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高二数学必修二复习讲义

高二数学必修二复习讲义（九）

一．解答题（每小题5分，共70分）

1. 过点(2,-3),在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 .

2.棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.

3.动圆2

2220x y x k k +--+-=的半径的取值范围是__________. 4.如图所示,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧棱PA=a, PB=PD=2a ,则它的5个面中互相垂直的面有__________对.

5. 过P(0,4)及Q(3,0)两点,且在x 轴上截得的弦长为3的圆的方程是 . 6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ____ cm 3．

7. 若直线y=kx-1与曲线243y x x =--+-有公共点,则k 的取值范围是 .

8．已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为

4，则它的体积为 .

9.把半径为3cm ,中心角为π32

的扇形卷成一个圆锥形容器，这个容器的容积为：__________．

10. 过点(143)A ,作圆22

243120x y x y ++--=的弦,其中长度为整数的弦共有条.

11.已知点P 在直线x+2y-1=0上,点Q 在直线x+2y+3=0上,PQ 的中点为0(M x 0)y ,,且002y x >+,则

y x 的取值范围为 .

12.设m 、n 是两条不同的直线α,、β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是___________(填序号). ①m n m n αβαβ⊥,?,⊥?⊥ ②α∥m n βα,⊥,∥m n β?⊥ ③m n αβα⊥,⊥,∥m n β?⊥ ④m n m n αβαββ⊥,?=,⊥?⊥

⑤若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内无数条直线.

13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ___ ． 14.设直线系M:xcos θ+

(y-2)sin θ

=1(02θ≤≤π),对于下列四个命题:

①存在一个圆与所有直线相交; ②存在一个圆与所有直线不相交; ③存在一个圆与所有直线相切;

④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.

其中真命题的代号是 ___ .(写出所有真命题的代号) 二．解答题（共90分）

15.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AB 、BC 的中点. （1）试判截面MNC 1A 1的形状，并说明理由；（2）证明：平面MNB 1⊥平面BDD 1B 1.

16.在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线34x y -=相切．

（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PB PA ?的取值范围．

17. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝3, BC ＝2 ,D 是BC 的中点，F 是CC 1上一点，且CF ＝2，E 是AA 1上一点，且AE ＝2. （1）求证：B 1F ⊥平面ADF ；（2）求证：BE ∥平面ADF.

18.已知圆:C 2

(2)4x y ++=，相互垂直的两条直线1l 、2l 都过点(,0)A a .

（1）当2a =时，若圆心为(1,)M m 的圆和圆C 外切且与直线1l 、2l 都相切，求圆M 的方程；（2）当1a =-时，求1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值，并求此时直线1l 的方程.

19. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，

△PAD 是等边三角形，已知AD ＝4, BD ＝34，AB ＝2CD ＝8.

（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ；（2）当M 点位于线段PC 什么位置时，PA ∥平面MBD ？（3）求四棱锥P －ABCD 的体积．

20.已知圆M 的圆心在y 轴上,半径为1.直线l:y=2x+2被圆M 所截得的弦长为45,且圆心M 在直线l 的下方.

(1)求圆M 的方程;

(2)设A(t,0),B(t+50)(41)t ,-≤≤-.若AC,BC 是圆M 的切线,求△ABC 面积的最小值.

答案卷

一．解答题（每小题5分，共70分）

1. 过点(2,-3),在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 . 3x+2y=0和x-y-5=0

2.棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.π27

3.动圆2

2220x y x k k +--+-=的半径的取值范围是__________. [

2),+∞

4.如图所示,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧棱PA=a, PB=PD=2a ,则它的5个面中互相垂直的面有__________对. 5

5. 过P(0,4)及Q(3,0)两点,且在x 轴上截得的弦长为3的圆的方程是 .

答案:0432

=--+y x y x 或0182

2=+-

-+y x y x 6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ____ cm 3．6

7. 若直线y=kx-1与曲线243y x x =--+-有公共点,则k 的取值范围是 . [0,1]

8．已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为

334，则它的体积为 . 3

2 9.把半径为3cm ,中心角为π3

的扇形卷成一个圆锥形容器，这个容器的容积为：__________．

223

cm 3 10. 过点(143)A ,作圆22

243120x y x y ++--=的弦,其中长度为整数的弦共有条. 8

11.已知点P 在直线x+2y-1=0上,点Q 在直线x+2y+3=0上,PQ 的中点为0(M x 0)y ,,且002y x >+,则

y x 的取值范围为 . 11

25()-,-

12.设m 、n 是两条不同的直线α,、β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是___________(填序号). ② ①m n m n αβαβ⊥,?,⊥?⊥

②α∥m n βα,⊥,∥m n β?⊥

③m n αβα⊥,⊥,∥m n β?⊥

④m n m n αβαββ⊥,?=,⊥?⊥

⑤若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内无数条直线.

13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得

以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ___ ．43

14.设直线系M:xcos θ+

(y-2)sin θ

=1(02θ≤≤π),对于下列四个命题:

①存在一个圆与所有直线相交; ②存在一个圆与所有直线不相交; ③存在一个圆与所有直线相切;

④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.

其中真命题的代号是 ___ .(写出所有真命题的代号) ①②③ 二．解答题（共90分）

15.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AB 、BC 的中点. （1）试判截面MNC 1A 1的形状，并说明理由；（2）证明：平面MNB 1⊥平面BDD 1B 1.

16.在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线34x y -=相切．

（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PB PA ?的取值范围．

解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线34x y -=的距离，

即得圆O 的方程为2

4x y +=．

（2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =即得(20)(20)A B -，，，．

设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得

222222(2)(2)x y x y x y ++-+=+g ，即 222x y -=．

(2)(2)PA PB x y x y =-----u u u r u u u r

g g ，，22242(1).x y y =-+=-

由于点P 在圆O 内，故22

42.

x y x y ?+

1y <．所以PA PB u u u r u u u r g 的取值范围为[20)-，．

17. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝3, BC ＝2 ,D 是BC 的中点，F 是CC 1上一点，且CF ＝2，E 是AA 1上一点，且AE ＝2. （1）求证：B 1F ⊥平面ADF ；（2）求证：BE ∥平面ADF. 证明：（1）因为 AB ＝AC ， D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC 又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，AD ?平面ABC, 所以AD ⊥BB 1 , 又BC ?BB 1＝B, 所以AD ⊥平面BCC 1B 1 ，

又B 1F ?平面BCC 1B 1，所以AD ⊥B 1F, 在矩形BCC 1B 1中， C 1F ＝CD ＝1, CF ＝C 1B 1＝2, 所以Rt △DCF ≌Rt △FC 1B 1 , 所以∠CFD ＝∠C 1B 1F 所以 ∠B 1FD ＝90°, 所以B 1F ⊥FD, 又AD ?FD ＝D, 所以B 1F ⊥平面ADF. （2）连结EF, EC, 设EC ?AF ＝M, 连结DM, 因为AE ＝CF ＝2, 又AE ∥CF, AC ⊥AE,所以四边形AEFC 是矩形，所以M 为EC 中点，又D 为BC 中点，所以 MD ∥BE ，因为MD ?平面ADF, BE ?平面ADF ，所以BE ∥平面ADF.

18.已知圆:C 2

(2)4x y ++=，相互垂直的两条直线1l 、2l 都过点(,0)A a .

（1）当2a =时，若圆心为(1,)M m 的圆和圆C 外切且与直线1l 、2l 都相切，求圆M 的方程；（2）当1a =-时，求1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值，并求此时直线1l 的方程. 解：（1）设圆M 的半径为r ，易知圆心),1(m M 到点)0,2(A 的距离为r 2，

∴?????+=++=+-2

222

22)

2()21(2)21(r m r m

解得2=r 且7±=m ∴圆M 的方程为4)7()1(2

2=±+-y x

（2）当1-=a 时，设圆C 的圆心为C ，1l 、2l 被圆C 所截得弦的中点分别为F E ,，弦长分别为21,d d ，

因为四边形AECF 是矩形，所以1222==+AC CF CE ,即124242

221=???

? ????? ??-+???? ????? ??-d d ，化简得从而14222

22121=+?≤

+d d d d ，等号成立1421==?d d ，

1421==∴d d 时，142)(max 21=+∴d d ，

即1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值为142 此时141=d ，显然直线1l 的斜率存在，设直线1l 的方程为：)1(+=x k y ，则 22

14(

-=+k k ，1±=∴k ，

∴直线1l 的方程为：01=+-y x 或01=++y x

19. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ， △PAD 是等边三角形，已知AD ＝4, BD ＝34，AB ＝2CD ＝8. （1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ；（2）当M 点位于线段PC 什么位置时，PA ∥平面MBD ？（3）求四棱锥P －ABCD 的体积．

解：（1）在△ABD 中，∵AD ＝4, BD ＝34, AB ＝8，∴222AD BD AB +=． ∴ AD ⊥BD 又 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，

平面PAD ?平面ABCD ＝AD ，BD ?平面ABCD ，

∴BD ⊥平面PAD ．又BD ?平面MBD ， ∴平面MBD ⊥平面PAD. （2）当M 点位于线段PC 靠近C 点的三等分点处时，PA ∥平面MBD. 证明如下：连接AC ，交BD 于点N ，连接MN ． ∵AB ∥DC ，所以四边形ABCD 是梯形．

∵AB ＝2CD ， ∴ CN : NA ＝1 : 2．又 ∵CM : MP ＝1 : 2， ∴CN : NA ＝CM : MP ∴ PA ∥MN.

∵ PA ?平面MBD ，MN ?平面MBD ，∴ PA ∥平面MBD.

（3）过P 作PO ⊥AD 交AD 于O ， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ．即PO 为四棱锥P －ABCD 的高. 又 ∵△PAD 是边长为4的等边三角形，∴3

423PO =?=. 在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为443

23?=，此即为梯形ABCD 的高． ∴梯形ABCD 的面积48

231232

ABCD S +=

?=. 故1

12323243

P ABCD V -=??=.

20.已知圆M 的圆心在y 轴上,半径为1.直线l:y=2x+2被圆M 所截得的弦长为455,且圆心M 在直线l 的下方.

(1)求圆M 的方程;

(2)设A(t,0),B(t+50)(41)t ,-≤≤-.若AC,BC 是圆M 的切线,求△ABC 面积的最小值. 解:(1)设M(0,b).由题设知,M 到直线l 的距离是2

25551()-=.

所以

,解得b=1或b=3.

因为圆心M 在直线l 的下方,所以b=1,即圆M 的方程为22

(1)1x y +-=.

(2)当直线AC,BC 的斜率都存在,即-4

211

t t t MAO ----∠==

,同理直线BC

的斜率22(5)(5)1

t BC t k -++-=

.所以直线AC 的方程为221

()t t y x t --=

直线BC 的方程为22(5)(5)1

(5)t t y x t -++-=--.

解方程组 2221

2(5)

(5)1()(15)t t t t y x t y x ---++-=-,???=--,??

得2

225

2105151

t t t

t t t t x y ++++++=

,=. 所以222210251

2t t t t t t y +++++=

=-. 所以△ABC 的面积为2

2251

5(2)t t ++??-

因为-4

213y ≤<.

故当52t =-时,△ABC 的面积取最小值501251221215??=. 当直线AC,BC 的斜率有一个不存在时,即t=-4

或t=-1时,易求得△ABC 的面积为203.

综上,当52t =-时,△ABC 的面积的最小值为125

21.

高中数学必修二知识点整理

高中数学必修2知识点第一章空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2 R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++ =)3 1 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 D C B A α L A · α 222r rl S ππ+=

高中数学必修2综合测试题

正视图侧视图俯视图 2 1 1 高中数学必修2综合测试题文科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若直线1=x 的倾斜角为α，则=α( )． A ．0 B.3 π C ．2π D ．π 2．已知直线1l 经过两点)2,1(--、)4,1(-，直线2l 经过两点)1,2(、)6,(x ，且21//l l ，则=x （ )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1 3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．π25 B ．π50 C ．π125 D ．π200 4.若方程02 2 =++++k y x y x 表示一个圆,则k 的取值范围是( ) A.21> k B.21≤k C. 2 1 0<

高中数学必修二知识体系整合

第二章点、直线、平面之间的位置关系一、平面 1、含义：平面是无限延展的 2、“3个公理” 公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l，且A∈ α，B∈α ?l?α 公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线?存在唯一的α, 使A，B，C∈α 推论：①一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β ?α∩β＝l，且P∈l 二、空间中点、直线、面的位置关系（“3种关系”） 1、空间两条直线的位置关系位置关系特点共面相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点

异面直线的画法 1.异面直线所成角θ的范围是【锐角(或直角)】00<θ≤900 2.当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； 2.直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a?αa∩α＝A a∥α 图形表示 3.两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线上)

三、平行（3种）线线平行线面平行面面平行 ? ??? ?a ∥α a ?βα∩β＝ b ?a ∥b ? ??? ? a ?α b ?αa ∥b ?a ∥α β ααα ββ //////?????? ???? =???b a p b a b a ? ??? ?α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b ?a ∥b αββα////a a ?? ?? ? β αααββ //////??? ? ? ??? ? ? ? ??? =???=???m b n a Q n m n m p b a b a ? ??? ?a ⊥αb ⊥α?a ∥b 垂直于同一平面的两直线平行 βαβα//?? ?? ⊥⊥l l 垂直于同一条直线的两平面平行

高中数学必修2知识点总结归纳整理

高中数学必修二 ·空间几何体 1.1空间几何体的结构棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE - 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD —A'B'C'D' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

圆锥定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。圆台定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个弓形。球体定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影与平行投影中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。 2.三视图正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：斜二测画法斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。

高中必修二数学知识点全面总结

第1章空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下 22 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 222r rl S ππ+=

2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。公理2 作用：确定一个平面的依据。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2

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高二数学必修 2 知识点总结第 1 章空间几何体一、空间几何体的结构 1.多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2.旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴。 3、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE A' B ' C ' D ' E '或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD '几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥 P A' B ' C ' D ' E ' 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台P A'B'C'D'E' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（ 5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。二、空间几何体的三视图和直观图 1.投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。其中我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面。 2.中心投影：我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。 3.平行投影：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。（又分为正投影和斜投影） 4 空间几何体的三视图

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高中数学必修2知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 当[) 90,0∈α时，0≥k ；当() 180,90∈α时，0

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1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） 2 22r rl S ππ+= D C B A α

（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。公理2作用：确定一个平面的依据。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点； L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线

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高中数学必修2复习提纲第一章空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图 1、三视图：正视图：从前往后；侧视图：从左往右；俯视图：从上往下。 2、画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3、直观图：斜二测画法 4、斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积 1、棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2、圆柱的表面积 3、圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4、圆台的表面积2 2 R Rl r rl S ππππ+++= 5、球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1、柱体的体积 h S V ?=底 2、锥体的体积 h S V ?= 底3 1 3、台体的体积 h S S S S V ?++=)3 1 下下上上（ 4、球体的体积 3 3 4R V π= 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1、平面含义：平面是无限延展的 2、平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母γβα、、等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3、三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 ααα????? ? ???∈∈∈∈L L B L A B A 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 2 22r rl S ππ+= D C B A α C · B · A · α L A · α

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第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标 1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题 1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。（二）、研探新知 1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？ 3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。

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高中数学必修二第一章空间几何体知识点： 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、长方体的对角线长2222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3= 3、球的体积公式：33 4　R V π=，球的表面积公式：24　R S π= 4、柱体h s V ?=，锥体h s V ?=31，锥体截面积比：222121h h S S = 5、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面典型例题： ★例1：下列命题正确的是( )

Ａ.棱柱的底面一定是平行四边形Ｂ.棱锥的底面一定是三角形Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 ★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（） A 21 倍 B 4 2倍 C 2倍 D 2倍 ★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（）Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱Ｄ．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱 ★★例4：一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（） A ．28cm π B 212cm π. C 216cm π． D ．2 20cm π 二、填空题 ★例1：若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_______________． ★例2：球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 __ 倍.

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高中数学必修2知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k tan k α= 当[) 90,0∈α时，0≥k ；当() 180,90∈α时，0

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高中数学必修2知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当[ ) 90,0∈α 时，0≥k ；当() 180,90∈α时，0

高中数学必修二综合测试题(含答案)

高二数学必修二综合测试题班级_______________ 姓名___________________ 总分：________________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．下面四个命题： ①分别在两个平面内的两直线是异面直线； ②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．其中正确的命题是( ) A ．①② B ．②④ C ．①③ D ．②③ 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝3 3x 的距离是( ) A ．12 B ．32 C ．1 D ．3 4．已知21F ,F 是椭圆的左右焦点，P 为椭圆上一个点，且2:1PF :PF 21=，则21PF F cos ∠等于( ) A ．12 B ．31 C ．4 1 D ．2 2 5．已知空间两条不同的直线m,n 和两个不同的平面,αβ,则下列命题中正确的是( ) A ．若//,,//m n m n αα?则 B ．若,,m m n n αβα?=⊥⊥则 C ．若//,//,//m n m n αα则 D ．若//,,,//m m n m n αβαβ?=则 6．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－68 7．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 8．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， E 、 F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的大小是（） 15 y 9x 2 2=+

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2017高二数学必修二知识点总结高二数学必修二知识点：空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下 22 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 (一)空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积 4 圆台的表面积 5 球的表面积 (二)空间几何体的体积 1柱体的体积 2锥体的体积 3台体的体积 4球体的体积高二数学必修二知识点：直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母、、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。 3 三个公理： (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 A L

B L= L A B 公理1作用：判断直线是否在平面内 (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线= 有且只有一个平面，使A 、B 、C 。公理2作用：确定一个平面的依据。 (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P = =L，且P L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 平行直线：同一平面内，没有公共点; 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线 a∥b

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高中数学必修2知识点总结第一章空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' ' E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥' ''''E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台'' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 (1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

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