初高中数学衔接教材

1.1 数与式的运算

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1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.a a a a a a >??

==??-

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 （1）解方程11=-x

（2） 解不等式：11<-x

练 习 1．填空：

（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________. （2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；

若21=-c ，则c ＝________.

2．选择题：

下列叙述正确的是 （ ）

（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．

1.1.

2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；

（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 第二组公式中，展开左边，即得到证明，要求记忆

例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． 分析：观察结构特点，优化组合 解法：．

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 分析：分析结构特点，联系相关知识 解：．

例3 已知f(x)=322+-x x 计算f （x+2）-f(x+1)

练 习 1．填空： （1）

2

2

1111(

)94

2

3

a b b a -

=+

（ ）；

（2）(4m + 2

2

)164(m m =++ )；

(3 ) 2

2

2

2

(2)4(a b c a b c +-=+++ )．

2．选择题：

（1）若21

2

x m x k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ）

（A ）2

m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m

（2）不论a ，b 为何实数，22

248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数

（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式

一般地，形如(0)a a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 232a a b b +++，22a b +等是无理式，而2221

2

x x +

+，

2

2

2x xy y

+

+，2a 等是有理式．

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，利用平方差，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，利用平方差，化去分子中的根号的过程

2．二次根式2a 的意义

2

a a ==,0,

,0.

a a a a ≥??

-

例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1）12b ； （2）2(0)a b a ≥； （3）64(0)x y x <．

解： ．

例2 计算：3(33)÷-． 解法： ．

例3 试比较下列各组数的大小：

（1）1211-和1110-； （2）

264

+和226－.

解：.

例4 化简：20042005(32)(32)+?-．

例 5 化简：（1）945-； （2）22

12(01)x x x

+-<<．

解：

练 习 1．填空：

（1）

1313

-+

＝__ ___；

（2）若2(5)(3)(3)5x x x x --=--，则x 的取值范围是_ _ ___；

2．选择题：

等式

2

2

x x x x =

--成立的条件是 （ ）

（A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x << 3．若2

2

111

a a

b a -+

-=

+，求a b +的值．

4．比较大小：2－ 3 5－4（填“＞”，或“＜”）．

1.1.４．分式

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1．分式的意义 形如

A B

的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B

为分式．

2．繁分式

像a

b

c d

+，

2m n p m n p

+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

例1 若54(2)

2

x A B x x x

x +=

+

++，求常数,A B 的值．

解：

例2 （1）试证：

111(1)

1

n n n

n =

-

++（其中n 是正整数）；

（2）计算：

11

112

23

910

+

++

??? ；

（3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有111123

34

(1)

2

n n +

++

例3 设c e a

=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．

练 习

1．对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (

112

n

n -

+)； （填上系数）

2． 若

223

x y x y

-=+，则x y

＝ （ ）

（A ）１ （B ）54

（C ）

45

（D ）

65

3．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y

-+的值．

4．计算1111 (12)

23

34

99100

+

+

++

????．

习题1．1

1．解不等式：

(1) 13x ->； (2) 37x +< ； ．

２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值．

3．填空： （1）18

19

(23)(23)

+

-

＝________；

（2）若22

(1)(1)2a a -++=，则a 的取值范围是________；

（3）

111111223

34

45

56

+

+

+

+

=++

+

+

+

________．

（4）计算1a a

-等于 （ ）

（A ）a - （B ）a （C ）a -- （D ）a -

4．已知：11,23

x y =

=

，求

y y x y

x y

-

-

+

的值

1．2 分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1 分解因式：

（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．

解：（1）如图1．2－1或1．2－2，将二次项x 2

分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有

x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．

（2）由图1．2－3，得

x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）

（4）

．

2．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．

若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2

(0)

a x

b x

c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --. 例2 把下列关于x 的二次多项式分解因式：

（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-． 解：（1）令221x x +-=0，则解得112x =-+，212x =--，

∴221x x +-=(12)(12)x x ?

???--+---????

=(12)(12)x x +-++． （2）、

例3．解方程2

2

112()3()10x x x

x

+

-+-=

－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2 －2 6 1 1 图1．2－3

练 习 1．选择题：

多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：

（1）x 2＋6x ＋8； （2）x 2－2x －1；

习题1．2

1．分解因式：

（1） 31a +； （2）424139x x -+；

（3）22222b c ab ac bc ++++；

2．在实数范围内因式分解：

（1）253x x -+ ； （2）2

223x x --；

（3）2

2

34x xy y +-； （4）2

2

2

(2)7(2)12x x x x ---+．

2.1 一元二次方程

学号 姓名

2.1.1根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为 2

2

2

4()24b

b ac

x a a

-+

=

． ①

对于一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有

（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根： x 1，2＝2

42b b ac a

-±-；

（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根： x 1＝x 2＝－

2b a

；

（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2

－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0．

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根 2

142b b ac

x a -+-=

，2

242b b ac

x a ---=，

则x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c

a

．这一关系也被称为韦达定理．

| x 1－x 2|＝2

2

2

4424222b b ac b b ac b ac

a

a

a

-+

------

=

2

4||

||

b a

c a a -?=

=

例2 已知方程2

560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．

例3 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

例4 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值； （2）求

2

2

1

2

11x x +

的值；

例5 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．

练 习 1．选择题：

（1）方程2

2

2330x kx k -+=的根的情况是 （ ） （A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根

（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根

（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是

（ ）

（A ）m ＜14 （B ）m ＞－1

4

（C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－1

4

，且m ≠0

2．填空:

（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则

1

2

11x x +＝ ．

（2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．

3．已知2816|1|0a a b +++-=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？ 4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．

习题2.1 A 组

1．选择题:

（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （2）下列四个说法：

①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；

②方程x 2

－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3 x 2

－7＝0的两根之和为0，两根之积为73

-；

④方程3 x 2

＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．

其中正确说法的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－1

2．填空:

（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．

（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．

（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．

（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．

3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2

－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个

相等的实数根？没有实数根？

4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2

－7x －1＝0各根的相反数．

2.2二次函数

一、二次函数基本概念 1. 二次函数的概念

形如)0c b a (2

≠++=a c bx ax y 为常数且、、的函数，叫做二次函数，定义域x R ∈。 2.二次函数的解析式

① 一般式：y=ax 2+bx+c(其中a 、b 、c 为常数,a ≠0) ② 顶点式[抛物线的顶点 P(h ，k) ]：y=a(x-h)2

+k

其实就是通过顶点的坐标（-b/2a ，(b 2-4ac)/4a ）得到一元二次方程组

③交点式[仅限于与x 轴有交点 A(1x ,0) 和 B(2x ,0) 的抛物线]：y=a(x-1x )(x-2x )

他们之间的关系：

A 一般式和顶点式的关系

对于二次函数y=ax^2+bx+c ，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b 2)/4a)，即

B 一般式和交点式的关系 a

ac b x x 24-b -2

21±

=， (即一元二次方程求根公式)

3．二次函数的定义域和值域 y 的取值范围叫做值域

自变量x 的取值范围叫做定义域，x 通常取实数。在实际应用中要根据生活实际和题目条件来确定x 和y 的取值范围。

例1 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．

例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且最大值等于2，求此二次函数的表达式．

例3 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．

练习一

1．选择题:

（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定

（2）函数y ＝－1

2

(x ＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ）

（A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2) 2．填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝a

(a ≠0) ．

（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ． 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．

学号 姓名

二、二次函数的图象和性质 1.一元二次函数图像的画法

根据顶点、开口方向或与x 轴的交点、开口方向即可勾勒图象

例如. 画出y=ax 2

+bx+c (a)0）的图象，利用配方法研究其顶点，对称轴，定义域，值域等性质

例1 利用配方法二次函数y ＝－3x 2

－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

例2求二次函数y ＝－3x 2

－6x ＋1在下列区间上的最大值 （1）]1,4-∈x （2）]1,0∈x

2.图像的变换

y ax bx c =++2

配方可得()y a x h ka =-+

≠2

0() y ax =2向右（h >0）或向左（h <0）平移h 个单位，得到()y a x h =-2

，再向上()k >0向下()k <0平移k 个单位，便得()y ax h k =-+2

，即y ax bx c =++2 ()a ≠0

。 例1 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值

练习2

1．选择题：

（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2

（C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2

－4x

（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 （ ）

（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

2．画出下列抛物线图象并研究开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，．

（1）y ＝x 2－2x －3； （2）y ＝1＋6 x －x 2．

3．已知函数y ＝－x 2

－2x ＋3，

（1）当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大值时所对应的自变量x 的值：①x ≤－2②x ≤2③－2≤x ≤1 （2）（思考）m ≤x ≤m+1上的最大值呢．

三、.掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系

判别式 ?=-b a c 2

4 ?>0 ?=0

?<0

二次函数 y ax bx c =++2

()a ≠0

a x

b x

c 2

0++=

x b b a c

a

122

42,

=-±-

（x x 12<）

x x b a

122==-

无实根

一元 二次

a x

b x

c 2

0++>

a >0 x x <1或x x >2

不等于-

b a

2的实数

全体实数 不等 式

a x

b x

c 2

0++<

a >0 x x x 12

<< 空集

空集

注意：结合图象，掌握以下几个问题 1、一元二次方程的解法：

十字交叉法、求根公式法，判别式小于（等于）零时结合图像

2、一元二次不等式的解法

十字交叉法、求根公式法求得方程的解，小取其内值，大取其外值 方程的判别式小于（等于）零时结合图像

3.二次函数的应用 例1 解不等式：

（1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0； （3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）29x <； （5）－4＋x －x 2

＜0． （6）x 2

－6x ＋9≤0

例2 已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是：2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．

例3 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表所示：

x /元 130 150 165 y /件 70 50 35

若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

练 习

1．解下列不等式：

（1）3x 2－x －4＞0； （2）x 2－x －12≤0； （3）x 2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x 2≤0．

2.解关于x 的不等式x 2＋2x ＋1－a 2≤0（a 为常数）

习题2．2

1．解下列不等式：

（1）3x 2－2x ＋1＜0； （2）3x 2－4＜0；

（3）2x －x 2≥－1； （4）4－x 2≤0．

2．m 取什么值时,方程组

24,

2y x y x m ?=?

=+?

有一个实数解?并求出这时方程组的解．

3．解关于x 的不等式x 2－(1＋a )x ＋a ＜0（a 为常数）．

4．已知关于x 不等式2x 2＋bx －c ＞0的解为x ＜－1，或x ＞3．试解关于x 的不等式

bx 2＋cx ＋4≥0．