人教版初中数学专题复习---分式知识点和典型例习题
人教版初中数学专题复习---分式知识点和典
型例习题
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】
第一讲 分式的运算
【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;
2.与分式运算有关的运算法则
3.分式的化简求值(通分与约分)
4.幂的运算法则
【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c
a a a a
±±=≠
2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da
a c a c ac ac ac
±±=±=≠≠;
3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ?=,b c b d bd
a d a c ac
÷=?=
4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项
5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n
6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m
= a m b n , (a m
)
n
= a
mn
7.负指数幂: a -p =
1p
a a 0
=1
8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式
(a+b)(a-b)= a 2
- b 2
;(a ±b)2
= a 2
±2ab+b 2
（一）、分式定义及有关题型
题型一：考查分式的定义
【例1】下列代数式中：y x y
x y x y x b
a b a y x x -++-+--1
,
,,21,2
2
π，是分式的有： .
题型二：考查分式有意义的条件
【例2】当x 有何值时，下列分式有意义
（1）
4
4+-x x （2）
2
32+x x （3）
1
22-x （4）
3||6--x x
（5）x
x 11-
题型三：考查分式的值为0的条件
【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）
3
1
+-x x （2）
4
2||2--x x
（3）
6
53222----x x x x
题型四：考查分式的值为正、负的条件
【例4】（1）当x 为何值时，分式
x
-84为正；
（2）当x 为何值时，分式2
)
1(35-+-x x 为负；
（3）当x 为何值时，分式
3
2+-x x 为非负数.
练习：
1．当x 取何值时，下列分式有意义： （1）
3
||61
-x
（2）
1
)1(32
++-x x （3）
x
111+
2．当x 为何值时，下列分式的值为零：
（1）4
|
1|5+--x x
（2）
5
6252
2+--x x x
3．解下列不等式 （1）
01
2
||≤+-x x （2）
03
252
>+++x x x
（二）分式的基本性质及有关题型
1．分式的基本性质：M
B M A M B M A B A ÷÷=??=
2．分式的变号法则：
b
a
b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.
（1）y x y
x 4
13132
21+- （2）
b
a b
a +-04.003.02.0
题型二：分数的系数变号
【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
（1）
y
x y
x --+-
（2）b
a a ---
（3）b
a ---
题型三：化简求值题
【例3】已知：511=+
y x
，求
y
xy x y
xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y
x
11
+
. 【例4】已知：21=-x
x ，求221
x
x +的值.
【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y
x 241
-的值. 练习：
1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.
（1）y
x y
x 5.008.02.003.0+-
（2）b a b
a 10
141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1
242
++x x x 的值.
3．已知：311=-b a ，求
a
ab b b
ab a ---+232的值.
4．若0106222=+-++b b a a ，求b
a b a 532+-的值.
5．如果21< x x --2|2|x x x x | ||1|1+ ---. （三）分式的运算 1．确定最简公分母的方法： ①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数； ②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分 【例1】将下列各式分别通分. （1）c b a c a b ab c 225, 3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3） 2 2, 21, 1 2 2 2 --+--x x x x x x x ； （4）a a -+21 , 2 题型二：约分 【例2】约分： （1） 3 22016xy y x -；（3）n m m n --2 2；（3）6 222---+x x x x . 题型三：分式的混合运算 【例3】计算： （1）4 2232)()()(a bc ab c c b a ÷-?-； （2） 2 2233)()()3(x y x y y x y x a +-÷-?+； （3） m n m n m n m n n m ---+-+22； （4）11 2 ---a a a ； （5）8 7 4321814121111x x x x x x x x +- +-+-+--； （6）)5)(3(1 )3)(1(1)1)(1(1+++ ++++-x x x x x x ； （7）)12()2 1444 (22 2+-?--+--x x x x x x x 题型四：化简求值题 【例4】先化简后求值 （1）已知：1-=x ，求分子)]1 21()144[(4 8 122x x x x -÷-+--的值； （2）已知：432z y x ==，求22232z y x xz yz xy ++-+的值； （3）已知：0132=+-a a ，试求)1 )(1 (22a a a a --的值. 题型五：求待定字母的值 【例5】若1 11 312-+ += --x N x M x x ，试求N M ,的值. 练习： 1．计算 （1）) 1(23 2)1(21)1(252+-+ +--++a a a a a a ； （2）a b ab b b a a --- -222； （3） b a c c b a c b c b a c b a c b a ---++-+---++-232； （4）b a b b a ++-2 2； （5）)4)(4(b a ab b a b a ab b a +-+-+ -； （6） 2 12 1111x x x ++ ++-； （7） ) 2)(1(1 )3)(1(2)3)(2(1--+ -----x x x x x x . 2．先化简后求值 （1）11 124212 22-÷+--?+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()( y x x y x y x xy y x ÷-?+÷-的值. 3．已知： 1 21)12)(1(45-- -=---x B x A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式 2 805 399++a a 的值是整数，并求出这个整数值. （四）整数指数幂与科学记数法 题型一：运用整数指数幂计算 【例1】计算：（1）3132)()(---?bc a （2） 2322123)5()3(z xy z y x ---? （3）24 2 53]) () ()()([ b a b a b a b a +--+-- （4） 6223)(])()[(--+?-?+y x y x y x