2018高等数学期末考试试题【A 卷】(答案附后)
考试日期:2012年
院(系)别
班级 学号 姓名
成绩
一、填空题:(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上)
1、已知向量a r 、b r
满足0a b +=r r r ,2a =r ,2b =r ,则a b ?=r r .
2、曲面(1,2,4)2
2
9x y z ++=在点处的切平面方程为 .
3、设ln()z x xy =,则32
z
x y ?=?? .
4、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则
()L
x y ds +=? .
5、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ,在x π=处收敛于 .
※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级. 二、解下列各题:(本题共5小题,每小题7分,满分35分)
1、求曲线222
222
239
3x y z z x y
?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程. 2、求由曲面2222z x y =+及22
6z x y =--所围成的立体体积.
3、判定级数
1
1
(1)ln
n n n n
∞
=+-∑是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? 4、设(,)sin x z f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,
z z
x x y
?????. 5、计算曲面积分
,dS z ∑
??其中∑是球面2222
x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部.
三、(本题满分9分)
抛物面2
2
z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.
四、 (本题满分10分)
计算曲线积分
(sin )(cos )x x L
e y m dx e y mx dy -+-?
,
其中m 为常数,L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2
2
(0)x y ax a +=>.
五、(本题满分10分)
求幂级数13n
n n x n
∞
=?∑的收敛域及和函数.
六、(本题满分10分)
计算曲面积分332
223(1)I x dydz y dzdx z
dxdy ∑
=
++-??,
其中∑为曲面2
2
1(0)z x y z =--≥的上侧.
七、(本题满分6分)
设()f x 为连续函数,(0)f a =,222
()[()]t
F t z f x y z dv Ω=
+++???,其中t Ω
是由曲面z =
与z =所围成的闭区域,求 3
()
lim t F t t +
→.
-------------------------------------
备注:①考试时间为2小时;
②考试结束时,请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交; 不得带走试卷。
2018高等数学期末考试试题【A 卷】
参考解答与评分标准 2009年6月
一、填空题【每小题4分,共20分】 1、4-; 2、2414x y z ++=;3、21
y
-; 4
、3,0; 一、试解下列各题【每小题7分,共35分】
1、解:方程两边对x 求导,得323dy
dz y z x dx dx dy dz y z x
dx dx ?+=-????-=-??, 从而54dy x dx y =-
,74dz x dx z =…………..【4】 该曲线在()1,1,2-处的切向量为571
(1,,)(8,10,7).488
T ==u r (5)
故所求的切线方程为
112
8107
x y z -+-==………………..【6】 法平面方程为
()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++= (7)
2、解:22
22
226z x y z x y
?=+??=--?222x y +=,该立体Ω在xOy 面上的投影区域为22
:2xy D x y +≤.…..【2】 故所求的体积为V
dv Ω
=
???22
2620
20
2(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=??
(7)
3、解:由11lim lim ln(1)lim ln(1)10n
n n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>,知级数1
n n u ∞
=∑发散 (3)
又111||ln(1)ln(1)||1n
n u u n n +=+>+=+,1
lim ||lim ln(1)0n n n u n
→∞→∞=+=.故所给级数收敛且条件收敛.【7】
4、解:
121211
()0z f y f yf f x y y
?''''=?+?+=+?, …………………………………【3】 2111
122212222211[()][()]z x x
f y f x f f f x f x y y y y y ?''''''''''=+?+?--+?+?-??111222231.x f xyf f f y y
''''''=+--【7】 5、解:∑
的方程为z =,∑在xOy 面上的投影区域为2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-.
=…..………【3】
故
22222200xy
D dS adxdy d a d z a x y a πρρθρ∑==---?????
220
12ln()2ln 2a
a a a h
πρπ?=--=????..【7】
三、【9分】解:设(,,)M x y z 为该椭圆上的任一点,则点M
到原点的距离为d =
【1】
令2
2
2
2
2
(,,)()(1)L x y z x y z z x y x y z λμ=+++--+++-,
则由22220
220201x y z L x x L y y L z z x y
x y z λμλμλμ=-+=??=-+=??=++=??=+?
++=??
,解得x y ==
2z =.于是得到两个可能极值点
121111(
,,2(2222
M M -+----…………………【7】 又由题意知,距离的最大值和最小值一定存在,所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得.
故max
2min 1||||d OM d OM ==== (9)
四、【10分】 解:记L 与直线段OA 所围成的闭区域为D ,则由格林公式,得
22(sin )(cos )8
x x D
L OA
I e y m dx e y mx dy m d ma π
σ+=
-+-=-=-?
???. (5)
而1
(sin )(cos )a
x x
OA
I e y m dx e y mx dy m dx ma =-+-=-=-?? (8)
∴221(sin )(cos ).8
x x L e y m dx e y mx dy I I ma ma π
-+-=-=-
? (10)
五、【10分】解:()1131
lim
lim 3133n n n n n n
a n R a n ρ++→∞→∞===?=+,收敛区间为 (3,3)-…………【2】 又当3x =时,级数成为11
n n
∞
=∑,发散;当3x =-时,级数成为()11n
n n ∞
=-∑
,收敛.……【4】 故该幂级数的收敛域为
[)3,3- (5)
令()13
n
n n x s x n ∞
==∑(33x -≤<),则
11111111
()()3
3331/33n n n n n x x s x x x -∞
∞-=='====
--∑∑, (||3x <) ……【8】 于是()()00
0()()ln 3ln 3ln 33x x
x dx
s x s x dx x x x '=
==--=---?
?
,(33x -≤<) (10)
六、【10分】解:取1∑为22
0(1)z x y =+≤的下侧,记∑与1∑所围成的空间闭区域为Ω,则由高斯公式,
有()()1
33222
2
22316I x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω=
++-=++?????
ò (5)
()221
12
62d d z dz πρθρρ
ρπ-=+=???
(7)
而()()221
1
33221
1
2231313
3x y I x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π∑∑+≤=++-=-==??????
(9)
2123.I I I πππ∴=-=-=- (10)
七、【6分】解:()()22
24
0sin cos t
F t d d r f r r dr π
πθ?????=+?
??
??….… 【2】 ()3
224400002sin cos sin t t d r dr d f r r dr ππ
π???????=+????
????
(()4
2
2
028
t
t r f r dr π??
=+-????
? (4)
故
(
)
(
3
22
2
32
000
2()
222
lim lim lim().
333
t t t
t
t f t
F t
f t a
t t
π
+++
→→→
??
+-
??--
??
===【6】