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最新第5章大数定律及中心极限定理习题及答案

第 5 章大数定律与中心极限定理

一、

填空题：

1.设随机变量μξ=)(E ，方差2

σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 9

1 . 2.设n

ξξξ,,, 21是

n 个相互独立同分布的随机变量，

),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑==

i i

1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 228εεξεμξn D P =≤

≥-)(}|{| ，并估计≥<-}|{|4μξP n

. 3. 设随机变量129,,

,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =,

1(1,2,

,9)i DX i ==, 令9

i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式

直接可得{}

≥<-ε9X P 2

1ε-

. 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2

()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有

22{||}P X σμεε-≥≤, 或者2

2{||}1.P X σμεε

-<≥-

由于随机变量129,,

,X X X 相互独立且同分布, 而且有

1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以

9111()()19,i i i i i E X E X E X μ===??===== ???∑∑∑

111()()19.i i i i i D X D X D X σ===??===== ???∑∑∑

4. 设随机变量X 满足：2

(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 1

≤

. 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2

(),()E X D X μσ==, 则对任意

的0ε>, 有2

2{||}.P X σμεε

-≥≤由此得 221{||4}.(4)16P X σμσσ-≥≤

5、设随机变量2

σξμξξ==)(,)(,D E ，则≥<-}|{|σμξ2P 4

6、设n ξξξ,,, 21为相互独立的随机变量序列，且),,( 21=i i ξ服从参数为λ的泊松

分布，则

≤-∑=∞

→}{lim x n n P n

i i

n λ

∞

t dt e

2 .

7、设n η表示n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的

概率，则≈≤<}{b a P n η

-----

)1()

1(2

221p np np b p np np a t dt e π

8. 设随机变量n ξ, 服从二项分布(,)B n p , 其中01,1,2,p n <<=, 那么, 对于任

一实数x , 有lim {|||}n n P np x ξ→+∞

-<= 0 .

9. 设12,,,n X X X 为随机变量序列,a 为常数, 则{}n X 依概率收敛于a 是指

{}

=<->?+∞

>-εεa X P n n lim ,0 1 ,或{}

=≥->?+∞

>-εεa X P n n lim ,0 0 。

10. 设供电站电网有100盏电灯, 夜晚每盏灯开灯的概率皆为0.8. 假设每盏灯开关是相互独立的, 若随机变量X 为100盏灯中开着的灯数, 则由切比雪夫不等式估计, X 落在75至85之间的概率不小于 25

9 .

解：()80,()16E X D X ==, 于是

169(7585)(|80|5)1.2525

P X P X <<=-<≥-

二．计算题：

1、在每次试验中，事件A 发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A 发生的次数在450至550次之间的概率.

解：设X 表示1000次独立试验中事件A 发生的次数，则250)(,500)(==X D X E

}50|500{|}550450{≤-=≤≤X P X P

9.02500250

150

)(1}50|)({|2

=-=-

≥≤-=X D X E X P

2、一通信系统拥有50台相互独立起作用的交换机. 在系统运行期间, 每台交换机能清晰接受信号的概率为0.90. 系统正常工作时, 要求能清晰接受信号的交换机至少45台. 求该通信系统能正常工作的概率. 解：

设X 表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数, 则

~(50,0.90).X B

由此 P(通信系统能正常工作)(4550)P X =≤≤

P =≤≤

(2.36)(0)0.99090.50.4909.ΦΦ≈-=-=

3、某微机系统有120个终端, 每个终端有5%的时间在使用, 若各终端使用与否是相互独立的, 试求有不少于10个终端在使用的概率.

解：某时刻所使用的终端数~(120,0.05),6, 5.b np npq ξ==7 由棣莫弗－拉普拉斯定理知

{10}11(1.67)0.0475.

P ξΦΦ≥=-≈-=

4、某校共有4900个学生, 已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1, 问阅览室要准备多少个座位, 才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位.

解：设去阅览室学习的人数为ξ, 要准备k 个座位

~(,),4900,0.1,49000.1b n p n p np ξ===?=

21.==

4900490{0}2121k P k ξΦΦΦΦ????--????

≤≤≈-=- ? ?????

490490(23.23)0.99.

2121k k ΦΦΦ--????

=--≈= ? ?????

查(0,1)N 分布表可得490

2.3263,21 2.3263490538.8523

21k k -==?+=

539.≈

要准备539个座位,才能以99%的概率保证每个去阅览室学习的学生都有座位.

5．随机地掷六颗骰子，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9且

不超过33点的概率。

解：设 η表示六颗骰子出现的点数总和。

ξi ，表示第 i 颗骰子出现的点数，i = 1，2，…，6

ξ1， ξ2， … ，ξ6 相互独立，显然 ηξ=

=∑i i 1

()()

235

2112

35449621612765432161

22=

-+++==+++++=

ηηξξD E D E i i {}{}12339≤-=≤≤ηηηE p p {}131>--=ηηE p

()9.0338

11691≈-=-

≥ηD 6. 设随机变量n ξξξ,,, 21 相互独立，且均服从指数分布

()0000>??

?≤>=-λλλx x e x f x )( 为使 10095

101111

≥??????<-∑=λλξn k k n P ，问： n 的最小值应如何？

解: E D k k ξλξλ

=11

2, ()21

211111,11λξξλξn D n n D n E n

k k n k k n k k ==??? ??=??? ??∑∑∑===

由切比雪夫不等式得

???? ?

<-∑=λλξ101111n

k k n P ,1009510111101112

211≥??

? ??-≥??

????????

k k n

k k 即 110095

100

≥

n n , 从而 n ≥ 2000 ，故 n 的最小值是 2000

7．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品

率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9?

解：∴ 设n 为至少应取的产品数，X 是其中的次品数，则)1.0,(~n b X ，

9.0}10{≥>X P ，而9.0}9

.01.01

.0109.01.01.0{

≥???->???-n n n n X P

所以1.0}09.01.0109.01.01.0{

≤-≤???-n

n n n X P

由中心极限定理知，当n 充分大时，有1.0)3.01.010(}09.01.0109.01.01.0{

=-Φ≈-≤??-n n

n n n n X P ，

∴ 由1.0)3.01.010(

=-Φn

查表得

28.13.01.010-=-n

147=∴n

8．(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为

0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有85个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；(2)上述系统假设有n 个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行，问n 至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95? 解：(1)设X 表示正常工作的元件数，则)9.0,100(~b X ，

990

1009.01.01009.010099085{}85100{}85{-≤???-≤-=≥≥=≥X P X P X P

39035{≤-≤-=X P

由中心极限定理可知

))3

(1()310()35()310(

}85{Φ--Φ=-Φ-Φ=≥X P 95.0)35

(1)35()310(=Φ=-Φ+Φ=

(2)设X 表示正常工作的元件数，则)9.0,(~n b X

n n X n n P n X n P n X P 3.02.01.09.09.03.01.0{

)8.0()8.0(≤??-≤-=≤≤=≥

}3.09.03{}323.09.03{n

X n P n n n X n P -≤-=≤-≤-

= 95.0)3()3(1=Φ=-Φ-=n

3=∴n

25=∴n

9．一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2 mm ，均方差为0.05 mm ，规定总长度为20 ± 0.1 mm 时产品合格，试求产品合格的概率。已知：Φ( 0.6 ) = 0.7257；Φ( 0.63 ) = 0.7357。

解：设每个部分的长度为 X i ( i = 1, 2, …, 10 ) E ( X i ) = 2 = μ, D( X i ) = σ2

= ( 0.05 )

2 ,

依题意，得合格品的概率为

??????≤-≤-∑=102010101..i i X P ?

?????≤?-?≤-=∑=630210050183163010

1.)(...i i X P

==63

.00

263

.063

.0222

21221dt

e dt

e t t π

4714.017357.02121263

.022=-?=-?=?

∞

t π

10．计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是

相互独立的随机变量，并且都在区间[- 0.5，0.5 ]上服从均匀分布，求1200个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率。已知：Φ(1)=0.8413；Φ(2)=0.9772。

解：设 ξ1 ， ξ2 ，， ξn 表示取整误差, 因它们在 [-

0.5 ，0.5 ] 上服从均匀分布，故有 E D i n i i ξξ===0112

12,

,,,,

根据同分布的中心要极限定理，得

????

????????-

12001i i i i P P ξξ

???

????

???????

-<-=∑=112112*********

i i P ξ=Φ( 1 )-

Φ(- 1 ) = 2 Φ( 1 )- 1 = 2 ? 0.8413- 1 = 0.6826

11．将一枚硬币连掷100次，试用隶莫佛--拉普拉斯定理计算出现正面的次数大于60的概率。已知：Φ(1) = 0.8413；Φ(2) = 0.9772 ；当 x > 4 , Φ(x) =1。

解：设 ξ 为掷 100次中出现正面的次数，它服从二项分布B ( 100， 1

)

这里 np npq ====100

1250501

25, 由隶莫佛 -- 拉普拉斯定理，得

{}???

???-≤-<-=≤<2550100255025

506010060ξξP P

()()210105502P Φ-Φ=?

???≤-ξ<=

查 N ( 0， 1 ) 分布函数表，得 P{ 60 < ξ ≤ 100 } = 1- 0.977 = 0.023 .

12 .有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯. 如果从中挑4杯, 能将甲种酒全部挑出来, 算是成功一次.

(1)某人随机地去猜, 问他成功一次的概率是多少？

(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒. 他连续试验10次, 成功3次. 试推断他是猜对

的, 还是他确有区分的能力(各次试验是相互独立的).

解：(1)设A ={试验成功一次}, 则有444

8C 1

().C 70

P A == (2)设X ：试验10次成功的次数, 则1~10,.70X B ?

? ???

由于3

10169(3)C 3.163310.7070P X -????===? ? ?????

因此随机事件{}3=X 是一个小概率事件, 根据“小概率事件在一次试验中是不大可能发生的”的原理, 随机事件{}3=X 是不大可能发生的, 但它却发生了, 因此我们要以断定此人确有区分酒的能力.

13. 保险公司新增一个保险品种：每被保险人年交纳保费为100元, 每被保险人出事赔付金额为2万元. 根据统计, 这类被保险人年出事概率为0.000 5. 这个新保险品种预计需投入100万元的广告宣传费用. 在忽略其他费用的情况下, 一年内至少需要多少人参保, 才能使保险公司在该年度获利超过100万元的概率大于95%？

(()d ,(1.29)0.9015,(1.65)0.9505,(3.09)0.9990,t x x t ΦΦΦΦ-====?

(3.72)0.9999,(4.27)0.99999)ΦΦ==

解：设参保人数为N 人, 则

11,1,2,

,,~,,.0,i i i i i i N E p D pq q

p i ξξξξ???

====?

???

?第人出事，

第人不出事，

(2000010000001001000000)0.95.

i i P N ξ=+≤-≥∑

(/2002000000)0.95.

i i P N ξ=≤-≥∑

10020000000.95.N i N Np Np P ξ-??

-- ?≤

≥??∑

由

1002000000

1.65,

N Np

--≥

200002000.0005,0.9995,N Np p q --≥==

50.92000092103N N -≥-?≥

2521081(36103300)4100,N pq N -?++?≥ 245068.03493827160.490,N N --≥

63296.41,54182.22.N =≥

14、证明题 :设随机变量X 的密度函数为

e ,0,()!

0,0.n x

x x f x n x -?≥?

=??

求证： (02(1)).1n

P X n n <<+≥

证：

110

0()()d e d (1)e d 1,

!(1)!n n x x

x x E X xf x x x n x n n n +++∞+∞+∞---∞

===+=++?

222

0()e d (1)(2)e d (1)(2),

!(2)!n n x x

x x E X x n n x n n n n +++∞+∞--==++=+++?

222()()[()](1)(2)(1) 1.D X E X E X n n n n =-=++-+=+

由切比雪夫不等式得 (02(1))(|(1)|1)P X n P X n n <<+=-+<+

(|()|1)P X E X n =-<+ 2()1(1)D X n ≥-

11.(1)1

n n

n n +=-=++

中心极限定理及其应用论文

青岛农业大学本科生课程论文题目：中心极限定理及其应用姓名：学院：专业：班级：学号：指导教师： 2012 年06 月27 日

青岛农业大学课程论文任务书论文题目中心极限定理及其应用要求完成时间 2012年 07 月 02 日论文内容（需明确列出研究的问题）：研究中心极限定理的目的就是为了更深入的了解中心极限定理，更好的了解中心极限定理的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。资料、数据、技术水平等方面的要求论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。指导教师签名：年月日

中心极限定理及其应用信息与计算科学专业（学生姓名）指导教师（老师姓名）摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极限定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。关键词：中心极限定理；正态分布；随机变量

Central limit theorem and its application Student majoring in Information and Computing Science Specialty （学生英文名） Tutor （老师英文名） Abstract:The central limit theorem in probability theory and mathematical statistics plays an important role,this paper expounds the content of the central limit theorem and briefly introduces its application in practice. Key words: Central limit theorem Normal distribution Random variable

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的内涵和应用在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。一、独立同分布下的中心极限定理及其应用在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1）证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。

实验十三二项分布的计算与中心极限定.

实验十三二项分布的计算与中心极限定 [实验目的] 1.研究用Poisson逼近与正态逼近进行二项分布近似计算的条件 2.检验中心极限定理 §1 引言二项分布在概率论中占有很重要的地位。N次Bernoulli实验中正好出现K次成功的概率有下式给出b k;n,p C n k p k1p n k ,k=0,1,2,……..n.二项分布的值有现成的表可查，这种表对不同的n及p给出了b(k;n.p)的数值。在实际应用中。通常可用二项的Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。在本实验中，，我们来具体地研究在什么条件下，可用Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。在概率论中，中心极限定理是一个很重要的内容，在本实验中，我们用随即模拟的方法来检验一个重要的中心极限定理——Liderberg-Levi中心极限定理。 §2 实验内容与练习 1．1二项分布的Poisson逼近用Mathematica软件可以比较方便地求出二项分布的数值。例如n=20;p=0,1;Table[Binomial[n,k]*p^k*(1-p)(n-k),{k,0,20}]给出了b(k;20,0.1)(k=0,1,2,…..,20)的值。联系 1 用Mathematica软件给出了b(k;20,0.1),b(k;20,0.3)与 b (k;20,0.5)(k=0,1,2,…..,20)的值。我们可用Mathematica软件画出上述数据的散点图，下面的语句给出了b(k;20.0.1)的（连线）散点图（图13。1）： LISTpOLT[table[Binomi al[20,k]*0.1^k*0.9^(20-k), {k,0,20}],PlotJoined->True] 图13.1 b(k;20,0.1) b k;n,p C n k p k1p n k (k=1,1,2,……,20)的散点图练习2绘出b(l;20,0.3)与b(k;20,0.5)(k=0,1,2,…,20)的散点图根据下面的定理，二项分布可用Poisson分布来进行近似计算。定理13。1 在Bernoulli实验中，以P n 代表事件A在试验中出现的概率，它与试验总数有关. 如果np n→→λ，则当n→∞时，b k;n,p k k e 。由定理13，1在n很大，p很小，而λ=np大小适中时，有 b k;n.p c k n p k1p n k k k e

(完整版)大数定律及中心极限定理

第五章大数定律及中心极限定理【基本要求】1、了解切比雪夫不等式； 2、了解切比雪夫大数定律，Bernoulli大数定律和辛钦大数定律成立的条件及结论； 3、了解独立同分布的中心极限定理（列维—林德伯格定理）和德莫佛—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。【本章重点】切比雪夫不等式，切比雪夫大数定理及Bernoulli大数定理。【本章难点】对切比雪夫大数定理及独立同分布的中心极限定理的理解。【学时分配】2学时【授课内容】 §5.1 大数定律 0.前言在第一章我们提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，这一事实显示了可以用一个数来表征事件发生的可能性大小，这使人们认识到概率是客观存在的，进而由频率的三条性质的启发和抽象给出了概率的定义，而频率的稳定性是概率定义的客观基础。在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，而这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景，而这些理论正是概率论的理论基础。下面介绍三个定理，它们分别反映了算术平均值及频率的稳定性。一、切比雪夫大数定律 1

2 事件的频率稳定于概率，能否有p n lim n n =μ∞→，答案是否定的。而是用)(0}{ ∞→→ε≥-μn p n P n [依概率收敛]来刻划（弱）。或者用{}1n n P p n →∞ μ???→=[a.e.收敛] 来刻划（强）。 1.定义：设ΛΛ,,,,21n X X X 是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数ε，有 ()1lim =<-∞ →εa X P n n ，则称序列ΛΛ,,,,21n X X X 依概率收敛于a .记为a X P n ?→? . 2．切比雪夫不等式设随机变量ξ具有有限的期望与方差，则对0>?ε，有 2 ) ())((ε ξεξξD E P ≤ ≥-或2 ) (1))((ε ξεξξD E P - ≥<- 证明：我们就连续性随机变量的情况来证明。设~()p x ξ，则有 2 2 ()()(())(())()()x E x E x E P E p x dx p x dx ξ ε ξ ε ξξξεε -≥-≥--≥= ≤ ?? 22 2 1 () (())()D x E p x dx ξξεε+∞ -∞ ≤ -= ? 该不等式表明：当)(ξD 很小时，))((εξξ≥-E P 也很小，即ξ的取值偏离)(ξE 的可能性很小。这再次说明方差是描述ξ取值分散程度的一个量。切比雪夫不等式常用来求在随机变量分布未知，只知其期望和方差的情况下，事件 {}E ξξε-≥概率的下限估计；同时，在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。 3．定理1（切比雪夫大数定律）设}{n ξ是相互独立的随机变量序列，每一随机变量都有有限的方差，且一致有界，即存在常数C ，使Λ,2,1)(=≤i C D i ξ，则对任意的0>ε，有01111 =ε≥ξ-ξ∑∑==∞→})(E n n {P lim n i n i i i n [即

中心极限定理

中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μ n是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n 无限大时，频率设μ n / n趋于服从参数为的正态分布。即：

该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。（三）李亚普洛夫中心极限定理设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。（四）林德贝尔格定理设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有。中心极限定理案例分析案例一：中心极限定理在商业管理中的应用水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假

数理统计作业二__用数学实验的方法验证大数定理和中心极限定理

验证大数定理： 1、实验原理：证明大数定理即证明样本均值趋近于总体均值。 2、实验步骤： ①在excel中，用公式 =RAND( )*9+1 生成2000个1到10之间的随机数。 ②选择样本的前50个，前100个，前150个…前2000个，分别求出均值。 ③利用excel作出上述求出值的样本均值折线图（图一）和总体均值折线图（图二）：图一图二从图一和图二中可以看出样本均值最终趋于水平，即趋于总体均值，大数定理得证。

验证中心极限定理： 1、实验原理：证明中心极限定理即证明N个独立同分布的随机变量和的极限分布为正态分布。本次实验采用独立同分布于0-1分布B(1,0.5)的随机变量序列E k，k=1,2,3······来验证中心极限定理。因为E k， k=1,2,3······之间是独立同分布，所以 )5.0, ( ~ E n 1 k k n B ∑ =。由中心极限定理可知，当n的取值足够大时，∑ = n 1 k k E 这一随机变量的分布与正太分布具有很好的近似，下面用MATLAB软件分别画出n取不同值时∑ = n 1 k k E 的分布及对应的正太分布的图像，通过对比这两条曲线的相似度来验证中心极限定理。 2、实验步骤： ①当n=10时，对应正态分布为N（5，2.5）。 MATLAB结果图：

MATLAB源程序： MATLAB结果图：

MATLAB源程序： ⑤观察得出，当N足够大时，其密度函数服从正态分布，即满足中心极限定理。

中心极限定理

中心极限定理从总体中抽取容量为n的一个样本时，当样本容量足够大时，样本均值x的抽样分布近似服从于正态分布。 eg:用R从0-10的均匀分布中产生100个样本量为n=2的随机样本，对每个样本计算，并画出100个的频数分布，对于n=5,10,30,50,重复这一个过程。 a=matrix(rep(0,200),nrow=100,byrow=T) set.seed(200) for(i in 1:100) a[i,]=runif(2,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100 个样本量n=2的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2) a=matrix(rep(0,1000),nrow=100,byrow=T) set.seed(1000) for(i in 1:100) a[i,]=runif(10,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100个样本量n=10的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2) a=matrix(rep(0,3000),nrow=100,byrow=T) set.seed(3000) for(i in 1:100) a[i,]=runif(30,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100个样本量n=30的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2) a=matrix(rep(0,5000),nrow=100,byrow=T) set.seed(3000) for(i in 1:100) a[i,]=runif(50,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100个样本量n=50的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2)

中心极限定理与大数定理的关系

渤海大学学士学位论文题目: 中心极限定理与大数定理的关系系别: 渤海大学专业: 数学系班级: 2002级1班姓名：于丹指导教师：金铁英完成日期：2006年5月19日中心极限定理与大数定理的关系于丹（渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国）摘要：中心极限定理是概率与数理统计的一个重要分支，大数定理和中心极限定理都是讨论的随机变量序列的极限问题，它们是概率论中比较深入的理论结果。本篇论文从研究大数定理开始，然后由大数定理以及收敛性引出了中心极限定理，最后通过对定理在实际应用中的举例和定理的一些反例的研究使我们弄清中心极限定理的内涵与外延，进一步弄清了大数定理与中心极限定理之间的关系。关键词：大数定理中心极限定理收敛性 The relation of the central limit theorem and large numbers law Yu Dan (Department of Mathematics Bohai University Liaoning jinzhou 121000 China) Abstract：The Central limit theorem is an important branch of probability and mathematical statistic. The large numbers law and the central limit theorem is limit question of random variable sequence .They are the quite thorough theory result in the theory of probability. This paper commences from large numbers law,then the central limit theorem is cited by large numbers law and convergence.Eventually,we can understand connotation and extension of the central limit theorem by its examples and relationship between large numbers law and the central limit theorem . Key words:large numbers law ; the central limit theorem ; convergence. 引言

数理统计作业二--用数学实验的方法验证大数定理和中心极限定理(精编文档).doc

【最新整理，下载后即可编辑】验证大数定理： 1、实验原理：证明大数定理即证明样本均值趋近于总体均值。 2、实验步骤： ①在excel中，用公式=RAND( )*9+1 生成2000个1到10之间的随机数。 ②选择样本的前50个，前100个，前150个…前2000个，分别求出均值。 ③利用excel作出上述求出值的样本均值折线图（图一）和总体均值折线图（图二）：图一图二从图一和图二中可以看出样本均值最终趋于水平，即趋于总体均值，大数定理得证。

验证中心极限定理： 1、实验原理：证明中心极限定理即证明N 个独立同分布的随机变量和的极限分布为正态分布。本次实验采用独立同分布于0-1分布B(1,0.5)的随机变量序列E k ，k=1,2,3······来验证中心极限定理。因为E k ，k=1,2,3······之间是独立同分布，所以)5.0,(~E n 1k k n B ∑=。由中心极限定理可知，当n 的取值足够大时，∑=n 1k k E 这一随机变量的分布与正太分布具有很好的近似，下面用MATLAB 软件分别画出n 取不同值时∑=n 1k k E 的分布及对应的正太分布的图像，通过对比这两条曲线的相似度来验证中心极限定理。 2、实验步骤： ①当n=10时，对应正态分布为N （5，2.5）。 MATLAB 结果图： MATLAB 源程序：

②当n=20时，对应正态分布为N（10，5）。MATLAB结果图： MATLAB源程序：

③当n=30时，对应正态分布为N（15，7.5）。MATLAB结果图： MATLAB源程序：

④当n=40时，对应正态分布为N（20,10）。MATLAB结果图： MATLAB源程序：

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的涵和应用在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。一、独立同分布下的中心极限定理及其应用在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1）证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。

中心极限定理证明

中心极限定理证明目录第一篇：中心极限定理证明第二篇：大数定理中心极限定理证明第三篇：中心极限定理第四篇：中心极限定理应用第五篇：中心极限定理更多相关范文正文第一篇：中心极限定理证明中心极限定理证明一、例子高尔顿钉板试验. 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史

上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理. 二、中心极限定理设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立称服从中心极限定理. 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明其中.由于,因此故服从中心极限定理. 三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则用频率估计概率时的误差估计. 由德莫佛—拉普拉斯极限定理, 由此即得第一类问题是已知,求,这只需查表即可. 第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的. 第三类问题是已知,求. 解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:. 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次? 解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.

中心极限定理的发展

中心极限定理的创立和发展 1141010113 万帅关键词：中心极限定理，创立，严格证明，新的发展，三阶段。引言：这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。 “中心极限定理”这一名称的来源有两种说法。波利亚认为这个定理十分重要，在概率论中具有中心地位，所以他加上了“中心”这一名称，于1920年引入这一术语。另一种说法是，现代法国概率论学派认为极限定理描述了分布函数中心的情况，而不是尾部的情况。历史上有不少数学家对中心极限定理的研究做出了贡献。中心极限定理的发展主要分为三个阶段。创立阶段：1733-----1853年人们通常认为，法国数学家隶莫弗在1733年首次证明了，二项发布近似正态分布。然而，当时正态发布的概念，隶莫弗并不知道自己本质上证明了“中心极限定理” 法国数学家拉普拉斯写了很多论文，想推广棣莫弗的工作。他意识到需要一种新的数学技巧，并在1785年成功地发明了这个技巧：特征函数的简单形式和反演公式。拉普拉斯把他的两个主要研究方向结合起来得到了这个方法-----母函数和积分的监禁展开。通过把母函数中的t换成it e ，就得到了特征函数。然而，直到1810年他才发表了特征函数与反演公示的一般理论，并证明了中心极限定理。他之所以推迟到1810年，有一种解释是，从1786年开始，他就专注于《天体力学》的写作，这本书1805年才完成。1810年，拉普拉斯证明了中心极限定理，先是服从均匀发布的连续随机变量的情形，接着是服从任意分布的随机变量。拉普拉斯的证明显然对独立有界的随机变量和成立，证明过程使用了现在所谓的特征函数，或傅里叶变换，即itXEe(t为实数）。在1812年，他先后考虑了对称的、离散的均匀分布，对称的连续分布，任意分布情形。最后，拉普拉斯在他的名著《概率的分析理论》中对任意的p证明了如下中心极限定理：【1】泊松完善和推广了拉普拉斯关于中心极限定理的证明。在所有考虑的情况里，都假设随机变量是独立的。泊松证明了服从相同分布的随机变量的情况，还推广到服从不同分布的随机变量的情况。1824年，泊松证明了连续随机变量的中心极限定理，并给出了三个反例，其中包括服从柯西分布的随机变量和，这时中心极限定理不成立。受当时传统的影响，泊松没有明确阐明中心极限定理成立的条件。但是，从他的证明和例子中，可以看到，他假设每个变量的方差都是有界的，且不等于零。其他数学家也做了这方面工作，比如贝塞尔和柯西。拉普拉斯等人给出证明的前提假设是，和的分布是有限的，因此所有的矩都存在。他们把结果推广到无限情形，但没有给出证明，并隐含假定了矩的存在。以现在的观点来看，只要沿着拉普拉斯的方向继续下去，法国数学家们是可以给出中心极限定理的严格证明的，比如柯西，他知道特征函数和稳定率。从当时环境来看，大约1870年代，概率学家还处于心理上的劣势，苦于自己的研究领

中心极限定理及其意义

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题目：中心极限定理及意义课程名称：概率论与数理统计专业班级：成员组成：联系方式： 2012年5月25日摘要：本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。

关键词：随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理引言：在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和 ∑=n k k X 1 的标准化变量， σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足， ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k k k σμ，

抽样技术上机实验_中心极限定理验证

均匀分布中心极限定律的实现： clc clear n=200000; %/* ???′′?êy*/ k=100; %/* ?ù±???êy*/ mu=0; u=0; sigma=1/12; population=0:0.001:1; for i=1:n y = randsample(population,k,1); mu=[mu,mean(y)]; end mu=(mu-0.5)/(sqrt(sigma)/sqrt(k)); %hist(mu(2:end),1000) [f, x1] = ksdensity(mu(2:end)); plot(x1, f) hold on plot(x1,normpdf(x1,0,1),'r') hold off %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 两点分布的实现： clc clear n=10000; %/* ???′′?êy*/ k=100; %/* ?ù±???êy*/ mu=0; u=0; p=0.5; sigma=p*(1-p); population=0:1; for i=1:n y = randsample(population,k,1); mu=[mu,mean(y)]; end mu=(mu-p)/(sqrt(sigma)/sqrt(k)); %hist(mu(2:end),1000) [f, x1] = ksdensity(mu(2:end)); plot(x1, f) hold on plot(x1,normpdf(x1,0,1),'r') hold off %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 两点分布1以概率0.4发生

中心极限定理实验仿真

中心极限定理的仿真实验目的：模拟投掷一枚骰子出现的点数的试验，重复进行104次，统计出现的点数和，并将数据标准化处理后，画出频率直方图，通过观察比较验证数据的正态性。所用的软件：Microsoft EXCEL 步骤如下： 1 打开excel软件,在A2格子中输入=INT(6*RAND())+1，按回车就会产生一个1-6中的某一个随机整数，并且出现1-6中每一个整数的概率是相同的。 2鼠标点击A2格子，并移动到格子的右下角，出现”+”后往下拖动鼠标直到出现A501时停下来，这样就得到了500个随机数据，都是在1-6中随机取值的。（当然你越往下拖，产生的随机整数越多，试验效果越好） 3 在第二列重复第1步和第2步，第三列，第四列……直到CZ列都和第二列同样操作，这样产生了104列随机数据。 4 在DB列分别求出每行数据的和，用的函数是“SUM”，接着依次求出500行数据的和。 5 复制DB列到DC列，注意值复制数值。 6 对DC列数据进行排序， 7对DC列数据进行标准化处理，即每个数据减去平均值再除以标准差（均值函数为average,样本方差函数为var）

8处理后的数据放在DE列。根据最大值和最小值，把数据分到20个区间，这里数据范围从-2.7到2.7，故每个区间长度为0.27，这样得到（-2.7，-2.43],……,(2.43,2.7)共20个区间(也可以分15个区间，这时区间长度为0.36）。 9统计每个区间里的数据个数，用函数countif(区域，条件），详见EXCEL文件。 10 画出频率直方图，大家可以看到，投掷104次骰子后出现的点数和数据标准化后出现标准正态分布的特征。请大家按照以上方法，产生200列数据，每列1000个数据，按照以上步骤做好中心极限定理的仿真实验。按个步骤写出实验过程，并将计算结果或图标截图后放在每个步骤后面，完整一份实验报告。

概率论中的大数定律及中心极限定理

概率论中的大数定律及中心极限定理唐南南摘要概率论是从数量上研究随机现象的规律的学科，概率论的特点是先提出数学模型，然后去研究它的性质，特点和规律。它在自然科学，技术科学和社会科学等科学中有广泛的应用。而大数定律和中心极限定理的内容是概率论中极限理论极为重要的一部分内容。在这篇文章中，我们从贝努力试验中的频率出发，讨论了独立随机变量和分布的极限问题。在一定条件下，这些分布弱收敛于退化分布，这就是大数定律。在另一些条件下，这些分布弱收敛于N(0,1)分布,这一类收敛于N(0,1)分布的定理统称为中心极限定理.大数定律说明了随机现象都具有稳定性而中心极限定理是研究相互独立随机变量序列{}i x 的部分和∑== n i i n x S 1 的分布，在适当条件下向正态分布收放的问题。在这篇文章里，我们只介绍了一些定理的提出，内容以证明以及在其他学科上的应用，而大数定律和中心极限定理还有许多更深入，更广泛的内容，限于篇幅这里就不再介绍了。掌握定理的结论是重要的，这些结论一方面使频率稳定于概率，n 次观察的算术平均值稳定于数学期望都有了明确的含义和理论依据；另一方面，又将给数理统计中大样本的统计推断等提供理论依据。关键词大数定律中心极限定理随机现象随机变量引言大数定律和中心极限定理是概率论中重要的一部分内容，但对读者来说，多数人对于这部分内容感到很难掌握，这篇文章就是对这部分内容进行浅入的分析，但对其内容进行详细的说明，而且进行了归纳性的总结，指出了各定律之间的联系及其差别，希望通过本篇文章内容的介绍，能使读者对于这部分知识有一个清晰的印象，能整体地把握这部分内容。一、大数定律（一）、问题的提法（大数定律的提法）重复实验中事件的频率的稳定性，是大量随机现象的统计规律性的典型表现。人们在实践中认识到频率具有稳定性，进而由频率的稳定性预见概率的存在；由频率的性质推断概率的性质，并在实际应用中（当n

中心极限定理证明

中心极限定理证明)题的方法应用于统计学，这从另一个方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地位。参考文献 [1]邓永录著应用概率及其理论基础.清华大学出版社。 [2]魏振军著概率论与数理统计三十三讲.中国统计出版社。 [3]程依明等著概率论与数理统计习题与解答.高等数学出版社。第五篇：中心极限定理中心极限定理中心极限定理（central limit theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a 和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。

（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件a发生的次数，事件a在每次试验中发生的概率为p，则当n无限大时，频率设μn / n 趋于服从参数为的正态分布。即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。（三）李亚普洛夫中心极限定理设差：是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方。记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞ 时，，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。（四）林德贝尔格定理设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x ，有。中心极限定理案例分析案例一：中心极限定理在商业管理中的应用水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假

第四章大数定律与中心极限定理答案

第四章大数定律与中心极限定理答案一、单项选择 1. 设)(x Φ为标准正态分布函数，?? ?=不发生，事件发生；事件A A X i ,0,1100,,2,1Λ=i ，且 8.0)(=A P ，10021,,,X X X Λ相互独立。令∑==1001 i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（）（A ）)(y Φ （B ）Ф()y -80 4 （C ）)8016(+Φy （D ）)804(+Φy 答案：D 二、填空 1. 设X 的期望和方差分别为 μ和2σ，则由切比雪夫不等式可估计 )2(σμ<-X P 。答案：34 ≥ 2．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式，有≤≥+}6|{|Y X P ________．答案： 12 1 3．已知随机变量ξ的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计ξ落在6到18之间的概率为________．与3到21之间解由题意得，2212,3,E D ξξσ=== 由切比雪夫不等式得 222{618}{126}3311466 P P D ξξξ≤≤=-≤≥-=-= 3 {618}4 P ξ∴≤≤≥

4．已知随机变量ξ的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计ξ落在3到21之间的概率为________．解由题意得，2212,3,E D ξξσ=== 由切比雪夫不等式得 222{321}{129}3811999 P P D ξξξ≤≤=-≤≥-=-= 8 {321}9 P ξ∴≤≤≥ 5．假定生男孩、生女孩的概率均为0.5，用切比雪夫不等式估计200个新生婴儿中男孩在80个到120个之间的概率为________．解设ξ表示在200个新生婴儿中男孩的个数, 则~(,),B n p ξ 其中0.5p 200,n ==, 则 ()2000.5100,E np ξ==?= ()(1)2000.5(10.5)50.D np p ξ=-=??-= 由切比雪夫不等式得 22{80120}{10020}507 118 2020P P D ξξξ≤≤=-≤≥- =-= 6．用切比雪夫不等式估计下题的概率: 废品率为0.03, 求1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率为________. 答案：0.709 7．用切比雪夫不等式估计下题的概率: 求200个新生婴儿中, 男孩多于80个且少于120个的概率为________. (假定生女孩和生男孩的概率均为0.5.) 答案： 0.875

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