匀变速直线运动规律的应用教案

学案6匀变速直线运动规律的应用

[学习目标定位] 1.会分析汽车行驶的安全问题.2.能正确分析“刹车”问题.3.会分析简单的追及和相遇问题.4.能利用v－t图像解决问题．

一、生活中的匀变速直线运动

1．生活中的匀变速直线运动

匀变速直线运动是一种理想化的运动模型．生活中的许多运动由于受到多种因素的影响，运动规律往往比较复杂，但当我们忽略某些次要因素后，有些运动如汽车刹车、启动，飞机的起飞、降落等有时也可以把它们看成是匀变速直线运动，应用匀变速直线运动的规律解决这类问题．

2．交通安全问题

汽车行驶的安全车距等于反应距离和刹车距离之和．

二、求解匀变速直线运动需注意的问题

求解匀变速直线运动的问题时，一定要认真分析运动过程，明确哪些是已知量，哪些是待求量，并养成画示意图的习惯．由于匀变速直线运动的两个基本公式(速度公式和位移公式)中包括五个物理量(v0、v t、a、s、t)，因此，只要知道其中的三个量，就一定可以求出另外两个量.

一、汽车行驶安全问题和v－t图像的应用

1．汽车行驶安全问题

(1)汽车运动模型

??

?

??启动过程：匀加速直线运动

行驶过程：匀速直线运动

刹车过程：匀减速直线运动

(2)反应时间：从发现情况到采取相应行动经过的时间．

(3)反应距离

反应距离s1＝车速v0×反应时间t.

在车速一定的情况下，反应越快即反应时间越短越安全．

(4)刹车距离：刹车过程做匀减速运动，其刹车距离s 2＝－v 20

2a

(a ＜0)，

大小取决于初速度和刹车的加速度． (5)安全距离

安全距离即停车距离，包含反应距离和刹车距离两部分． 2．利用v －t 图像求位移 v －t 图像上，某段时间内图线与时间轴围成的图形的面积表示该段时间内物体通过的位移大小．

例1 汽车在高速公路上行驶的速度为108 km/h ，若驾驶员发现前方80 m 处发生了交通事故，马上紧急刹车，汽车以恒定的加速度经过4 s 才停下来，假设驾驶员看到交通事故时的反应时间是0.5 s ，则 (1)在反应时间内汽车的位移是多少？ (2)紧急刹车后，汽车的位移是多少？

(3)该汽车行驶过程中是否会出现安全问题？

解析 解法一 设汽车的初速度为v ，且v ＝108 km/h ＝30 m/s. (1)汽车在反应时间内的位移为 s 1＝vt 1＝30×0.5 m ＝15 m. (2)汽车在刹车过程中的位移为

s 2＝v 2t 2＝30

2

×4 m ＝60 m.

(3)汽车停下来的实际位移为 s ＝s 1＋s 2＝(15＋60) m ＝75 m.

由于前方80 m 处出现了事故，所以不会出现安全问题． 解法二

汽车的位移可以通过v －t 图像求解，作出汽车这个过程的v －t 图像(如图)，由图像可知

(1)反应时间内的位移s 1＝30×0.5 m ＝15 m.

(2)刹车位移s 2＝30×4

2

m ＝60 m.

(3)总位移s ＝0.5＋4.5×30

2

＝75 m ．由于前方80 m 处出现了事

故，所以不会出现安全问题．

答案 (1)15 m (2)60 m (3)不会

二、刹车类问题和逆向思维法

1．特点：对于汽车刹车，飞机降落后在跑道上滑行等这类交通工具的匀减速直线运动，当速度减到零后，加速度也为零，物体不可能倒

过来做反向的运动，所以其运动的最长时间t ＝－v 0

a

(a ＜0)．在这种

题目中往往会存在“时间陷阱”．

2．处理方法：首先计算速度减到零所需时间，然后再与题中所给的时间进行比较，确定物体在所给的时间内是否已停止运动，如果是，则不能用题目所给的时间计算．

注意 虽然汽车刹车后不会以原来的加速度反向做加速运动，但我们在处理这类末速度为零的匀减速直线运动时，可采用逆向思维法，即把运动倒过来看成是初速度为零的匀加速直线运动．

例2 一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h 的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s 2，求： (1)开始制动后，前2 s 内汽车行驶的距离． (2)开始制动后，前5 s 内汽车行驶的距离．

解析 汽车的初速度v 0＝72 km/h ＝20 m/s ，末速度v t ＝0，加速度

a ＝－5 m/s 2

；汽车运动的总时间t ＝v t －v 0a ＝0－20 m/s －5 m/s 2

＝4 s.

(1)因为t 1＝2 s

故s 1＝v 0t 1＋12at 21＝(20×2－1

2

×5×22) m ＝30 m

(2)因为t 2＝5 s>t ，所以汽车5 s 时早已停止运动

故s 2＝v 0t ＋12at 2＝(20×4－1

2

×5×42) m ＝40 m

(注意：也可以用逆向思维法，即对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动．此题可以用如下解

法：s 2＝12at 2＝1

2

×5×42 m ＝40 m)．

答案 (1)30 m (2)40 m 三、追及相遇问题

1．追及相遇问题是一类常见的运动学问题，分析时，一定要抓住： (1)位移关系：s 2＝s 0＋s 1.

其中s 0为开始追赶时两物体之间的距离，s 1表示前面被追赶物体的位移，s 2表示后面物体的位移．

(2)临界状态：v1＝v2.

当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞、相距最远、相距最近等临界、最值问题．

2．处理追及相遇问题的三种方法

(1)物理方法：通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列出方程求解．

(2)数学方法：由于匀变速直线运动的位移表达式是时间t的一元二次方程，我们可利用判别式进行讨论：在追及问题的位移关系式中，若Δ>0，即有两个解，并且两个解都符合题意，说明相遇两次；Δ＝0，有一个解，说明刚好追上或相遇；Δ<0，无解，说明不能够追上或相遇．

(3)图像法：对于定性分析的问题，可利用图像法分析，避开繁杂的计算，快速求解．

例3物体A、B同时从同一地点沿同一方向运动，A以10 m/s的速度做匀速直线运动，B以2 m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求A、B再次相遇前两物体间的最大距离．

解析解法一物理分析法

A做v A＝10 m/s的匀速直线运动，B做初速度为零、加速度为a＝2 m/s2的匀加速直线运动．根据题意，开始一小段时间内，A的速度大于B的速度，它们之间的距离逐渐变大；当B加速到速度大于A的速度后，它们之间的距离又逐渐变小；A、B间的距离有最大值的临界条件是v A＝v B①

设两物体经历时间t相距最远，则

v B＝at②

把已知数据代入①②两式联立解得t＝5 s.

在时间t内，A、B两物体前进的距离分别为：

s A＝v A t＝10×5 m＝50 m

s B＝1

2at2＝1

2×2×52 m＝25 m.

A、B再次相遇前两物体间的最大距离为：Δs m＝s A－s B＝50 m－25 m＝25 m.

解法二 图像法

根据题意作出A 、B 两物体的v －t 图像，如图所示．由图可知，A 、B 再次相遇前它们之间的距离有最大值的临界条件是v A ＝v B ，得t 1＝5 s.

A 、

B 间距离的最大值在数值上等于△Ov A P 的面积，即Δs m ＝1

2

×5×10

m ＝25 m.

解法三 极值法

物体A 、B 的位移随时间变化的规律分别是s A ＝10t ，s B ＝1

2

×2×t 2＝t 2，

则A 、B 再次相遇前两物体间的距离Δs ＝10t －t 2，可知Δs 有最大值，

且最大值为：Δs m ＝4×－1×0－102

4×－1

m ＝25 m.

答案 25 m

1．(利用图像分析运动)甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t ＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v －t 图像中(如图1所示)，直线a 、b 分别描述了甲、乙两车在0～20 s 的运动情况．关于两车之间的位置关系，下列说法中正确的是( )

图1

A．在0～10 s内两车逐渐靠近

B．在10 s～20 s内两车逐渐远离

C．在5 s～15 s内两车的位移相等

D．在t＝10 s时两车在公路上相遇

答案 C

解析由题图知乙做匀减速直线运动，初速度v乙＝10 m/s，加速度大小a乙＝0.5 m/s2；甲做匀速直线运动，速度v甲＝5 m/s.当t＝10 s 时v甲＝v乙，甲、乙两车距离最大，所以0～10 s内两车之间的距离越来越大；10 s～20 s内两车之间的距离越来越小，t＝20 s时，两车距离为0，再次相遇，故选项A、B、D错误；在5 s～15 s内，两图线与时间轴围成的面积相等，因而两车位移相等，故选项C正确．2．(汽车行驶安全问题)驾驶手册规定具有良好刹车性能的汽车以80 km/h的速率行驶时，可以在56 m的距离内被刹住，在以48 km/h 的速度行驶时，可以在24 m的距离内被刹住．假设对这两种速率，驾驶员的反应时间相同(在反应时间内驾驶员来不及刹车，车速不变)，刹车产生的加速度也相同，则驾驶员的反应时间约为多少？

答案0.72 s

解析设驾驶员反应时间为t，刹车距离为s，刹车后加速度大小为a，

则由题意可得s＝vt＋v2

2a，将两种情况下的速度和刹车距离代入上式得：

56＝80

3.6×t＋

80

3.62

2a

①

24＝48

3.6×t＋

48

3.62

2a

②

由①②两式解得t＝0.72 s

故驾驶员的反应时间约为0.72 s

3．(刹车类问题)一滑块在水平面上以10 m/s的初速度做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2.求：

(1)滑块经3 s时的速度的大小；

(2)滑块经10 s 时的速度及位移的大小． 答案 (1)4 m/s (2)0 25 m

解析 取初速度方向为正方向，则v 0＝10 m/s ， a ＝－2 m/s 2

由t 1＝Δv

a 得滑块停止所用时间t 1＝0－10－2

s ＝5 s

(1)由v t ＝v 0＋at 得滑块经3 s 时的速度v 1＝10 m/s ＋(－2)×3 m/s ＝4 m/s

(2)因为滑块经5 s 时已经停止，所以5 s ～10 s 时滑块的速度为0,10

s 时的位移也就是5 s 时的位移，由s ＝v t 得s ＝10＋0

2

×5 m ＝25 m

4．(追及相遇问题)甲车以3 m/s 2的加速度由静止开始做匀加速直线运动．乙车落后2 s 在同一地点由静止开始，以6 m/s 2的加速度做匀加速直线运动．两车的运动方向相同．求：

(1)在乙车追上甲车之前，两车距离的最大值是多少？

(2)乙车出发后经多长时间可追上甲车？此时它们离出发点多远？ 答案 (1)12 m (2)(2＋22) s 70 m

解析 (1)两车距离最大时速度相等，设此时乙车已开动的时间为t ，则甲、乙两车的速度分别是 v 1＝3×(t ＋2)＝3t ＋6 v 2＝6t

由v 1＝v 2得：t ＝2 s

由s ＝12at 2

知，两车距离的最大值

Δs ＝12a 甲(t ＋2)2

－12a 乙t 2

＝12×3×42

m －12

×6×22 m ＝12 m (2)设乙车出发后经t ′追上甲车，则

s 1＝12a 甲(t ′＋2)2＝1

2×3×(t ′＋2)2＝3t ′＋22

2 m

s 2＝12a 乙t ′2

＝12

×6×t ′2＝3t ′2

s 1＝s 2，代入数据求得 t ′＝(2＋22) s

将所求得的时间代入位移公式可得s 1＝s 2≈70 m

题组一汽车行驶安全问题

1．某辆汽车刹车时能产生的最大加速度为10 m/s2，司机发现前方有危险时，0.7 s后才能做出反应，开始制动，这个时间称为反应时间．若汽车以20 m/s的速度行驶时，汽车之间的距离至少应为() A．34 mB．14 mC．20 mD．27 m

答案 A

解析汽车的反应距离s1＝v0t1

为确保安全，反应时间t1取0.7 s.

s1＝20×0.7 m＝14 m.

刹车后汽车做匀减速直线运动，滑行位移为s2，则

v2t－v20＝2as2，代入数据解得s2＝20 m.

汽车之间的安全距离至少为s＝s1＋s2＝34 m.

2．高速公路给人们出行带来了方便，但是因为在高速公路上行驶的车辆速度大，雾天往往出现十几辆车追尾连续相撞的车祸．汽车在沪宁高速公路上正常行驶的速率为120 km/h，汽车刹车产生的最大加速度为8 m/s2，大雾天关闭高速公路．如果某天有薄雾，能见度约为37 m，为安全行驶，避免追尾连续相撞，汽车行驶速度应限制为(设司机反应时间为0.6 s)()

A．54 km/hB．20 km/h

C．72 km/hD．36 km/h

答案 C

解析能见度37 m，即司机发现情况后从刹车到车停，位移最大为

37 m，司机反应时间t＝0.6 s，vt＋v2

2a＝37 m，解得v＝20 m/s＝72

km/h即车速上限．

题组二刹车类问题和逆向思维法

3．若汽车以12 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，由于前方出现意外情况，驾驶员紧急刹车，刹车的加速度大小是4 m/s2，则刹车后2 s时的速度大小为()

A．4 m/s B．2 m/s

C．8 m/s D．10 m/s

答案 A

解析设汽车经时间t停止，取初速度方向为正方向，则a＝－4 m/s2由v t＝v0＋at

得t＝v t－v0

a＝

0－12 m/s

－4 m/s2

＝3 s

则刹车2 s时，汽车未停止

v＝v0＋at′＝[12＋(－4)×2]m/s＝4 m/s

故选项A正确．

4．一辆汽车以20 m/s的速度沿平直公路匀速行驶，突然发现前方有障碍物，立即刹车，汽车以大小为5 m/s2的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后2 s内与刹车后6 s内汽车通过的位移大小之比为()

A．1∶1 B．3∶4

C．3∶1 D．4∶3

答案 B

解析汽车的刹车时间t0＝－20

－5

s＝4 s，故刹车后2 s及6 s内汽车

的位移大小分别为s1＝v0t1＋1

2at21＝20×2 m＋

1

2×(－5)×22 m＝30 m，

s2＝20×4 m＋1

2×(－5)×42 m＝40 m，

s1∶s2＝3∶4，B正确．

5．如图1所示，在水平面上有一个质量为m的小物块，从某点给它一个初速度沿水平面做匀减速直线运动，途中经过A、B、C三点，到达O点的速度为零．A、B、C三点到O点的距离分别为s1、s2、s3，物块从A点、B点、C点运动到O点所用时间分别为t1、t2、t3，下列结论正确的是()

图1

A.s1

t1＝

s2

t2＝

s3

t3B.

s1

t1<

s2

t2<

s3

t3

C.s1

t21＝

s2

t22＝

s3

t23D.

s1

t21<

s2

t22<

s3

t23

答案 C

解析由于v＝s

t＝

1

2v，故

s1

t1＝

v A

2，

s2

t2＝

v B

2，

s3

t3＝

v C

2，所以

s1

t1>

s2

t2>

s3

t3，A、

B错；小物块的运动可视为逆向的由静止开始的匀加速直线运动，故

位移s ＝12at 2，s t 2＝12a ＝常数，所以s 1t 21＝s 2t 22＝s 3

t 23

，C 对，D 错．

题组三 v －t 图像的应用 6．甲车以加速度3 m/s 2由静止开始做匀加速直线运动，乙车落后2 s 在同一地点由静止出发，以加速度4 m/s 2做加速直线运动，两车速度方向一致．在乙车追上甲车之前，两车距离的最大值是( ) A ．18 mB ．24 m C ．22 mD ．28 m 答案 B

解析 法一 乙车从静止开始做匀加速运动，落后甲2 s ，则开始阶段甲车在前．当乙车速度小于甲车的速度时，两者距离增大；当乙车速度大于甲车的速度时，两者距离减小，则当两者速度相等时距离最大．即：a 甲(t 乙＋2)＝a 乙t 乙，得：t 乙＝6 s ；两车距离的最大值为Δs

＝s 甲－s 乙＝12a 甲(t 乙＋2)2

－12a 乙t 2乙＝24 m ，故选B. 法二

也可利用v －t 图像求解．如图所示，两车速度相等时，乙车已运动6 s(同法一)此时v ＝a 乙t 乙＝4×6 m/s ＝24 m/s ，最大距离为图中阴影

部分面积，故Δs ＝1

2

×2×24 m ＝24 m.

题组四 追及相遇问题

7．如图2所示，A 、B 两物体相距s ＝7 m ，物体A 以v A ＝4 m/s 的速度向右匀速运动，而物体B 此时的速度v B ＝10 m/s ，向右做匀减速运动，加速度大小为2 m/s 2，那么物体A 追上物体B 所用的时间为( )

图2

A ．7 s

B ．8 s

C ．9 s

D ．10 s 答案 B

解析 B 物体能运动的时间t B ＝－v B a ＝－10

－2

s ＝5 s ．此时B 的位移s B

＝－v 2B 2a ＝－1022×－2

m ＝25 m ．在5 s 内A 物体的位移s A ＝v A t B ＝4×5 m ＝20 m

v A t ＝s B ＋s ，t ＝s B ＋s v A ＝25＋7

4

s ＝8 s ．故B 正确．

8．在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在t ＝0时同时经过某一个路标，它们位移s (m)随时间t (s)的变化规律为：汽车为s ＝

10t －14

t 2

(m)，自行车为s ＝6t (m)，则下列说法正确的是( )

A ．汽车做减速直线运动，自行车做匀速直线运动

B ．不能确定汽车和自行车各做什么运动

C ．开始经过路标后较短时间内自行车在前，汽车在后

D ．当自行车追上汽车时，它们距路标96 m 答案 AD

解析 根据两者位移s 随时间t 变化规律表达式可知，汽车做初速度为v 0＝10 m/s ，加速度大小为a ＝0.5 m/s 2的匀减速直线运动，自行车做速度为v ＝6 m/s 的匀速直线运动，故A 正确，B 错误；由于v 0>v ，所以开始经过路标后较短时间内汽车在前，自行车在后，故C 错误；设汽车速度减少至零所用时间为t 0，由题意得t 0＝20 s ，当自行车追

上汽车时，设经过的时间为t ，则有：10t －14

t 2

＝6t ，解得：t ＝16 s

符合情境，此时两者的位移为：s ＝96 m ，故D 正确．

9．目前我国动车组在广泛使用．假设动车轨道为直线，动车制动时的加速度为1 m/s 2.

(1)如果动车司机发现前方450 m 处有故障车停车，要使动车不发生追尾，则动车运行速度不能超过多少？(不考虑反应时间)

(2)如果动车运行的速度为252 km/h ，当动车司机前方2 464 m 处有故障车停车，经反应后制动减速，为了确保列车不发生追尾，问动车司机反应时间不得超过多少？ 答案 (1)30 m/s (2)0.2 s

解析 (1)动车减速的加速度a ＝－1 m/s 2，－v 2

0＝2as ， 解得v 0＝30 m/s

(2)v ＝252 km/h ＝70 m/s

设反应时间为t ，反应时间内位移为s 1，减速位移为s 2 s ′＝s 1＋s 2＝2 464 m

s 1＝vt －v 2＝2as 2 解得t ＝0.2 s.

10．甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L 1＝11 m 处，乙车速度v 乙＝60 m/s ，甲车速度v 甲＝50 m/s ，此时乙车离终点线尚有L 2＝600 m ，如图3所示．若甲车做匀加速运动，加速度a ＝2 m/s 2，乙车速度不变，不计车长．

图3

(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？ (2)到达终点时甲车能否超过乙车？ 答案 (1)5 s 36 m (2)不能

解析 (1)当甲、乙两车速度相等时，两车距离最大，即 v 甲＋at 1＝v 乙

得t 1＝v 乙－v 甲a ＝60－502

s ＝5 s

甲车位移s 甲＝v 甲t 1＋12

at 2

1＝275 m

乙车位移s 乙＝v 乙t 1＝60×5 m ＝300 m 此时两车间距离Δs ＝s 乙＋L 1－s 甲＝36 m (2)甲车追上乙车时，位移关系为 s 甲′＝s 乙′＋L 1

甲车位移s 甲′＝v 甲t 2＋12

at 2

2

乙车位移s 乙′＝v 乙t 2

将s 甲′、s 乙′代入位移关系，得

v 甲t 2＋12

at 2

2＝v 乙t 2＋L 1

代入数值并整理得t 2

2－10t 2－11＝0 解得t 2＝－1 s(舍去)或t 2＝11 s 此时乙车位移s 乙′＝v 乙t 2＝660 m

因s 乙′>L 2，故乙车已冲过终点线，即到达终点时甲车不能超过乙车． 11．晚间，甲火车沿平直轨道以4 m/s 的速度匀速前进，当时乙火车误入同一轨道，且以20 m/s 的速度追向甲车，当乙车司机发现甲车

时两车相距仅125 m ，乙车立即制动，已知以这种速度前进的火车制动后需经过200 m 才能停止． (1)问是否会发生撞车事故？

(2)若要避免两车相撞，乙车刹车的加速度至少应为多大？ 答案 见解析

解析 (1)乙车制动时的加速度：

a ＝0－v 202s ＝0－2022×200

m/s 2＝－1 m/s 2.

当甲、乙两车速度相等时有：v 甲＝v 乙＝v 0＋at ，解得t ＝16 s ， 此过程甲车位移s 甲＝v 甲t ＝64 m ，

乙车位移s 乙＝v 0＋v 乙

2

t ＝192 m ，

由于s 甲＋125 m

所以两车会发生撞车事故．

(2)两车不相撞的临界条件是到达同一位置时两车的速度相同

则125＋v 甲t 0＝v 0t 0＋12

a 0t 2

0，v 甲＝v 0＋a 0t 0

代入数据解得t 0＝15.625 s ，a 0＝－1.024 m/s 2

即为使两车不相撞，乙车刹车的加速度至少为1.024 m/s 2.

12．甲、乙两车同时从同一地点出发，甲以8 m/s 的初速度、1 m/s 2的加速度做匀减速直线运动，乙以2 m/s 的初速度、0.5 m/s 2的加速度和甲车同向做匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距的最大距离和再次相遇时两车运动的位移． 答案 12 m32 m

解析 当两车速度相同时，两车相距最远，此时两车运动的时间为t 1，速度为v 1，则 v 1＝v 甲－a 甲t 1 v 1＝v 乙＋a 乙t 1

两式联立解得t 1＝v 甲－v 乙a 甲＋a 乙＝8－2

1＋0.5

s ＝4 s.

此时两车相距：

Δs ＝s 1－s 2＝(v 甲t 1－12a 甲t 21)－? ??

??v 乙t 1＋12a 乙t 21

＝[(8×4－12×42)－(2×4＋1

2

×0.5×42)] m

＝12 m.

当乙车追上甲车时，两车位移均为s ，运动时间为t ，

则v 甲t －12a 甲t 2

＝v 乙t ＋12a 乙t 2.

解得t ＝2v 甲－v 乙a 甲＋a 乙＝2×8－2

1＋0.5

s ＝8 s ，t ＝0(舍去)

两车相遇时，位移均为：s ＝v 乙t ＋1

2a 乙t 2＝32 m.