，
解得2＜m ≤4.
综上，m 的取值范围为m ≤4.]
课后限时集训(二)
(建议用时：40分钟) A 组 基础达标
一、选择题
1．(2019·福州模拟)已知函数f (x )的定义域为R ，则f (0)＝0是f (x )为奇函数的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
B [f (0)＝0D
f (x )是奇函数，但f (x )在R 上是奇函数?f (0)＝0，因此f (0)＝0是
f (x )为奇函数的必要不充分条件，故选B.]
2．已知x ∈R ，则“x ＞2”是“x 2
－3x ＋2＞0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
A [由x 2
－3x ＋2＞0得x ＜1或x ＞2，所以“x ＞2”是“x 2
－3x ＋2＞0”的充分不必要条件，故选A.]
3．(2019·莆田模拟)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪、非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )
A ．充要条件
B ．既不充分也不必要条件
C ．充分不必要条件
D ．必要不充分条件
D [“非有志者不能至也”的等价说法是“到达奇伟、瑰怪，非常之观的人是有志的人”，因此“有志”是“到达奇伟，瑰怪，非常之观”的必要条件，但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件，故选D.]
4．若x ＞5是x ＞a 的充分条件，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ＞5 B ．a ≥5 C ．a ＜5
D ．a ≤5
D [由x ＞5是x ＞a 的充分条件知，{x |x ＞5}?{x |x ＞a }．∴a ≤5，故选D.] 5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a ＞b ＋1 B ．a ＞b －1 C ．a 2
＞b 2
D ．a 3
＞b 3
A [a ＞b ＋1?a ＞b ，但反之未必成立，故选A.]
6．(2019·山师大附中模拟)设a ，b 是非零向量，则a ＝2b 是a |a |＝b
|b |成立的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分又不必要条件
B [由a ＝2b 可知：a ，b 方向相同，a |a |，b |b |表示a ，b 方向上的单位向量，所以a
|a |
＝
b
|b |
成立；反之不成立．故选B.] 7．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C ，使得A ?C ，B ??U C ”是“A ∩B ＝?”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
C [依题意，若A ?C ，则?U C ??U A ，若B ??U C ，可得A ∩B ＝?；若A ∩B ＝?，不妨令C ＝
A ，显然满足A ?C ，
B ??U
C ，故满足条件的集合C 是存在的．]
二、填空题
8．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．
充要 [由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋k π，k ∈Z .∵0＜A ＜π，0＜B ＜π.∴A ＝B .]
9．“m ＜14”是“一元二次方程x 2
＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件．
充分不必要 [x 2
＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0， 即m ≤14，因为m ＜14?m ≤1
4
，反之不成立．
故“m ＜14
”是“一元二次方程x 2
＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．]
10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．
(4，＋∞) [A ＝{x |x ＜4}，由题意知A
B ，所以a ＞4.]
B 组 能力提升
1．(2019·长沙模拟)“不等式x 2
－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A ．m ＞14
B ．0＜m ＜1
C ．m ＞0
D ．m ＞1
C [由Δ＝1－4m ＜0得m ＞14，由题意知? ????14，＋∞应是所求的一个真子集，故选C.] 2．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m ，n 满足m ?α，n ?α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
A [∵若m ?α，n ?α，且m ∥n ，则一定有m ∥α， 但若m ?α，n ?α，且m ∥α，则m 与n 有可能异面， ∴“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件． 故选A.]
3．(2019·郑州模拟)已知“命题p ：(x －m )2
＞3(x －m )”是“命题q ：x 2
＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．
(－∞，－7]∪[1，＋∞) [由命题p 中的不等式(x －m )2
＞3(x －m )，得(x －m )(x －m －3)＞0，解得x ＞m ＋3或x ＜m .由命题q 中的不等式x 2
＋3x －4＜0，得(x －1)(x ＋4)＜0，解得－4＜x ＜1.因为命题p 是命题q 的必要不充分条件，所以q ?p ，即m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1.所以m 的取值范围为m ≥1或m ≤－7.]
4．(2017·北京高考)能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
－1，－2，－3(答案不唯一)[只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．]
课后限时集训(三)
(建议用时：40分钟)
A组基础达标
一、选择题
1．(2019·武汉模拟)已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( ) A．命题非p是真命题
B．命题p是特称命题
C．命题p是全称命题
D．命题p既不是全称命题也不是特称命题
C[该命题是全称命题且是真命题．故选C.]
2．已知p：?x0∈R,3x0＜x30，那么非p为( )
A．?x∈R,3x＜x3B．?x0∈R,3x0＞x30
C．?x∈R,3x≥x3D．?x0∈R,3x0≥x30
C[因为特称命题的否定为全称命题，所以非p：?x∈R,3x≥x3，故选C.]
3．(2019·衡水模拟)设命题p：“?x2＜1，x＜1”，则非p为( )
A．?x2≥1，x＜1 B．?x20＜1，x0≥1
C．?x2＜1，x≥1 D．?x20≥1，x0≥1
B[因为全称命题的否定是特称命题，所以非p为?x20＜1，x0≥1，故选B.]
4．命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A．?n∈N*，f(n)?N*且f(n)＞n
B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)＞n
C．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)＞n0
D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)＞n0
D[命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)＞n0”，故选D.]
5．给出下列命题：
①?α∈R ，sin α＋cos α＞－1； ②?α0∈R ，sin α0＋cos α0＝3
2；
③?α∈R ，sin αcos α≤1
2；
④?α0∈R ，sin α0cos α0＝34
. 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．③④
D ．②④
C [由sin α＋cos α＝2sin ? ????α＋π4≤2知①②是假命题， 由sin αcos α＝12sin 2α≤1
2
知③④是真命题，故选C.]
6．(2019·沈阳模拟)已知命题“?x ∈R,4x 2
＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取
值范围为( )
A ．(－∞，0)
B ．[0,4]
C ．[4，＋∞)
D ．(0,4)
D [因为命题“?x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定“?x ∈R,4x 2
＋(a
－2)x ＋14＞0”是真命题，则Δ＝(a －2)2
－4×4×14
＝a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4，故选D.]
7．已知命题p ：?x 0∈R ，x 2
0－ax 0＋4＝0；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2
＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p 和q 都是真命题，则实数a 的取值范围是________．
[－12，－4]∪[4，＋∞) [若p 是真命题，则Δ＝a 2
－16≥0，解得a ≤－4或a ≥4. 若q 是真命题，则－a
4≤3，即a ≥－12.
由于p 和q 都是真命题知．
因此a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．] 二、填空题
8．若“?x ∈??????0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．
1 [∵函数y ＝tan x 在?
?????0，π4上是增函数，
∴y max ＝tan π
4
＝1.
依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.]
9．已知命题“?x ∈R ，x 2
－5x ＋15
2
a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．
? ??
??56，＋∞ [由“?x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2
－5x ＋152
a ＞0对任意实数x 恒成立．
设f (x )＝x 2
－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方，
故Δ＝25－4×15
2
a ＜0，
解得a ＞56，即实数a 的取值范围为? ??
??56，＋∞.] 10．已知命题p ：?x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：?x 0∈R ，x 2
0＋4x 0＋a ＝0，若命题“p 和q ”都是真命题，则实数a 的取值范围是________．
[e,4] [由题意知p 与q 均为真命题，由p 为真，可知a ≥e，由q 为真，知x 2
＋4x ＋a ＝0有解，则Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4，综上知e≤a ≤4.]
B 组 能力提升
1．若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( ) A ．?x ∈R ，f (－x )≠f (x ) B ．?x ∈R ，f (－x )＝－f (x ) C ．?x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0) D ．?x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0)
C [由题意知?x ∈R ，f (－x )＝f (x )是假命题，则其否定为真命题，?x 0∈R ，f (－
x 0)≠f (x 0)是真命题．]
2．下列命题中，真命题是( ) A ．?x 0∈R ，e x 0≤0 B ．?x ∈R,2x ＞x 2
C ．a ＋b ＝0的充要条件是a
b
＝－1
D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分条件 D [因为y ＝e x
＞0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确； 因为当x ＝－5时，2－5
＜(－5)2
，所以B 不正确；
“a b
＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确； 当a ＞1，b ＞1时，显然ab ＞1，D 正确．]
3．已知p ：?x ∈????
??14，12，2x ＜m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1
＋m －1存在零点，若p
和q 都为真命题，则实数m 的取值范围是________．
? ????45，1 [已知p ：?x ∈??????14，12，2x ＜m (x 2＋1)，故m ＞2x x 2＋1.令g (x )＝2x x 2＋1，则g (x )在??????14，12递增，所以g (x )≤g ? ??
??12＝45， 故p 为真时：m ＞4
5
；
q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2，
令f (x )＝0，得2x
＝2－m －1.
若f (x )存在零点，则2－m －1＞0，解得m ＜1， 故q 为真时，m ＜1.
若p 和q 都为真命题，则实数m 的取值? ??
??45，1.] 4．已知下列命题：①?x 0∈?
?????0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2；
②?x ∈(3，＋∞)，x 2
＞2x ＋1； ③?x 0∈R ，x 2
0＋x 0＝－1；
④?x ∈? ??
??π2，π，tan x ＞sin x .
其中真命题为________．(填序号)
①② [对于①，当x 0＝π
4
时，sin x 0＋cos x 0＝2，所以此命题为真命题；对于②，当
x ∈(3，＋∞)时，x 2－2x －1＝(x －1)2－2＞0，所以此命题为真命题；对于③，?x ∈R ，x 2＋x
＋1＝? ????x ＋122＋34＞0，所以此命题为假命题；对于④，当x ∈? ??
??π2，π时，tan x ＜0＜sin x ，所以此命题为假命题．]
课后限时集训(四)
(建议用时：40分钟)
A 组 基础达标
一、选择题
1．(2019·开封模拟)函数y ＝1
ln x －1的定义域为( )
A ．(1，＋∞)
B ．[1，＋∞)
C ．(1,2)∪(2，＋∞)
D ．(1,2)∪[3，＋∞)
C [由题意知，?
??
??
ln x －1≠0，
x －1＞0，即?
??
??
x －1≠1，
x ＞1，
解得1＜x ＜2或x ＞2，故选C.]
2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2
B ．f (x )＝x 2
，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |
D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x
C [在A 中，定义域不同，在B 中，解析式不同，在
D 中，定义域不同．] 3．(2019·豫南九校联考)已知函数f (x )＝则f ? ????
f ? ????12＝( )
A ．3
B ．4
C ．－3
D ．38
C [由题意知f ? ????12＝2＋361
2
＝8，f ? ????f ? ????12＝f (8)＝log 128＝－3.故选C.]
4．已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1
D ．x ＋1或－x －1
A [设f (x )＝kx ＋b ，则由f (f (x ))＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A.]
5．(2018·大连模拟)已知函数f (x )＝?
??
??
2x
，x ＞0，
x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的
值等于( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
A [f (1)＝2，由f (a )＋f (1)＝0得f (a )＝－2，
∴?
????
a ＞0，
2a
＝－2，或?
??
??
a ≤0，
a ＋1＝－2，解得a ＝－3，故选A.]
6．已知f (2x ＋3)＝x ＋5，且f (t )＝6，则t ＝( ) A ．5 B ．4
C ．2
D ．－1
A [法一：令2x ＋3＝m ，则x ＝12
(m －3)，
∴f (m )＝12(m －3)＋5＝12m ＋7
2，
∴f (x )＝12x ＋7
2
.
由f (t )＝6，得12t ＋7
2
＝6，解得t ＝5，故选A.
法二：由x ＋5＝6得x ＝1，则t ＝2×1＋3＝5，故选A.]
7．若对任意实数x ，恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2
B ．0
C ．1
D ．－1
A [由2f (x )－f (－x )＝3x ＋1得
2f (－x )－f (x )＝1－3x .
联立方程组?
??
??
2f
x －f －x ＝3x ＋1，
2f －x －f x ＝1－3x ，
解得
f (x )＝x ＋1，所以f (1)＝1＋1＝2，故选A.]
二、填空题
8．已知f ? ??
??2x
＋1＝lg x ，则f (x )＝________.
lg
2x －1(x ＞1) [令2x ＋1＝t (t ＞1)，得x ＝2t －1
. 则f (t )＝lg
2t －1，即f (x )＝lg 2
x －1
(x ＞1)．] 9．已知函数f (x )＝?
????
x 2
＋2ax ，x ≥2，
2x
＋1，x ＜2，若f (f (1))＞3a 2
，则a 的取值范围是________．
(－1,3) [由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32
＋6a. 由f (f (1))＞3a 2
，得9＋6a ＞3a 2
，即a 2
－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.] 10．已知函数f (x )的定义域为[－1,1]，则f (log 2x )的定义域为________．
??????12，2 [由－1≤log 2
x ≤1得12≤x ≤2，即
f (lo
g 2x )的定义域为?
???
??1
2
，2.]
B 组 能力提升
1．(2019·郑州模拟)已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f 2x ＋1
log 2x ＋1
的定
义域是( )
A ．[1,2]
B ．(－1,1] C.????
??－12，0 D ．(－1,0)
D [因为函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，所以－1≤2x －1≤1，要使函数f 2x ＋1
log 2x ＋1
有意义，则需?????
－1≤2x ＋1≤1，x ＋1＞0，
x ＋1≠1，
解得－1＜x ＜0，故选D.]
2．设函数f (x )＝?
??
??
2x ＋n ，x ＜1，
log 2x ，x ≥1，若f ? ??
??f ? ????34＝2，则实数n 为( )
A ．－5
4
B ．－13
C.14
D.52
D [因为f ? ????34＝2×34＋n ＝32＋n ，当32＋n ＜1，即n ＜－12时，f ? ????f ? ????34＝2? ????32＋n ＋n ＝2，解得n ＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时，f ? ????f ? ????34＝log 2? ????32＋n ＝2，即32＋n ＝4，
解得n ＝5
2
，故选D.]
3．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 019)＝??
?
2sin x ，x ≥0，
lg －x ，x ＜0，
那么f 2 019＋π
4
·f (－7 981)＝________.
4 [当x ≥0时，有f (x ＋2 019)＝2sin x ，
∴f ?
????2 019＋π4＝2sin π4＝1；当x ＜0时，f (x ＋2 019)＝lg(－x )，∴f (－7 981)＝f (－10 000＋2 019)＝lg 10 000＝4，∴f ?
??
??
2 019＋π4
·f (－7 981)＝1×4＝4.]
4．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.
－
x x ＋1
2
[当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝
－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x x ＋1
2.]
课后限时集训(五)
(建议用时：60分钟) A 组 基础达标
一、选择题
1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2
－3x C ．f (x )＝－
1
x ＋1
D ．f (x )＝－|x |
C [函数f (x )＝－1
x ＋1
的单调递增区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故在(0，＋∞)上是增函数，故选C.]
2．(2019·湖北八校联考)设函数f (x )＝
2x
x －2
在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2
M
＝( )
A.23
B.38
C.32
D.83
D [f (x )＝
2x x －2
＝2x －2＋4x －2＝2＋4
x －2
，
则函数f (x )在[3,4]上是减函数，从而
f (x )m ax ＝f (3)＝2＋4
3－2＝6， f (x )min ＝f (4)＝2＋
4
4－2
＝4， 即M ＝6，m ＝4，所以m 2M ＝166＝8
3
，故选D.]
3．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2
)的单调递减区间是( ) A.?
????－∞，32 B.????
??32，＋∞
C.?
????－1，32 D.????
??32，4
D [要使函数有意义需4＋3x －x 2
＞0， 解得－1＜x ＜4，∴定义域为(－1,4)．
令t ＝4＋3x －x 2
＝－? ??
??x －322
＋254.
则t 在? ????－1，32上递增，在????
??32，4上递减，
又y ＝ln t 在?
????0，254上递增，
∴f (x )＝ln(4＋3x －x 2
)的单调递减区间为????
??32，4.]
4．已知函数f (x )＝log 2x ＋
1
1－x
，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0
D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0
B [函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在区间(1，＋∞)上是增函数，且f (2)＝log 22＋1
1－2＝0，
从而f (x 1)＜0，f (x 2)＞0，故选B.]
5．(2019·三门峡模拟)设函数f (x )＝?
????
2x
，x ＜2，
x 2
，x ≥2，若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a
的取值范围是( )
A ．(－∞，1]
B ．(－∞，2]
C ．[2,6]
D ．[2，＋∞)
B [易知f (x )＝?
????
2x
，x ＜2，
x 2
，x ≥2是定义域R 上的增函数．
∵f (a ＋1)≥f (2a －1)，∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2. 故实数a 的取值范围是(－∞，2]，故选B.] 二、填空题
6．(2019·上饶模拟)函数f (x )＝－x ＋1x 在???
???－2，－13上的最大值是________．
32 [法一：易知y ＝－x ，y ＝1x 在??????－2，－13上单调递减，∴函数f (x )在??????－2，－13上单
调递减，∴f (x )m ax ＝f (－2)＝3
2
.
法二：函数f (x )＝－x ＋1x 的导数为f ′(x )＝－1－1
x
2.
易知f ′(x )＜0，可得f (x )在??????－2，－13上单调递减， 所以f (x )m ax ＝2－12＝3
2
.]
7．(2019·长春模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．
(－∞，1] [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.] 8．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2
－a )＞f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．
(－3，－1)∪(3，＋∞) [由已知可得????
?
a 2
－a ＞0，a ＋3＞0，
a 2－a ＞a ＋3，
解得－3＜a ＜－1或a ＞3，
所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．]
三、解答题
9．已知函数f (x )＝x 2
＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数的最大值和最小值；
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．
[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2
－2x ＋2＝(x －1)2
＋1；因为x ∈[－5,5]，所以x ＝1时，f (x )取最小值1；x ＝－5时，f (x )取最大值37.
(2)f (x )的对称轴为x ＝－a.因为f (x )在[－5,5]上是单调函数，所以－a ≤－5，或－a ≥5，所以实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
10．已知f (x )＝
x
x －a
(x ≠a )．
(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． [解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2
x 2＋2
＝
2x 1－x 2
x 1＋2x 2＋2
.
∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，
∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．
(2)f (x )＝
x
x －a ＝
x －a ＋a x －a ＝1＋a
x －a
，
当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数， 又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，
∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1]．
B 组 能力提升
1．(2019·唐山模拟)函数y ＝2－x
x ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )
A ．(1,2)
B ．(－1,2)
C ．[1,2)
D ．[－1,2)
D [函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3
x ＋1－1，在x ∈(－1，＋∞)时，函数y 是单调递减函数，
在x ＝2时，y ＝0；根据题意x ∈(m ，n ]时，y 的最小值为0，∴m 的取值范围是－1≤m ＜2.故选D.]
2．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.
－6 [f (x )＝|2x ＋a |＝?????
2x ＋a ，x ≥－a
2
，－2x －a ，x ＜－a
2
.
∵函数的单调递增区间为??????
－a
2，＋∞， ∴－a
2＝3，∴a ＝－6.]
3．设函数f (x )＝????
?
1，x ＞1，0，x ＝1，
－1，x ＜1，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是
________．
[0,2) [g (x )＝x 2
f (x －1)＝?????
x 2
，x ＞2，0，x ＝2，
－x 2，x ＜2，
当x ＜2时，g (x )＝－x 2
，因此g (x )的单调递减区间为[0,2)．] 4．已知函数f (x )＝2x －a x
的定义域为(0,1](a 为实数)． (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；
(2)求函数y ＝f (x )在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值．
[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1
x
，任取1≥x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－
? ????1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)? ??
??2＋1x 1x 2. 因为1≥x 1＞x 2＞0， 所以x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0.
所以f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(0,1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1]．
(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0,1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ； 当a ＜0时，f (x )＝2x ＋－a
x
，
当
－a
2
≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0,1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；
当
－a
2＜1，即a ∈(－2,0)时，y ＝f (x )在?
?
???0，－a 2上单调递减，在?
?
?
?
??
－a
2，1上
单调递增，无最大值，当x ＝
－a
2
时取得最小值2－2a . 课后限时集训(六)
(建议用时：60分钟) A 组 基础达标
一、选择题
1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2
B ．y ＝x ＋1
x
C ．y ＝2x
＋12
x
D ．y ＝x ＋e x
D [A 选项定义域为R ，由于f (－x )＝1＋－x 2
＝1＋x 2
＝f (x )，所以是偶函数．B
选项定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1
x
＝－f (x )，所以是奇函数．C 选项定义域为R ，
由于f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x
＝f (x )，所以是偶函数．D 选项定义域为R ，由于f (－x )＝－x
＋e －x
＝1e
x －x ，所以是非奇非偶函数．]
2．(2019·开封模拟)已知f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )
＝2x
＋log 2x ，则f (2 019)＝( )
A ．5 B.1
2
C ．2
D ．－2
D [由题意得f (2 019)＝f (4×505－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－(21
＋log 21)＝－2，故选D.]
3．(2019·三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x
，则当x ＞0时，f (x )＝( )
A ．－2x
B ．2－x
C ．－2－x
D ．2x
C [当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝2－x
，又f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝2－x
，即
f (x )＝－2－x ，故选C.]
4．(2019·郑州模拟)已知函数f (x )＝?
????
21－x ，0≤x ≤1，
x －1，1＜x ≤2，如果对任意的n ∈N *
，
定义f n (x )＝，那么f 2 018(2)的值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
A [由题意知，f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (f (2))＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (f (f (2)))＝f (0)＝2，f 4(2)＝f (2)＝1，因此f n (2)的值呈周期性变化，周期T ＝3.则f 2 018(2)＝f 2(2)＝0，故选A.]
5．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1＜x 2时，都有
f x 1－f x 2
x 1－x 2
＞0；②f (x ＋4)＝－f (x )；
③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．a ＜c ＜b
D ．c ＜b ＜a
B [由条件①知，函数f (x )在区间[4,8]上是增函数， 由条件②知，函数f (x )的周期T ＝8，
由条件③知，函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称． 则f (11)＝f (3)＝f (5)，f (2 017)＝f (1)＝f (7)． 由f (5)＜f (6)＜f (7)知f (11)＜f (6)＜f (2 017)， 即b ＜a ＜c .故选B.] 二、填空题
6．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －
2)≥0的解集是________．
{x |x ≤1或x ≥3} [由题意知偶函数f (x )在(－∞，0)上是减函数，且f (－1)＝f (1)＝0，所以f (x －2)≥0可转化为x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1.]
7．(2019·广州模拟)已知函数f (x )＝2
x
2x －1
＋a 为奇函数，则实数a ＝________.
－12 [由题意知f (－1)＝－f (1)，即2－1
2－1－1＋a ＝－? ??
??22－1＋a ，解得a ＝－12，经检验，符合题意．]
8．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件： ①f (x )＋f (－x )＝0； ②f (x )＝f (x ＋2)；
③当0≤x ＜1时，f (x )＝2x
－1.
则f ? ????12＋f (1)＋f ? ????32＋f (2)＋f ? ??
??52＝________.
2－1 [依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2， 则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0.
∴f ? ????12＋f (1)＋f ? ????32＋f (2)＋f ? ????52＝f ? ????12＋0＋f ? ????－12＋f (0)＋f ? ????12＝f ? ????12－f ? ????12＋f (0)＋f ? ????12＝f ? ??
??12＋f (0) ＝212
－1＋20
－1 ＝2－1.] 三、解答题
9．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ? ????32＋x ＝－f ? ??
??32－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．
[解] (1)证明：由f ? ????32＋x ＝－f ? ??
??32－x ，
且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ??????32＋? ????32＋x ＝－f ????
??32－? ????32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所
以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．
(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.