四川省2020届高三9月联合诊断考试试题 数学(理) 含解析

四川省2020届高三9月联合诊断考试试题

数学（理）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已如集合{}{

}2

2,1,0,1,|1A B x x =--= ，则A B =

A. {}2,1,1--

B. {}|1,0-

C. {}0,1

D. {}2,1,0--

【答案】A 【解析】 【分析】

利用集合的交集运算求解 【详解】由{

}2

|1B x x =可得B 中11x x ≥≤-或，则A B ={}2,1,1--

答案选A

【点睛】本题考查集合的交集运算，整体简单，需注意数集与范围集合相交最终为数集

2.若2000

(1)()2i z i i -+= ，则z = A. i - B. i

C. -1

D. 1

【答案】D 【解析】 【分析】

需对运算公式进行变形，由20002000

2000

22(1)()211i i i z i i

z i z i i i

-+=?+=?=---，再进行化简即可

【详解】由200020002000

222

(1)()21111i i i z i i z i z i i i i i

-+=?+=?=-=-=---

答案选D

【点睛】本题考查复数的基本运算，处理技巧在于变形成除法运算形式

3.某运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这

些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，都不用删除个体，那么样本容量n 的最小值为 A. 6 B. 12

C. 18

D. 24

【答案】A 【解析】 【分析】

从系统抽样和分层抽样的特点考虑，系统抽样相当于等间距抽样，分层抽样相当于按比例抽样

【详解】由题已知，总体样本容量为36人，当样本容量为n 时，系统抽样的样距为36

n

，分层抽样的样比为36n ，则采用分层抽样抽取的足球运动员人数为

18362n n ?=，篮球运动员人数为12363

n n

?=，乒乓球运动员人数为6366

n n

?=，可知n 是6的整数倍，最小值为6 答案选A

【点睛】本题考查了分层抽样和系统抽样的应用问题，解题时应对两种抽样方法进行分析和讨论，以便求出样本容量

4.(

)

3

9

1(1)x x -- 的展开式中4x 的系数为 A. 124 B. 135 C. 615 D. 625

【答案】B 【解析】 【分析】

可采用分类讨论法；当第一个因式取1时，后面因式应取4x 对应的通项；当第一个因式取3x -时，后面因式应取x 对应的通项，将两种情况对应的系数相加即可

【详解】当第一个因式取1时，后面因式应取4x 对应的通项：()4

45

491126C x x -=，441126126x x ?=，

对应4x 系数为126

当第一个因式取3x -时，后面因式应取x 对应的通项：()1

18919C x x -=-，()34

99x x x -?-=

对应4x 系数为9

所以(

)

3

9

1(1)x x -- 的展开式中4x 的系数为；126+9=135 答案选B

【点睛】本题考查二项式定理某一项的项的系数求法，由于表达式是由两个因式构成，所以解题时应该对前面因式中每一项进行拆分，采用分类讨论法，可简化运算难度

5.在等比数列{}n a 中，4112,2

a a == ，若5

2k a -= ，则k = A. 5 B. 6

C. 9

D. 10

【答案】D 【解析】 【分析】

先求出公比q ，再根据通项公式直接求k 值

【详解】由3

4231112,224

a a q q -==?=?=，

115122k k k a a q q ---∴==?=，

2(1)1

6

3

22

k k q

--

--∴==

2(1)

63

k -∴-

=- 10k ∴=

答案选D

【点睛】本题考查等比数列基本量的求法，先求q ，再求通项，属于基础题型

6.设函数()f x 的导函数为'()f x ，若()f x 为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则'

()f x 的图像可能为

（ ）

A. B.

C. D.

【答案】C 【解析】

若()f x 为偶函数，则()f x '为奇函数，故排除B 、D . 又()f x 在()0,1上存在极大值，故排除A 选项， 本题选择C 选项.

7.曲线ln y x x = 在点(,)M e e 处的切线方程为 A. 2y x e =+ B. 2y x e =- C. y x e =+ D. y x e =- 【答案】B 【解析】 【分析】

先对曲线求导，再根据点斜式写出切线方程即可

【详解】由ln '1ln y x x y x =?=+，()'1ln 2y e e =+=，所以过点(,)M e e 切线方程为

()22y x e e x e =-+=-

答案选B

【点睛】本题考查在曲线上某一点()00,x y 切线方程的求法，相对比较简单，一般解题步骤为：先求曲线

()f x 导数表达式()'f x ，求出()0'f x ，最终表示出切线方程()()000'y f x x x y =-+

8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍

是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为3,4，则输出v 的值为

A. 6

B. 25

C. 100

D. 400

【答案】C 【解析】

依据流程图中的运算程序，可知第一步3,3120n i ==-=≥，则1426,2110v i =?+==-=≥；第二步程序继续运行，则64125,1100v i =?+==-=≥；第三步程序继续运行；则

2540100,0110v i =?+==-=-<，运算程序结束，输出100v =，应选答案C 。

9.若函数22

2()log (||4)8f x a x x a =+++- 有唯一的零点，则实数a 的值是

A. -4

B. 2

C. 2

D. -4或2

【答案】B 【解析】 【分析】

由表达式可判断()f x 为偶函数，又函数存在唯一零点，可求出a 值，再对a 值进行分类讨论判断是否符合题意即可

【详解】分析表达式特点可知，函数22

2()log (||4)8f x a x x a =+++-为偶函数，

()f x 有唯一一个零点，()00f ∴=，即2280a a +-=，解得4a =-或2a =

当2a =时,2

2()2log (||4)4f x x x =++-, ()f x ∴在[0,)+∞上单调递增,符合题意;

当4a =-时,22()4log (||4)8f x x x =-+++,作出24log (||4)y x =+和2

8y x =+的函数图象如图所

示:

由图象可知()f x 有三个零点,不符合题意; 综上,2a = 答案选B

【点睛】本题考法为结合函数零点存在情况求参，分析函数特点求出a 值，再验证a 值的合理性，最后的处理步骤用到了数形结合思想，是处理零点问题常用基本思想

10.设双曲线22

221x y C a b

-=： 的左焦点为F ，直线43200x y -+= 过点F 且与双曲线C 在第二象限交

点为P ，||||OP OF = ，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的离心率为 A.

5

3

B.

54

5 D. 5

【答案】D 【解析】 【分析】

根据题意，画出图像，结合双曲线基本性质和三角形几何知识进行求解即可 详解】如图所示：

直线43200x y -+= 过点F

()5,0F ∴-，半焦距5c = A 为PF 中点，||||OP OF =

OA PF ∴⊥

又OA 为2PFF ?中位线

2//OA PF ∴

由点到直线距离公式可得20

=

45

OA =，22=8PF OA ∴= 由勾股定理可得：()()

2

2

226FP FF PF =

-=

再由双曲线第一定义可得：22PF PF a -==2，1a

双曲线的离心率5c

e a

== 答案选D

【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，突破口在于利用||||OP OF =找出中点A ，结合圆锥曲线基本性质和几何关系解题是近年来高考题中常考题型，往往在解题中需要添加辅助线

11.已知定义在R 上的函数()y f x =满足：函数(1)=-y f x 的图象关于直线1x =对称，且当

(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立('()f x 是函数()f x 的导函数), 若11

(sin )(sin )22a f =，

(2)(2)b ln f ln =，121

2()4

c f log =, 则,,a b c 的大小关系是（ ）

A. a b c >>

B. b a c >>

C. c a b >>

D. a c b >>

【答案】A

【解析】 【分析】

由导数性质推导出当x ∈（﹣∞，0）或x ∈（0，+∞）时，函数y=xf （x ）单调递减．由此能求出结果． 【详解】∵ 函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，∴()y f x =关于y 轴对称， ∴函数()y xf x =为奇函数.因为()()()''xf x f x xf x ??=+??，

∴当(),0x ∈-∞时，()()()''0xf x f x xf x ??=+

. 110sin

22<<，1

1ln22e >>=，121log 24= 12

110sin ln2log 24<<<，∴ a b c >>，故选A

【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()

x f x g x e

=

， ()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()

f x

g x x

=

， ()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等

12.设,x y R ∈定义()(x y x a y a R ?=-∈且a 为常数），若2(),()ln ,()2x

x

f x e h x x

g x e

x -===+ ，

()()()F x f x g x =? .下述四个命题：

①()g x 不存在极值；

②若函数y kx = 与函数|()|y h x = 的图象有两个交点，则1

k e

=

； ③若()F x 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是(,2]-∞- ；

④若3a =- ，则在()F x 的图象上存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直 A. ①③④ B. ②③④

C. ②③

D. ②④

【答案】C 【解析】 【分析】

对命题①：直接求()g x 的导数，采用零点存在定理判断是否存在极值即可

对②若函数y kx = 与函数|()|y h x = 的图象有两个交点，则函数y kx =一定与()ln 1y x x =>相切，通过联立方程求解即可

对③④，需要先求出()F x 的导函数，根据导函数特点去判断两命题是否成立 【详解】对命题①：2()2'()4x

x g x e

x g x e x --=+=-+?，()()'00,'10g g <>，即()00,1x ?∈，使

得()0'0g x =，∴()g x 存在极值，命题①错

对命题②，画出y kx = 与函数|()|y h x =的图像，如图所示：

设切点横坐标为0x ，此时0000ln 11

,x k x e k x x e

=

=?==，命题②正确 对于命题③：

()()F x f x =?()

2()2x x g x e a e x -=--,则()

2()24x F x e x x a '=-+-,

若()F x 在R 上是减函数,则()0F x '

≤对于x ∈R 恒成立, 即()

2

240x

e

x

x a -+-≤恒成立, 0x e -<,

2240x x a ∴+-≥恒成立, 168()0a ∴=--≤,

2∴≤-a ;

即实数a 的取值范围是(,2]-∞-,故③正确 对命题④：当3a =-时,2()312x

x

F x e x e =---, 设()()

1122,,P x y Q x y 是()F x 曲线上的任意两点,

()

2()243x F x e x x '=-++2

2(1)10x e x ??=-++

()()120F x F x ''∴?>,

()()121F x F x ''∴?=- 不成立.

()F x ∴的曲线上不存的两点,使得过这两点的切线点互相垂直。命题④错误

正确命题为②③，答案选C

【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考察了函数极值，零点，单调性等知识点，综合性强，难度中等，解题方法主要以数形结合、根据导数来研究函数的单调性和极值为主

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已如向量(1,1),(2,)a b t == ，若||a b a b -=? ，则t =________ 【答案】13

- 【解析】 【分析】

利用向量的坐标运算分别表示出||a b -和a b ?的表达式，再根据||a b a b -=?求出t 值即可 【详解】()1,1a b t -=--，2a b t ?=+，()2

||11a b t -=+-，由||a b a b -=?可得

()

2

112t t +-=+，解得13

t =-

答案为：13

t =-

【点睛】本题考点为利用向量的坐标运算表示模长和数量积，进行基本运算，需要加以理解的是模长和数量积都是数值的具体体现

14.已知等差数列{}n a ，的首项11a = ，公差2d = .其前n 项和为n S ，若224k k S S +-= ，则k = ________ 【答案】5 【解析】 【分析】

根据题意，求出数列{}n a 的通项公式，再根据21224k k k k S S a a +++-=+=算出k 值

【详解】由11a = ，公差2d =，得21n a n =-，再由21224k k k k S S a a +++-=+=，可得5k = 答案为：5k =

【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，需熟记公式121n m n n n m S S a a a a --+-=++++

15.如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y=lo 1 2

2

3

,,

x

g x y x y

??

== ?

?

??

，的图像上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是。

【答案】

11

(,)

24

【解析】

试题分析：因为A点的纵坐标是2，即2

1

2

2

log x

=?=，即D点的横坐标1

2

，且B点的纵坐标是2。

即12

24

x x

=?=，即B点的横坐标4，亦即C点的横坐标4，则

4

39

16

y==

??

，即C 点的纵坐标是

9

16

则D点的坐标是

19

,

216

??

?

??

考点：函数

1

2

2

3

,,

x

y log y x y

===

??

的图像和性质

16.已知椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的左、右焦点分别为1F、2F，过2F的直线与椭圆交于A、B两点，若1F AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________．

63

-

【解析】

分析：设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF12m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得

2

2

c

a

，开方得答案．

详解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m，

若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF12，

由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，

即有2，即m=2（22）a，

则|AF2|=2a﹣m=（2﹣2）a，

在直角三角形AF1F2中，

|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，

即4c2=4（222a2+42﹣1）2a2，

∴c2=（9﹣2a2，

则e2=

2

2

c

a

=9﹣2=918

-，63

63．

点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式

c

e

a =；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本

市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准：（单位：吨），用水量不超过x 的部分按平价收费，超过x 的部分按议价收费，为了了解全布市民用用水量分布情况，通过袖样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5),[0.5,1) ……[4,4,5] 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图

（1）求频率分布直方图中a 的值；

（2）若该市政府看望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由。 【答案】（1）0.30；（2）估计月用水量标准为2.9吨，85%的居民每月的用水量不超过标准 【解析】 【分析】

（1）利用频率分直方图中的矩形面积的和为1求a 即可

（2）先大体估计一下x 所在的区间，再根据区间[]0,x 的频率之和为0.85，求解x 的值

【详解】（1）由直方图，可得(0.080.160.400.520.120.080.04)0.51a a ++++++++?= ， 解得0.30a =.

（2）因为前6组频率之和为

0.080.160.300.400.520.300.50.880.85.+++++?=>（）

而前5组的频率之和为

0.080.160.300.400.520.50.730.85.++++?=<（）

所以2.53x ≤<.

由0.3 2.50.850.73x ?-=-（）

解得 2.9x =.因此，估计月用水量标准为2.9吨，85%的居民每月的用水量不超过标准.

【点睛】本题考察了频率分布直方图中各个基本量的计算关系，需熟记的是，频率分布直方图中矩形面积之和为1；在横坐标上需找具体某一点计算符合条件概率值的方法一般为：先通过估算确定具体所在区间，

再根据矩形面积为概率值的特点，列出公式进行求解

18.ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为 ,,,a b c ，已知23

sin()cos 32

A C

B B +=-，且B 为锐角。 （1）求B ；

（2）若1b = ，求ABC ? 面积的最大值 【答案】（1）6π；（223

+ 【解析】 【分析】

（1）采用三角函数基本公式对23

sin()cos 32

A C

B B +=-

进行化简，再结合B 为锐角，可求得B （2）采用余弦定理，结合重要不等式与正弦定理表示的面积公式求解即可 【详解】（1）因为23

sin()cos 3A C B B += ， 所以)

2

2sin()cos 32cos 1A C B B +=- ，又A B C π++=， 所以sin 232B B = ，即tan 23B = 因为B 为锐角，所以2(0,)B π∈， 所以23

B π

=

，所以6

B π

=

（2）由（1）知6

B π

=

，由余弦定理得

222

cos 2a c b B ac

+-=

，即22310a c ac +-= 因为222a c ac + 所以23ac + （当且仅当62

a c +==

时取等号） 所以123sin 24ABC S ac B

?+=

（当且仅当62

2

a c == 时取等号）， 故ABC ? 的面积的最大值是

23

4

+ 【点睛】本题主要考查了利用三角函数的基本公式进行化简、正弦定理、余弦定理解三角形的综合应用，

问题（1）中涉及三角代换问题，需熟记sin()sin ,cos()cos A B C A B C +=+=-

（2）问一般采用余弦定理，面积公式和不等式性质进行范围求法，重要不等式222a c ac +应用较为广泛

19.如图，已知长方形ABCD 中，22AB =，2AD =，M 为DC 的中点.将ADM ?沿AM 折起，使得

平面ADM ⊥平面ABCM . （1）求证：AD BM ⊥；

（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为

55

.

【答案】（1）见解析；（2）E 为BD 中点． 【解析】 试题分析：

（1）本问考查立体几何中的折叠问题，考查学生的读图能力及空间想象能力，由长方形ABCD 中

2AD =,2DM =，所以2AM =，同理可求出2BM =，这样可以根据数量关系证出

222AM BM AB +=，即AM BM ⊥，由于折叠到平面ADM⊥平面ABCM ，交线为AM ，根据面面垂直的性

质定理可知，由于AM BM ⊥，且BM ?平面ABM ，所以BM ⊥平面ADM ，又因为AD ?平面ADM ，所以

AD BM ⊥；本问主要考查面面垂直性质定理的应用，注意定理的使用条件，注意证明的书写格式。

（2）根据平面ADM⊥平面ABCM ，交线为AM ，且AD=DM ，可以取AM 中点O ，连接DO ，则DO⊥AM，根据面面垂直性质定理可知，DO⊥平面ABCM ，再取AB 中点N ，连接ON ，则ON//BM ，所以ON⊥AM，可以以O 为原点，OA,ON,OD 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，如图，求出A,M,D,B 点坐标，根据E 在BD 上，设DE DB λ=，求出E 点坐标，然后分别求出平面AMD 和平面AME 的法向量，从而将二面角的余弦值表示成两个法向量余弦值，求出λ的值，得到E 点的位置。 试题解析：

（1）证明：∵长方形ABCD 中，AB=

，AD=

，M 为DC 的中点，

∴AM=BM=2，∴BM⊥AM. ∵平面ADM⊥平面ABCM ，平面ADM∩平面ABCM=AM ，BM ?平面ABCM ∴BM⊥平面ADM ∵AD ?平面ADM

∴AD⊥BM. （2）建立如图所示的直角坐标系

设DE DB λ=，则平面AMD 的一个法向量(0,1,0)n =，

(1,2,1),ME MD DB λλλλ=+=--(2,0,0)AM =-，

设平面AME 的一个法向量(,,),m x y z =则20{2(1)0x y z λλ=+-=取y=1，得20,1,,1

x y z λ

λ===

- 所以2(0,1,

)1

m λ

λ=-， 因为5cos ,m n m n m n ?=

=?，求得1

2

λ=， 所以E 为BD 的中点.

考点：1.空间中的垂直关系；2.空间向量在立体几何中的应用。

20.已知函数2

()ln 2

x f x a x =-

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若函数()f x 在区间()

2

1,e 内恰有两个零点，求a 的取值范围。

【答案】（1）见解析；（2）a 的取值范围为4,4e e ??

???

【解析】

【分析】

（1）先求导，再具体讨论a 的正负来判断函数的单调区间

（2）根据（1）判断a 的大致区间，若f x （）在区间(

2

1,e ??内恰有两个零点，由极值点与零点之间的基本

关系确定a 的具体取值范围，则需满足()

221()0

(1)00a e f a f f e ?<

?

?

?， 解出即可

【详解】（1）2()(0)a x a

f x x x x x

'

-=-=>

①当0a ≤ 时，'0f x >（） ，故f x （） 在(0,)+∞ 单调递增；

②当0a > 时，由0f x '=（

） 得x a =（舍去负值）

当0x a <<

时，'0f x <（

） ，故f x （）在)a 上单调递减； 当x a 时，'0f x >（），故f x （）在,)a +∞ 单调递增. 综上：当0a ≤时，f x （）在(0,)+∞单调递增；

当0a > 时，f x （）在a 上单调递减，在,)a +∞单调递增.

（2）当0a ≤时，由（1）知f x （）在(0,)+∞上单调递增，故f x （）在区间(

2

1,e ?? 内至多有一个零点，

当0a > 时，由（1）知f x （）在(0,)+∞上的最小值为(1ln )

()2

a a f a -=

若f x （）在区间(

2

1,e ??内恰有两个零点，则需满足

()

221()0(1)00

a e f a f f e ?<

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所以4

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故a 的取值范围为4,4e e ??

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【点睛】本题主要考查利用导数研究含参问题的函数单调区间问题，一般解题方法为对参数进行分类讨论，进一步分析参数对导数正负影响；本题中函数零点问题是通过分析极值点与零点的基本关系来进一步确定的，是解决零点问题常用方法之一，解决零点问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合等

21.已知抛物线2

8x y =，过点04M （，）的

直线与抛物线交于,A B 两点，又过,A B 两点分别作抛物线的切线，两条切线交于P 点。

（1）证明：直线,PA PB 的斜率之积为定值； （2）求PAB △面积的最小值 【答案】（1）见解析；（2）322 【解析】 【分析】

（1）设直线方程为4y kx =+，通过联立直线与抛物线方程得到28320x kx --=，用韦达定理表示出

1232x x =-，再利用导数的几何意义表示出两切线的乘积，即可解得

（2）先采用设而不求得方法联立()211184x x y x x -=-和()2

22284

x x

y x x -=-得44P k -（，）

再利用弦长公式表示出||AB ，结合点P 到直线AB l 距离公式表示出三角形面积，分析因式特点，即可求解 【详解】（1）证明：由题意设l 的方程为4y kx =+ ，

联立248y kx x y

=+??=? ，得28320x kx --= 因为2

(8)4(32)0k ?=--?-> ，

所以设()()1122,,,A x y B x y ，则1232x x =- 设直线PA PB ， 的斜率分别为12,k k ，

对28

x y = 求导得4x y '= ，

所以1212,44

x x

k k =

= ， 所以，12121232

2444416

x x x x k k -=?==

=-?（定值） （2）解：由（1）可得直线PA 的方程为

()211

184

x x y x x -=- ①

直线PB 的方程为

()222284

x x

y x x -=- ②

联立①②，得点P 的坐标为1212

,28x x x x +??

???

， 由（1）得12128,32x x k x x +==- ， 所以44P k -（，）

. 于是22||812AB k k =++， 点P 到直线AB 的距离22

421k d k

+=

+，

所以)

221622PAB S k k ?=++ ，

当20k =，即0k =时，PAB ?的面积取得最小值322【点睛】本题主要考查了用解析法解决过定点的直线与抛物线的基本关系量的证明，抛物线中三角形面积的最值求法。解题过程中结合导数几何意义求解斜率之积大大减小了运算步骤，（2）中设而不求的基本方法也使得点P 的求解过程变得简单；在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具，要求考生要能熟练运用

22.在极坐标系中，已如圆C 的圆心2,4C π?

??

，半径3r =（1）求圆C 的极坐标方程；

（2）若0,4a π??

∈???? ，直线l 的参数方程2cos 2sin x t y t αα=+??=+?

（t 为参数）直线l 交用C 于,A B 两点，求

长||AB 的取值范围

【答案】（1）2

2(cos sin )10ρρθθ-+-=；（2）||[22,3)AB ∈ 【解析】 【分析】

（1）利用余弦定理表示出三边关系即可表示出圆的极坐标方程

（2）联立直线的参数方程和圆的标准方程表示成关于t 的一元二次方程，用韦达定理表示出根与系数的关系，结合弦长公式12||||AB t t =-进行求解 【详解】如图：

设圆上任意一点坐标为P (,)ρθ，由余弦定理得：222

(3)(2)22cos 4πρρθ??

=+--

??

?

整理得：2

2(cos sin )10ρρθθ-+-=（经检验，当圆心极点与圆上的点三点在一直线上时也适合）. 所以圆C 的极坐标方程为2

2(cos sin )10ρρθθ-+-= （2）因为cos ,sin x y ρθρθ==.

所以圆的直角坐标方程为2

22210x y x y +---= ， 将直线l 的

参数方程代入圆的直角坐标方程得：

22(2cos )(2sin )2(2cos )2(2sin )10t t t t αααα+++-+-+-=，

整理得：2

(2cos 2sin )10t t αα++-=，设12,t t 为该方程的两根， 所以12122cos 2sin ,1t t t t αα+=--=-， 所以()2

121212||||484sin 2AB t t t t t t α=-=

+-=+，因为0,4??∈????

πα ，所以20,2πα??∈???? 所以||[22,23)AB ∈

【点睛】本题主要考查了圆的极坐标方程的求法，用直线的参数方程来求解圆的弦长的问题，用直线来表示与圆锥曲线的弦长可表示为12||||AB t t =-