专题19 三角恒等变换-学会解题之高三数学万能解题模板【2021版】【解析版】

专题19 三角恒等变换

【高考地位】

三角函数学习中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换，是常用的解题工具. 但由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.

方法一 运用转化与化归思想

例1 已知1sin 33x π??

+= ??

?，则5sin 233x cos x ππ????--- ? ????

?的值为__________． 【答案】

4

9

【解析】第一步，利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式：

ππππππ-??? ?

?

+=-??? ??+-=-3232,3235x x x x 第二步，运用有关公式进行变形，主要是角的拆变：

5cos 22cos 23333sin x x sin x x ππππππ????????????---=-+-+- ? ? ? ?????

????????????

2cos212sin 3333sin x x sin x x ππππ???????

?=-+++=-++-+ ? ? ? ?

???????

? 第三步，得出结论: 5sin 233x cos x ππ???

?---

? ????

? 1241399=-+-=，故答案为49.

【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，属于基础试题，本题的解答中注意角的整体性和配凑． 【变式演练1】【吉林省梅河口市第五中学2020届高三第五次模拟】已知,02πθ??

∈-

???

，且cos2sin 0θθ+=，则sin 4πθ??

+

= ??

?

（ ）

A ．

22- B ．

4

C ．

4

D ．

24

+ 【答案】B 【解析】 【分析】

首先利用二倍角公式求出sin θ，再根据同角三角函数的基本关系求出cos θ，最后利用两角和的正弦公式计算可得； 【详解】

解：因为cos2sin 0θθ+=，所以212sin sin 0θθ-+=，解得sin 1θ=或1sin 2θ=-

，因为,02πθ??

∈- ???

，

所以1sin 2θ=-

，cos 2

θ==

所以1sin sin cos cos sin 4442πππθθθ??

+=+=-= ?

?

? 故选：B 【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系的应用，两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题. 【变式演练2】【2020届吉林省高三第二次模拟】设1tan 2

α=

，4

cos()((0,))5πββπ+=-∈，则

tan 2()αβ-的值为（ ）

A ．7

24- B ．524-

C ．524

D ．724

【答案】D 【解析】

【分析】

利用倍角公式求得tan2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果. 【详解】

1tan 2

α=

，22tan 4

tan21tan 3ααα==-，

()4

cos cos 5

πββ+=-=-，()(0,βπ∈，

4cos 5β∴=，3sin 5

β=，3

tan 4β=，

()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24

134αβαβαβ-

--==

=++?， 故选：D. 【点睛】

该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.

方法二 运用函数方程思想

例2 已知1sin 43

x π??

+

= ??

?，则sin42cos3sin x x x -= ( ) A.

79 B. 7

9

- C. D.

【答案】B

【解析】第一步，将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知数的方程：

由()sin4sin 3x sin3xcosx cos3xsinx x x =+=+可得：

sin42cos3sin sin3xcosx cos3xsinx x x x -=-142sin 2422cos 2sin 2-??? ?

?

+=??? ??+-==ππx

第二步，得出结论： 所以原式9

7

-

=，故选：B 【点评】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换.因此，有时在三角恒等变换中，可 以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解.

【变式演练3】【陕西省西安市八校2020届高三联考】已知sinα、cosα是方程5x 2﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos （α+

4

π

）＝（ ）

A ．

10

B ．﹣

10

C D 【答案】D 【解析】 【分析】

根据韦达定理可得sin cos 5

αα+=

，2sin cos 5αα?=-，结合(0,)απ∈，可得cos sin 0αα-<，根

据两角和的余弦公式可得cos()(cos sin )4

2π

ααα+=

-=此可得结果. 【详解】

因为sinα、cosα是方程5x 2﹣2＝0的两个实根，

所以sin cos αα+=

2sin cos 5αα?=-，

因为(0,)απ∈，且sin cos 0αα?<，所以sin 0α>且cos 0α<， 所以cos sin 0αα-<，

所以cos()cos cos

sin sin

4

4

4

π

π

π

ααα+

=-(cos sin )2

αα=

-

=

=

=

2=-

=. 故选：D.

【点睛】本题考查了韦达定理，两角和的余弦公式，属于基础题.

【变式演练4】【2020届河南省商丘周口市部分学校联考高三5月质量检测】已知tan θ是方程2610x x -+=的一根，则2

cos 4πθ?

?

+= ??

?

（ ）

A ．

34

B ．

12

C ．

13

D ．

15

【答案】C 【解析】 【分析】

将tan θ代入方程，利用同角三角函数的基本关系式进行化简，求得sin 2θ的值，利用降次公式、诱导公式求得所求表达式的值. 【详解】

由题意，2

tan 6tan 10θθ-+=，则22

sin 6sin 10cos cos θθθθ

-+=，得22

sin 6sin cos cos 0θθθθ-+=，得1

sin cos 6θθ=，所以1sin 22sin cos 3θθθ==，所以21cos 21sin 22cos =422πθπθθ?

?++ ?-????+= ???1

11323-

==. 故选：C.

【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、降次公式、诱导公式，属于基础题.

方法三 运用换元思想

例3 若求的取值范围. 【答案】[22

-

. 【解析】第一步，运用换元法将未知向已知转化：

令t =+βαcos cos ，则()()2

1

cos cos sin sin 2

2

2

+

=+++t βαβα 第二步，利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换： 即()21cos 22

+

=-+t βα，所以()2

3cos 2

-=-t βα 所以22

3

22

≤-

≤-t ，即2142

14≤≤-t 第三步，得出结论： 所以2

14

cos cos 214≤+≤-

βα 【点评】本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子看作一个整体，通过 代数、三角变换等手段求出取值范围.

【变式演练5】【江苏省2020届高三下学期6月高考押题】已知sin cos αα+=则24sin cos αα+的值为____________. 【答案】

1825

【解析】 【分析】

先平方求出sin 2α，再利用二倍角公式求出4cos α，即可求解. 【详解】

,2

2

sin sin =

+βαβαcos cos +βαcos cos +

sin cos 5

αα+=

()2

4sin cos 1sin 25ααα∴+=+=

即1sin 25α=- 2123

412sin 2122525

cos αα=-=-?=

12318

2452525

sin cos αα+=-+=

故答案为：1825 【点睛】

此题考查二倍角公式，关键熟记二倍角的各种变形，属于简单题目.

【高考再现】

1.【2020年高考全国Ⅲ卷理数9】已知2tan tan 74θθπ??

-+

= ???

，则tan θ= （ ）

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2 【答案】D

【思路导引】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案． 【解析】

2tan tan 74πθθ?

?-+= ???

，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271t t t +-=-，整

理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=．故选D ．

【专家解读】本题考查了三角函数知值求值问题的解法，考查两角和的正切公式，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是灵活运用三角函数有关公式进行计算． 2.【2017全国III 文，4】已知4

sin cos 3

αα-=，则sin 2α=（ ） A ．7

9

-

B ．29

-

C ． 2

9

D ．

79

【答案】A

【解析】()2

sin cos 1

7

sin 22sin cos 1

9

ααααα--==

=-- .

所以选A.

【考点】二倍角正弦公式

【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.

3.【2018年全国I 卷】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1?， a)，B(2?， b)，且cos2α=2

3，则|a ?b |= A ． 1

5 B ． √5

5 C ．

2√5

5

D ． 1

【答案】B 【解析】 【分析】

首先根据两点都在角的终边上，得到b =2a ，利用cos2α=2

3，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得a 2=1

5，从而得到|a |=√5

5

，再结合b =2a ，从而得到|a ?b |=|a ?2a |=

√5

5

，从而确定选项. 【详解】

由O,A,B 三点共线，从而得到b =2a ， 因为cos2α=2cos 2α?1=2?(√a 2+1

)2?1=2

3

，

解得a 2=1

5，即|a |=

√5

5

， 所以|a ?b |=|a ?2a |=√5

5

，故选B.

【点睛】

该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果. 4．【2018年全国卷Ⅲ】若sinα=1

3，则cos2α= A ． 8

9 B ． 7

9 C ． ?7

9 D ． ?8

9 【答案】B 【解析】

分析：由公式cos2α=1?2sin 2α可得。 详解：cos2α=1?2sin 2α=1?2

9=7

9

5.【2020年高考江苏卷8】已知22

sin ()4

3

π

α+=

，则sin2α的值是________． 【答案】

13

【解析】∵2

2sin (

)4

3π

α+=

，由2112sin ()(1cos(2))(1sin 2)42223ππααα+=-+=+=，解得1sin 23

α=．

【专家解读】本题考查了二倍角公式，考查数学运算学科素养．

6.【2020年高考浙江卷13】已知tan 2θ=，则cos2θ= ；πtan 4θ?

?-= ??

? ．

【答案】3

5-；

13

【思路导引】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2θ，根据两角差正切公式得tan()4

π

θ-

【解析】2222

2

222

cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--=-===-++，tan 11tan 41tan 3πθθθ-?

?-== ?+?

?，故答案为：3

5-；

13

． 【专家解读】本题考查了二倍角公式，考查两角差的正切公式，考查数学运算学科素养． 7.【2018年全国卷II 】已知tan(α?5π

4

)=1

5，则tanα=__________． 【答案】3

2. 【解析】

分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得tanα=3

2.

详解：tan(α?

5π

4

)=tanα?tan

5π

41+tanα?tan

5π

4

=tanα?11+tanα=1

5，

解方程得tanα=3

2.

点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.

8.【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P Ⅲ?3

5

，?4

5

ⅢⅢ

ⅢⅢ）求sinⅢα+πⅢ的值Ⅲ

ⅢⅢⅢ若角β满足sinⅢα+βⅢ=5

13，求cos β的值Ⅲ 【答案】ⅢⅢⅢ4

5ⅢⅢⅢⅢ?56

65 或-1665 .

分析：（Ⅲ）先根据三角函数定义得sinα，再根据诱导公式得结果，（Ⅲ）先根据三角函数定义得cosα，再根据同角三角函数关系得cos(α+β)，最后根据β=(α+β)?α，利用两角差的余弦公式求结果. 详解：（Ⅲ）由角α的终边过点P(?3

5,?4

5)得sinα=?4

5Ⅲ 所以sin(α+π)=?sinα=4

5.

（Ⅲ）由角α的终边过点P(?35,?45)得cosα=?3

5Ⅲ 由sin(α+β)=5

13得cos(α+β)=±12

13.

由β=(α+β)?α得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinαⅢ 所以cosβ=?56

65

或cosβ=?16

65

.

点睛：三角函数求值的两种类型Ⅲ

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. Ⅲ一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； Ⅲ变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

【反馈练习】

1．【吉林省梅河口市第五中学2020届高三第五次模拟】已知,02πθ??

∈-

???

，且cos2sin 0θθ+=，则sin 4πθ?

?+= ??

?（ ）

A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】

首先利用二倍角公式求出sin θ，再根据同角三角函数的基本关系求出cos θ，最后利用两角和的正弦公式计算可得； 【详解】

解：因为cos2sin 0θθ+=，所以212sin sin 0θθ-+=，解得sin 1θ=或1sin 2θ=-

，因为,02πθ??

∈- ???

，所以1sin 2θ=-

，cos θ==

所以1sin sin cos cos sin 444222πππθθθ??

+=+=-?= ?

?

? 故选：B 【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系的应用，两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题.

2．【2020届福建省漳州市高三第一次教学质量检测】若3tan 24α=-，则22

sin 2cos 12sin αα

α

+=+（ ） A ．14-或1

4

B ．

34或14 C ．

34

D ．14

【答案】D 【解析】 【分析】

由二倍角正切公式计算出tan α的值，再将所求分式变形为222

2sin cos cos 3sin cos ααα

αα

++，然后利用弦化切的思想即可求出所求分式的值. 【详解】

由二倍角的正切公式得2

2tan 3

tan 21tan 4

ααα=

=--，整理得23tan 8tan 30αα--=， 解得tan 3α=或13-，所以，2222222sin cos cos 2tan 1

3sin cos 3tan 1

sin 2cos 12sin αααααααααα++=+=

+++. 当tan 3α=时，原式2

23113314?+==?+；当1tan 3α=-时，原式2121

1341313??

?-+ ???==??

?-+ ???

. 综上所述，22

sin 2cos 1

12sin 4

ααα+=+.

故选：D. 【点睛】

本题考查利用二倍角的正切公式以及弦化切思想求值，解题的关键就是求出tan α的值，考查计算能力，属于中等题.

3．【四川省绵阳南山中学2020届高三高考仿真模拟】已知0,2πα??∈ ???

，且cos 3

2αα=

，

则cos α=（ ） A ．

45

B

C ．

35

D

【答案】C 【解析】 【分析】

化简式子，可得2sin cos

2

2

α

α

=，由平方关系求出2

cos

2

α

，最后利用二倍角的余弦公式，可得结果.cos

2

α

【详解】

由2

2

2

1sin cos 2sin cos sin cos sin 222222αααα

ααα??-=-+=- ???

因为0,

2πα?

?

∈ ??

?

，则

0,24α

π??

∈ ???，所以cos sin 22

αα>

cos sin

22

αα

=-，

又2

2

cos cos

sin cos sin cos sin 2

22222α

α

ααααα?

???=-=-+ ???????

所以

cos sin cos sin cos 2222cos cos sin 222ααααααααα?

???-+ ???????=??- ?

??

则

cos sin

cos 32

22

cos

2

α

α

αα

α

+=

=

化简可得：2

2

22542sin

cos

,sin cos cos 1,cos 2

2

2

24225

α

α

α

α

αα=+===，

所以2

3cos 2cos 125

αα=-= 故选：C 【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式的应用，本题关键在于根式里使用平方关系以及二倍角的正弦公式化简，考查计算能力，属中档题.

4．【2020届山西省晋中市高三下学期一模】已知a 为正整数，tan 1lg a α=+，tan lg a β=，且4

αβπ

=+

，

则当函数()sin ([0,])f x a θθθπ=-∈取得最大值时，θ=（ ） A ．

2

π B ．

23

π C ．

56

π D ．

43

π 【答案】C 【解析】 【分析】

利用正切的差角公式，结合已知条件求得参数a ；再利用辅助角公式化简()f x ，根据其最值，求得 θ即可. 【详解】 由条件知4

αβ-=π

，则由tan()1αβ-=， 得tan tan (1lg )lg tan()11tan tan 1(1lg )lg a a

a a

αβαβαβ-+--=

==+++，

即(1lg )lg 0a a +=， 解得1a =或1

10

a =

（舍去），

则()sin 2sin 3f x πθθθ?

?==- ??

?．

因为[0,]θπ∈， 所以2,333π

ππθ??

-

∈-????

． 则当3

2

π

π

θ-

=

，即56

π

θ=

时， 函数()f x 取得最大值，

故选：C ． 【点睛】

本题考查正切的差角公式的应用，对数运算，以及三角恒等变换，涉及正弦型函数取得最值时自变量的求解，属综合中档题.

5．【卓越高中千校联盟2020届高考文科数学终极押题】已知函数()cos 4f x x π?

?=- ??

?，x ∈R ，则

22

612f x f x ππ?

???????+-+ ? ??????

???????的最大值是______.

【解析】 【分析】

利用降幂公式、两角和差余弦公式以及辅助角公式，将所求的函数式化为余弦型函数，根据余弦函数的性质，即可求解. 【详解】

2

2

22cos cos 612126f x f x x x ππππ??

??

?

???????+-+=--- ? ? ? ??????

??????

?????

()

1cos 21cos 21163cos 2sin 22222x x x x ππ???

?+-+- ? ?

????=-=?-

cos 244x π?

?+ ??

?=

. 所以，当cos 214x π?

?

+

= ??

?

时， 2

2

612f x f x ππ?????

???+-+ ? ?????

?

???????

取最大值4.

故答案为：4

-. 【点睛】

本题考查三角恒等变换化简三角函数，以及余弦函数的性质，考查计算求解能力，属于基础题.

6．【2020届山西省运城市高中联合体高三模拟】tan θ，tan 4πθ??

- ???

是方程230x ax +-=的两个根，则a =___________. 【答案】4- 【解析】 【分析】

根据根与系数关系，得到tan tan 4a πθθ??+-=- ???，tan tan 34πθθ??

-=- ???

，再由两角和的正切公式，即

可计算出结果. 【详解】 因为tan θ，tan 4πθ??

-

???

是方程230x ax +-=的两个根， 所以tan tan 4a πθθ??+-=-

???，tan tan 34πθθ??

-=- ???

， 所以tan tan 4tan tan 1

4441tan tan 4a πθθππθθπθθ??

+- ?

??????=+-==-= ??????

???-- ???

，

所以4a =-. 故答案为：4-. 【点睛】

本题主要考查三角恒等变换的应用，熟记两角和的正切公式即可，属于常考题型.

7．【2020届重庆市第八中学高三6月三诊】若0,2πα??∈ ???

，且sin 2cos αα+=，则tan 4πα??+=

???________. 【答案】2- 【解析】 【分析】

先把sin 2cos 2

αα+=

两边平方得到22

5sin 4sin cos 4cos 2αααα++=，利用弦切互化所得方程可

以化成关于tan α的方程结合0,2πα??

∈ ??

?

，解出tan α后可求tan 4πα??

+

??

?

的值． 【详解】

由sin 2cos αα+=

可以得到22

5sin 4sin cos 4cos 2αααα++=Ⅲ

故2222

sin 4sin cos 4cos 5

sin cos 2αααααα++=+Ⅲ 也就是22

tan 4tan 45

tan 12

ααα++=+Ⅲ 整理得到23tan 8tan 30αα--=，故tan 3α=或1

tan 3

α=-． 又0,

2πα??

∈ ??

?

，所以tan 3α= 1+tan 13tan 241tan 13πααα+?

?+===- ?--??

故答案为：2- 【点睛】

本题考查三角函数给值求值问题，三角函数中的化简求值问题，往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，属于中档题.

8．【江苏省盐城市滨海县八滩中学2020届高三下学期四模】已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则

tan 4πα?

?- ??

?的值为______.

【答案】12

- 【解析】 【分析】

利用二倍角的正弦、余弦公式结合弦化切思想可得出关于tan α的二次方程，可解出正数tan α的值，然后利用两角差的正切公式可求得tan 4πα??

-

??

?

的值.

【详解】

sin 22cos21αα-=-，()

22

2sin cos 2cos sin 1αααα∴--=-，

即22222sin cos 2sin 2cos 1sin cos αααααα+-=-+，即222tan 2tan 21tan 1

ααα+-=-+，

整理得23tan 2tan 10αα+-=，

α为锐角，所以tan 0α>，解得1

tan 3α=，

因此，11tan tan

134tan 1421tan tan 1143

π

απαπα--??-=

==- ??

?++?. 故答案为：1

2

-.

【点睛】

本题考查利用二倍角公式以及两角差的正切公式求值，利用弦化切思想求出tan α的值是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.

9．【黑龙江省绥化市2020届全市普通高中高三模拟联考质量检测】已知1

sin cos cos sin 5

αβαβ-=+=，则sin()αβ-=________. 【答案】2425

【解析】 【分析】

等式平方相加得到2

22sin cos 2cos sin 25

αβαβ-+=，解得答案. 【详解】

由1sin cos cos sin 5αβαβ-=+=平方相加得222sin cos 2cos sin 25

αβαβ-+=， 即24sin()sin cos cos sin 25

αβαβαβ-=-=. 故答案为：2425

. 【点睛】

本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.

10．【2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学样卷】平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 是单位圆在第一象限内的点，2xOP παα?

?

∠=<

??

?

，若11cos 313

πα??

+

=- ??

?，则00x y +为______.

【解析】 【分析】

利用任意角的三角函数的定义可知0cos ,x α=0sin y α=，同角三角函数的基本关系求得sin()3

π

α+的值，

再利用两角差的正余弦公式求得00,x y 的值，两者相加即可得解． 【详解】

由题意知：0,

2πα?

?

∈ ??

?

，5,336π

παπ??+

∈ ???

，

由11cos 313πα??

+

=- ??

?，得sin 3πα??+= ??

?， 0sin sin sin cos cos sin 333333y ππππππαααα?????

?==+-=+-+ ? ? ??????

?，

0111213=

+=

y 0cos cos cos cos sin sin 333333x ππππππαααα?????

?==+-=+++ ? ? ??????

?，

01111

13226

-=

?+=

x

所以0011

262626

x y ++=

+=

.

【点睛】

本题考查三角函数的定义以及两角差的正弦、余弦公式，熟记公式，属基础题.

11．【广西桂林、崇左、防城港市2020届高三联合模拟】已知tan α，tan β分别是26510x x -+=的两个实数根，则()tan αβ+=_______. 【答案】1 【解析】 【分析】

根据tan α，tan β分别是26510x x -+=的两个实数根，利用韦达定理得到tan tan ,tan tan αβαβ+?，再由两角和的正切公式求解. 【详解】

因为tan α，tan β分别是26510x x -+=的两个实数根，

所以51

tan ,tan tan tan 66

βααβ==+?， 所以()5

tan tan 611

1tan tan 16

tan αβ

αβαβ+==-?-+=

. 故答案为：1 【点睛】

本题主要考查两角和与差的正切公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 12．【2020届江苏省苏州市三校高三下学期5月联考】己知α为锐角，若2sin 2sin 212παα??

=++

???

，则cos α=___________.

【解析】 【分析】

由诱导公式将已知化简为2sin 2cos21αα=+，再由二倍角公式进一步得到cos 2sin αα=，结合

22sin cos 1αα+=计算即可得到答案.

【详解】

由已知，2sin 2sin 21cos212πααα??

=++=+

???

，由二倍角公式，

得24sin cos 2cos ααα=，因为α为锐角，cos 0α>，所以cos 2sin αα=， 又22sin cos 1αα+=，所以

25cos 14α=，注意到cos 0α>

，所以cos α=

.

【点睛】

本题考查三角恒等变换中的化简求值问题，涉及到同角三角函数的基本关系，三角函数的诱导公式，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.

13．【安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测】(

)(

)1tan 201tan 25?

?

+?+=________．

【答案】2 【解析】 【分析】

先将原式展开，再由tan25tan20tan 4511tan20tan25

??

??

=-+=得到tan25tan20??+与tan20tan25??之间关系，进而可得出结果. 【详解】

因为(

)(

)1tan201tan25

1tan25tan20

tan20tan25?

?

?

?

??+?+=+++，

又tan25tan20tan 4511tan20tan25

????

=-+=，所以1tan25tan20tan20tan25????

+=-， 所以(

)(

)1tan201tan251tan25tan20

tan20tan252?

?

?

?

??+++?+==+.

故答案为2 【点睛】

本题主要考查两角和的正切公式，熟记公式即可，属于基础题型.

14．【百校联盟2020届高三开学模拟】如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地， ABC ?外的地方种草， ABC ?的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若BC a =Ⅲ ABC θ∠=，设

ABC ?的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，当a 固定， θ变化时，则

1

2

S S 的最小值是__________．