C.不等式 f.线性规划 1.平面区域问题(求面积等)
1.标签：线性规划
【易】（2016华附月考）
5.已知D 是不等式组2030
x y x y -??+?≥≥所确定的平面区域，则圆224x y +=与D 围成的区域面积为（） A ．π2 B ．3π4 C ．π D ．3π2
【解析】A
2.标签：线性规划
【易】（2016华附）
若0a ≥，0b ≥，且当0 , 0 , 1x y x y ????+?
≥≥≤时，恒有1ax by +≤，则以a ，b 为坐标点() , P a b 所形成的平面区域的面积等于_________
3.标签：线性规划
【易】（2016执信）
已知() , P x y 为区域2201
y x a x a ?-?+?≤≤≤（0a >）内的任意一点，当该区域的面积为3时，2z x y =-的最大值是（）
A ．1
B ．3 C
．D ．6
【解析】D
二元一次不等式组与平面区域教案
“§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域”教案 一、题目： 高中数学必修5 第三章不等式第3.3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域第一课时 二、课程分析： 教材中为了引导学生探究二元一次不等式表示的平面区域，采用了类比一元一次不等式的解集在数轴上的表示法，这是一条很好的思路，教学中应该遵循这一思路展开教学，引导学生进行探究，本课的教学设计也是以这一思路为指导的。另外，教材中的探究过程是在直线上和左上方分别取点P和A，使这两点的横坐标相等，比较纵坐标的大小，进而总结出“同侧同号”的结论。这个探究过程的逻辑是严密的，却也是非实质的，“P与A的横坐标相同”这一限制是多余的，在学生小组活动中可以不用兼顾，只需在直线某侧任意取若干点，把坐标代入直线方程，考察计算结果的符号即可，为了弥补这样做的逻辑缺陷，教师可以在小组活动后统一用代数办法进行证明。 三、学情分析： 学生的基础知识较差，分析问题、解决问题的能力还不成熟，需要依据这一学情对教学活动做如下调整：一是放弃教材中由实际情境引出二元一次不等式的相关概念的设计，改为一句话带过：“在日常生活中，有很多不等关系需要用二元一次不等式（组）来表达。所以本节课我们先来探究二元一次不等式（组）的相关知识，为以后的学习生活打好基础。”这样做是因为学生很可能在寻找不等关系、列不等式组这些动作中花费较多时间。二是在小组合作探究活动之前，教师先引导学生理清探究的思路，定好探究目标。这样可以使时间有限的小组探究活动的效率提高，使每一个同学都能在探究中自己的任务。 四、教学目标： 1、知识与技能：了解二元一次不等式（组）的相关概念，会用“特殊点法”画出二元一次不等式（组）表示的平面区域。 2、过程与方法：通过类比，找到探究的途径；在探究过程中，善于发现，及时总结，进一步熟悉从特殊到一般、数形结合等数学思想方法。 3、情感态度与价值观：在小组合作探究活动中，积极投入，培养合作意识，增强学习数学的信心，感悟探求新知的常用思想。 五、教学重点：
不等式与线性规划
1. 不等式2560x x -++≥的解集是______________________________ 2. ()21680k x x --+<的解集是425x x x ??<->???? 或，则k =_________ 3. 不等式20ax bx c ++>的解集为{} 23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解集是___ 4. 若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________ 5. 已知点（2 ， 1）和点（－4 ， 5）在直线 3x –2y + m = 0 的两侧，则 m 的取值范围 为_________ 6. 若?????≥+≤≤2 22y x y x ，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是______________ 7. 已知x ，y 满足?????≥-+≥≥≤-+0320 ,1052y x y x y x ，则x y 的最大值为___________，最小值为____________ 8. 不等式组260302x y x y y +-≥??+-≤??≤? 表示的平面区域的面积为___________ 9. 、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥??-+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值和 最小值分别是___________ 10. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥??-+≤??≤? ，使z=x+ay(a>0)取得最小值 的最优解有无数个，则a 的值为___________ 11. 若不等式kx 2-2x+6k<0(k ≠0). (1)若不等式解集是{x|x<-3或x>-2}，求k 的值； (2)若不等式解集是R ，求k 的取值。 12. 某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t 支援物资的任务.该公司有8辆载重为6t 的A 型卡 车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元.请你们为该公司安排一下应该如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只调配A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？
基本不等式与线性规划
基本不等式与线性规划
不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2 ≥+一正:两个数或式子必须都为 正数. 二定;必须有和定或积定 三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小( 1.设41 4,4-+-=>x x y x 2.设 4 1 ,4-+ =>x x y x 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为 ．4.下列函数中，最小值为22的是 （ ） A ．x x y 2+= B ．)0(sin 2 sin π<<+=x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2 log 2log 2 x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1 ,x ∈(0,2π) C ．y= 2 32 2++x x D ．y= x x 1 +
6.若lg x ＋lg y ＝2，则x 1＋y 1 的最小值为( ) A ．201 B ．51 C ．2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 142+-= 的最小值 为 ． 8.若1 不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2≥+一正:两个数或式子必须都为正数. 二定;必须有和定或积定 三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小(积定的判断依据:互为倒数关系) 1.设4 1 4,4-+-=>x x y x 的最小值为 ． 2.设4 1 ,4-+ =>x x y x 的最小值为 ． 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为 ． 4.下列函数中，最小值为22的是 （ ） A ．x x y 2+ = B ．)0(sin 2 sin π<<+ =x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2log 2log 2x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋ x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1,x ∈(0,2 π) C ．y= 2 322++x x D ．y=x x 1 + 6.若lg x ＋lg y ＝2，则 x 1 ＋y 1的最小值为( ) A ． 20 1 B ． 5 1 C ． 2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 1 42+-=的最小值为 ． 8.若1 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1.若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.? ? ???1，43 B.? ???? 12，43 C.? ? ???1，74 D.? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4. 综上,12＜a ＜7 4,故选D. 2.已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A.(a －1)(b －1)＜0 B.(a －1)(a －b )＞0 C.(b －1)(b －a )＜0 D.(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D. 3.设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A.(－3,1)∪(3,＋∞) B.(－3,1)∪(2,＋∞) C.(－1,1)∪(3,＋∞) D.(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3.由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 线性规划及基本不等式 一、知识梳理 （一）二元一次不等式表示的区域 1、对于直线0=++C By Ax (A>0)，斜率K=__________,与x 轴的交点为________与y 轴的交点为___________ 2、 当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域. 当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域. 3、问题1:画出不等式组?????≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域 问题2：求z=x-3y 的最大值和最小值 注、(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.满足线性约束条件的解（x,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. （2）、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. 2.设z=0，画出直线l0. 3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值. （3）、线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得 （二）基本不等式 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>, 则a b +≥,当且仅当a b =时等号成 立2.、已知x 为正数，求2x+x 1 的最小值 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则不等式的解的各种情况 如下表： 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < ()f x 二元一次不等式（组）与平面区域 班级______________ 姓名______________ 1．在3x ＋5y <4表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(2,0) B ．(－1,2) C ．(1,1) D ．(－1,1) 解析：选D 将点(－1,1)代入3x ＋5y <4，得2<4，所以点(－1,1)在不等式3x ＋5y <4表示的平面 区域内，故选D. 2．原点和点(1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(2，＋∞) B ．{0,2} C ．(0,2) D ．[0,2] 解析：选C 因为原点和点(1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，所以－a (2－a )<0，即a (a －2)<0，解得0 左下方，及直线x －1＝0的右侧，所以所求不等式组为???? ? x －y ＋1≤0，x ＋y －5≤0， x －1≥0. 5．若不等式组???? ? x ≤0，y ≥0， y －x ≤2 表示的平面区域为Ⅰ，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y －a ＝0 扫过Ⅰ中的那部分区域的面积为( ) A.7 2 B.7 3 C.74 D.12 解析：选C 如图所示，Ⅰ为△BOE 所表示的区 域，而动直线x ＋y ＝a 扫过Ⅰ中的那部分区域为四边形BOCD ，而B (－2,0)，O (0,0)，C (0,1)，D ????－12，3 2，E (0,2)，△CDE 为直角三角形． ∴S 四边形BOCD ＝12×2×2－12×1×12＝7 4. 6．不等式组???? ? x ＋2y ≤8，0≤x ≤4， 0≤y ≤3 表示的平面区域的面积为________． 一 体验高考 1.(2012年高考福建卷,理9)若函数y=2x 图象上存在点(x,y)满足约束 条件?? ? ??≥≤--≤-+m x y x y x 03203,则实数m 的最大值为( B ) (A)21 (B)1 (C)2 3 (D)2 解析:∵x+y-3=0和y=2x 交点为(1,2), ∴只有m ≤1时才能符合条件,故选B. 2.(2012年高考福建卷,理5)下列不等式一定成立的是( C ) (A)lg(x 2+4 1)>lg x(x>0) (B)sin x+ x sin 1 ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) (C)x 2+1≥2|x|(x ∈R ) (D) 1 1 2 +x >1(x ∈R ) 解析:当x>0时,x 2+41≥2·x ·2 1 =x, 故lg(x 2+41)≥lg x(x>0), 当且仅当x=2 1 时取等号,因此A 不对, B 中由于x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正、负不确定, 因此sin x+ x sin 1≥2或sin x+x sin 1 ≤-2,故B 不正确, C 中,由基本不等式x+y ≥2xy (x>0,y>0)知x 2+1≥22x =2|x|,故C 一定成立, 而D 中,由于x 2≥0,则x 2+1≥1.因此0<1 1 2+x ≤1. 从而D 不正确,因此选C. 3.(2011年高考湖南卷,理10)设x,y ∈R,且xy ≠0,则(x 2+21y )(21x +4y 2 )的最小值为 . 解析:(x 2+ 21y )(21x +4y 2)=1+4x 2y 2 +221y x +4 =5+(4x 2y 2+ 221y x )≥5+22 22 214y x y x =5+2×2=9. 当且仅当4x 2y 2=221y x 即x 2y 2=2 1时取得最小值9. 答案:9 二备考感悟 1.命题与备考 (1)不等式解法常与二次函数、集合等知识交汇在一起命题;基本不等 式常与函数或代数式的最值问题、不等式恒成立问题、实际应用相互交汇命题.在备考中要熟练掌握各种不等式的解法,注意基本不等式成立的条件. (2)线性规划有时单独考查目标函数的最值问题,或求字母的取值范围问题,有时也会与函数、平面向量、解析几何等相互交汇考查,求解此类问题时应准确作出不等式表示的平面区域. 2.小题快做:线性规划问题中,若不等式组表示的平面区域具有边界且目标函数是线性的,则目标函数的最值就在其区域边界的顶点处取得. 三热点考向突破 考向一 不等式的解法 解不等式的常见策略 1.解一元二次不等式的策略:先化为一般形式ax 2+bx+c>0(a>0),再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集. 2.解简单的分式不等式的策略:将不等式一边化为0,再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解; 3.解含指、对数不等式的策略:利用指、对数函数的单调性将其转化 不等式 1. 实数的性质： 0>-?>b a b a ；0<-??<，a b b a ． 传递性 a b >且b c a c >?>． 加法性质 a b a c b c >?+>+；a b >且c d a c b d >?+>+． 乘法性质 ,0a b c ac bc >>?>；0a b >>，且00c d ac bd >>?>>． 乘方、开方性质 0,n n a b n N a b *>>∈?>；0,n n a b n N a b *>>∈?>． 倒数性质 11,0a b ab a b >>? <． 3. 常用基本不等式： 条 件 结 论 等号成立的条件 a R ∈ 20a ≥ 0a = ,a R b R ∈∈ 2 2 2a b ab +≥，2()2 a b ab +≤， 22 2()22a b a b ++≥ a b = 0,0>>b a 基本不等式： 2a b ab +≥ 常见变式： 2≥+b a a b ； 21 ≥+a a a b = 0,0>>b a 22112 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ a b = 4. 利用重要不等式求最值的两个命题： 命题1：已知a ，b 都是正数，若ab 是实值P ，则当a=b=时，和a ＋b 有最小值2. 命题2：已知a ，b 都是正数，若a ＋b 是实值S ，则当a=b=2 s 时，积ab 有最大值 42s . 注意：使用重要不等式求最值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或 积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可. 5.一元二次不等式的解法：设a>0,x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1≤x 2，则有 结论：ax 2+bx+c>0 ? 2 0040 a a b a c >?=?-0 △=0 △<0 图象 ax 2+bx+c=0的解 x=x 1或x=x 2 x=x 1=x 2=-b/2a 无实数解 ax 2+bx+c>0解集 {x ︱x 二元一次不等式表示平面区域说课稿 浙江省永嘉县上塘中学陈重阳 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本节课是新教材高二（上）第七章第4节第一课时内容，教学大纲对这部分内容的要求是了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用。这是《新大纲》中增加的新内容，不仅为传统的高中数学注入了新鲜的血液，而且给学生提供了学数学、用数学的机会，体现了新课程理念。 在此之前，学生已经学习了直线的方程，已掌握二元一次方程与平面直线的对应关系，同时也学习了数形结合的思想方法。为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。这一节内容，是介绍直线方程的简单应用（即简单的线性规划）的基础，起到承前启后的作用。 2、教材的重点、难点和关键 教学重点：二元一次不等式(组)表示平面区域； 教学难点：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域； 关键：理解掌握口诀“直线定界，取点定域”，“系数化正、左小右大”。 二、学生情况分析 1、对象：重点中学的高二理科学生，有一定的思维能力； 2、学情：学生前三节学习的基础上，对解析几何的理性思维能力已经有了初步形成，但存在个别差异。 3、心理：厌倦教师的单独说教，希望教师能创设便于他们进行思考探索的空间，给他们发表自己见解和表现才华的机会。 三、教学目标分析 1、知识目标：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域； 2、能力目标：学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力， 1 会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力； 3、情感目标：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质，通过自主探索、合作交流，增强数学的情感体验，提高创新意识。 四、教学策略分析 1、教学方法：引导发现法、探索讨论法、题组教学法等等； 2、教学手段：利用多媒体技术优化课堂教学，体现辅助功能； 3、学法指导：这是一节抽象的概念作图课，教师应注重创设认知情境，引导学生进 行尝试、猜想、证明、归纳，帮助学生在原有经验上对新知识主动建构，在交流合作中学习。 五、教学过程设计 2 线性规划与基本不等式 1．若222x y x y ????+? ≤，≤，≥，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ） Ａ．[26]， Ｂ．[25]， Ｃ．[36]， Ｄ．[35]， 2．已知x y ，满足约束条件5003x y x y x -+??+??? ≥，≥，≤．则24z x y =+的最大值为（ ） Ａ．5 Ｂ．38- Ｃ．10 Ｄ．38 3．若变量x ，y 满足约束条件30101x y x y y -+≤??-+≥??≥? ，则z ＝2x ＋y －4的最大值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．5 4．已知目标函数2z x y =+中变量x y ，满足条件4335251x y x y x --??+取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ） Ａ．14 Ｂ．35 Ｃ．4 Ｄ．53 8．已知0x >，0y >，且231x y +=，则23 x y +的最小值为（ ) 高2015级高二下期线性规划和不等式集训试题 3月2日星期天下午2:30高二十班教室（带必修5） 1、设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥?? -+≥??-≤? ，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ） A ．6- B ．4- C ．2 D ． 答案：B 2、设变量y x ,满足约束条件?? ? ??≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数x y z 32-=的最大值为( ) A ．-3 B ．2 C ．4 D ．5 【答案】C 3、点(x ，y )满足??? x ＋y －1≥0， x －y ＋1≥0， x ≤a ， 若目标函数z ＝x －2y 的最大值为1，则实数a 的值是 ( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．3 选A 由题意可知，目标函数经过点(a,1－a )时达到最大值1，即a －2(1－a )＝1，解得a ＝1. C 5、设0,0 x y x y +≥?? -≥?与抛物线2 4y x =-的准线围成的三角形区域（包含边界）为D ，) ,(y x P 为D 的一个动点，则目标函数2z x y =-的最大值为( ) A. 1- B. 0 C. 2 D. 3 6、若不等式组0 3434 x x y x y ≥??+≥? ?+≤?， 所表示的平面区域被直线4 3y kx =+ 分为面积相等的两部分，则k 的值是（ B ）A 、73 B 、37 C 、43 D 、3 4 7、已知2z x y =+，x y ，满足2y x x y x m ≥?? +≤??≥? ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是 （ ） A ． 14 B ． 15 C ． 16 D ．17 考点：简单线性规划 y x O 二元一次不等式（组）与平面区域学案（第一课时） 教学过程 1、 情境导入 引例: 一家银行的信贷部计划年初投入2500 万元用于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来3万元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个人贷款中获益10%.那么,信贷部应 该如何分配资金呢？单位（万元） 问题：如果设用于企业、个人贷款的资金分别为x 万元、y 万元，你能用不等式刻画其中的不等关系吗？ （1）二元一次不等式（组）的解集：是由满足二元一次不等式（组）的 构成的有序实数对（x ,y ）构成的集合。 （2）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点构成的集合之间的关系？ （3）一元一次不等式（组）? ??<->+0403x x 的解集所表示的图形为 ： 探究：①二元一次方程6=-y x 表示什么图形? ②二元一次不等式6<-y x 的解集所表示的图形? ③二元一次不等式6>-y x 的解集所表示的图形? y x O y y x O y x O 类比推广： 一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式0>++C By Ax 表示0=++C By Ax 某侧所有点组成的平面区域.直线画成虚线,表示区域不包括边界. 而不等式0≥++C By Ax 表示区域时则包括边界,应把边界画成实线 . 例1、画出不等式44<+y x 表示的平面区域 例2、用平面区域表示不等式组?? ???≤<+-<82123y y x x y 的解集 (1)画出不等式4x ―3y ≤12表示的平面区域。 (2)画出不等式2x+3y-6>0表示的平面区域。 课堂小结： 二元一次不等式组表示的平面区域： 练习：教材P86页 基本不等式 1． 若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 2． 已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 3． 已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2 y 的最小值是_____________． 4． (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( ) A.24 5 B.28 5 C ．5 D ．6 5． 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是 ( ) A.????－∞，14 B.????0，14 C.??? ?－1 4，0 D.? ???－∞，1 4 题型一 利用基本不等式证明简单不等式 例 1 已知x >0，y >0，z >0. 求证：????y x ＋z x ????x y ＋z y ???? x z ＋y z ≥8. 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝ 1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9. 题型二 利用基本不等式求最值 例 2 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的 最小值为________； (2)当x >0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． (1)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则 x ＋2y 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C.9 2 D.112 题型三 基本不等式的实际应用 1.(2010·惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0 二 元 一 次 不 等 式 表 示 平 面 区 域 说 课 稿 江西省永丰中学 ----程春民 系统教学设计论指导 教 学 教 教 教 教 一、教材分析 材 生 学 学 学 学 分 分 目 策 过 评 1、教材的地位和作用 本节课是高中数学必修五的内容， 教学大纲对这部分内容的要求是了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用。这是《新大纲》中增加的新内容，不仅为传统的高中数学注入了新鲜的血液，而且给学生提供了学数学、用数学的机会，体现了新课程理念。 在此之前，学生已经学习了直线的方程，已掌握二元一次方程与平面直线的对应关系，同时也学习了数形结合的思想方法。为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。这一节内容，是介绍直线方程的简单应用（即简单的线性规划）的基础，起到承前启后的作用。 2、教材的重点、难点和关键 教学重点：二元一次不等式 (组)表示平面区域； 教学难点：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域； 关键：理解掌握口诀“直线定界，取点定域”，“系数化正、左小右大”。 二、学生情况分析 1、对象：重点中学的高二理科学生，有一定的思维能力； 2、学情：学生前三节学习的基础上，对解析几何的理性思维能力已经有了初步形成，但存在个别差异。 3、心理：厌倦教师的单独说教，希望教师能创设便于他们进行思考探索的空间，给他们发表自己见解和表现才华的机会。 三、教学目标分析 1、知识目标：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域； 2、能力目标：学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力； 3、情感目标：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质，通过自主探索、合作交流，增强数学的情感体验，提高创新意识。 四、教学策略分析 1、教学方法：引导发现法、探索讨论法、题组教学法等等； 2、教学手段：利用多媒体技术优化课堂教学，体现辅助功能； 3、学法指导：这是一节抽象的概念作图课，教师应注重创设认知情境，引导学生进行尝试、猜想、证明、归纳，帮助学生在原有经验上对新知识主动建构，在交流合作中学习。 线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222 x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将直线 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值2， 过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260 302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域， △ABC 的面积即为所求， 由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数 A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得 到整点个数为13个，选 D 四,求非线性目标函数的最值 例4、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则 z=x 2 +y 2 的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13，4 5 D 、 二元一次不等式表示平面区域说课稿 江西省永丰中学----程春民 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本节课是高中数学必修五的内容，教学大纲对这部分内容的要求是了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用。这是《新大纲》中增加的新内容，不仅为传统的高中数学注入了新鲜的血液，而且给学生提供了学数学、用数学的机会，体现了新课程理念。 在此之前，学生已经学习了直线的方程，已掌握二元一次方程与平面直线的对应关系，同时也学习了数形结合的思想方法。为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。这一节内容，是介绍直线方程的简单应用（即简单的线性规划）的基础，起到承前启后的作用。 2、教材的重点、难点和关键 教学重点：二元一次不等式(组)表示平面区域； 教学难点：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域； 关键：理解掌握口诀“直线定界，取点定域”，“系数化正、左小右大”。 二、学生情况分析 1、对象：重点中学的高二理科学生，有一定的思维能力； 2、学情：学生前三节学习的基础上，对解析几何的理性思维能力已经有了初步形成，但存在个别差异。 3、心理：厌倦教师的单独说教，希望教师能创设便于他们进行思考探索的空间，给他们发表自己见解和表现才华的机会。 三、教学目标分析 1、知识目标：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域； 2、能力目标：学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力， 1 会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力； 3、情感目标：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质，通过自主探索、合作交流，增强数学的情感体验，提高创新意识。 四、教学策略分析 1、教学方法：引导发现法、探索讨论法、题组教学法等等； 2、教学手段：利用多媒体技术优化课堂教学，体现辅助功能； 3、学法指导：这是一节抽象的概念作图课，教师应注重创设认知情境，引导学生进 行尝试、猜想、证明、归纳，帮助学生在原有经验上对新知识主动建构，在交流合作中学习。 五、教学过程设计 2 不等式与线性规划 考情解读 (1)在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题．(2)多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f (x )g (x ) >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形?f (x )g (x ) ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x )>a g (x )?f (x )>g (x )； ②当0a g (x )?f (x ) 二元一次不等式（组）与平面区域 【教学目标】 1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。 【教学重点】 用二元一次不等式（组）表示平面区域； 【教学过程】 讲授新课 .探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形 （1）回忆、思考 回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间 思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？ （2）探究 从特殊到一般： 先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。 如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类： 第一类：在直线x-y=6上的点； 第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点； 第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。 设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本横坐标x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 点P的纵坐标 1 y 点A的纵坐标 2 并思考： 当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？ 根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？ 直线x-y=6右下方点的坐标呢？ 学生思考、讨论、交流，达成共识： 在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6 的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。 因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。 直线叫做这两个区域的边界 由特殊例子推广到一般情况： （3）结论： 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）基本不等式与线性规划
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