二元一次方程与工程、浓度问题
一、精心选一选
1、加工某种零件,甲每小时做a 个,甲的工效是乙的工效的1.5倍,则乙每小时加工零件( )个。
A 、a 21
B 、a 32
C 、a 31
D 、a 3
4 2、第一种药液5升和第二种药液7升混合后可得到浓度是65%的药液;若第一种药液20升和第二种药液4升混合后可得到浓度是70%的药液。求每种药液的浓度时,设第一种药液的浓度为x %,第二种药液的浓度为y %,依题意可列方程组为( )
A 、???=+=+%70420%6575y x y x
B 、????=?+??=?+?%
7024%4%20%6512%7%5y x y x C 、????=+?=+%7024420%651275y x y x D 、?
??+?=++?=+)(%70420)(%6575y x y x y x y x 3、有含某硫酸盐20%的盐水100千克,要使其浓度变成为40%,需要加该盐( )千克。
A 、3331
B 、33
1 C 、40 D 、60 4、一项工程,甲、乙合作6天完成,若单独做,甲比乙可少用5天,设甲、乙独做分别需x 天和y 天,以下方程组正确的是( )
A 、???=-=+56y x y x
B 、???=-=+56x y x y
C 、?????+==+66111y x y x
D 、??
???-==+56111y x y x 二、 耐心填一填
1、一批零件共840个,如果甲先做4天,乙加入合做,那么再做8天完成;如果乙先做4天,甲加入合做,那么再做9天才能完成,则甲每天做 个;乙每天做 个。
2、某工厂接受一批订货,按原计划规定的天数,如果每天平均生产26件,差38件不能完成任务,如果平均每天生产30件,可超额10件完成任务。则这批订货有 件;原计划 天完成任务。
3、用含药30%和75%的两种防腐药水,要配制含药50%的防腐药水18千克。若设用含药30%的药水x 千克,75%的药水y 千克。依题意列方程组为 。
4、甲每小时做a 个零件,乙的工作效率是甲的32倍,若甲工作b 小时,乙的工作时间是甲的2倍,则甲做 个零件,乙做 个零件。
三、用心想一想
1、某项工程,需在规定的时间内完成,若工人减少6人,则工时增加12天;若工人增加4人,则工时可减少4天,求规定的时间是多少天?规定的人数是多少人?
2、有甲、乙两种铜与银的合金,甲种合金含银25%,乙种合金含银37.5%,现在要熔成含银30%的合金100千克,问两种合金应各取多少千克?
3、据研究,当洗衣机中洗衣粉的含量则0.2%—0.5%之间时,衣服的洗涤效果较好,因为这时表面活性较大。现将4.94千克的衣服放入最大容量为15千克的洗衣机中,欲使洗衣机中洗衣粉的含量达到0.4%,那么洗衣机中需要加入多少千克水,多少匙洗衣粉?(1匙洗衣粉约0.02千克。假设洗衣机以最大容量洗涤)
4、A、B、C、D、E五人干一项工作,若A、B、C、D四人一起干,需6天完工;若B、C、D、E四人一起干,则需8天完工;若A、E两人一起干,则需12天完工,那么若E一人独干,需多少天完工?
5、有四种原料:①50%的酒精溶液150克,②90%的酒精溶液45克,③纯酒精45克,④水45克。请你设计一种方案,只选取三种原料(各取若干或全部),配制成60%的酒精溶液200克,你准备选哪三种原料?各取多少?用方程组的方法说明你的配制方法。
实际问题与二元一次方程组题型归纳(练习题答案) 类型一:列二元一次方程组解决——行程问题 【变式1】甲、乙两人相距36千米,相向而行,如果甲比乙先走2小时,那么他们在乙出发2.5小时后相遇;如果乙比甲先走2小时,那么他们在甲出发3小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米? 解:设甲,乙速度分别为x,y千米/时,依题意得: (2.5+2)x+2.5y=36 3x+(3+2)y=36 解得:x=6,y=3.6 答:甲的速度是6千米/每小时,乙的速度是3.6千米/每小时。 【变式2】两地相距280千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时,逆流用20小时,求船在静水中的速度和水流速度。 解:设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时,有: 20(x-y)=280 14(x+y)=280 解得:x=17,y=3 答:这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时, 类型二:列二元一次方程组解决——工程问题 【变式】小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元;若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周完成,需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成,从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司?请你说明理由. 解:
类型三:列二元一次方程组解决——商品销售利润问题 【变式1】(2011湖南衡阳)李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000元,其中甲种蔬菜每亩获利2000元,乙种蔬菜每亩获利1500元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩? 解:设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩,依题意得: ①x+y=10 ②2000x+1500y=18000 解得:x=6,y=4 答:李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩 类型四:列二元一次方程组解决——银行储蓄问题 【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元,一年后全部取出,扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几?(注:公民应缴利息所得税=利息金额×20%) 解:设2000的存款利率是X,则1000的存款利率是3.24%-X,则有: 2000*X*(1-20%)+1000*(3.24%-X)*(1-20%)=43.92 即:1600X+25.92-800X=43.92 800X=18 X=2.25% 3.24%-2.25%=0.99% 所以,2000的存款利率是2.25%,1000的存款的利息率是0.99%. 法二:也可用二元一次方程组解。 【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种,一年期整存整取,共反复存了3次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息2.25%;第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税),问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元?
第八章二元一次方程组测试题 一、填空题:(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1. 在方程25x y +=中,用x 的代数式表示y ,得_______y =. 2. 若一个二元一次方程的一个解为21 x y =??=-?,则这个方程可以是: (只要求写出一个) 3. 下列方程: ①213 y x -=; ②332x y +=; ③224x y -=; ④5()7()x y x y +=+;⑤223x =;⑥14x y + =.其中是二元一次方程的是 . 4. 若方程456m n m n x y -+-=是二元一次方程,则____m =,____n =. 5. 方程4320x y +=的所有非负整数解为: 6. 若23x y -=-,则52____x y -+=. 7. 若2(5212)3260x y x y +-++-=,则24____x y +=. 8. 有人问某男孩,有几个兄弟,几个姐妹,他回答说:“有几个兄弟就有几个姐妹.”再问他妹妹有几个兄弟,几个姐妹,她回答说:“我的兄弟是姐妹的2倍.”若设兄弟x 人,姐妹y 人,则可列出方程组: . 9. 某次足球比赛的记分规则如下:胜一场得3分,平一场得1分,负一场是0分.某队踢了14场,其中负5场,共得19分。若设胜了x 场,平了y 场,则可列出方程组: . 10. 分析下列方程组解的情况. ①方程组12x y x y +=??+=?的解 ;②方程组1222 x y x y +=??+=?的解 . 二、选择题:(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 11. 用代入法解方程组124y x x y =-??-=? 时,代入正确的是( ) A.24x x --= B .224x x --= C.224x x -+= D.24x x -+= 12. 已知10x y =-??=?和23x y =??=? 都是方程y ax b =+的解,则a 和b 的值是 ( ) A.11a b =-??=-? B.11a b =??=? C.11a b =-??=? D. 11 a b =??=-? 13. 若方程组4314(1)6x y kx k y +=??+-=? 的解中x 与y 的值相等,则k 为( )
二元一次方程组的解的情况(教案) 教学目标 1、理解二元一次方程组的解的三种情况 2、会判断二元一次方程组的解的情况 3、通过引导,以及学生之间的合作交流,让学生学会对知识进行 归纳总结,从而激发学生自主学习的兴趣。 重点难点 重点:二元一次方程组的解的三种情况;会判断二元一次方程组的解 的情况 难点:理解二元一次方程组解的情况的判定方法 教学过程 一、复习引入: 什么叫做方程的解?能使方程两边相等的未知数的取值。如x 20的解是 x 2 思考:是不是所有的一元一次方程都是只有一个解呢? 解下列一元一次方程 (1)(2)(3) 22( x1) 2 x 2 x 1x2x12x 解: 2x x 2 1解: x x21解: 2x22x2 x30300有唯一解无解有无穷多解 结论:并不是所有的一元一次方程都是只有一个解。有的可能没有解,可能只有一个解,也有的有无数个解。 那二元一次方程组的解又有几种情况呢?(引入课题:二元一次方程
组的解的情况) 二、新课讲解 先让学生计算下列三个题: (1)2x 5y17()x 3 y 2 ①()x 3y 2①2x3y922x 6y 5②32x 6 y 4 ② 解得:x 6①× 2+②得 0=9①× 2+②得:0=0 y1 让学生根据前面一元一次方程的解的情况,讨论出上述三个方程组的 解的情况: (1)有唯一解(2)无解(3)有无穷多解从而得出二元一次方程组的解也有三种情况。下面让学生小组讨论: 分别在什么样的情况下方程组有唯一解、无解、有无数个解? (在学生讨论时教师给予提示:注意观察上述三个方程组中,每个方程组中的对应未知数的系数之间的关系。必要时把它们乘一乘或者除 一除。) (1)中25(2)中1 3 2(3)中 1 3 2 23265264(注:在( 2)、(3)两个方程组中也要注意观察方程中个常数项的关 系)由上我们可以猜想:若方程组中 x, y 两个未知数的系数比不相等,则方程组有唯一解;若方程组中x, y 两个未知数的系数比相等但与常数项的比值不等,则方程组无解;若方程组中x, y 两个未知数的系数比以及常数项的比值都相等,则方程组有无穷多解。为了验证一下我们的猜想,请同学们自己随便写出几个满足期中任一条件的方程组出来,然后再看看它的解是否和我们的猜想一致呢?
.. 中 考 真 题 50 道 中考真题之《二元一次方程组计算题》 -----专项练习50题(有答案) 1.(2012?德州)已知 ,则a+b 等于( ) A. 3 B C. 2 D. 1 2.(2012菏泽)已知???==1 2 y x 是二元一次方程组81mx ny nx my +=??-=?的解,则n m -2的算术平方根为( ) A .±2 B . 2 C .2 D . 4 3.(2012临沂)关于x 、y 的方程组3, x y m x my n -=?? +=?的解是1,1,x y =??=? 则m n -的值是( ) A .5 B .3 C .2 D .1 4.(2012?杭州)已知关于x ,y 的方程组 ,其中﹣3≤a ≤1,给出下列结论: ①是方程组的解; ②当a=﹣2时,x ,y 的值互为相反数; ③当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4﹣a 的解; ④若x ≤1,则1≤y ≤4. 其中正确的是( ) A .①② B .②③ C .②③④ D .①③④ 5. (2012广东湛江) 请写出一个二元一次方程组 ,使它的解是. 6.(2012广东)若x ,y 为实数,且满足|x ﹣3|+ =0,则()2012的值是 1 .
7.(2012安顺)以方程组的解为坐标的点(x ,y )在第 象限. 8.(2012?连云港)方程组的解为 . 9.(2012?广州)解方程组 . 10.(2012广东)解方程组: . 11.(2012?黔东南州)解方程组. 12、(2012湖南常德)解方程组:???==+1-25y x y x 13. (2011湖南益阳,2,4分)二元一次方程21-=x y 有无数多个解,下列四组值中不是.. 该方程的解的是 A .0 12 x y =???=-?? B .11x y =??=? C .1 0x y =??=? D .11x y =-??=-? 14. (2011四川凉山州,3,4分)下列方程组中是二元一次方程组的是( ) A .12xy x y =??+=? B . 523 13x y y x -=???+=?? C . 20 135x z x y +=?? ? -=?? D .5723 z x y =???+=?? 15. (2011广东肇庆,4,3分)方程组?? ?=+=-4 22 y x y x 的解是 ① ②
二元一次方程的应用分类总结
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二元一次方程的应用分类总结(专练) 知识点1 行程问题 【例1】某车站有甲、乙两辆汽车,若甲车先出发1h 后乙车出发,则乙车出发后5h 追上甲车;若甲车先开出20km 后乙车出发,则乙车出发4h后追上甲车,求甲、乙两车的速度。 【例2】甲、乙两人在周长为400m 的环形跑道上练跑,如果同时、同地同向出发,经过80秒相遇;已知乙的速度是甲速度的 3 2,求甲、乙两人的速度。 【例3】甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行。如果甲比乙先走2小时,那么他们在乙出发后经2.5小时相遇;如果乙比甲先走2小时,那么他们在甲出发后经3小时相遇;求甲、乙两人每小时各走多少千米? 【例4】A 、B 两码头相距140千米,一艘轮船在其间航行,顺流用了7小时,逆流用了10小时,求这艘轮船在静水中的速度和水流速度。
1. A市至B市的航线长1200千米,一架飞机从A市顺风飞往B市需2小30分,从B市逆风飞往A市需3小时20分,求飞机的速度与风速。 2. A、B两地相距500千米,甲、乙两车由两地相向而行。若同时出发则5小时相遇;若乙先出发5小时,则甲出发后3小时与乙车相遇。求甲、乙两车的速度。 3.甲、乙两人分别从相距20千米的A、B两地相向而行,两小时后在途中相遇,相遇后,甲立即以原速返回A地,乙仍以原速向A地前进,甲返回A地时,乙离A地还有2千米。求甲、乙两人的速度。
专题二:二元一次方程组A 一、填空题(共14小题,每题2分,共28分) 1.已知二元一次方程12 1 3-+ y x =0,用含y 的代数式表示x ,则x =_________;当y =-2时,x =___ ____. 2.在(1)?? ?-==2 3 y x ,(2)?????-==354y x ,(3)??? ????-==2741y x 这三组数值中,_____是方程组x - 3y =9的解,______是方程2 x +y =4的解,______是方程组?? ?=+=-4 293y x y x 的解. 3.已知???=-=5 4y x ,是方程41x +2 my +7=0的解,则m =_______. 4.若方程组?? ?=-=+13 7by ax by ax 的解是???-=-=1 2y x ,则a =_ _,b = _ . 5.已知等式y =kx +b ,当x =2时,y =-2;当x =-2 1 时,y =3,则k =____,b =____. 6.已知二元一次方程321x y -=,若1_________x y ==时,. 7.已知3217 2313x y x y +=??+=? ,则________x y -=. 8.若()2 2150_________x y x y x y -+++-=-=,则. 9.若|3a +4b -c |+ 4 1 (c -2 b )2=0,则a ∶b ∶c =_________. 10.当m =_______时,方程x +2y =2,2x +y =7,mx -y =0有公共解. 11.一个三位数,若百位上的数为x ,十位上的数为y ,个位上的数是百位与十位 上的数的差的2倍,则这个三位数是_______________. 12.某人买了60分和80分的邮票共20枚,用去13元2角,设买了60分邮票x 枚,买了80分邮票y 枚,则可列方程组为 .