知识点233 两点间的距离(解答)
知识点233：两点间的距离（解答）
1．（2011?呼伦贝尔）根据题意，解答问题：
（1）如图①，已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长．
（2）如图②，类比（1）的解题过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出点M（3，4）与点N（﹣2，﹣1）
之间的距离．
考点：两点间的距离；勾股定理。
专题：计算题；数形结合。
分析：（1）根据已知条件求出A、B两点的坐标，再根据公式计算即可解答．
（2）根据公式直接代入数据计算即可解答．
解答：解：（1）根据题意得：A（0，4），B（﹣2，0）…（分）
在Rt△AOB中，根据勾股定理：…（3分）
（2）过M点作x轴的垂线MF，过N作y轴的垂线NE，MF，NE交于点D…（4分）
根据题意：MD=4﹣（﹣1）=5，ND=3﹣（﹣2）=5…（5分）
则：MN=…（6分）
点评：本题考查了两点间的距离公式，属于基础题，关键是掌握设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=．
2．已知线段AB=8cm，回答下列问题：
（1）是否存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于6cm，为什么？
（2）是否存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于8cm，点C的位置应该在哪里？为什么？这样的点C有多少个？
考点：两点间的距离。
分析：（1）不存在，可以分点C在AB上或AB外两种情况进行分析；
（2）存在，此时点C在线段AB上，且这样的点有无数个．
解答：解：（1）①当点C在线段AB上时，AC+BC=8，故此假设不成立；
②当点C在线段AB外时，由三角形的构成条件得AC+BC＞AB，故此假设不成立；
所以不存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于6cm．
（2）由（1）可知，当点C在AB上，AC+BC=8，所以存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于8cm，线段是由点组成的，故这样的点有无数个．
点评：此题主要考查学生对比较线段长短的理解及运用．
3．在直线a上任取一点A，截取AB=16 cm，再截取AC=40 cm，求AB的中点D与AC的中点E之间的距离．考点：两点间的距离。
专题：计算题；分类讨论。
分析：题中没有指明点C的具体位置故应该分两种情况进行分析，从而求得DE的长．
解答：解：（1）如右图，∵AB=16 cm，AC=40 cm，点D，E，分别是AB，AC的中点
∴AD=AB=8cm，AE=AC=20cm
∴DE=AE﹣AD=20﹣8=12cm；
（2）
如上图，∵AB=16 cm，AC=40 cm，点D，E，分别是AB，AC的中点
∴AD=AB=8cm，AE=AC=20cm
∴DE=AE+AD=20+8=28cm．
故AB的中点D与AC的中点E之间的距离为12cm或28cm．
点评：此题主要考查学生对比较线段的掌握情况，注意分类讨论思想的运用．
4．已知线段AB=10cm，回答下列问题
（1）是否存在点P，使它到A、B两点的距离之和小于10 cm？为什么？
（2）当点P到A，B两点的距离之和大于10 cm时，点P一定在直线AB外吗？点P有几种存在方式？
考点：两点间的距离。
专题：分类讨论。
分析：（1）根据两点之间线段最短进行判断；
（2）结合三角形的三边关系进行解答，点P的存在方式，应按在直线AB上和在直线AB外两种情况进行讨论．解答：解：（1）由两点之间线段最短，可知不存在点P，使它到A、B两点的距离之和小于10 cm．
（2）点P不一定在直线AB外．
点P可以在线段AB的延长线上，可以在线段BA的延长线上，还可以在直线AB外．
所以点P有3种存在方式．
点评：解决此类问题的关键是理解线段的性质：两点之间线段最短．
5．已知线段AB=6cm，在同一平面内讨论下列问题：
（1）是否存在一点C，使B、C和A、C之间的距离相等？在什么情况下，C才是线段AB的中点？
（2）是否存在一点C，使它到A、B两点的距离之和最小？若存在，点C的位置在哪里？最小距离是多少？（3）当点C到A、B两点之间的距离之和大于6cm时，点C的位置在什么地方？试举例说明．
（4）由（2），（3），你能得出一个什么结论？
考点：两点间的距离。
分析：（1）根据等腰三角形的特点和线段的中点进行解答；
（2）根据两点之间线段最短进行解答；
（3）当C在线段AB外时，根据三角形的三边关系可解答；
（4）结合点C到A、B两点之间的距离之和进行总结．
解答：解：（1）存在，当C在AB上时，C才是线段AB的中点；
（3）当C在线段AB外时，C到A、B两点之间的距离之和大于6cm．例如点A、B、C为三角形的三个顶点时；（4）点C到A、B两点之间的距离之和一定不小于6cm．
点评：本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．注意运用线段的性质：两点之间线段最短．
6．A、B、C、D、E 5个车站的位置如图所示，分别求出D、E两站和A、E两站的距离（单位：km）．
考点：两点间的距离。
分析：在一条直线或线段上的线段的加减运算和倍数运算，首先明确线段间的相互关系，根据题目中的几何图形，再根据题意进行计算．
解答：解：根据题意可得：DE=CE﹣CD=（3a+2b）﹣（2a﹣b）=（a+3b）km；（3分）
AE=AB+BC+CE=a+b+3a+2b=（4a+3b）km．（6分）
点评：利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
7．如图，点C在线段AB上，AC=10cm，CB=8cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长；
（2）若点C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a（cm），M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．
（3）若点C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
考点：两点间的距离；比较线段的长短。
分析：（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN 的长度；
（2）与（1）同理，先用AC、BC表示出MC、CN，MN的长度就等于AC与BC长度和的一半；
（3）根据中点定义可得：AM=MC=AC，CN=BN=CB，再根据线段之间的和差关系进行转化即可．
解答：解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM=AC=5cm，CN=BC=4cm，
∴MN=CM+CN=5+4=9cm；
（2）MN=a（cm），
理由如下：
同（1）可得CM=AC，CN=BC，
∴MN=CM+CN=AC+BC=（AC+BC）=a（cm）．
（3）MN=b（cm），
如图所示：
根据题意得：AC﹣CB=b，
AM=MC=AC，CN=BN=CB，
∴NM=BM+BN=（MC﹣BC）+BC=（AC﹣BC）+BC=AC+（﹣BC+BC）=AC﹣BC=（AC﹣BC）=b （cm）．
点评：此题主要考查了线段的中点，关键是准确把握线段之间的倍数关系，理清线段之间的和差关系，进行等量代换即可．
8．已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6cm，求CM和AD的长．
考点：两点间的距离。
专题：方程思想。
分析：由已知B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，所以设AB=2xcm，BC=5xcm，CD=3xcm，根据已知分别用x表示出AD，MD，从而得出BM，继而求出x，则求出CM和AD的长．
解答：解：设AB=2xcm，BC=5xcm，CD=3xcm
所以AD=AB+BC+CD=10xcm
因为M是AD的中点，
所以AM=MD=AB=5xcm
所以BM=AM﹣AB=5x﹣2x=3xcm
因为BM=6 cm，
所以3x=6，x=2
故CM=MD﹣CD=5x﹣3x=2x=2×2=4cm，
AD=10x=10×2=20 cm．
点评：本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
9．如图，A、B、C、D四点在同一直线上，M是AB的中点，N是CD的中点．
（1）若MB=3，BC=2，CN=2.5，则AD=13．
（2）若MN=a，BC=b，用a、b表示线段AD．
考点：两点间的距离。
专题：计算题。
分析：（1）由已知M是AB的中点，N是CD的中点，可求出AB和CD，从而求出AD；
（2）由已知M是AB的中点，N是CD的中点，推出AM=MB=AB，CN=ND=CD，则推出AB+CD=2a﹣2b，
从而得出答案．
解答：解：（1）∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴AB=2MB=6，
CD=2CN=5，
∴AD=AB+BC+CD=6+2+5=13，
故答案为：13；
（2）∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∵MN=MB+BC+CN=a，
∴MB+CN=MN﹣BC=a﹣b，
∴AB+CD=2MB+2CN=2（a﹣b），
∴AD=AB+BC+CD=2a﹣2b+b=2a﹣b．
点评：此题考查的知识点是两点间的距离，关键是根据线段的中点及各线段间的关系求解．
10．已知：线段AB=5cm，延长AB到C，使AC=7cm，在AB的反向延长线上取点D，使BD=4BC，设线段CD 的中点为E，问线段AE是线段CD的几分之一？
考点：两点间的距离。
分析：根据题意和图形，即可推出BC的长度，然后根据BD=4BC，即可推出BD的长度，继而即可推出AD=3，由图形可推出CD=BD+BC=10cm，由E点为CD的中点，即可推出DE的长度，由AE=DE﹣AD=5﹣3=2cm，由AE和CD的长度即可推出线段AE是线段CD的几分之一．
解答：解：
∵BC=AC﹣AB，AC=7，AB=5，
∴BC=2，
∴BD=4BC=8，
∴AD=BD﹣AB=3，
∵CD=BD+BC，
∴CD=10（cm），
∴E为CD的中点，
∴DE=CD=5，
∴AE=DE﹣AD=2（cm），
∴AE是CD的．
点评：本题主要考查线段中点的概念，两点之间的距离等知识点，关键在于运用数形结合的思想推出AE和CD的长度，认真的进行计算．
11．如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和8．
（1）求线段AB的长；
（2）若P为射线BA上的一点（点P不与A、B两点重合），M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在射线BA 上运动时，线段MN的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；若改变，请说明理由．（3）若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：
且d=|a+b|﹣|﹣2﹣b|﹣|a﹣2c|﹣5，试求7（d+2c）2+2（d+2c）﹣5（d+2c）2﹣3（d+2c）的值．
考点：两点间的距离；数轴；绝对值；代数式求值。
专题：计算题。
分析：（1）由已知先得出OA和OB，即可求出AB的长；
（2）此题可分两种情况讨论，有线段之间的关系得出；
（3）先由图确定a+b＜0，﹣2﹣b＞0，a﹣2c＜0，再求出d+2c=﹣3，即可得出答案．
解答：解：
（1）∵A、B两点所表示的数分别为﹣2和8
∴OA=2，OB=8（2分）
∴AB=OA+OB=10（3分）
（2）线段MN的长度不发生变化，其值为5．（4分）
分下面两种情况：
①当点P在A、B两点之间运动时（如图）．
MN=MP+NP
=AP+BP（5分）
=AB
=5（6分）
②当点P在点A的左侧运动时（如图）．
MN=NP﹣MP
=BP﹣AP
=AB
=5（7分）
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．（8分）
（3）由已知有：a+b＜0，﹣2﹣b＞0，a﹣2c＜0（9分）
∴d=﹣a﹣b+2+b+a﹣2c﹣5
=﹣3﹣2c
∴d+2c=﹣3（10分）
7（d+2c）2+2（d+2c）﹣5（d+2c）2﹣3（d+2c）
=2（d+2c）2﹣（d+2c）（11分）
=2×（﹣3）2﹣（﹣3）
=2×9+3
=18+3
=21（12分）
点评：由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
12．已知：如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=2：4：3，M是AD的中点，CD=6cm，求线段MC 的长．
考点：两点间的距离。
专题：计算题。
分析：首先由已知AB：BC：CD=2：4：3，CD=6cm，求出AD，再由M是AD的中点，求出DM，从而求出MC 的长．
解答：解：由AB：BC：CD=2：4：3，设AB=2xcm，BC=4xcm，CD=3xcm，…1分
则CD=3x=6，解得x=2．…2分
因此，AD=AB+BC+CD=2x+4x+3x=18（cm）．…4分
因为点M是AD的中点，所以DM=AD=×18=9（cm）．…6分
MC=DM﹣CD=9﹣6=3（cm）．…7分
点评：此题考查的知识点是两点间的距离，关键是先由已知求出AD的长，再求MC的长．
13．如图，点C、D在线段AB上，，D是BC的中点，CD=4.5，求线段AB的长．
考点：两点间的距离。
专题：计算题。
分析：首先由D是BC的中点，CD=4.5，求出BC，再根据AC=BC求出AC，从而求出线段AB的长．
解答：解：∵D是BC的中点
∴CD=BD=BC，
∴BC=2CD=2×4.5=9，
AC=BC=×9=3，
∴AB=AC+BC=3+9=12，
所以线段AB的长为12．
点评：此题考查的知识点是两点间的距离，关键是利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
14．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，
（1）写出数轴上点B所表示的数﹣4；
（2）点P所表示的数6﹣6t；（用含t的代数式表示）；
（3）M是AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
考点：两点间的距离；数轴；列代数式。
专题：动点型。
分析：（1）由已知得OA=6，则OB=AB﹣OA=4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；
（2）动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6﹣6t；
（3）可分两种情况，通过计算表示出线段MN的长都为AB，所以得出结论线段MN的长度不发生变化．
解答：解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA=6，
则OB=AB﹣OA=4，
点B在原点左边，
所以数轴上点B所表示的数为﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）点P运动t秒的长度为6t，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：6﹣6t，
故答案为：6﹣6t；
（3）线段MN的长度不发生变化，
理由：
①当点P在A、B两点之间运动时，如图
MN=MP+NP=BP+PA=AB=5…（7分）
②当点P运动到B的左边时，如图
MN=MP﹣NP=AP﹣PB=AB=5
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5…（10分）
点评：此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键．
15．已知：如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，
（1）若线段AB=a，CE=b，|a﹣15|+（b﹣4.5）2=0，求a，b；
（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE；
（3）如图2，若AB=15，AD=2BE，求线段CE．
考点：两点间的距离；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方。
分析：（1）由|a﹣15|+（b﹣4.5）2=0，根据非负数的性质即可推出a、b的值；
（2）根据（1）所推出的结论，即可推出AB和CE的长度，根据图形即可推出AC=7.5，然后由AE=AC+CE，即可推出AE的长度，由D为AE的中点，即可推出DE的长度；
（3）首先设EB=x，根据线段中点的性质推出AD、DE关于x的表达式，即AD=DE=2x，由图形推出AD+DE+BE=15，即可得方程：x+2x+2x=15，通过解方程推出x=3，即BE=3，最后由BC=7.5，即可求出CE的长度．
解答：解：（1）∵|a﹣15|+（b﹣4.5）2=0，
∴|a﹣15|=0，（b﹣4.5）2=0，
∵a、b均为非负数，
∴a=15，b=4.5，
（2）∵点C为线段AB的中点，AB=15，CE=4.5，
∴BC=AB=7.5，
∴AE=AC+CE=12，
∵点D为线段AE的中点，
∴DE=AE=6，
（3）设EB=x，
∵点D为线段AE的中点，
∴AD=DE=2x，
∵AB=15，
∴AD+DE+BE=15，
∴x+2x+2x=15，
∵BC=7.5，
∴CE=BC﹣BE=4.5．
点评：本题主要考查线段中点的性质，关键在于正确的进行计算，熟练运用数形结合的思想推出相关线段之间的数量关系．
16．如图所示，点C、D为线段AB的三等分点，点E为线段AC的中点，若ED=9，求线段AB的长
度．
考点：两点间的距离。
专题：计算题。
分析：理解线段的中点及三分点的概念，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系．
解答：解：∵C、D为线段AB的三等分点，
∴AC=CD=DB（1分）
又∵点E为AC的中点，则AE=EC=AC（2分）
∴CD+EC=DB+AE（3分）
∵ED=EC+CD=9（4分）
∴DB+AE=EC+CD=ED=9，
则AB=2ED=18．（6分）
点评：此题考查的知识点是两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
17．已知线段AB，反向延长AB到点C，使．若点D是BC中点，CD=3cm，求AB、AD的长．（要求：
正确画图给2分）
考点：两点间的距离。
分析：首先根据题意画出图形，由于D是BC中点，根据CD的长度即可推出，CD=BD=3cm，BC=6cm，再由AC=AB，
推出AC=BC=2，即可推出AB=4，由图形可知AD=CD﹣AC=3﹣2=1cm．
解答：解：
∵D是BC中点，CD=3cm，
∴CD=BD=BC=3cm，
∴BC=6cm，
∵AC=AB，BC=6cm，
∴AC=BC=2cm，
∴AB=4cm，
∴AD=CD﹣AC=3﹣2=1cm．
点评：本题主要考查线段中点的性质，两点之间的距离等知识点，关键在于根据题意画出图形，由题意正确的推出BC、AC、CD的长度．
考点：两点间的距离。
专题：计算题。
分析：先由点C是线段AB的中点求出CB，再由CE、BE间的关系求出BE．
解答：解：∵C是线段AB的中点，
∴CB=AB=8cm，
∵CE=BE，
∴CB=CE+BE=BE+BE=8，
即BE=8，
∴BE=6（cm），
即BE的长为6cm．
点评：此题考查的知识点是两点间的距离，关键是运用线段中点的定义和等量代换及线段间的关系解答．
19．体育课上，老师在学校直的跑道上相距15米的A、B两点插了两根棒，又在A、B之间的任一点C插了一根棒．一学生黄垒用一铅球从AC的中点M处抛出铅球，正好落在BC的中点N处，求铅球抛出的距离．（试着画出图形，写出解题过程）
考点：两点间的距离。
分析：由已知点C在AB之间，M、N分别是AC和BC的中点，所以铅球抛出的距离MN=（AC+BC）=AB．
解答：解：由已知画图：
∴MN即是铅球抛出的距离，
∵M、N分别是AC和BC的中点，
∴MN=（AC+BC）=AB=×15=7.5（cm）．
答：铅球抛出的距离是7.5cm．
点评：此题考查的知识点是两点间的距离，关键是由M、N是AC和BC的中点求出铅球抛出的距离．
20．如图，AB=12，点C在AB上，AC=BC，D的是AC中点．求BD的长．（请简单写出过程）
考点：两点间的距离。
分析：本题需先根据已知条件求出AC的长，再求出AD的长，即可求出BD的长．
解答：解：∵AB=12，点C在AB上，AC=BC，
∴AC=12×=4，
又∵D是AC中点，
∴AD=，
=，
=2，
∴BD=AB﹣AD=12﹣2=10，
点评：本题主要考查了两点间的距离，在解题时要能根据两点间的距离，求出线段的长是本题的关键．
21．观察数轴
可得：到点﹣2和点2距离相等的点表示的数是0，有这样的关系0=（﹣2+2）；
根据上面的结论，解答下面的问题．
（1）到点100和到点999距离相等的点表示的数是多少？
（2）到点距离相等的点表示的数是多少？
（3）到点m和点﹣n距离相等的点表示的数是多少？
考点：两点间的距离；数轴。
分析：先观察数轴得出到两个点距离相等的点表示的数是这两个点表示的数的和的一半，再进行计算即可求出答案；解答：解：（1）到点100和到点999距离相等的点表示的数是：（100+999）=；
（2）到点距离相等的点表示的数是（）=﹣；
（3）到点m和点﹣n距离相等的点表示的数是（m﹣n）；
点评：此题考查了两点间的距离；根据观察得出规律是解题的关键．
22．如下图，已知线段AD=8cm，线段BC=4cm，E、F分别是AB、CD的中点，且AB=CD，求EF的长
度．
考点：两点间的距离。
分析：根据AD=8cm，CB=4cm，求出AB与CD的和的长，然后根据AB=CD求出AB，CD的长，又E、F分别是线段AB、CD的中点，分别求出EB和CF的长，然后将EB、BC、CF三条线段的长相加即可求出EF的长．
解答：解：∵AD=8cm，BC=4cm，
∴AB+AD=8cm﹣4cm=4cm，
∵AB=CD，
∴AB=CD=2cm，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EB=CF=1cm，
∴EF=4cm+1cm+1cm=6cm．
点评：此题主要考查了两点之间的距离，根据已知得出EB=CF=1cm从而得出，利用数形结合思想是这部分考查的重点．
23．点D、E分别是线段AC与BC的中点，BE=8cm，AC=5cm，求DE．
考点：两点间的距离。
分析：由中点的性质可知，AC=2DE，CE=BE，再由BE=8cm，AC=5cm，即可求出CD=2.5cm，CE=8cm，然后如图DE=CE+DC，即可推出结果．
解答：解：∵点D、E分别是线段AC与BC的中点，
∴AC=2DE，CE=BE，
∵CD=2.5cm，CE=8cm，
∴DE=CE+DC=8+2.5=10.5cm．
点评：本题主要考查线段中点的性质，两点间的距离，关键在于根据题意推出CD=2.5cm，CE=8cm．
24．已知线段AB=5cm，点C为直线AB上一点，且线段AC=3cm，点M、N分别为线段AC、AB的中点，求线段MN的长．
考点：两点间的距离。
分析：首先根据题意画出图形，分两种情况：当点C在线段AB上时；当点C在线段BA的延长线上时，再根据图形可以求出线段mn的长．
解答：解：（1）如图①，当点C在线段AB上时，则MN=AB﹣AC=（5﹣3）=1（cm）；
（2）如图②，当点C在线段BA的延长线上时，则MN=AC+BA=（3+5）=4（cm），
答：线段MN的长度是1cm或4cm．
点评：此题主要考查了两点之之间的距离，关键是根据题意画出图形，要考虑各种情况．
25．如图，M是AC的中点，N是BC的中点，AC=3cm，BC=4cm，完成下列解答过程．
解：因为M是AC的中点，N是BC的中点（已知）
所以MC=AC，NC=BC（线段中点定义）
因为AC=3cm，BC=4cm （已知）
所以MC= 1.5cm，NC=2cm
因为MN=MC+NC （线段的和的定义）
所以MN= 3.5cm．
考点：两点间的距离。
分析：首先根据线段的中点定义可得MC=AC，NC=BC，再根据AC=3cm，BC=4cm 即可求出MC、CN的长，
再根据线段的和差关系可求出MN的长．
解答：解：∵M是AC的中点，N是BC的中点（已知），
∴MC=AC，NC=BC（线段的中点定义），
∵AC=3cm，BC=4cm （已知）
∴MC=1.5cm，NC=2cm
∵MN=MC+NC （线段的和的定义）
∴MN=3.5cm．
点评：此题主要考查了线段的中点定义，关键是熟练把握线段的中点把线段分成相等的两部分．
26．如图，已知点C在线段AB的延长线上，AB=6，BC=4，点D是AC的中点．求DB的
长．
考点：两点间的距离。
分析：本题需先根据已知条件，算出AC的长，再有点D是AC的中点即可得出DC的长，最后即可求出DB的长．解答：解：∵AB=6，BC=4，
∴AC=AB+BC=10．
∴DC=AC=5；
∴DB=DC﹣BC=5﹣4=1．
点评：本题主要考查了两点间的距离，在解题时要结合图形找出本题的关键点是解决此题的关键．
27．已知点A、B在数轴上分别表示m、n
（3）在数轴上是否存在整数点P，使它到3和﹣2的距离之和为7？若存在，请写出所有符合条件的整数；若不存在，请说明理由．
考点：两点间的距离；数轴。
分析：（1）根据m、n所表示的数在数轴上表示出其具体位置即可得到A、B两点的距离；
（2）根据（1）中所得到的数据，可得到|m﹣n|=d；
（3）根据题意画出数轴即可得到答案．
解答：解：（1）如图所示：
（2）|m﹣n|=d；
（3）存在，符合条件的整数为﹣3或4．
．
点评：此题主要考查了数轴以及两点之间的距离，关键是熟练画出数轴，比较直观形象．
28．如图，已知C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点．
（1）若AB=18cm，求DE的长；
（2）若CE=5cm，求DB的长．
考点：两点间的距离。
专题：计算题。
分析：（1）先由C是线段AB的中点求出AC和BC，再由D是线段AC的中点，E是线段BC的中点．求出DC和CE，从而求出DE的长；
（2）首先由（1）得出CE和BD的关系，然后求出BD的长．
解答：解：（1）∵C是AB的中点，
∴AC=BC=AB=9（cm）…（2分）
∵D是AC的中点，
∴AD=DC=AC=（cm）
∵E是BC的中点，
∴CE=BE=BC=（cm）…（4分）
又∵DE=DC+CE，
（2）由（1）知：AD=DC=CE=EB，
∴CE=BD
∵CE=5cm，
∴BD=15（cm）…（8分）
点评：此题考查的知识点是两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
29．课题研究：
如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A，B是数轴上的点，请参照下图并思考．
（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是4，A，B两点间的距离是7．
（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是1，A，B两点间的距离为2．
（3）如果点A表示数﹣4，将A点向右移动2008个单位长度，再向左移动2009个单位长度，那么终点B表示的数是﹣5，A，B两点间的距离是1．
考点：两点间的距离；数轴。
专题：阅读型。
分析：根据数轴上表示的数左减右加的原则计算即可．
解答：解：（1）∵点A表示数﹣3，∴点A向右移动7个单位长度，终点B表示的数是﹣3+7=4，
A，B两点间的距离是|﹣3﹣4|=7；
故答案为：4，7；
（2）∵点A表示数3，∴将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，
那么终点表示的数是3﹣7+5=1，A，B两点间的距离为3﹣1=2；
故答案为：1，2；
（3）∵点A表示数﹣4，∴将A点向右移动2008个单位长度，再向左移动2009个单位长度，
那么终点B表示的数是﹣4+2008﹣2009=﹣5，A、B两点间的距离是|﹣4+5|=1；
故答案为：﹣5，1．
点评：本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，属较简单题目．
30．已知线段AB=8cm，点C是线段AB上任意一点，点M，N分别是线段AC与线段BC的中点，求线段MN的长．
考点：两点间的距离。
专题：计算题。
分析：由于点M是AC中点，所以MC=AC，由于点N是BC中点，则CN=BC，而MN=MC+CN=（AC+AB）=AB，从而可以求出MN的长度．
解答：解：∵点M是AC中点，
∴MC=AC，
∵点N是BC中点，
∴CN=BC，
MN=MC+CN=（AC+AB）=AB=4．
答：线段MN的长为4．
点评：本题考查了两点间的距离．不管点C在哪个位置，MC始终等于AC的一半，CN始终等于BC的一半，而MN等于MC加上CN等于AB的一半，所以不管C点在哪个位置MN始终等于AB的一半．
31．如图，已知AC=9.6cm，，CD=2AB，求CD的
长．
考点：两点间的距离。
专题：探究型。
分析：根据AB=BC可知，BC=5AB，再根据AC=9.6cm可得出AB的长，再由CD=2AB即可求解．
解答：解：∵，即BC=5AB，
∵AB+BC=AC，
即：AB+5AB=9.6，
∴AB=1.6，
∵CD=2AB，
∴CD=2×1.6=3.2．
故答案为：3.2．
点评：本题考查的是两点间的距离公式，解答此类题目时要注意数形结合的运用．
32．如图，AB=8cm，O为线段AB上的任意一点，C为AO的中点，D为OB的中点，你能求出线段CD的长吗？并说明理由．
考点：两点间的距离。
专题：计算题。
分析：本题应抓住中点这一关键词，列出等式CO=?AO，OD=?OB．
解答：解：能．因为CO=?AO，OD=?OB，所以CD=CO+OD=?AO+?OB=（AO+OB）=?AB=?8=4cm．点评：本题考查了两点间的距离，只要熟悉了线段的中点这个定义，一般都可以解出该题．
33．阅读：在用尺规作线段AB等于线段a时，小明的具体作法如下：
已知：如图，线段a
求作：线段AB，使得线段AB=a．
作法：①作射线AM；
②在射线AM上截取AB=a．
∴线段AB为所求．
解决下列问题：
（1）请你仿照小明的作法，在上图中的射线AM上作线段BD，使得BD=b；
（不要求写作法和结论，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，取AD的中点E．若AB=5，BD=3，求线段BE的长．（要求：第（2）问重新画图解答）考点：两点间的距离；直线、射线、线段。
专题：作图题；分类讨论。
分析：（1）在射线BM上截取线段BD，则BD′=b或BD=b即为所求；
（2）由于点D与线段AB的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：
①点D在线段AB的延长线上，则BE=AB﹣AE=1；
②点D在线段AB的延长线上，则BE=AB﹣AE=4．
解答：解：（1）（点D和点D′各1分）
（2）∵E为线段AD的中点，
∴．
如图1，点D在线段AB的延长线上．
∵AB=5，BD=3，
∴AD=AB+BD=8．
∴AE=4．
∴BE=AB﹣AE=1．
如图2，点D在线段AB上．
∵AB=5，BD=3，
∴AD=AB﹣BD=2．
∴AE=1．
∴BE=AB﹣AE=4．
综上所述，BE的长为1或4．
故答案为：1或4．
点评：本题考查的是两点间的距离，解答此类题目时要注意线段之间的和差关系及分类讨论的思想．
34．如图，已知C是线段AB上一点，点D和点E分别是AC、CB的中点，若AC=4cm，CB=3cm，求线段DE的长．
考点：两点间的距离。
分析：根据图示找出DE与AC、CB的数量关系，然后将已知数值代入解答即可．
解答：解：∵点D是AC的中点，AC=4cm，
∴DC=AC=2cm；
又点E是CB的中点，CB=3cm，
∴CE=CB=1.5cm；
∵DE=DC+CE，
∴DE=3.5cm．
点评：本题主要考查了两点间的距离的计算，在解答此题时，采用了数形结合的数学思想．
35．已知，如图，点C在线段AB上，且AC=6cm，BC=14cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度．
考点：两点间的距离。
分析：由已知条件可知，MN=MC+NC，又因为点M、N分别是AC、BC的中点，则MC=AC，NC=BC，故MN=MC+NC=（AC+BC）=AB．
解答：解：∵AC=6cm，BC=14cm，
点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=3cm，NC=7cm，
∴MN=MC+NC=10cm．
点评：本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
36．在直线l上取A、B、C三点，使得AB=5cm，BC=3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是多少？
考点：两点间的距离。
专题：应用题。
分析：此题有2种情况，作图分析：
由已知条件可知，AB+BC=AC，又因为O是线段AC的中点，则OB=AB ﹣AO，
或OB=AB﹣OA，故可求出线段OB．
解答：解：根据上图所示OB=5cm﹣OA，
∵OA=（AB+BC）÷2=4cm，
∴OB=1cm．
或OB=AB﹣OA=5﹣（5﹣3）÷2=4cm，
故线段OB的长度是1cm或4cm．．
点评：本题考查了在未画图类问题中，正确画图很重要，因此能画图的一定要画图这样才直观形象，便于思维，难度较小．
37．如图所示，已知C、D是线段AB上的两个点，M、N分别为AC、BD的中点．
（1）若AB=10cm，CD=4cm，求AC+BD的长及M、N的距离．
（2）如果AB=a，CD=b，用含a、b的式子表示MN的长．
考点：两点间的距离。
专题：计算题。
分析：（1）根据AC+BD=AB﹣CD列式进行计算即可求解，根据中点定义求出AM+BN的长度，再根据MN=AB﹣（AM+BN）代入数据进行计算即可求解；
（2）根据（1）的求解，把AB、CD的长度换成a、b即可．
解答：解：（1）∵AB=10cm，CD=4cm，
∴AC+BD=AB﹣CD=10﹣4=6cm，
∵M、N分别为AC、BD的中点，
∴AM+BN=AC+BD=（AC+BD）=3cm，
∴MN=AB﹣（AM+BN）=10﹣3=7cm；
（2）根据（1）的结论，
AM+BN=AC+BD=（AC+BD）=（a﹣b），
∴MN=AB﹣（AM+BN）=a﹣（a﹣b）=（a+b）．
点评：本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解题的关键．
38．已知线段AC=6cm，AB=10cm，且A、B、C、三点在同一条直线上，AC的中点为M，AB中点为N，求线段MN的长．
考点：两点间的距离。
专题：计算题；分类讨论。
分析：此题有两种情况：①当C点在线段AB上，此时AB=AC+CB，然后根据中点的性质即可求出线段AC和AB 的中点之间的距离；②当B在线段AC反向延长线上时，那么AB=BC﹣AC，然后根据中点的性质即可求出线段AC和AB的中点之间的距离．
解答：解：此题有两种情况：
①当C点在线段AB上，此时AB=AC+CB，
而AC=6cm，AB=10cm，
∴线段AC和BC的中点之间的距离为AB﹣AC=（AB﹣AC）=2cm；
②当B点在线段AC反向延长线上时，此时AB=BC﹣AC，
而AC=6cm，AB=10cm，
∴线段AC和BC的中点之间的距离为AC+AB=（AC+AB）=8cm．
故线段MN的长为：8cm或2cm．
点评：本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
39．如图，D是线段AC的中点，E是线段AB的中点．已知AD=2.5，BC=2．求线段AB和EC的长度
考点：两点间的距离。
专题：计算题。
分析：解答此题的关键是明确各线段之间的关系，然后根据已知条件即可求出线段AB和EC的长度．
解答：解：∵D是线段AC的中点，
∴AC=2AD=2×2.5=5，
∵BC=2，
∴AB=AC+BC=5+2=7；
∵E是线段AB的中点，
∴BE=AB=×7=3.5，
∴EC=BE﹣EC=3.5﹣2=1.5．
答：线段AB的长度是7；EC的长度是1.5．
点评：此题主要考查学生对两点间距离的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
40．已知线段AB=8cm，点C是线段AB上任意一点，点M，N分别是线段AC与线段BC的中点，求线段MN的
考点：两点间的距离。
专题：计算题。
分析：由于点M是AC中点，所以MC=AC，由于点N是BC中点，则CN=BC，而MN=MC+CN=（AC+AB）
=AB，从而可以求出MN的长度．
解答：解：∵点M是AC中点，
∴MC=AC，
∵点N是BC中点，
∴CN=BC，
MN=MC+CN=（AC+AB）=AB=4．
答：线段MN的长为4．
点评：本题考查了两点间的距离．不管点C在哪个位置，MC始终等于AC的一半，CN始终等于BC的一半，而MN等于MC加上CN等于AB的一半，所以不管C点在哪个位置MN始终等于AB的一半．
41．线段AB=4cm，延长线段AB到C，使BC=1cm，再反向延长AB到D，使AD=3cm，E是AD中点，F是CD 的中点，求CD和EF的长度．
考点：两点间的距离。
分析：结合图形和题意，利用线段的和差知CD=AD+AB+BC，即可求CD的长度；再利用中点的定义，求得DF和DE的长度，又EF=DF﹣DE，即可求得EF的长度．
解答：解：CD=AD+AB+BC=3+4+1=8cm；
∵E是AD中点，F是CD的中点，
∴DF=CD=×8=4cm，DE=AD=×3=1.5cm．
∴EF=DF﹣DE=4﹣1.5=2.5cm．
点评：本题主要考查了两点间的距离和中点的定义，解题的关键是运用数形结合思想．
42．在一直线上顺次截，AB=BC，BD=3AB，若AB的中点M与CD的中点N的距离是5cm，求AB、CD的长．考点：两点间的距离。
专题：计算题。
分析：根据已知条件，AB=BC，BD=3AB，AB的中点M与CD的中点N的距离是5cm，画出图形，设AB长为x，则，CD=2x，x=5，求出x，即可解答．
解答：解：设AB的长为x，由图可得，
BC=x，CD=x，
∵点M、N分别为AB、CD的中点，MN=5cm，
∴x=5，
∴x=2；
∴CD=2x=2×2=4cm；
答：AB=2cm，CD=4cm．
点评：本题主要考查了两点间的距离，用到的知识点是中点的定义，本类题目结合已知，画出图形解答，体现了数
43．如图，已知M是线段AB的三等分点，E是线段AB的中点，且线段AM=2cm．求线段ME的长度．
考点：两点间的距离。
分析：根据M是线段AB的三等分点，得AB=3AM，再根据E是线段AB的中点，求得AE的长，从而求得ME
的长度．
解答：解：∵M是线段AB的三等分点，
∴AB=3AM=6．
∵E是线段AB的中点，
∴AE=AB=3，
∴ME=AE﹣AM=1（cm）．
点评：此题考查了线段的三等分点和中点的概念．
44．如图所示，AB=12cm，，求MN的长．
考点：两点间的距离。
专题：推理填空题；数形结合。
分析：先根据已知条件求出AM的长，再由BM=AB﹣AM求出BM的长，由BN=BM可求出BM的长，进而可求出MN的长．
解答：解：∵AM=AB=×12=，
∴BM=12﹣=，
∴BN=BM=×=，
∴MN=MB﹣BN=．
点评：本题考查的是两点间的距离，解答此类问题时要注意数形结合的应用．
45．如图，已知线段AB和CD的公共部分BD=AB=CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长．
考点：两点间的距离。
专题：方程思想。
分析：先设BD=xcm，由题意得AB=3xcm，CD=4xcm，AC=6xcm，再根据中点的定义，用含x的式子表示出AE 和CF，再根据EF=AC﹣AE﹣CF=2.5x，且E、F之间距离是10cm，所以2.5x=10，解方程求得x的值，即可求AB，CD的长．
解答：解：设BD=xcm，则AB=3xcm，CD=4xcm，AC=6xcm．
∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴AE=AB=1.5xcm，CF=CD=2xcm．
∴EF=AC﹣AE﹣CF=2.5xcm．∵EF=10cm，∴2.5x=10，解得：x=4．
空间两点之间的距离公式
空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC
例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结
人教A版数学必修二第三章第七课时导学案3.3.2两点间的距离
§ 3.3.2两点间的距离 学习目标 1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题. 2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 104~106，找出疑惑之处） 1．直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点 . 2．若直线111:1l a x b y +=与直线222:1l a x b y +=的交点为(2,1)-，则112a b -= . 3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y -10+=与5y x =+的交点? 二、新课导学 ※ 学习探究 问题1：已知数轴上两点,A B ，怎么求,A B 的距离？ 问题2：怎么求坐标平面上,A B 两点的距离？及,A B 的中点坐标？
新知：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则21221221)()(||y y x x P P -+-=. 特殊地：(,)P x y 与原点的距离为22||y x OP +=. ※ 典型例题 例1 已知点(8,10),(4,4)A B -, 求线段AB 的长及中点坐标. 变式：已知点(1,2),A B -，在x 轴上求一点，使PA PB =,并求PA 的值. 例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 变式：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等.
※动手试试 练1.已知点(1,2),(3,4),(5,0) 是等腰三角形. A B C，求证：ABC 练2.已知点(4,12) A，在x轴上的点P与点A的距离等于13，求点P的坐标. 三、总结提升 ※学习小结 1.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系. 学习评价 ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
两点间的距离说课稿
两点间的距离说课稿 今天我说课的内容是人教版数学必修（2）第三章“3.3.2两点间的距离”，主要内容是建立直角坐标系中两点间的距离公式和用坐标法证明简单的平面几何问题。 我将通过教材分析、目标分析、教法学法、教学程序和教学评价五个部分，阐述本课的教学设计。 一一、、教教材材与与学学情情分分析析 1．地位与作用 点是组成空间几何体最基本的元素之一，两点间的距离也是最简单的一种距离。本章是用坐标法研究平面中的直线，而点又是确定直线位置的几何要素之一。对本节的研究，为点到直线的距离公式、两条平行直线的距离公式的推导以及后面空间中两点间距离的进一步学习，奠定了基础，具有重要作用。 2．学情分析 （1）知识与能力：在上一节，学生已经在平面直角坐标系中建立了各种形式的直线方程，对坐标法解决几何问题有了初步的认识。 （2）学生实际：我校学生实际是基础扎实、思维活跃，但抽象思维的能力比较欠缺，所以需要老师循序渐进的引导。 二二、、目目标标分分析析 1．教学目标 根据新课程标准的理念,以及上述教材结构与内容的分析，考虑到学生已有的知识结构及心理特征，制定如下三维教学目标： 【知识与技能】（直接性目标） （1）让学生理解平面内两点间的距离公式的推导过程 ，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题；（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。 【过程与方法】（发展性目标） （1）利用勾股定理推导出两点间的距离公式，并由此用坐标法推证其它问题。通 过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数学思维能力； （2）在推导过程中，渗透数形结合的数学思想。 【情感态度价值观】（可持续性目标） 培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。 2．教学重点、难点 根据教学目标，应有一个让学生参与实践——探索发现——总结归纳的探索认知过程。特确定如下重点与难点： 【重点】 两点间的距离公式和它的简单应用 【难点】 用坐标法解决平面几何问题 【难点的确定】根据学生的认知水平，学生对于用坐标法研究几何问题只是停留在初步
2016届瑞安五中高二导学案两点间的距离
§ 3.3.2两点间的距离 一、储备 （一）学习目标 1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题. 2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题. （二）自主导航 课前准备： （预习教材P 104~ P 106，找出疑惑之处） 1．直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点 . 2．若直线111:1l a x b y +=与直线222:1l a x b y +=的交点为(2,1)-，则112a b -= . 3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y - 10+=与5y x =+的交点? 二、导学： ※ 学习探究 问题1：已知数轴上两点,A B ，怎么求,A B 的距离？ 问题2：怎么求坐标平面上,A B 两点的距离？及,A B 的中点坐标？ 新知：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则12PP 特殊地：(,)P x y 与原点的距离为OP
※典型例题 例1 已知点(8,10),(4,4) A B-求线段AB的长及中点坐标. 变式：已知点(1,2), =,并求PA的值. -，在x轴上求一点，使PA PB A B 例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
变式：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等. ※动手试试 练1.已知点(1,2),(3,4),(5,0) 是等腰三角形. A B C，求证：ABC 练2.已知点(4,12) A，在x轴上的点P与点A的距离等于13，求点P的坐标.
《两点间的距离》教学设计(优质课)
两点间的距离 （一）教学目标 1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。 （二）教学重点、难点 重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。（三）教学方法 启发引导式 识解决以下问题：
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备选例题 例1 已知点A (3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标 【解析】设点P 的坐标为 (x ，0)，由|PA | = 10，得： 10 解得：x = 11 或x = –5. 所以点P 的坐标为(–5，0)或(11，0). 例2 在直线l ：3x – y – 1 = 0上求一点P ，使得： （1）P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； （2）P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小. 【解析】（1）如图，B 关于l 的对称点B ′(3，3). AB ′：2x + y – 9 = 0 由290310x y x y +-=?? --=? 解2 5x y =??=? 得 P (2，5). （2）C 关于l 对称点324 (, )55 C '
由图象可知：|PA | + |PC |≥|AC ′| 当P 是AC ′与l 的交点1126 (,)77 P 时“=”成立， ∴1126 (, )77 P . 例3 如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l ：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程； （2）沿这条光线从P 到Q 的长度. 【解析】（1）设点Q ′(a ，b )是Q 关于直线l 的对称点 因为QQ ′⊥l ，k 1 = –1，所以2 1, 10 QQ b k a '-==- 又因为Q ′Q 的中点在直线l 上，所以 02 1022 a b ++++= 所以2 10 210 22 b a a b -?=??-?+?++=??得31a b =-??=-?，所以 Q ′(–3，–1) 因为Q ′在入射光线所在直线l 1上，设其斜率为k ， 所以1(1)2 2(3)5 k --= =-- l 1：21(2)5 y x -=-即2x – 5y + 1 = 0 （2）设PQ ′与l 的交点M ，由（1）知|QM | = |Q ′M | 所以|PM | + |MQ | = |PM | + |MQ ′| = |PQ ′ 所以沿这光线从P 到Q 入射光所在直线方程为2x – 5y + 1 = 0.
两点间距离公式说课稿
课题介绍 选自人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2·A版》第3章第3节第二课时.下面我将通过教材分析、教学方法、教学过程、板书设计和教学评价五 个部分，阐述本课的教学设计。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 两点间的距离是中学学习的主要内容之一,在高中数学中占有重要地位.点是组 成空间几何体最基本的元素之一，两点间的距离也是最简单的一种距离.本章是用坐标法研究平面中的直线，而点是确定直线位置的几何要素之一.对本节的研究，为点 到直线的距离公式、两条平行直线的距离公式的推导以及后面空间中两点间距离和圆 锥曲线的进一步学习，奠定了基础，具有重要作用. 2、目标分析 根据大纲要求及教材的地位与作用，考虑到学生已有的知识结构及心理特征，制定如下三维教学目标： （1）知识目标：理解平面内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间的距离公式及其应用. （2）能力目标：通过两点间距离公式的推导，培养学生探索问题的能力和运用知识的能力，加深对数形结合以及由特殊到一般的思想的认识. （3）情感目标：通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数 学的条理性和严谨性，激发学生的学习兴趣. 3、教学重点与难点 根据数学学习理论及学生的认知水平，本节注重培养学生数形结合及由特殊到一般的思想．因此我确定如下重点与难点： （1）教学重点：两点间距离公式的理解及应用. （2）教学难点：两点间距离公式的推导. 二、教学方法 数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，理性思考．为此我设计如下教法、学法及教学手段： 1、教法分析 现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、言道者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点.根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，本节课我采用探究研讨法及讲练
两点间的距离公式及中点公式教学设计样本
【课题】8．1 两点间距离公式及中点公式 【教材阐明】 本人所用教材为江苏教诲出版社，凤凰职教《数学·第二册》。平面解析是用代数办法研究平面几何问题学科，第八章《直线与圆方程》属于平面解析几何学基本知识。它侧重于数形结合办法和形象思维特性，综合了平面几何、代数、三角等知识。 【学情分析】 学生是一年级数控中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力不强，对抽象知识理解能力不强，但是对直观事物可以理解，对新事物也有较强接受能力。 【教学目的】 知识目的： 1. 理解平面直角坐标系中距离公式和中点公式推导过程． 2. 掌握两点间距离公式与中点坐标公式． 能力目的： 用“数形结合”办法，简介两个公式．培养学生解决问题能力与计算能力． 情感目的： 通过观测、对比体会数学对称美和谐美，培养学生思考能力，学会从已有知识出发积极摸索未知世界意识及对待新知识良好情感态度． 【教学重点】 两点间距离公式与线段中点坐标公式运用． 【教学难点】 两点间距离公式理解． 【教学备品】 三角板． 【教学办法】 讨论合伙法 【学时安排】 2学时．(90分钟)
【教学设计】 针对学生状况，本人在教学中引入尽量安排各种实例，多讲详细东西，少说抽象东西，以激发学生学习兴趣。在例题和练习安排上多画图，努力贯彻数形结合思想，让学生逐渐接受和养成画图习惯，用图形来解决问题。这也恰恰和学生自身专业比较符合，学生学过机械制图，数控需要编程，编程又需要对某些曲线方程有充分理解。同步在教学中经惯用分组讨论法，探究发现法，逐渐培养学生协作能力和独立思考能力。 两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何基本公式，教材采用“知识回顾”方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过向量坐标和向量模定义解说，但解说重点应放在公式应用上． 【教学过程】 大海中有两个小岛，
空间两点间的距离公式说课稿
数学与信息科学学院 说 课 稿 课题空间两点间的距离公式专业数学与应用数学 指导教师王新民 班级20XX级3班 姓名谢燕生 学号20080241066
“空间两点间的距离公式”说课稿 大家好！我是来自数信08级3班的谢燕生。今天我说课的课题选自人教版数学必修（2）“4.3.2空间两点间的距离公式”。 本节课我将通过教材分析、教学分析、教学过程和板书设计四个部分，阐述本节课的教学设计。 一一、、教教材材分分析析 1．地位与作用 距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离。点又是确定直线、平面的几何要素之一，所以对以后点、直线、平面的距离公式的推导和进一步学习，奠定了基础，具有重要作用。 2．教学目标 根据新课程标准的理念,以及上述教材结构与内容的分析，考虑到学生已有的知识结构及心理特征，制定如下三维教学目标： 【知识目标】 让学生理解空间内两点间的距离公式的推导过程 ，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题； 【能力目标】 （1）通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力； （2）通过猜想，培养学生类比、迁移和化归的能力。 【情感目标】 培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。 3．教学重点、难点 根据教学目标，应有一个让学生参与实践——探索发现——总结归纳的探索认知过程。故确定如下重点与难点： 重点：空间两点间的距离公式和它的简单应用 难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导 难点的确定：根据学生的认知水平，学生的抽象思维能力不是很强如作辅助线只是停留在初步认识阶段，所以把一般情况下,空间两点间的距离公式的推导确定为本节课的难点。 二二、、教教学学分分析析 1．教法分析 在教学策略上我采用：创设问题情境——引导探究——归纳与总结组成的引探式教学策略，在活动中教师着眼于“引”，引导学生解决问题，并掌握解决问题的规律和方法；学生着眼于“探”，通过探索活动发现规律，解决问题，发展探究能力和创造能力。 2．学法指导 新课标的理念倡导“以人为本”，强调“以学生发展为核心”．因此本节课给学生提供以下3种学习的机会：（1）提供观察、思考的机会：鼓励学生观察并用学生自己的语言进行归纳．（2）提供表达、合作、交流的机会：鼓励学生敢想敢说，设置问题促
重庆市大学城第一中学校人教版高中数学必修二导学案：第三章第三节两点间的距离
第三章第三节两点间的距离 三维目标 1．理解平面内两点间的距离公式的推导过程； 2．掌握两点间距离公式及其简单应用； 3．会用坐标法证明一些简单的几何问题. ________________________________________________________________________________ 目标三导 学做思1 问题1.在坐标轴上，两点A 、B 之间的距离 AB 是如何计算的？ 问题2.平面直角坐标系下两点(1,1x y )、(2,2x y )，如何求、两点之间的距离12PP ？ 问题3.请尝试用两点间的距离公式完成下列各题： （1）求(2,1),(5,1)A B -两点之间的距离. （2）若(,5)(0,10)17,?A a B a -与间的距离是 则值为多少 （3）已知点A (3,6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标. A B
PP= 问题4.请从向量的角度证明两点间的距离公式 12 【学做思2】 =，并求出PA的值. 1. 已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使得PA PB 【思考】结合图象，本题还有没有其它的解法呢？ 2.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 【方法总结】 【变式】已知△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|＝|CD|.
达标检测 1. △ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上的中 线长为( ) A.26 B.65 C.29 D.13 2. 直线的倾斜角为30°，且过点B(0,1)，直线交x轴于点A，则|OA|、|AB|的值分别为( ) A．1,2 B.3，2 C．1，3D. 3 3 ，2 3. 已知A(1,2)，B(5，－2)，在x轴上有一点P(x,0)满足|PA|＝|PB|，在y轴上有一点Q(0， y)，它在线段AB的垂直平分线上，则(x，y)为( ) A．(3，－3) B．(3,3)C．(－3,3) D．(－3，－3) 4. 光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是( ) A．52B．25C．510D．10 5 5. 已知AO是△ABC的边BC的中线，证明|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
平面内两点间距离公式 说课稿
说课稿 课题：平面直角坐标系中的距离公式 一、教材分析 点是组成空间几何体最基本的元素之一，两点间的距离也是最简单的一种距离。本章是用坐标法研究平面中的直线，而点又是确定直线位置的几何 要素之一。对本节的研究，为点到直线的距离公式、两条平行直线的距离公式的推导以及后面空间中两点间距离的进一步学习，奠定了基础，具有重要作用。 二、目标分析 教学目标 （一）知识与技能：（1）让学生理解平面内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单 的几何问题；（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的 能力 （二）过程与方法：（1）利用勾股定理推导出两点间的距离公式，并由此用坐标法推证其它问题。通过推导公式方法的发现，培养学生观 察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数学思维能力；（2） 在推导过程中，渗透数形结合的数学思想。 （三）情感与价值：培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。 教学重点：两点间的距离公式和它的简单应用 教学难点：用坐标法解决平面几何问题 三、教法分析 启发式教学法，即教师通过复习铺垫→设疑启发→引导探索→构建新知→归纳与总结→反思与评，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力． 四、学情分析 1、知识结构：在学习本课前，学生已经掌握了数轴上两点距离公式，对直角坐标系有了一些了解与运用的经验 2、能力方面：学生已经具有一定分析问题、解决问题的能力，在教师的合理引导下学生有独立探究问题的知识基础和学习能力。 3、情感方面：由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，计算能力差，且受高一这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会有些困难。 五、教学流程 教学过程：分为六个环节（复习铺垫—设疑导课—公式推导—范例教学—归纳小结—布置作业） （一）复习铺垫 课堂设问一：回忆数轴上两点间距离公式，同学们能否用以前所学的知识 解决以下问题
《4.3.2空间两点间的距离公式》导学案
4.3.2空间两点间的距离公式 一、学习目标 1. 理解空间两点间距离公式的推导过程和方法. 2. 掌握空间两点间的距离公式及其简单应用. 二、学习方法指引 1. 预习课本136-137页，做138页练习. 2. 重点：空间两点间的距离公式及应用. 3. 难点：空间两点间距离公式的推导. 三、基础知识再现 1. 空间两点间的距离公式 空间中两点),,(1111z y x P ，),,(3222z y x P 之间的距离是=21P P . 说明：空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，平面上两点间的距离公式又可看成是空间两点间的距离公式的特例. 2. 用空间两点间距离公式时要注意坐标差是对应的21x x -，21y y -，21z z -，因为有平方，故减数和被减数的位置可以互换. 3. 空间两点间距离的求法 （1）建立适当的空间直角坐标系. （2）在空间直角坐标系中写出点的坐标. （3）用空间两点间距离公式求距离. 4. 在空间直角坐标系中，任意一个三元一次方程0=+++D Cz By Ax （C B A ,,不能同时为零）都表示一个平面，反过来，任意一个平面的方程都是一个三元一次方程.对于特殊的三元一次方程：
a x=表示平行于yOz面的平面，且与yOz面的距离为a. b y=表示平行于xOz面的平面，且与xOz面的距离为b. c z=表示平行于xOy面的平面，且与xOy面的距离为c. ,0 ,0= = =z y x分别表示yOz，xOz，xOy三个坐标平面. 5. 空间两点间距离公式的推导方法 剖析：（1）先看简单的情形：设空间直角坐标系中点) ,,(z y x P，求点P到原点O的距离. 如图所示，设点P在xOy平面上的射影是B， 则点B坐标是(,,0) x y，在xOy 平面上有OB=. 在直角三角形OBP中，根据勾股定理，得 OP= 因为BP z = ，所以OP= 这说明，在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点 (,,) P x y z与原点之间的距离是OP= （2）下面再看一般的情况：如图所示，设点 1111 (,,) P x y z，2222 (,,) P x y z是空间任意两点，且两点在xOy平面上的射影分别为, M N，那么, M N的坐标为 11 (,,0) M x y， 22 (,,0) N x y. 在xOy平面上，MN= 过点 1 P作 2 P N的垂线，垂足为H，则 11 MP z =， 22 NP z =，所以 212 HP z z =-. 在直角三角形 12 PHP中， 1 PH MN ==
两点间的距离公式教案
两点间的距离公式教案 江苏省苏州丝绸中等专业学校唐佳倩 一、教材分析 本人所用教材为江苏教育出版社，凤凰职教《数学·第二册》。平面解析是用代数方法研究平面几何问题的学科，第八章《直线与圆的方程》属于平面解析几何学的基础知识。它侧重于数形结合的方法和形象思维的特征，综合了平面几何、代数、三角等知识。本课是第八章第一节课，利用初中学习的数轴距离公式和勾股定理知识，在平面直角坐标系中推导出任意两点间的距离公式，能产生数形结合的思想。 二、学情分析 学生是一年级纺织中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力薄弱，对抽象的知识理解能力不强，但是对直观的事物能够理解，对新事物也有较强的接受能力。 三、教学目标 1．知识与技能目标： （1）了解平面直角坐标系中两点间的距离公式的推导过程； （2）理解平面直角坐标系中两点间的距离公式的结构特点； （3）能应用这个公式解决相关问题。 2.过程与方法： （1）通过公式的推导过程，让学生领会“数形结合”的数学思想与方法和从特殊到一般的认知规律； （2）通过公式的使用过程，让学生领会方程的数学思想与方法。 3.情感态度与价值观： 让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养。 四、教学重难点 重点：两点间的距离公式。 难点：两点间的距离的应用。
五、教法学法 针对学生的情况，本人在教学中的引入尽量安排多个实例，多讲具体的东西，少说抽象的东西，以激发学生的学习兴趣.在例题和练习的安排上多画图，努力贯彻数形结合的思想，让学生逐步接受和养成画图的习惯，用图形来解决问题。同时在教学中经常用探究发现法，逐步培养学生的协作能力和独立思考的能力。 六、教学过程 1. 提出问题引发思考 提问：（1）在初中的时候我们学习了数轴上计算两点之间的距离，大家还记得是怎么表示的吗连接2点的线段长即两点间的距离。 （2）大海中有两个小岛，一个在灯塔东60海里偏北80海里的A处，另一个在灯塔西10海里偏北55海里B处，如何知道两个小岛的距离呢 根据题目意思引导学生建立平面直角坐标系，以灯塔所在位置为原点,正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立直角坐标系，则A岛坐标为（60，80），B岛坐标为（-10，55）。 2.构建新知得出结论 已知和,试求两点间距离(让学生思考，再引导学生求出特殊位置的两点的距离) 1. 2. 提问：(1)这之间的距离怎么去表示呢
坐标公式大集合(两点间距离公式)
坐标公式大集合（两点间距离公式） 安徽省安庆市第四中学八年级（13）班王正宇著 在八年级上册的数学教材中（沪科版），我们学习到了平面直角坐标系这一章,由此,我们引申出一次函数、二次函数、反比例函数等知识，故完全掌握其知识是十分有必要的。今天，我们来说一说坐标公式。了解它是很有必要的哦！ 一、求平行于x与y轴的直线的距离 ①我们在平面直角坐标系中做一条线段AB平行于x轴（AB为任意直线），我们要求出线段AB的长度，可能有些同学会利用数格子的方式求出其长度，方法是对的，但是书写到作业或试卷中就麻烦了，怎么办？针对这种情况，我们先看AB两点的横坐标，会发现一个特点：随意将其相减，会有两个结果，且互为相反数。有因为其长度ab≥0的，故取正数结果。那么，每次计算都要这么麻烦的去转换吗？不用的，我们只要记住一个公式： | Ax－Bx | 即A点横坐标数减去B点横坐标数，当然，有“绝对值”符号老兄的帮助，A、B两点的横坐标数颠倒过来相减也没有关系。 ②同样的，有上面的过程支撑，我想，推出平行于Y轴的线段CD的长度肯定就好求了！！那么，同理，我们就可以得出一个关于求平行于Y轴线段长度的公式哦： | Cy－Dy | 即C点纵坐标减去D点纵坐标，与上面一样，颠倒过来不影响结论。 二、求斜线的长度 这个内容，本人在一些习题集与各个网站的习题精选里时常见到，不过要涉及到八年级下册的内容。但是，这个内容很重要，必须要讲讲，还要了解清楚。 求斜线的长度涉及到勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²＋b²＝c² 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即： A 2+ B 2 = C 2 这样一解释，想必大家都清楚了吧！这样，为我们下面推出求斜线长度的公式打下了坚实的基础。
人教版数学高一-两点间的距离 同步导学案
摘要：两点间的距离同步学案，主要有学习目标、重难点，学法指导，新知预习，学习探究，要点导学，活学巧用，巩固练习，整体感知 关键词：新课标人教A 版、必修二、两点间的距离 学案 新课标人教A 版高一必修二3、3、2两点间的距离同步学案 【学习目标】 1、理解平面内两点间的距离公式的推导过程 ，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题； 2、通过由特殊到一般的归纳，培养探索问题的能力 【重点与难点】重点：两点间的距离公式和它的简单应用 难点：用坐标法解决平面几何问题 【学法指导】 本节是利用勾股定理推导出两点间的距离公式，并由此用坐标法推证其它问题。在推导 过程中，要注意数形结合的数学思想的运用。 【新知预习】 1.设111222(,),(,)P x y P x y ,则12PP = 。 特殊地：(,)P x y 与原点的距离为OP = ； 当所在直线与x 轴平行时，12PP = ； 当12,P P 所在直线与y 轴平行时，12PP = ； 当12,P P 在直线y kx b =+上时，12PP = . 2. 设111222(,),(,)P x y P x y ,则线段12P P 的中点坐标__________ 3. 用坐标法解（证）题的步骤：（1） 。 （2） （3） （4） 【学习探究】 1、已知数轴上两点 A, B ，怎么求 A, B 的距离？ 2、用坐标法解（证）题的步骤？
221M M =
解得1x =，所以(1,0)p , 则PA =22)20()11(22=-++。 归纳总结:两点间的距离公式：所以设111222(,),(,)P x y P x y ，当 12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212PP y y =-； 当12,P P 不与坐标轴平行时，121212()()PP x x y y =-+-。 变式探究： 1、 在直线40x y -+=上求一点p ，使p 点到点(2,4),(4,6)M N --的距离相等。 1、解：35(,)22 P - 例2、已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2 =2（|AO |2 ＋|OC |2 ）. 解：以O 为坐标原点，BC 为x 轴，BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示坐标系xoy 设点A(a ,b )、B(c -,0)、C(c ,0), 由两点间距离公式得： 2222(),()AB a c b AC a c b =++=-+ 22,AO a b OC C =+= 22222222222(),AB AC a b c AO OC a b c ∴+=+++=++ 22222()AB AC AO OC ∴+=+ 归纳总结：此解体现了解析法的思路. 先建立适当的直角坐标系，将△ABC 的顶点用坐标表示出来，再利用解析几何中的“平面内两点间的距离公式”计算四条线段长，即四个距离，从而完成证明. 变式探究： 2、 已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点M ，建立适当的直角坐标系，求证：12AM BC = 2、 证明：以直角三角形ABC 的直角边AB,AC 所在直线为坐标轴，建立直角坐标系 设B,C 两点的坐标分别为(,0),(0,)b c ，因为斜边BC 的中点M ，所以的坐标为00(,),22 b c ++
《直线的交点坐标及两点间距离公式》导学案
《直线的交点坐标及两点间距离公式》导学案 编写：胡林海 审核：高一数学组 编写时间：2013-5-7 班级： 组别： 组名： 姓名： 一、学习目标: 1、会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 2、会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系 3、掌握两点间距离公式并会应用 二、学习重点、难点： 重点：1、根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点。 2、平面内两点间距离公式以及公式的推导。 难点：1、对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解。 2、如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题。 三、使用说明及学法指导: 1. 自学：精读教材102-106，完成导学案（30分钟） 2. 群学程序： （1） 对子学习：结合导学案完成情况进行对子间交流。并相互给予等级评定。 （2） 群学：组长带领全组同学交流自学环节中存在的疑惑和问题；并对展示任 务讨论，确定展示方案，并在黑板上做好展示准备。（30分钟） 四、知识链接：1．直线方程有哪几种形式？ 2．平面内两条直线有什么位置关系？ 五、学习过程：自主探究 知识探究（一）：两条直线的交点坐标 思考1:一般地，若直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=相交，如何求其交点坐 标？看下表，并填空： 展示单元一 A1：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出其交点的坐标. （1）12:237,:421;l x y l x y -=+= （2）122:2640,:;33 x l x y l y -+==+ 思考2:交点坐标与二元一次方程组有什关系？归纳出两直线是否相交与其方程所 组成的方程组有何关系？ (1)若二元一次方程组有唯一解，1l 与2l ＿＿＿＿＿ (2)若二元一次方程组无解，则1l 与2l ＿＿＿＿＿＿ (3)若二元一次方程组有无数解，则1l 与2l ＿＿＿＿＿＿＿ 知识探究（二）：过交点的直线系 展示单元二 思考1:经过直线1:3420l x y +-=与直线2:220l x y ++=的交点可作无数条直线，你能将这些直线的方程统一表示吗？ 思考2:方程 (342)(22)0m x y n x y +-+++= （,m n 不同时为0）表示什么图形？ 思考3:上述直线1l 与直线2l 的交点M （-2，2）在这条直线上吗？当,m n 为何值时，方程 (342)(22)0m x y n x y +-+++=分别表示直线1l 和2l ？ 思考4:方程(342)(22)0m x y n x y +-+++=表示经过直线1l 和2l 的交点的直线系，一般地，经过两相交直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程可怎样表示？ B2：不论m 为何实数，直线l ：(1)(21)5m x m y m -+-=-恒过一定点，并求出此定 点的坐标。
两点间距离公式与线段中点的坐标教案
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标 【教学目标】 知识目标： 掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 能力目标： 用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力． 【教学重点】 两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用 【教学难点】 两点间的距离公式的理解 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】 教 学 过 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间 *揭示课题 8．1 两点间的距离与线段中点的坐标 *创设情境 兴趣导入 【知识回顾】 平面直角坐标系中，设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则 122121(,)=--u u u u r PP x x y y ． 介绍 质疑 引导 分析 了解 思考 启发 学生思考 0 15 *动脑思考 探索新知 【新知识】 我们将向量12 u u u u r PP 的模，叫做点1P 、2P 之间的距离，记作12 PP ，则 22 121212122121||()()===-+-u u u u r u u u u r u u u u r g PP PP PP PP x x y y （8．1） 总结 归纳 思考 记忆 带领 学生 分析 25 *巩固知识 典型例题 例1 求A （?3，1）、B （2，?5）两点间的距离． 解 A 、B 两点间的距离为 []2 2||(32)1(5)61 AB =--+--= 说明 强调 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 通过例题进一步领会 30 第1题图
例2 已知点S （0，2）、点T （?6，?1），现将线段ST 四等分，试求出各分点的坐标． 分析 如图8－2所示，首先求出线段ST 的中点Q 的坐标， 然后再求SQ 的中点P 及QT 的中点R 的坐标． 解 设线段ST 的中点Q 的坐标为(,)Q Q x y ， 则由点S （0，2）、点T （?6，?1）得 0(6) 32Q x +-==-，2(1)1 22 Q y +-= =． 即线段ST 的中点为 Q 1 3,2 -（） ． 同理，求出线段SQ 的中点P 35,24-（），线段QT 的中点91,24R --（）． 故所求的分点分别为P 35,24-（）、Q 13,2-（）、91 ,24 R --（） ． 例3 已知ABC ?的三个顶点为(1,0)A 、(2,1)B -、(0,3)C ， 试求BC 边上的中线AD 的长度． 解 设BC 的中点D 的坐标为(,)D D x y ，则由(2,1)B -、 (0,3)C 得 (2)012D x -+==-，13 22D y +==， 故 22||(11)(20)22,AD =--+-= 即BC 边上的中线AD 的长度为22． 说明 强调 引领 讲解 说明 引领 分析 说明 观察 思考 主动 求解 观察 思考 求解 通过例题进一步领会 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 65 *运用知识 强化练习 1．已知点(2,3)A 和点(8,3)B -，求线段AB 中点的坐标． 2．已知ABC ?的三个顶点为(2,2)A 、(4,6)B -、(3,2)C --， 求AB 边上的中线CD 的长度． 3．已知点(4,)Q n 是点(,2)P m 和点(3,8)R 连线的中点，求m 与n 的值． 启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解 进一步领会知识点 75 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 图8－2
平面内两点间的距离公式
两点间的距离公式 【教学目标】 1、 掌握平面内两点的距离公式和中点公式 2、 能熟练应用平面内两点间距离公式和中点公式进行运算 【教学重点】 平面内两点的距离公式和中点公式的应用 【教学难点】 平面内两点的距离公式和中点公式的应用 【教学过程】 引入： (如图)在数轴上有两点7,521=-=x x 则x x 2 1= -5 0 7 X 在直角三角形中，怎样求出斜边的长度 在直角坐标系中，已知点P （x,y ）,那么|OP|= x y
平面直已知两点1P P P 21说明 (1) 如果P 1P 2 x x 是x x 1 2- (2) 如果P 1和P 2两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上,两点距离 是y y 1 2- 试一试1：求平面上两点)7,1(),2,6(-B A 间的距离AB . 试一试2：求下列两点间的距离： （1）)0,2(),0,2(B A - （2）)7,0(),3,0(-B A （3）)4,2(),3,2(B A - (4))6,8(),9,5(B A - 试一试3：已知A （a,3），点B 在y 轴上，点B 的纵坐标为10，AB =12，求a 。 线段的中点公式 点),(111y x P ，),(2 22y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 22 1x x x + =，221y y y +=。 说明公式对于P 1和P 2两点在平面内任意位置都是成立的 试一试3：求下列两点的中点坐标
（1）)13,2(),3,2(B A -（2）)6,18(),9,15(B A - （二）典型例题： 已知三角形的顶点是)2,7(),0,0(B A ，),4,1(-C ，求此三角形两条中线CE 和AD 的长度 （解题过程在书240页） 【自我检测】 1、平面直角坐标系中，已知两点),(111y x P ，),(2 22y x P ，两点距离公式为 2、点),(111y x P ，),(2 22y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 3、 已知下列两点，求AB 及两点的中点坐标 （1） A （8，6），B （2，1） （2）A （-2，4）B （-2，-2） 4、 已知A(-4,4),B(8,10)两点，求两点间的距离AB 5、 已知下列两点，求中点坐标： a) A （5，10），B （-3，0）（2）A （-3，-1），B （5，7） 6、 已知点A （-1，-1），B （b,5）,且AB =10，求b.
人教新课标版数学高一A版必修2导学案 两点间的距离
3．3.2 两点间的距离 1．掌握平面内两点间的距离公式及应用． 2．了解坐标法的解题步骤． 1．两点间的距离公式 (1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝____________. (2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根． 坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点间距离公式的推广． 【做一做1】已知点P1(5,1)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝__________. 2．坐标法 (1)定义：通过建立平面直角坐标系，用______方法解决几何问题的方法称为坐标法． (2)步骤：①建立________，用坐标表示有关的量；②进行有关________；③把代数运算结果“______”成几何关系． 【做一做2】用坐标法证明：矩形的对角线相等． 答案：1．(1)(x2－x1)2＋(y2－y1)2 【做一做1】3 2 2．(1)代数(2)①坐标系②代数运算③翻译 【做一做2】 证明：如图所示，以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系． 设|AB|＝m，|AD|＝n， 则A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)．
∴|AC|＝m2＋n2， |BD|＝(0－m)2＋(n－0)2＝m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等． 1．理解两点间的距离公式 剖析：(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，利用此公式可以将有关的几何问题转化成代数问题进行研究． (2)特别地，当P1P2平行于坐标轴，或在坐标轴上时，有 |P1P2|＝(x2－x1)2＝|x2－x1|(P1P2⊥y轴)； |P1P2|＝(y2－y1)2＝|y2－y1|(P1P2⊥x轴)． 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离为|OP|＝x2＋y2. 2．用坐标法解决几何问题时，选择坐标轴的依据 剖析：用坐标法解题的关键是建立适当的坐标系．根据几何特征选择适当坐标系的规则是：如果有对称中心，可选择对称中心为坐标原点；如果有对称轴，可选对称轴为坐标轴，使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．例如，通常以直角三角形的两条直角边所在的直线为坐标轴；以斜三角形的一边为x轴，以这一边的中点为原点；以矩形的相邻两边为坐标轴；以平行四边形的一边为坐标轴，这边的一个端点为原点；以菱形的对角线所在的直线为坐标轴等． 题型一：两点间距离公式的应用 【例1】已知A(a,3)和B(3,3a＋3)的距离为5，求a的值． 反思：解析几何中的一些距离问题常与方程联系起来，它体现了几何问题代数化处理的策略．