2
y ax bx c
=++
二次函数的图像和性质
一、填空题:
1. 二次函数y=x2+2ax+a在1≤x≤2上有最小值?4-,则a的值为___________.
2. 将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,那么所得抛物线的函数关系式是.
3. 直线y = 2x+b右移3个单位长度后过抛物线y = 2x2-2x+4的顶点,则b = 。
4. 已知二次函数y=?2
3x2?4
3
x+2的图象与x轴分别交于A、B两点(如图所示),与y轴交于点C,点P是其对称轴上
一动点,当PB+PC取得最小值时,点P的坐标为.
(4)(5)(6)(7)
(4) (5)(6)(7)
5. 如图,抛物线y=ax2+bx+c(与x轴的一个交点A在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两点),顶点C是矩形DEFG 上(包括边界和内部)的一个动点,则a的取值范围是
。
6. 如图,
菱形ABCD的三个顶点在二次函数y=ax2-2ax+3
2
(a<0)的图象上,点A、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点,则点D的坐标为.
7. 如图,在第一象限内作射线OC,与x轴的夹角为30°,在射线OC上取一点A,过点A作AH⊥x轴于点H.在抛物线y=x2(x>0)
上取点P,在y轴上取点Q,使得以P,O,Q为顶点的三角形与△AOH全等,则符合条件的点A的坐标是. 8.(2015南通)关于x的一元二次方程ax2?3x?1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间(不包括﹣1和0),则a的取值范围是. 9.(2015宿迁)当x=m或x=n(m≠n)时,代数式x2?2x+3的值相等,则x=m+n时,代数式
x2?2x+3的值为.
10.(2015?孝感)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,且P=|a﹣b+c|+|2a+b|,Q=|a+b+c|+|2a
﹣b|,则P、Q的大小关系为P _________ Q.
(10)(11)(12)(13)(14)11.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点P(a,bc)在第_________ 象限.12.如图,抛物线y=ax2+c的顶点为B,O为坐标原点,四边形ABCO为正方形,则ac= _________ .13.如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c的图象,试确定下列各式的符号:
a _____0,
b ____0,
c _____0;a+b+c ____0,a﹣b+c ____0.
14.(2015贺州)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有以下结论:①abc>0,②a﹣b+c<0,
③2a=b,④4a+2b+c>0,⑤若点(﹣2,y1)和(- 1
3
,y2)在该图象上,则y1>y2.其中正确的结论是 .(填入正确结论的序号).
15.(2015雅安)为美化小区环境,决定对小区的一块空地实施绿化,现有一长为20m的栅栏,要围成一扇形绿化区域,则该扇形区域的面积的最大值为.
二、选择题:
16. 抛物线y=x2的图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位,则所得抛物线的解析式为()。
A.y=x2+4x+3
B. y=x2+4x+5
C. y=x2-4x+3
D.y=x2-4x-5
17. 无论m为任何实数,抛物线y=x2+(2-m)x+m总过的点是()A.(1,3)B.(1,0)C.(-1,3)D.(-1,0)
18. 在平面直角坐标系中,如果抛物线y=2x2不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是( ) A.y=2(x+ 2)2-2 B.y=2(x-2)2+ 2 C.y=2(x-2)2-2 D.y=2(x+ 2)2+ 2 19. 已知一元二次方程x2+bx?3=0的一根为-3,在二次函数y=x2+bx?3的图像上有三点分别为
?4
5,y1、(?5
4
,y2)、1
6
,y3,y1,y2,y3的大小关系是()
A.y3 B.y2 C. y1 D.y1 20. 如果抛物线y=x2?6x+c?2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于() A、8 B、14 C、8或14 D、-8或-14 21. 若二次函数y=x2-2mx+1+m2.当x≤3时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是() A.m =3 B.m>3 C.m≥3 D.m≤3 22. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+b2?4ac与反比例函数y=a+b+c x 在 同一坐标系内的图象大致为(). 23. (2015雅安)在二次函数y=x2?2x?3中,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是() A.0,﹣4 B.0,﹣3 C.﹣3,﹣4 D.0,0 24. (2015苏州)若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解为() A., B., C., D., 25. 已知二次函数的图象(﹣0.7≤x≤2)如图所示、关于该函数在所给自变量x的取值范围内,下列说法正确的是() A.有最小值1,最大值2 . B.有最小值-1,最大值1. C.有最小值-1,最大值2. D.有最小值-1,无最大值 26. 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的对称轴是直线x=1,其图象一部分如图所示,对于下列说法:①;②;③;④当时,.其中正确的是()A.①②B.①④C.②③D.②③④ (25)(26)(27)(28)(29) 27. 已知抛物线 y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:①>0;②;③<1 2 ; ④>1.其中正确的结论是() A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 28. 抛物线 y=?x2+bx+c的部分图象如图所示,若y>0,则的取值范围是() A.?4 29. 已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示对称轴为 x=?1 2.下列结论中,正确的是() A.abc>0B.a+b=0C.2b+c>0D.4a+c<2b 30. 如图,抛物线 y1=a(x+2)2?3与 y2=1 2 (x?3)2+1交于点 A(1,3),过点作轴的平行线,分别交两条抛物线于点.则以下结论:①无论取何值,的值总是正数.②.③当时,. ④.其中正确结论是()A.①②B.②③C.③④D.①④ 31. (2015乐山)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,记, .则下列选项正确的是() A. B. C. D.m、n的大小关系不能确定 (30)(31)(32) 32. (2015孝感)如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=OC.则下列结论:①abc<0;②;③ac﹣b+1=0;④OA?OB=?c . a 其中正确结论的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 三、解答题: 33. 已知二次函数的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,3)。(1)求出b,c的值,并写出此二次函数的解析式; (2)根据图象,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围。 34. 已知:二次函数的图象与X轴交于A(1,0)、B(5,0),抛物线的顶点为P,且PB=,求:(1)二次函数的解析式。(2)画出这个二次函数的图象;(3)根据图象回答:当x取什么值时,y的值不小于0。 35. 足球比赛中,某运动员将在地面上的足球对着球门踢出,图中的抛物线是足球的飞行高度y(m)关于飞行时间x(s)的函数图象(不考虑空气的阻力),已知足球飞出1s时,足球的飞行高度是2.44m,足球从飞出到落地共用3s.(1)求y关于x的函数关系式; (2)足球的飞行高度能否达到4.88米?请说明理由; (3)假设没有拦挡,足球将擦着球门左上角射入球门, 球门的高为2.44m(如图所示,足球的大小忽略不计), 如果为了能及时将足球扑出,那么足球被踢出时,离球门左边框12m处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左边框? 二次函数的解析式;2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连接BA、BC,求△ABC的面积. 37. 已知一次函数y=-2x+c与二次函数y=ax2+bx-4的图象都经过点A(1,-1),二次函数的对称轴直线是x=-1,(1)请求出一次函数和二次函数的表达式.(2)指出二次函数值大于一次函数值的自变量X取值范围。 38. 已知抛物线的顶点P(3,-2)且与x轴交于点A(1,0)。与x轴的另一个交点是B点(1)求此抛物线的解析式;(2)抛物线上是否存在点Q,使△QAB的面积等于12,若存在,求点Q 的坐标,若不存在,请说明理由。 39. 如图①,已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一交点为B。 (1)求抛物线的解析式; (2)若点C在抛物线的对称轴上,点D在抛物线上,且以O、C、D、B四点为顶点的四边形 为平行四边形,求D点的坐标; 二次函数图像和性质1 一、选择题 1.已知二次函数y =Ax 2+Bx +C 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A .a >0 B .c <0 C .b 2-4ac <0 D .a +b +c >0 2.如图5,已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ,点A ,B 均在抛物线上,且AB 与x 轴平行,其中点A 的坐标为(0,3),则点B 的坐标为 A .(2,3) B .(3,2) C .(3,3) D .(4,3) 3.函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( ) 4.把抛物线y =x 2+bx +c 的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式 为y =x 2-3x +5,则( )A .b =3,c =7 B .b =6,c =3 C .b =-9,c =-5 D .b =-9,c =21 5.二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所 示,下列结论错误的是 A .ab <0 B .ac <0 C .当x <2时,函数值随x 的增大而增大;当x >2时,函数值随x 的增大而减小 D .二次函数y =ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c =0的根。 6.已知函数y 1=x 2与函数y 2=- 1 2 x +3的图象大致如图,若y 1<y 2,则自变量x 的取值范围是( ). A .- 32<x <2 B .x >2或x <-3 2 C .-2<x <32 D . x <-2或x >32 7.若把函数y=x 的图象用E (x ,x )记,函数y=2x+1的图象用E (x ,2x+1)记,……则E (x ,122 +-x x )可以由E (x ,2 x )怎样平移得到? 8.已知抛物线2y ax bx c =++(a <0)过A (2-,0)、O (0,0)、B (3-,1y )、C (3,2y )四点,则1y 与2y 的大小关系是A .1y >2y B .1y 2y = C .1y <2y D .不能确定 9.下列函数:①3y x =-;②21y x =-;③()1 0y x x =- <;④223y x x =-++,其中y 的值随x 值增大而增大的函数有( )A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 10.设a 、b 是常数,且b >0y=ax 2+bx +a 2 -5a -6的值为( ) 11.已知函数))((3n x m x y ---=,并且b a ,是方程0))((3=---n x m x 两个根,则实数b a n m ,,,的大小关系可能是 A .n b a m <<< B .b n a m <<< C .n b m a <<< D .b n m a <<< 12.如图,AB 为半圆的直径,点P 为AB 上一动点,动点P 从点A 出发,沿AB 匀速运动到 点B ,运动时间为t ,分别以AP 于PB 为直径 做半圆,则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图像大致为 二次函数图象专题训练 1.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,下列结论①a 、b 异号;②当x =1和x=3时,函数值相等;③4a +b =0,④当y =4时,x 的取值只能为0.结论正确的个数有( ) 个 A .1 B.2 C.3 D.4 2、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的 图象如图所示,有下列结论: ①240b ac ->; ②0abc >; ③80a c +>; ④930a b c ++<.其中,正确结论的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 3.已知二次函数2 y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-,、1(0)x , ,且112x <<,与y 轴的正半轴的交点在(02),的下方.下列结论:①420a b c -+=;②0a b <<;③ 20a c +>;④210a b -+>.其中正确结论的个数是 个. A .1 B .2 C .3 D .4 4、已知抛物线y =ax 2 +bx +c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中正确的是( ) A . a >0 B . b <0 C . c <0 D . a +b +c >0 5、如图所示的二次函数2 y ax bx c =++的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:(1)2 40b ac ->;(2)c >1;(3)2a -b <0;(4)a +b +c <0。你认为其中错误.. 的有 A .2个 B .3个 C .4个 D .1个 6、已知二次函数y =ax 2 +bx +c (a ≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是( ) A .a >0 B .当x >1时,y 随x 的增大而增大 C .c <0 D .3 是方程ax 2 +bx +c =0的一个根 2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质 考点1:二次函数的顶点、对称轴、增减性 1.关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是( ) A.图像与y轴的交点坐标为(0,1) B.图像的对称轴在y轴的右侧 C.当时,x<0的值随y值的增大而减小 的最小值为-3 2.如图,函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表: x-1013 y-3131 下列结论:①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1;③当x<1时,函数值y随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4,其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为( ) 或6 或6 或3 或6 5.当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为() 或2 或2 6.对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y,则这条抛物线的顶点一定在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点2:抛物线特征和a,b,c的关系 1.已知二次函数图形如图所示,下列结论:①abc;②;③;④点(-3,y1),(1,y2) 都在抛物线上,则有y1y 2. 其中正确的结论有( ) 个个个个 2.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( ) <4ac >0 b=0 b+c=0 第二节 二次函数的图像与性质 1.能够利用描点法做出函数y =ax 2,y=a(x-h)2 ,y =a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象,能根据图象认识和理解二次函数的性质; 2.理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c , 关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y =x 2 ,y =-x 2 ,y =2x 2 ,y =-2x 2 ,y =2(x-1)2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y =ax 2 的性质: 2. y=ax2+k的性质:(k上加下减) 3. y=a(x-h)2的性质:(h左加右减) 4. y=a (x-h)2+k的性质: 5. y=ax2+bx+c的性质: 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左 加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师:同学们,我们上一节课一起研究了二次函数的表达式,那么我们一起来回忆一下表达式是什么? 学生齐答:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a不为0) 教师:好,那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. (学生表现很踊跃,一下写出了十多个) 教师:黑板上这些二次函数大致有几个类型? 学生:(讨论了3分钟)四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师:太棒了!同学们归纳的很好,今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质! 教师在学生板书的函数中选了四个,并把复杂的系数换成简单的常数,找到如下函数:y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材!) 教师启发学生利用函数中的“列表,描点,连线”的方法,把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组,一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”,兴趣很大,合作交流充分,课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导,在确认画图全部正确的情况下,提出了要求,开始了探究之旅. 教师:请同学们小组之间比较一下,你们画的图象位置一样吗? 学生;不一样. 教师:有什么不一样?(开始聚焦矛盾) 学生:开口不一样. 学生A:走向不一样. 学生B:经过的象限不一样. 学生C:我们的图象在原点的上方,他们的图象在原点的下方. 教师:看来是有些不一样,那么它们位置的不一样是由什么要素决定的?(教师指明了探究方向,但未指明具体的探究之路,这是明智的) 学生:是由二次项系数的取值确定的. 教师:好了,根据同学们的回答,能得到图象或函数的那些结论?(顺水推舟,放手让学生一搏) 热烈讨论后,学生D回答并板书,当a>0时,图象在原点的上方,当a<0时,图象在原点的下方。 学生E:当a>0时,图象开口向上;当a<0时,图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! (这个过程约用了十多分时间,学生体会非常充分,从学生的神情看,绝大多数学生已接受了这几个学生的板书,但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢?短暂停顿后,教师确定了思路) 教师:刚才你们是研究图象的性质,你们能否由图象性质得出相应的函数的性质? 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师:请看同学们的板书,能揣摩图象“走向”的意思吗? 学生:(七嘴八舌)当a>0时,图象从左上向下走到原点后在向右上爬;当a<0时,图象从左下向上爬到原点后在向右下走(未出现教师所预期的结论) 教师:好,你们从图象的直观形象来理解的图象性质,很贴切,你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗? 初中数学二次函数图像性质练习题(附答案) 1、函数()2h x a y -=的图象与性质 1、抛物线()232 1-- =x y ,顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小, 函数有最 值 。 2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。 (1)右移2个单位;(2)左移3 2个单位;(3)先左移1个单位,再右移4个单位。 3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质(至少2个)。 4、二次函数()2h x a y -=的图象如图:已知2 1=a ,OA=OC ,试求该抛物线的解析式。 5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ,与y 轴交点为B ,求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积。 6、二次函数2)4(-=x a y ,当自变量x 由0增加到2时,函数值增加6。求:(1)求出此函数关系式。(2)说明函数值y 随x 值的变化情况。 7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上,求k 的值。 2、()k h x a y +-=2的图象与性质 1、请写出一个以(2, 3)为顶点,且开口向上的二次函数: 。 2、二次函数 y =(x -1)2+2,当 x = 时,y 有最小值。 3、函数 y =12 (x -1)2+3,当 x 时,函数值 y 随 x 的增大而增大。 4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位,再向 平移2个单位得到。 5、已知抛物线的顶点坐标为2,1,且抛物线过点3,0,则抛物线的关系式是 6、如图所示,抛物线顶点坐标是P (1,3),则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是( ) A 、x>3 B 、x<3 C 、x>1 D 、x<1 7、已知函数()9232+--=x y 。 (1)确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2)当x= 时,抛物线有最 值,是 。 (3)当x 时,y 随x 的增大而增大;当x 时,y 随x 的增大而减小。 (4)求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离; (5)求出该抛物线与y 轴的交点坐标; (6)该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的 8、已知函数()412-+=x y 。 (1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2)若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ,求△ABC 的面积; (3)指出该函数的最值和增减性; (4)若将该抛物线先向右平移2个单位,在向上平移4个单位,求得到的抛物线的解析式; (5)该抛物线经过怎样的平移能经过原点。 (6)画出该函数图象,并根据图象回答:当x 取何值时,函数值大于0;当x 取何值时,函数值小于0。 3、c bx ax y ++=2的图象和性质 1、抛物线942++=x x y 的对称轴是 。 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。 =-的性质: y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质: 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对 称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,.当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值2 44ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); .. 二次函数图象性质及应用 一选择题 1.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3,下列判断正确的是() A.开口方向向上,y 有最小值是﹣2 B.抛物线与x轴有两个交点 C.顶点坐标是(﹣1,﹣2) D.当x<1 时,y 随x增大而增大 2.若二次函数y=x2+bx+5 配方后为y=(x-2)2+k,则b、k 的值分别为() A.0、5 B.0、1 C.﹣4、5 D.﹣4、1 3.将抛物线先向左平移2个单位,再向上平移3个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的表达式是 A. B. 3 y2- - )2 y2- =x + (5 =x D.3 (52+ )2 (5 - =x )2 y C. 3 4.把抛物线y=﹣2x2+4x+1 图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是() A.y=﹣2(x-1)2+6 B.y=﹣2(x-1)2﹣6 C.y=﹣2(x+1)2+6 D.y=-2(x+1)2-6 5.函数y=ax+b 和y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是() A. B. C. D. 6.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图,则a bc,b2﹣4ac,2a+b,a+b+c 这四个式子中,值为正数的有() A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 第6题图第8题图 7.二次函数y=ax2+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是() A.a>0,△>0 B.a>0,△<0 C.a<0,△>0 D.a<0,△<0 8.抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是() A.y=x2-x-2 B.y=﹣x2﹣x+2 C.y=﹣x2﹣x+1 D.y=﹣x2+x+2 二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质: 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ;开口向上;在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移。 (2)抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移;当0二次函数图像和性质练习题
二次函数图像和性质专题训练(答案)
2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质知识点及练习
二次函数的图像及性质
初中数学二次函数图像性质练习题(附答案)
二次函数图像与性质总结
二次函数图像性质及应用
二次函数的图像和性质总结