北京市平谷区2015年初三数学一模试题及答案

平谷区2014—2015学年度第二学期初三统练（一）

2015.4

下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．根据平谷区统计局发布的人口抽样调查情况，2014年末平谷区常住人口423 000人， 将423 000用科学记数法表示应为

A ．54.2310?

B ．60.42310?

C ．442.310?

D ．44.2310?

2．检查4个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，

A ．1号

B ．2号

C ．3号

D ．4号 3．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在B C 边上，D

E ∥AB ，若∠CDE =150°，则∠A 的

度数为

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

5．函数y =

A ．1x ≠

B ．1x >

C ．1x ≥

D ．1

x ≥-

6

．下列四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是

7．某学校为了解学生大课间体育活动情况，随机抽取本校部分

A ．41

B ．51

C ．52

D ．203

8．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：100后用时（min ）成反比例关系，直至水温降至30机关机.饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.A C D B A

0 5

10 15 20 25 30 35 40

B ． D ．

C ． A ．

在水温为30℃时，接通电源后，水温y （℃）和时间x （min ）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是 A ．27分钟 B ．20分钟

C ．13分钟

D ．7分钟

9．如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC =30°，CD 丄AB 于点E ，BE =2，则⊙O 的半径为

A ．8

B ．6

C ．4

D ．2

10．已知：如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC =12cm ，BD =16cm ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，直线EF 从点D 出发，沿DB 方向匀速运动，速度为1cm/s ，EF ⊥BD ，且与AD ，BD ，CD 分别交于点E ，Q ，F ；当直线EF 停止运动时，点P 也停止运动．连接PF ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜8）．设四边形APFE

的面积为y （cm 2

），则下列图象中，能表示y 与t 的函数关系的图象大致是

二、填空题(

本题共18分，每小题3分)

11．分解因式：3

2

2

4

4a a b

ab -+=

．

12．甲、乙二人进行射击比赛，已知他们每人五次射击的成绩如下表（单位：环），那么二

13

角为30°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球A 与高楼 的水平距离为120m ，这栋高楼BC 的高度为 米． 14．如图，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，若OA =4，

OC =6，写出一个函数()0k

y k x

=

≠，使它的图象与矩形OABC 的两边AB ，BC 分别交于点D ，E ，这个函数的表达式为 ． 15．在学习二次函数的图象时，小米通过向上（或向下）平移y =ax 2的

图象，得到y =ax 2+c 的图象；向左（或向右）平移y =ax 2的图象， 得到y =a (x ﹣h )2的图象．小米经过探究发现一次函数的图象也应该 具有类似的性质．请你思考小米的探究，直接写出一次函数y =2x +3 的图象向左平移4个单位长度，得到的函数图象的解析式为 ． 16．在Rt △ABC 中，∠A =90°，有一个锐角为60°，BC =6．若点P 在直

线AC 上（不与点A ，C 重合），且∠ABP =30°，则CP 的长为 ．

A ．

B ． D ．

C ． A

三、解答题(本题共30分，每小题5分) 17．如图，AB =AD ，AC =AE ，∠CAD =∠EAB ．

求证：BC =DE ．

18

()1

12cos 45 3.144π-???+-+- ???

．

19．解不等式组214112

3x x x x -+<+??

-?-≤??．

20．已知实数a 满足2

2130a a +-=，求

()()2212121121a a a a a a a +++-÷+--+的值.

21．关于x 的一元二次方程()2

121=0m x mx m --++有两个实数根．

（1）求m 的取值范围；

（2）当m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数． 22．列方程或方程组解应用题：

为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：

信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？

四、解答题(本题共20分，每小题5分)

23．如图，BD 是△ABC 的角平分线，点E ，F 分别在BC ，AB 上，

且DE ∥AB ，EF ∥AC ． （1）求证：BE =AF ； （2）若∠ABC =60°，BD =12，求DE 的长及四边形ADEF 的面积．

24．“小组合作学习”成为我区推动课堂教学改革，打造自主高效课堂的重要举措．某中学

从全校学生中随机抽取100人作为样本，对“小组合作学习”实施前后学生的学习兴趣变化情况进行调查分析，统计如下：

请结合图中信息解答下列问题：

（1）小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的所占的百分比为 ； （2）补全小组合作学习后学生学习兴趣的统计图；

（3）通过“小组合作学习”前后学生学习兴趣的对比，请你估计全校2000名学生中学习兴趣获得提高的学生有多少人？

25．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于

点D ，∠BAC =2∠CBE ，交AC 于点E ，交⊙O 于点F ，连接AF ．

（1）求证：∠CBE =∠CAF ； （2）过点E 作EG ⊥BC 于点G ，若∠C =45°，CG =1，

求⊙O 的半径．

26．阅读下面材料：

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，小聪继续

对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．

小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC

和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ． 小聪想：要想解决问题，应该对∠B 进行分类研究．

∠B 可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

第一种情况：当∠B 是直角时，如图1，

在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ， ∠B =∠E =90°，根据“HL”定理，可以知道

Rt △ABC ≌Rt △DEF ．

第二种情况：当∠B 是锐角时，如图2，BC =EF ，∠B =∠E<90°，在射线EM 上有点D ，使DF =AC ，画出符合条件的点D ，则△ABC 和△DEF 的关系是 ；

A ．全等

B ．不全等

C ．不一定全等 第三种情况：当∠B 是钝角时，如图3，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ， ∠B =∠E >90°，求证：△ABC ≌△DEF ．

五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题8分，第29题7分)

27．已知抛物线y =ax 2+x +c （a ≠0）经过A （1 ，0），B （2，0）两点，与y 轴相交于点C ，

点D 为该抛物线的顶点．

（1）求该抛物线的解析式及点D 的坐标； （2）点E 是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E 到直线BC

的距离为

2

时，求点E 的坐标；

（3）在（2）的条件下，在x 轴上有一点P ，且∠EAO +∠EPO =∠α，当tanα=2时，求点P 的坐标．

图1

图3 O y

x

图2

28．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC =80°，∠A +∠C =180°，点M 是AD

边上一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋转40°，与CD 边交于点N ，请你补全图形，求MN ，AM ，CN 的数量关系；

（2）如图2，在菱形ABCD 中，点M 是AD 边上任意一点，把射线BM 绕点B 顺时针

旋

1

2

ABC ∠，与CD 边交于点N ，连结MN ，请你补全图形并画出辅助线，直接写出AM ，CN ，MN 的数量关系是 ；

（3）如图3，正方形ABCD 的边长是1，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若△DMN 的周长为2，则△MBN 的面积最小值为 ．

29．设a ,b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体

叫做闭区间，表示为[a ,b ]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n ,我们就称此函数是闭区间[m .n ]上的“闭函数”．如函数4y x =-+，当x =1

时，y =3；当x =3时，y =1，即当13x ≤≤时，有13y ≤≤，所以说函数4y x =-+是闭区间[1,3]上的“闭函数”． （1）反比例函数y =

x

2015是闭区间[1,2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

（2）若二次函数y =2

2x x k --是闭区间[1,2]上的“闭函数”，求k 的值； （3）若一次函数y =kx +b (k ≠0)是闭区间[m ,n ]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m ，n 的代数式表示）．

图2 图3

图1

平谷区2014—2015学年度第二学期初三统练答案（一）

数学试卷2015.4

11.2(2)a a b -；12．乙；13．

14．答案不唯一，如1

y x

=-

(x <0)； 15．y =2x +11；16．6或

1分，多写扣1分）． 三、解答题(本题共30分，每小题5分)

17．证明：∵∠CAD =∠EAB ，

∴∠CAD +∠BAD =∠EAB +∠BAD ．

即∠CAB =∠EAD ． (1)

∵AB =AD ，AC =AE ，…………………………………………………………………3 ∴△ABC ≌△ADE ．…………………………………………………………………4 ∴BC =DE ．……………………………………………………………………………5 18．解：原式=()2412

?

+-+..................................................................4 3 (5)

19．解：214112

3x x x x -+<+??

?--≤??①②

解不等式①，得1x >-，........................................................................2 解不等式②，得4x ≤， (4)

∴原不等式组的解集为：14x -<≤． (5)

20．解：()()2212121121a a a a a a a +++-÷+--+ =()()()

221212111a a a a a a +++-÷+--…………………………………………………………1 =()()()()()

2

112

11112a a a a a a a -+-?++-++ =()211

11a a a --

++…………………………………………………………………………2 =()

()

2

2

1

1

11a a a a +--

++

=()

2

2

1a +

=

22

21a a ++ (3)

∵2

2130a a +-=，

∴2

2=13a a +．

∴原式=

2

13+1……………………………………………………………………………4 =1

7

(5)

21．解：（1）根据题意得m ≠1 ..............................................................................1 △＝(–2m )2－4(m －1)(m ＋1)＝4 (2)

∴m 的取值范围是m ≠1；

（2）∴x 1＝

()

22

121m m -=- (3)

x 2＝

()2221m m +-＝1

1m m +-

x 2＝11m m +-=2

11

m +- (4)

∵方程的两个根都是正整数， ∴

2

1

m -是正整数， ∴m －1=1或2

∴ｍ=2或3 . (5)

22．解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天加工1.5x 件新产品． (1)

依题意得，

12001200

10.1.5x x =+ (2)

解得40x = (3)

经检验，40x =是原方程的解，并且符合题意．………………………………………4 ∴1.560x =. 答：甲、乙两个工厂每天能加工新产品的件数分别为40件、60件．……………………5 四、解答题(本题共20分，每小题5分)

23．（1）证明：∵DE ∥AB ，EF ∥AC ， ∴四边形ADEF 是平行四边形，…………………………………………………………1 ∠ABD =∠BDE ． ∴AF =DE ．

∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠ABD =∠DBE ． ∴∠DBE =∠BDE ． ∴BE =DE ． ∴BE =AF ． (2)

（2）解：过点D 作DG ⊥AB 于点G ，过点E 作EH ⊥BD 于点H ，

∵∠ABC =60°，BD 是∠ABC 的平分线，

∴∠ABD =∠EBD =30°，

∴DG =

12BD =12

×12=6．

∵BE =DE ，

∴BH =DH =1

2

BD =6．

∴BE =cos30BH

?

=

∴DE =BE = (4)

∴四边形ADEF的面积为：DE?DG

= (5)

24．解：（1）30%； (1)

（2）小组合作学习后学生学习兴趣的统计图如下：

(2)

（3）小组合作学习前学生学习兴趣“中”的有100×25%=25（人），

小组合作学习后学习兴趣提高了30﹣25=5（人）； (3)

小组合作学习前学生学习兴趣“高”的有100×30%=30（人），

小组合作学习后学习兴趣提高了35﹣30=5（人）；

小组合作学习前学生学习兴趣为“极高”的有100×25%=25（人），

小组合作学习后学习兴趣提高了30﹣25=5（人），

∴2000×555

100

++

=300（人）． (4)

答：全校2000名学生中学习兴趣获得提高的学生有300人． (5)

25．（1）证明：∵BC切⊙O于点B，

∴∠ABF+∠CBE=90°． (1)

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB=90°．

∴∠ABF+∠BAF=90°．

∴∠CBE=∠BAF．

∵∠BAC=2∠CBE，

∴∠BAF+∠CAF=2∠CBE．

即∠CBE=∠CAF． (2)

（2）∵EG⊥BC于点G，

∴∠CBE+∠BEG=90°．

∵∠CAF+∠AEF=90°，

∴∠BEG=∠AEF．

连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．

∴∠BDE=∠BGE=90°．

∵BE=BE

∴△BED≌△BEG．

∴ED=EG． (3)

∵∠C=∠CEG=45°，

∴EG=CG=1，CE

∴DE=1．

∴CD

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=45°，

∴∠BAC=45°．

∴AD=BD=CD

∴AB

4

∴⊙O

的半径为

2

．……………………………………………………5 26．解：

画出DF ，选择A （或画出D ’F ，选择B ）…………………………………………………1 画出DF 和D ’F ，选择C ……………………………………………………………………2 证明：如图，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ， 过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于点H ， ∵∠B =∠E ， ∴180°﹣∠B =180°﹣∠E ， 即∠CBG =∠FEH ，…………………………………………………………………………3 在△CBG 和△FEH 中，

90CBG FEH G H BC EF ∠=∠??

∠=∠=???=?

， ∴△CBG ≌△FEH （AAS ）， ∴CG =FH ，

在Rt △ACG 和Rt △DFH 中，AC DF

CG FH =??=?

，

Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ），

∴∠A =∠D ， (4)

在△ABC 和△DEF 中，A D B E AC DF ∠=∠??

∠=∠??=?

，

∴△ABC ≌△DEF （AAS ）．………………………………………………………………5 五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题8分，第29题7分) 27．解：（1）∵抛物线y=ax 2+x+c （a ≠0）经过A （﹣1，0），B （2，0）两点，

∴10420a c a c -+=??

++=?，解得1

2

a c =-??=?．

∴抛物线为y =﹣x 2+x +2①；………………………………………………………1 ∴顶点D （

12，9

4

）．………………………………………………………………2 （2）如图，作EN ∥BC ，交y 轴于N ，过C 作CM ⊥EN 于M ，

令x =0，得y =2, ∴OC =OB =2．

∴∠OCB=45°．

∵EN∥BC，

∴∠CNM=∠OCB=45°．∵CM⊥EN于M，

∴∠CNM=∠CMN=45°．

∴MN =CM

=

2

．

∴CN=1．

∴直线NE的解析式为：

把②代入①，解得

1

x

y

=

?

?

=

?

∴E（1，2）．

（3）过E作EF⊥AB于F

∴tan∠EOF=2，

又∵tan∠α=2，

∴∠EOF=∠α，

∵∠EOF=∠EAO+∠AEO=∠α，

∠EAO+∠EPO=∠α，

∴∠EPO=∠AEO，

∵∠EAO=∠P AE，

∴△AEP∽△AOE， (5)

∴

AP AE

AE AO

=，

∵AE AO

∴AP=8，

∴OP=7，

∴()

7,0

P，

由对称性可得，()

'5,0

P-

∴()

7,0

P或()

5,0

-．

28．解：（1）

E

(1)

延长DA到点E，使AE=CN，连接BE

∵∠BAD+∠C=180°．

∴∠EAB=∠C．

又∵AB=BC，AE=CN，

∴△ABE≌△CBN．

∴∠EBA=∠CBN，BE=BN． (2)

∴∠EBN=∠ABC．

∵∠ABC =80°，∠MBN =40°， ∴∠EBM =∠NBM =40°． ∵BM =BM ，

∴△EBM ≌△NBM ．

∴EM =NM ．…………………………………………………………………………3 ∴MN =AM +CN ．……………………………………………………………………4 （2）

(5)

MN

CN .................................................................................6 （31 (8)

29．解：（1

1

2

（2）由于二次函数2y x x k =--的图象开口向上，

对称轴为1x =，……………………………………………………………………3 ∴二次函数22y x x k =--在闭区间[1,2]内，y 随x 的增大而增大．

当x =1时，y =1， ∴k =2-．

当x =2时，y =2， ∴k =2-．

即图象过点（1,1）和（2,2）

∴当1≤x≤2时，有1≤y≤2，符合闭函数的定义， ∴k =2-．……………………………………………………………………………4 （3）因为一次函数()0y kx b k =+≠是闭区间[],m n 上的“闭函数”，

根据一次函数的图象与性质，有：

（Ⅰ）当0k >时，即图象过点（m ,m ）和（n ,n ）

mk b m

nk b n +=??

+=?

，……………………………………………………………………5 解得10

k b =??=?．

∴y x = (6)

（Ⅱ）当0k <时，即图象过点（m ,n ）和（n ,m ）

mk b n nk b m +=??

+=?，解得1

k b m n =-??=+?

∴y x m n =-++，………………………………………………………………7 ∴一次函数的解析式为y x =或y x m n =-++．