1、用提公因式法把多项式进行因式分解
【知识精读】
如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括号
外面,将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是:
(1)当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幂。
(2)系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】
1. 把下列各式因式分解
(1)-+--+++a x a b x a c xa x
m m m m 2213
(2)a a b a b a a b b a ()()()
-+---32222
2. 利用提公因式法简化计算过程 例:计算1368
987
521136898745613689872681368987
123?+?+?+?
3. 在多项式恒等变形中的应用 例:不解方程组23532
x y x y +=-=-???,求代数式()()()
22332x y x y x x y +-++的值。
4. 在代数证明题中的应用
例:证明:对于任意自然数n ,32322
2
n n n
n
++-+-一定是10的倍数。
5、中考点拨:
例1。因式分解322x x x ()()--- 例2.分解因式:412132q p p ()()-+- 题型展示:
例1. 计算:200020012001200120002000?-?
例2. 已知:x b x c 2++(b 、c 为整数)是x x 42625
++及3428542x x x +++的公因式,求b 、c 的值。
例3. 设x 为整数,试判断1052+++x x x ()是质数还是合数,请说明理由。
【实战模拟】
1. 分解因式: (1)-+-41222332m n m n m n
(2)a x a b x a c xa d x
n n n n 2211++-+--(n 为正整数)
(3)a a b a b a a b b a ()()()
-+---322222
2. 计算:()()-+-221110的结果是( )
A. 2
100
B. -210
C. -2
D. -1
3. 已知x 、y 都是正整数,且x xy y yx ()()---=12,求x 、y 。
4. 证明:812797
9
13
--能被45整除。
5. 化简:11112
1995
+++++++x x xx x x x ()()()…,且当x =0时,求原式的值。
2、运用公式法进行因式分解
【知识精读】
把乘法公式反过来,就可以得到因式分解的公式。 主要有:平方差公式 a b a ba b 2
2
-=+-()() 完全平方公式
a a
b b a b 2
2
2
2±+=±()
立方和、立方差公式 a b a b a a b b 3322
±=±?+()()
补充:欧拉公式:
a b c a b c a b c a b c a b b c c a 3332223++-=++++---()()
=++-+-+-1
2
222()[()()()]
abca b b c ca 特别地:(1)当a b c ++=0
时,有a b c a b c 3333++= (2)当c =0时,欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点,熟练地掌握公式。但有
时需要经过适当的组合、变形后,方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值,解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此,
正确掌握公式法因式分解,熟练灵活地运用它,对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】
1. 把a a b b
2222+--分解因式的结果是( ) A. ()()()a ba b -++22 B. ()()a ba b -++2 C. ()()a b a b -++2
D. ()()a b b a 2
2
22--
2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例:已知多项式23
2
x x m -+有一个因式是21x +,求m 的值。
3. 在几何题中的应用。
例:已知a b c 、、是?A B C 的三条边,且满足abc
a b b c a c 2
2
2
0++---=,试判断?
A B C 的形状。
4. 在代数证明题中应用
例:两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。 5、中考点拨:
例1:因式分解:x x y 324-=________。
例2:分解因式:2883223
xy xy x y ++=
_________。 题型展示:
例1. 已知:a m b m c m =+=+=+12
112
21
2
3
,,, 求a a b b a c c b c
222222++-+-的值。
例2. 已知abc a b c ++=++=00
333,, 求证:a b c 5550
++=
例3. 若x y x x y y 3322279
+=-+=,,求x y 22+的值。
【实战模拟】
1. 分解因式:
(1)()()a a +--23122 (2)x x y x y x 52
22()()
-+-
(3)a xy a xy xy 22342()()()
-+-+-
2. 已知:x x
+=-13,求x x
4
4
1+
的值。
3. 若a b c ,,是三角形的三条边,求证:a b c b c 222
20
---<
4. 已知:ωω210
++=,求ω2001
的值。
5. 已知a b c ,,是不全相等的实数,且a b c a b c a b c
≠++=03333,,试求 (1)a b c
++的值;(2)a b c
b c a
c a b
()()()111111
+++++的值。
3、用分组分解法进行因式分解
【知识精读】
分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式,或者可以直接运用公式。使用这种方法
的关键在于分组适当,而在分组时,必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”,分析多项式的特点,恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解,不仅可以考察提公因式法,公式法,同时它在代数式的化简,求值及一元二次方程,函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】
1. 在数学计算、化简、证明题中的应用
例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式,所得的结果为( )
A a a
B a a
C a a
D a a .().()
.()
.()
22
222
2
2
2
1111+--+++--
例2. 分解因式x x x x x 5432
1
-+-+-
2. 在几何学中的应用
例:已知三条线段长分别为a 、b 、c ,且满足a b a c b a c >+<+,222
2
证明:以a 、b 、c 为三边能构成三角形
3. 在方程中的应用 例:求方程x y x y -=的整数解
4、中考点拨
例1.分解因式:1222
--+=
m n m n _____________。 例2.分解因式:x y x y 22--+=____________ 例3. 分解因式:x x x 323412+--=____________ 5、题型展示:
例1. 分解因式:m n m n n 222141()-+-+
例2. 已知:a b c d a c b d 2222
110+=+=+=,,且,求ab+cd 的值。
例3. 分解因式:x x 3
23
+-
【实战模拟】 1. 填空题:
()分解因式:(
)分解因式:()分解因式:133224443112
2
22
33
a a
b b x x x y y y m n m n m n --+=
--++=---=
()
2. 已知:a b c a a c abc b c b ++=+-++03223,求的值。
3. 分解因式:15
++a a
4. 已知:x y z A x y z x y z x y x z A 2223330--=--=--,是一个关于的一次多项式,且,,()(),
试求A 的表达式。
5. 证明:()()()()()
a b a b a b a b a b +-+-+-=--22111222
4、用十字相乘法把二次三项式分解因式
【知识精读】
对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法,重点是运用公式
()()x a b x a b x a x b 2
+++=++()进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数,即把常数项分解成两个数的积,且其和等于一次项系数。
对于二次三项a x b x c 2++(a 、b 、c 都是整数,且a ≠0)来说,如果存在四个整数a c a c 1122,,,满足a a a c c c 1212==,,并且a c a c b 1221+=,那么二次三项式a x b x c 2
++即()a a x a c a c xc c 122
122112
+++可以分解为()()a x c a x c 1122++。这里要确定四个常数a c a c 1122,,,,分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂,因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。 【分类解析】
1. 在方程、不等式中的应用
例1. 已知:x x 211240
-+>,求x 的取值范围。
例2. 如果x x m x m x 43222
-+--能分解成两个整数系数的二次因式的积,试求m 的值,并把这个多项式分解因式。
2. 在几何学中的应用
例. 已知:长方形的长、宽为x、y,周长为16cm,且满足x y x x y y
--+-+=
22
220,求长方形的面积。
3、在代数证明题中的应用
例. 证明:若4x y
-是7的倍数,其中x,y都是整数,则8103
22
+-是49的倍
x x y y
数。
4、中考点拨
例1.把2
2
49
2
2
y
-分解因式的结果是________________。
x-
x
5
4y
y
例2. 因式分解:675
2
--=_______________
x x
5、题型展示
例1. 若x y m x y
2256
-++-能分解为两个一次因式的积,则m的值为()
A. 1
B. -1
C. ±1
D. 2
24。
例2. 已知:a、b、c为互不相等的数,且满足()()()
a c
b a
c b
-=--
求证:a b b c
-=-
例3. 若x x x a
32
+++有一因式x+1。求a,并将原式因式分解。
57
【实战模拟】 1. 分解因式:
(1)a b a b 22
1639
++ (2)15742122x x y y n n n n +-++
(3)()()
x x x x 2
2
2
322372+-++
2. 在多项式x x x x x x x x x ++++-+-++123232123
222,,,,,,哪些是多项式()()x x x x 2
4
2
2
21029+-++
的因式?
3. 已知多项式21332x x x k
--+有一个因式,求k 的值,并把原式分解因式。
4. 分解因式:35294
22x x y y x y +-++-
5. 已知:x y x y +=+=05312..,,求312922x x y y ++的值。
5、因式分解小结
【知识精读】
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在
初中代数中占有重要的地位和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章知识时,应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式;
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式;
3. 分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止;
4. 公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式;
5. 结果如有相同因式,应写成幂的形式;
6. 题目中没有指定数的范围,一般指在有理数范围内分解;
7. 因式分解的一般步骤是:
(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式
可提,其次看能否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;
(2)若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项
(添项)等方法;
下面我们一起来回顾本章所学的内容。 【分类解析】
1. 通过基本思路达到分解多项式的目的
例1. 分解因式x x x x x 54321
-+-+-
2. 通过变形达到分解的目的
例1. 分解因式x x 3234
+-
3. 在证明题中的应用
例:求证:多项式()()x x x 22
41021100--++的值一定是非负数
4. 因式分解中的转化思想
例:分解因式:()()()
a b c ab b c ++-+-+2333
中考点拨:
例1.在?A B C 中,三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++=
求证:a c b +=2
例2. 已知:x x
x x
+=+
=12133
,则__________
题型展示:
1. 若x 为任意整数,求证:()()()7342
---x x x 的值不大于100。
2. 将a a a a 2222222
16742++++++()()分解因式,并用分解结果计算。
【实战模拟】
1. 分解因式:
()()131083108233315
5
4
3
2
2
2
x x x x x a a a a ---+++-++-()()
()()323352476
22
3
x x y y x y x x --+-+-+
2. 已知:xy x y x y
+==-+6133
,,求:的值。
3. 矩形的周长是28cm ,两边x,y 使x xy x y y 32230
+--=,求矩形的面积。
4. 求证:n n 35+是6的倍数。(其中n 为整数)
5. 已知:a 、b 、c 是非零实数,且a b c a b c
b ca
c ab
22211111113
++=+++++=-,()()(),求a+b+c 的值。
6. 已知:a 、b 、c 为三角形的三边,比较a
b c ab 22222
4+-和的大小。
因式分解讲义 课 题 因式分解 学习目标与分析 1、了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系。 2、会用提公因式法、公式法进行因式分解。 学习重点 重点:因式分解的概念与提公因式法。 难点:理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活运用提公因式法分解因式。 关键点:对公式的结构特征应做出具体分析,掌握公式的特点,加深理解,并培养学生在多变的情况运用公式。 学习方法 讲解法 练习法 学习内容与过程 教师分析与批改 一、回顾: 1、整式乘法有几种形式? (1) 单项式乘以单项式 (2) 单项式乘以多项式:a (m +n )=am +an (3) 多项式乘以多项式:(a +b )(m +n )=am +an +bm +bn 2、乘法公式有哪些? (1) 两数和乘以它们的差公式:()()2b a b a b a -=-+ (2) 两数和的平方公式:()2222b ab a b a +±=± 3、试计算 (1)3a (a -2b +c ) (2)(a +3)(a -3) (3)()22b a + (4)()23b a - 二、探索新知,找出规律 1、根据上面得到的结果,你会做下面的填空吗? (1)32a -6ab +3ac=( )( ) (2)2a -9=( )( ) (3)2a +4ab +42b =( )( ) (4)2a -6ab +92b =( )( ) 把一个多项式化为几个整式的乘积形式,这就是因式分解。 想一想:因式分解与整式乘法有什么关系? 因式分解与整式乘法的关系: 因式分解结合:2a -2b =(a +b )(a -b ) 说明:从左到右都是因式分解其特点是:由和差形(多项式)转化成整式的积的形 式;从右到左是整式乘法特点是:由整式积的形式转化成和差形式(多项式)。 结论:因式分解与整式乘法正好相反。 三、巩固练习
提公因式法(基础) 【学习目标】 1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系; 2. 能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】 要点一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式. 要点诠释:(1)因式分解只针对多项式,而不是针对单项式,是对这个多项式的整体, 而不是部分,因式分解的结果只能是整式的积的形式. (2)要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. (3)因式分解和整式乘法是互逆的运算,二者不能混淆.因式分解是一种恒 等变形,而整式乘法是一种运算. 要点二、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式,那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释:(1)公因式必须是每一项中都含有的因式. (2)公因式可以是一个数,也可以是一个字母,还可以是一个多项式. (3)公因式的确定分为数字系数和字母两部分:①公因式的系数是各项系数 的最大公约数.②字母是各项中相同的字母,指数取各字母指数最低的. 要点三、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式 ,另一个因式是 ,即,而正好是 除以所得的商,这种因式分解的方法叫提公因式法. 要点诠释:(1)提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律, 即 . (2)用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. (3)当多项式第一项的系数是负数时,通常先提出“—”号,使括号内的 第一项的系数变为正数,同时多项式的各项都要变号. (4)用提公因式法分解因式时,若多项式的某项与公因式相等或它们的和 为零,则提取公因式后,该项变为:“+1”或“-1”,不要把该项漏掉,或认为是0而出现错误. 【典型例题】 类型一、因式分解的概念 1、观察下列从左到右的变形: ⑴; ⑵ ⑶; ⑷ 其中是因式分解的有 (填序号) 【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式,从对象和结果两方面去判断. m m ( )()33 2 2 623a b a b ab -=-()ma mb c m a b c -+=-+()2 22 61266x xy y x y ++=+()()22323294a b a b a b +-=-
因式分解复习 一、基础知识 1.因式分解概念: 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这就叫做把这个多项式因式分解,也可称为 将这个多项式分解因式,它与整式乘法互为逆运算。 2.常用的因式分解方法: (1)提公因式法:把ma mb mc ++,分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是 各项的公因式m ,另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商,像这种分解因 式的方法叫做提公因式法。 ①多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。 ②公因式的构成:系数:各项系数的最大公约数; 字母:各项都含有的相同字母; 指数:相同字母的最低次幂。 (2)公式法: ①常用公式 平方差:)b a )(b a (b a 22-+=- 完全平方:2 22)b a (b 2ab a ±=+± ②常见的两个二项式幂的变号规律: 22()()n n a b b a -=-;2121()()n n a b b a ---=--.(n 为正整数) (3)十字相乘法 ①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中,如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积,并且b a +等于一次项系数中p ,那么它就可以分解成 ()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 ②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中,如果能把二次项系数a 分解成两 个因数21,a a 的积,把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积,并且1221c a c a +等于一次项系 数b ,那么它就可以分解成: ()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。 (4)分组分解法 ①定义:分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如22 a b a b -+-没有公因式, 又不能直接利用分式法分解,但是如果将前两项和后两项分别结合,把原多项式分成两组。再提公因式,即可达到分解因式的目的。 例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++, 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 ②原则:分组后可直接提取公因式或可直接运用公式,但必须使各组之间能继续分 解。 ③有些多项式在用分组分解法时,分解方法并不唯一,无论怎样分组,只要能将多 项式正确分解即可。
八年级数学因式分解辅导学案 因式分解的常用方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数 学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习 这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能, 发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因 式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上, 对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式, 例如: (1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b); (2 ) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2; 例.已知a b c ,,是ABC ?的三边,且222a b c ab bc ca ++=++,则ABC ?的形状是( ) A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解:222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 选C 练习 (1))(3)(2x y b y x a --- (2)1222-+-b ab a (3)(x -1)(x +4)-36 (4)(m 2+n 2)2-4m 2n 2 (5)-2a 3+12a 2-18a ; (6)9a 2(x -y )+4b 2(y -x ); (7) (x +y )2+2(x +y )+1.
此文档下载后即可编辑 初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算 一、 有理数的基本概念梳理与强化: (一)几个小知识点的梳理与强化:小知识点是常考的考点,也是易错点。理清小知识点,减少失误 1.字母可以表示任意有理数,不能说a 一定是正数,-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是 ;平方等于本身的数是 ;立方 等于本身的数是 ;倒数等于本身的数是 。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|-x |=|2 1-|,则x =______; 若|x |=|-4|,则x =____; 若-|x|=-|2|,那么x=___;若-|-x|=-|2|,那么x=____ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果 ,那么a=____;若 x 2=(-2)2,则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。(-2)3的底数是_______,结果是_______; -32的底数是_______,结果是_______;n 为正整数,则(-1)2n =_ __, (-1) 2n +1=_ __。计算: (1) = ; (2) = ; (3) = ;(4) = (5) = 6.a 的相反数是 ;a+b 的相反数是 ;a-b 的相反数 是 ;-a+b-c 的相反数是 ; 变式训练:若a <b ,则∣a-b ∣= ,-∣a-b ∣= (二)突破绝对值的化简: 7.绝对值即距离,则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为:(体现分类讨论的思想) (a >0) |a| = (a =0 ) (a <0 ) 9.绝对值的非负性: 162=a