1.2013年北京市中考数学试卷及答案(Word解析版)

2013年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷 解析

满分120分，考试时间120分钟

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个．．

是符合题意的。 1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）》中，北京市提

出了总计约3 960亿元的投资计划。将3 960用科学计数法表示应为 A. 39.6×102 B. 3.96×103 C. 3.96×104 D. 3.96×104 答案：B

解析：科学记数法的表示形式为a×10n

的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3 960＝3.96×103 2. 43

-

的倒数是 A. 34 B. 43 C. 43- D. 3

4-

答案：D

解析：(0)a a ≠的倒数为

1a

，所以，43-的倒数是34

-

3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，

从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为 A.

51 B. 52 C. 53 D. 5

4

答案：C

解析：大于2的有3、4、5，共3个，故所求概率为

53

4. 如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=∠2，若∠3=40°，则

∠4等于

A. 40°

B. 50°

C. 70°

D. 80°

答案：C

解析：∠1＝∠2＝1

2

（180°－40°）＝70°，由两直线平行，内错相等，得 ∠4＝70°。

5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得

AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线

上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于

A. 60m

B. 40m

C. 30m

D. 20m

答案：B

解析：由△EAB∽△EDC，得：CE CD

BE AB

=，即

1020

20AB

=，解得：AB＝40

6. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是

答案：A

解析：B既是轴对称图形，又是中心对称图形；C只是轴对称图形；D既不是轴对称图形也不是中心对称图形，只有A符合。

7. 某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：

则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是

A. 6.2小时

B. 6.4小时

C. 6.5小时

D. 7小时

答案：B

解析：平均体育锻炼时间是509014040

50

+++

＝6.4小时。

8. 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP

的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是

答案：A

解析：很显然，并非二次函数，排除B；

采用特殊位置法；

当P 点与A 点重合时，此时0==x AP ，0=?PAO S ；

当P 点与B 点重合时，此时2==x AP ，0=?PAO S ；

本题最重要的为当1==x AP 时，此时APO ?为等边三角形，4

143＞=

?PAO S ； 排除B 、C 、D .选择A .

【点评】动点函数图象问题选取合适的特殊位置，然后去解答是最为直接有效的方法 二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9. 分解因式：a ab ab 442+-=_________________ 答案：2

(2)a b -

解析：原式＝2

(44)a b a -+＝2

(2)a b -

10. 请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式__________ 答案：y ＝x 2＋1

解析：此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可。

11. 如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若AB=5，AD=12，则

四边形ABOM 的周长为__________ 答案：20

解析：由勾股定理，得AC ＝13，因为BO 为直角三角形斜边上的中线，所以，BO ＝6.5，由中位线，得MO ＝2.5，所以，四边形ABOM 的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20

12. 如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知直线：1--=x t ，双曲

线x

y 1

=

。在上取点A 1，过点A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1，过点B 1作y 轴的垂线交于点A 2，请继续操作并探究：过点A 2

作x 轴的垂线交双曲线于点B 2，过点B 2作y 轴的垂线交于点A 3，…，这样依次得到上的点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…。记点A n 的横坐标为n a ，若21=a ，则2a =__________，

2013a =__________；若要将上述操作无限次地进行下去，则1a 不能取．．．

的值是__________ 答案：

H O

P

B A

解析：根据()3,21-A 求出??? ??21,21B ；根据??? ??21,21B 求出??

?

??-21,232A ；

根据??? ??-21,232A 求出???

??--32,232B ；

根据??? ??--32,232B 求出???

??--32,313A ；

根据??? ??--32,313A 求出???

??--3,313B ；

根据??

?

??--3,313B 求出()3,24-A ；

至此可以发现本题为循环规律，3次一循环，∵367032013+?=；

∴3

132013-==a a ；

重复上述过程，可求出()1,111--a a A 、????

??1111,a a B 、???? ??+-11121,1a a a A 、???? ??+-+-1,111112a a a a B 、???? ??+-+-1,111113a a a A 、???

? ??--+-1,11

113a a B 、()1,114--a a A ； 由上述结果可知，分母不能为0，故1a 不能取0和1-.

【点评】找规律的题目，规律类型有两种类型，递进规律和循环规律，对于循环规律类型，

多求几种特殊情况发现循环规律是最重要的. 三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13. 如图，已知D 是AC 上一点，AB=DA ，DE ∥AB ，∠B=∠DAE 。

求证：BC=AE 。 解析：

14. 计算：10)4

1(45cos 22)31(-+?--+-。 解析：

16、解不等式组：??

?

??>+->x x x x 23123

解析：

16. 已知0142=--x x ，求代数式2

2

))(()32(y y x y x x --+--的值。 解析：

17. 列方程或方程组解应用题：

某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务。若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积。 解析：

18．已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根 （1）求k 的取值范围；

（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值。 解析：

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，在□ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，使CE=2

1

BC ，连结DE ，CF 。 （1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；

（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE 的长。 解析：

20．如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点

A ，C ，PC 交A

B 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO 的延长线于点E 。

（1）求证：∠EPD=∠EDO （2）若PC=6，tan ∠PDA=4

3

，求OE 的长。 解析：

21．第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分：

（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹园面积为__________平方千米；

（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八两届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；

（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系，根据小

娜的发现，请估计将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直

接写出结果，精确到百位）。

第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表

解析：

22．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为)2( a a 的正方形ABCD 各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ 的面积。

小明发现：分别延长QE ，MF ，NG ，PH ，交FA ，GB ，HC ，ED 的延长线于点R ，S ，T ，W ，可得△RQF ，△SMG ，△TNH ，△WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图2） 请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无

缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________；

（2）求正方形MNPQ 的面积。

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等边△ABC 各边上分别截取AD=BE=CF ，再分别过点D ，E ，F 作BC ，

AC ，AB 的垂线，得到等边△RPQ ，若3

3

=?RPQ S ，则AD 的长为__________。 解析：

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8

分） 23．在平面直角坐标系x O y 中，抛物线

222--=mx mx y （0≠m ）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B 。

（1）求点A ，B 的坐标；

（2）设直线与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解

析式；

（3）若该抛物线在12-<<-x 这一段位于直线的上方，并且在

32<

解析：【解析】（1）当0x =时，2y =-.

∴(02)A -，

抛物线对称轴为212m

x m

-=-

= ∴(10)B ，

（2）易得A 点关于对称轴的对称点为(22)A -，

则直线l 经过A 、B .

没直线的解析式为y kx b =+ 则22

k b k b +=-??+=?，解得22k b =-??

=?

∴直线的解析式为22y x =-+

（3）∵抛物线对称轴为1x =

抛物体在23x <<这一段与在10x -<<这一段关于对称轴对称 结合图象可以观察到抛物线在21x -<<-这一段位于直线l 的上方 在10x -<<这一段位于直线l 的下方； ∴抛物线与直线l 的交点横坐标为1-； 当1x =-时，2(1)24y x =--+=+

则抛物线过点（-1，4）

当1x =-时，224m m +-=，2m = ∴抛物线解析为2242y x x =--.

【点评】本题第(3)问主要难点在于对数形结合的认识和了解，要能够观察到直线l 与直线

AB 关于对称轴对称，

∵抛物线在23x <<这一段位于直线AB 的下方，

∴关于对称轴对称后抛物线在10x -<<这一段位于直线l 的下方； 再结合抛物线在21x -<<-这一段位于直线l 的上方;

从而抛物线必过点()4,1-.

24．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（?<

60°得到线段BD 。

（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC=45°，求α的值。 解析：【解析】（1）1

302

α?-

（2）ABE △为等边三角形

证明连接AD 、CD 、ED

∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60?得到线段BD 则BC BD =，60DBC ∠=? 又∵60ABE ∠=?

∴1

60302

ABD DBE EBC α∠=?-∠=∠=?-

且BCD △为等边三角形.

在ABD △与ACO △中 AB AC AD AD BD CD =??

=??=?

∴ABD △≌ACD △（SSS ）

∴11

22BAD CAD BAC α∠=∠=∠=

∵150BCE ∠=?

∴11

180(30)15022

BEC αα∠=?-?--?=

在ABD △与EBC △中 BEC BAD

EBC ABD BC BD ∠=∠??

∠=∠??=?

∴ABD △≌EBC △（AAS ） ∴AB BE =

∴ABE △为等边三角形

（3）∵60BCD ∠=?，150BCE ∠=?

∴1506090DCE ∠=?-?=? 又∵45DEC ∠=?

∴DCE △为等腰直角三角形 ∴DC CE BC == ∵150BCE ∠=?

∴(180150)

152

EBC ?-?∠==?

而1

30152

EBC α∠=?-=?

∴30α=?

【点评】本题是初中数学重要模型“手拉手”模型的应用，从本题可以看出积累掌握常见模

型、常用辅助线对于平面几何的学习是非常有帮助的.

25．对于平面直角坐标系x O y 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，

使得∠APB=60°，则称P 为⊙C 的关联点。 已知点D （

21，2

1

），E （0，-2），F （32，0） （1）当⊙O 的半径为1时，

①在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是__________；

E

A

D

②过点F 作直线交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO=30°，若直线上的点P （m ，n ）是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；

（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围。

解析：【解析】(1) ①E D 、；

② 由题意可知，若P 点要刚好是圆C 的关联点； 需要点P 到圆C 的两条切线PA 和PB 之间所夹

的角度为?60；

由图1可知?=∠60APB ，则?=∠30CPB ，

连接BC ，则r BC CPB

BC

PC 22sin ==∠=；

∴若P 点为圆C 的关联点；则需点P 到圆心的距离d 满足r d 20≤≤；

由上述证明可知，考虑临界位置的P 点，如图2；

点P 到原点的距离212=?=OP ； 过O 作x 轴的垂线OH ，垂足为H ；

32

32tan ===∠OG OF OGF ； ∴?=∠60OGF ；

∴360sin =??=OG OH ；

∴2

3

sin =

=

∠OP OH OPH ； ∴?=∠60OPH ；

易得点1P 与点G 重合，过2P 作x M P ⊥2轴于点M ； 易得?=∠302OM P ； ∴330cos 2=??=OP OM ；

从而若点P 为圆O 的关联点，则P 点必在线段21P P 上；

图1

C B A P

∴30≤≤m ；

(2) 若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小， 则这个圆的圆心应在线段EF 的中点； 考虑临界情况，如图3； 即恰好F E 、点为圆K 的关联时，则22

12===EF KN KF ； ∴此时1=r ；

故若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，

这个圆的半径r 的取值范围为1≥r .

【点评】“新定义”问题最关键的是要能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过第(2)问开

头部分的解析，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于2倍半 径的点.

了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了.

2013年北京市中考数学试题难点解析

2013 年北京市中考试卷数学试题整体难度较 2012 年有所下降。从近四年（2009-2012）北京中考数学试题的难易程度可以看出北京市中考数 学整体大小年的规律。2013 年北京中考数学平均分预计将较去年有所提升。

本套试卷在保持对基础知识的考察力度上，更加重视对数学思想方法和学生综合素质能 力的考察，体现了“实践与操作，综合与探究，创新与应用”的命题特点，与中考考试说明 中 C 级要求相呼应。

一、试题的基本结构：

整个试卷五道大题、25个题目，总分120分。

其中包括选择题（共8个题目，共32分）、

填空题（共4个题目，共16分）、

解答题（包括计算题，证明题、应用题和综合题；共13个题目，共72分）。

1.

2. 考查的内容及分布

从试卷考查的内容来看，几乎覆盖了数学《课程标准》所列的主要知识点，并且对初中数学

3. 每道题目所考查的知识点

二、命题主要特点：

第8、12、22、23、24、25 题依旧是比较难的题型，其他题型属于基础或者中档题。

特点一、题目总体难度降低，23题代数综合和25题代几综合等压轴题理解题意仍有一定难度，以体现试卷区分度，但试题总体难度相较去年有大幅下降。

特点二、题型设置上较以往有微调，例如第1、2题位置调整；第18题的一次函数综合体换成了一元二次方程；第19题回归对梯形的考察；第20题第(1)问没有考察切线的证明等。

特点三、试题内容上趋于稳定，没有“偏难怪”题，除了25题中的新定义“关联点”之外，其他题都较为常规，较好的体现了“稳中求变”的命题主导思想。

特点四、从试卷中最直观反应出的是阅读量的减小，去年中考第25题占了一整页纸，阅读占了很大比重，今年题型仍然新颖，但阅读量明显减少。

特点五、计算量大幅下降，去年计算题19题、20题是几何计算题，有一定的难度，计算量普遍大，但今年的19题、20题不论解题难度还是计算难度都骤降。

特点六、填空第12题考察循环规律，与前2年的递进规律类型有所不同，当然如果重

视观察能力和精确作图能力，也可以很容易发现四次变化后回到

A。

1

特点八、延续了去年和前年的改革方向，增加对圆的考察，例如选择题第8题、解答题第20题。解答题第25题都涉及圆的知识。

特点九、考察学生对于知识点的深入理解能力逐渐加大。解答题第23题第三小问，重点考察直线与抛物线位置关系的深入理解，难度较大。

三、重难易错题目点评：

总体来看，2013年并没有出现一点儿都无从下手的题目，体现了很好的梯度，让学生上手容易拿全难，有比较好的区分度，这是北京中考命题的一大特点，相信2014年也会是这种形式。