合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理

[考纲传真]1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．

【知识通关】

1．合情推理

(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

[常用结论]

1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．

2．合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．

【基础自测】

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．()

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.()

(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. ()

(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()

[答案](1)× (2)√ (3)× (4)×

2．已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( ) A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝4n －3 C ．a n ＝n 2 D ．a n ＝3n －1

C

3．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝

? ????13x

是指数函数(小前提)，所以函数y ＝? ????

13x

是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )

A ．大前提错误导致结论错误

B ．小前提错误导致结论错误

C ．推理形式错误导致结论错误

D ．大前提和小前提错误导致结论错误 A

4．下面几种推理是合情推理的是 ( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°， 归纳出所有三角形的内角和都是180°；

③李锋某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分； ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③ C ．①②④ D ．②④

C

5．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则b 1b 2b 3…b n ＝________.

b 1·b 2·…·b 17－n (n ＜17，n ∈N *)

【题型突破】

归纳推理

?考法1 与数式有关的推理

【例1】 (1)(2019·南昌模拟)已知13＋23＝? ????622

,13＋23＋33＝? ????1222,

13＋23＋33＋

43＝?

?

?

??2022

，…，若1

3＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3 025，则n ＝( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11

(2)(2019·济宁模拟)已知a i ＞0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式：

a 1＋a 2

2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3

a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4

a 1a 2a 3a 4；

……

照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n

n

≥______. (1)C (2)n

a 1a 2…a n ?考法2 与图形有关的推理

【例2】 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是从一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的1

3的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，

依此规律得到n 级分形图．

(1)n 级分形图中共有________条线段；

(2)n 级分形图中所有线段长度之和为________． (1)3×2n －3 (2)9－9×? ??

??

23n

[方法总结] 归纳推理问题的常见类型及解题策略

(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.

(2)与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解. (3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验

法验证其真伪性.

(1)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的

等式具有“穿墙术”：22

3＝2

2

3，3

3

8＝3

3

8，4

4

15＝4

4

15，5

5

24＝

55

24，…，则按照以上规律，若9

9

n＝9

9

n具有“穿墙术”，则n＝()

A．25 B．48 C．63 D．80

(2)如图的图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．

(1)D(2)n(n＋1)

2(n∈N

*)

类比推理

【例3】(1)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程2＋x＝x确定出来x＝2，类似地不难得

到1＋

1

1＋1

1＋…

＝()

A.－5－1

2B.

5－1

2

C.1＋5

2D.

1－5

2

(2)(2018·南昌一模)平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，则斜边长为

a2＋b2，直角顶点到斜边的距离为

ab

a2＋b2

.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，

三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为S21＋S22＋S23，则三棱锥顶点到底面的距离为()

A.3S

1S2S3

S21＋S22＋S23

B.

S1S2S3

S21＋S22＋S23

C.

2S1S2S3

S21＋S22＋S23

D.

3S1S2S3

S21＋S22＋S23

(1)C(2)C

[方法总结]求解类比推理题的关键：①会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个命题(猜想).

(1)在正项等差数列{a n}中有a41＋a42＋…＋a60

20＝

a1＋a2＋…＋a100

100成

立，则在正项等比数列{b n}中，类似的结论为________．

(2)如图(1)所示，点O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO，并延长交对

边于A1，B1，C1，则OA1

AA1＋

OB1

BB1＋

OC1

CC1＝1，类比猜想：点O是空间四面体VBCD

内的任意一点，如图(2)所示，连接VO，BO，CO，DO并延长分别交面BCD，VCD，VBD，VBC于点V1，B1，C1，D1，则有________．

(1)20

b41b42b43 (60)

100

b1b2b3…b100(2)

OV1

VV1＋

OB1

BB1＋

OC1

CC1＋

OD1

DD1＝1

演绎推理

【例4】(1)甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖．甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”．四位同学的话恰有两句是对的，则()

A．甲和乙不可能同时获奖

B．丙和丁不可能同时获奖

C．乙和丁不可能同时获奖

D．丁和甲不可能同时获奖

(2)(2019·郑州模拟)甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，

一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与体育委员的年龄不同，体育委员比乙的年龄小，据此推断班长是________．

(1)C(2)乙

[方法总结]演绎推理的推证规则

(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；

(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.

af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．

[证明]设x1，x2∈R，取x1＜x2，

则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]＞0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0，因为x1＜x2，所以f(x2)－f(x1)＞0，f(x2)＞f(x1)．所以y＝f(x)为R上的单调增函数．

【真题链接】

1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()

A．乙可以知道四人的成绩

B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩

D．乙、丁可以知道自己的成绩

D

2.(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和

3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．

1和3

3．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市．

由此可判断乙去过的城市为________．A