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重庆育才中学高三第一次月考

数学试题卷（理科）

数学试题卷（理科）共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。特别提醒：

14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上.

1．已知全集U =R ，集合{23}A x x =-≤<,1{2,0}x B y y x -==≥，则U A B =I e

A ．{}|03x x ≤< 2. 由观测的样本数据算得变量x 与y 满足线性回归方程$0.60.5y x =-，已知样本平均数5x =，

则样本平均数y 的值为

A.0.5

B.1.5

C.2.5

D.3.5

3．已知向量(1,2)a =r ，(3,2)b =-r

，且向量ka b +r r 与2a b -r r 平行，则实数k 的值为

22S S k =+

0,1S k ==

1k k =+

7题图

A.12

B.1

2 C.2- D.2

4．已知命题p ：若a b >，则2

a b >；q ：“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是

A ．p q ∧

B ．p q ?

∧

C ．p q ??∧

D ．p q ?

∧

5．已知等差数列{}

n a 的前n 项和为n S ，若27a =，

686a a +=-，则n S 取最大值时，n 的值为

A.3

B.4

C.5

D.6 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是

A ．1683+．1643+ C ．4883+．483+ 7．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为 A ．3k ≤

B ．4k ≤

C ．5k ≤

D ．6k ≤

8．某天连续有7节课，其中语文、英语、物理、化学、生物5科各1节，数学2节．在排课时，要求生物课不排第1节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数是

A ．408

B ．480

C ．552

D ．816

9．设F 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点，O 为坐标原点，点,A B 分别在双曲线的两

条渐近线上，AF x ⊥轴，BF ∥OA ，0AB OB ?=u u u r u u u r

，则该双曲线的离心率为

A 2

B 3

C ．

322 D 23

10．在ABC ?中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．已知1

sin sin sin 3

A B C -=，32b a =，

2218a ac ≤+≤，设ABC ?的面积为S ，2p a S =-，则p 的最小值是

6题图

俯视图

侧视图

正视图

14题图

．9

．

二、填空题：本大题6个小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相

应的位置上．

11．复数

4212i

+-+的虚部为 .

12．圆22(1)5x y ++=上的点到直线290x y -+=的最大距离为．

13．设常数1a >，实数,x y 满足log 2log log 3a x x x a y ++=-，若y

，则x 的值

为．

考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.

14．如图，已知切线PA 切圆于点A ，割线PBC 分别交圆于

点,B C ，点D 在线段BC 上，且2DC BD =，BAD PAB ∠=∠

，PA =4PB =，则线段AB 的长为__________.

15．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C

的方程为2,

2x t y t

?=?=?（t 为参数）,直线l 的方程为cos sin 0k k ρθρθ--=（k 为实数），若直

线l 交曲线C 于A ，B 两点，F 为曲线C 的焦点，则

11AF BF

+的值为_________. 16．设函数()12f x x x a =-+-，若关于x 的不等式2

1()14

f x a ≥

+对x R ∈恒成立，则实

三、解答题：本大题6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并

答在答题卡相应的位置上．

17．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）

设函数21

()cos(

)cos sin ()22

f x x x x π

π=----． (Ⅰ) 求函数()f x

的最小正周期和单调递增区间；

(Ⅱ) 若()110f α=

-，且3(,)88

ππα∈，求()8f π

α-的值．

18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

某居民小区有,,A B C 三个相互独立的消防通道，通道,,A B C 在任意时刻畅通的概率分别为

495

,,5106

． (Ⅰ) 求在任意时刻至少有两个消防通道畅通的概率；

(Ⅱ) 在对消防通道A 的三次相互独立的检查中，记畅通的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和

数学期望E ξ．

19．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AC AB ⊥，

AD DC ⊥，60DAC ∠=o ，2PA AC ==，1AB =，点E 在棱

PC 上，且DE PB ⊥.

(Ⅰ) 求CE 的长；

(Ⅱ) 求二面角A PB C --的正弦值.

20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）已知0a >，函数1()ln(1)2

a f x a x =-++． (Ⅰ) 讨论函数)(x f 的单调性；

(Ⅱ) 当函数)(x f 存在极值时，设所有极值之和为()g a ，求()g a 的取值范围． 21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

如图所示，已知椭圆C 的方程为2

212

x y +=，12,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点，直线:(0)AB y kx m k =+<与椭圆C 交于不同的,A B 两点．

(Ⅰ) 若1k =-，2m =

，点P 在直线AB 上，

19题图

求12PF PF +的最小值；

(Ⅱ) 若以线段AB 为直径的圆经过点2F ，且原点O 到

直线AB

的距离为

． (1)求直线AB 的方程；

(2)在椭圆C 上求点Q 的坐标，使得ABQ ?的面积最大．

22．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，1lg[(1)]lg[(2)]lg 20n n n a n a ++-+-=

(n N *

∈)．

(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 设2n n n S P a =

，n T =

13521n n n P P P P T T -?????<<．

数学（理科）参考答案及评分意见

一、选择题：

1-5 BCABC ； 6-10 CBADB. 二、填空题：

11、2- ； 12、；13、1

； 14、15、1；16、[2,0]-. 三、解答题：

17、解：(Ⅰ) 2

()sin cos sin 2

f x x x x =--

Q …………………… 2分

(sin 2cos 2)12

x x =+-)14x π=+-， …………………… 4分 ()f x ∴的最小正周期为22

T π

π=

=． …………………… 5分由222242k x k πππππ-≤+≤+，得388

k x k ππ

ππ-≤≤+，

()f x ∴的单调递增区间为3[,]()88k k k Z ππ

ππ-+∈． ………………… 7分

(Ⅱ)())112410f παα=

+-=-Q ，3

sin(2)45

πα∴+=． …………… 8分由3(

)88ππ

α∈知2(,)42π

παπ+

∈，4

cos(2)45

πα∴+=-． ……………10分

())]18284f πππαα∴-=-+-sin[(2))]1244

ππ

α=+--

)cos cos(2)sin ]124444ππππ

αα=

+-+- …………… 12分

34(155=

+-310

=-． …………………… 13分 18、解:(Ⅰ)由已知通道,,A B C 畅通的概率分别为495

(),(),()5106

P A P B P C =

==，设“至少有两个消防通道畅通”为事件D ，

()()()()()P D P ABC P ABC P ABC P ABC ∴=+++ ………………… 4分

4914151954955106510651065106=

??+??+??+??281

300

． ………… 6分 (Ⅱ) ξQ 的所有可能为0,1,2,3，

3311(0)()5125P C ξ∴===

，1234112(1)()55125P C ξ==?=， 2234148(2)()55125P C ξ==?=

，33

3464(3)()5125

P C ξ===． ………… 10分 ξ∴的分布列为：

……………… 11分

数学期望11248641201231251251251255

E ξ=?

+?+?+?=． ……………13分 19、解：(Ⅰ) 如图，以,,AB AC AP u u u r u u u r u u u r

分别为,,x y z 轴的正半轴方向，建立空间直角坐标系，则

(0,0,2),(0,0,0),P A (1,0,0),B 1

(0,2,0),(,0)22

C D -

． … 2分过E 作EF AC ⊥于F ，由已知，得EF ∥PA ，

设EF h =，则(0,2,)E h h -． ………… 3分

,),(1,0,2)2

DE h h PB ∴=-=-u u u r u u u r ．

DE PB ⊥Q ，20DE PB h ∴?=-=u u u r u u u r ，h =， ……… 5分 4

CE ∴==

…………………………………… 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得(0,2,2),(1,0,2)PC PB =-=-u u u r u u u r ，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r

，

则 0,

n PC n PB ??=???=??r u u u r

r u u u r

．220,20y z x z -=?∴?-=?，取1z =，得(2,1,1)n =r ． …………………… 9分易知(0,2,0)AC =u u u r

是平面PAB 的法向量， …………………… 10分

cos ,n AC n AC n AC ?∴==

?r u u u r

r u u u r r u u u r …………………… 12分则二面角A PB C --的正弦值为sin ,6

n AC =r u u u r ． ……………………13分

z y

E D

20、解：(Ⅰ) ()f x 的定义域为(,)a +∞，2/22

1()()1x x a a f x x x x x a a

-+=-=--． …………… 2分方程2

0x x a -+=的判别式14a ?=-．（1）若0?≤，即14

a ≥

时，在)(x f 的定义域(,)a +∞内，有/

()0f x ≥， ()f x ∴在定义域(,)a +∞上为增函数； ………………… 3分

（2）若0?>，即104

a <<

时，方程2

0x x a -+=有两个不同的实数根为：

12x x =

=12a x x <<． ()f x ∴

在(a

和)+∞上为增函数； ……………… 5分

在上为减函数． ………………… 6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，当函数)(x f 存在极值时，1

a <<

，且)(x f 在12,x x x x ==处取得极值． ………………… 8分 12121,x x x x a +==Q ，()f x ∴的所有极值之和为：

12()()()g a f x f x =+121211ln(

1)ln(1)22

x x a a a x a x =-+++-++ 121212212ln(

1)x x x x x x a a a x x ++=-+++211ln(1)a a a a a =-+++1

a a

=+. …… 10分当104a <<

时，1()g a a a =+为减函数，()g a ∴的取值范围是17

(,)4

+∞． … 12分 21、解：(Ⅰ) 由椭圆方程可得，焦点坐标为1(1,0)F -，2(1,0)F ． ………… 1分

当1k =-

，m =

时，直线AB

的方程为y x =-+ ……………2分

则可得2(1,0)F 关于直线AB

的对称点为/21)F ． ……………3分 12PF PF ∴+

的最小值为：/

12F F == ………… 4分

(Ⅱ)(1)设点,A B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ．由原点O 到直线AB

的距离为

=22

4(1)5m k =+．① … 5分将y kx m =+代入2

212x y +=，得222(12)4220k x kmx m +++-=， 222222164(12)(22)8(21)0k m k m k m ∴?=-+-=-+>，

2121222

422

,1212km m x x x x k k -∴+=-=++． ………………… 6分

由已知，得220AF BF ?=u u u u r u u u u r

，即1212(1)(1)0x x y y --+=． ………………… 7分

1212(1)(1)()()0x x kx m kx m ∴--+++=，即221212(1)(1)()10k x x km x x m ++-+++=，

222

224(1)(1)101212m km

k km m k k

--∴+?+-?++=++，化简，得2

3410m km +-=．② ………………… 8分

由①②，得22

413[1(

)]54m m m

-=+，即42111010m m --=，21m ∴=．0k

m k =??∴?=-??，满足22

8(21)0k m ?=-+>．AB ∴的方程为112y x =-+． ………… 9分（2）由（1）可知，AB 是定值，当椭圆C 上的点Q 使得ABQ ?的面积最大时，点Q 到直线AB 的距离为最大，即点Q 为在直线AB 的下方平行于AB 且与椭圆C 相切的切点．设平行于AB

且与椭圆C 相切的切线方程为1(0)2y x n n =-+<，由221,2

y x n x y ?

=-+????+=??得

2322202

x nx n -+-=，28120n ∴?=-+=

，n ∴=，

（n =舍去），…… 11分

从而，可得Q

的坐标为(,33

Q -

-． ……………………… 12分

22、解：(Ⅰ) 12a =Q ，1lg[(1)]lg[(2)]lg 20n n n a n a ++-+-=，

1(1)12(2)n n n a n a ++∴

=+，即1221

n n a a

n n +=?++， …………………… 2分

1n a n ??

∴??+??

是以首项为112a =，公比为2的等比数列． ………………… 3分

121

n n a

n -∴=+，即1(1)2n n a n -=+?． ………………… 4分 (Ⅱ) 1

(1)2n n a n -=+?Q ，

2123242(1)2n n S n -∴=+?+?+???++?，

23122232422(1)2n n n S n n -=?+?+?+???+++?．

两式相减，得

23122222(1)2n n n S n --=++++???+-+?

12(21)2(1)221

n n n --=+-+?-

2n n =-?，

2n n S n ∴=?． ………………… 6分 2n n n S P a =

，n T = 122(1)21n

n n n n P n n -?∴==?+?+

，n

T ==． ① 先证明：13521n n P P P P T -?????<．

方法一：

13521

2462n n P P P P n --?????=???????Q ， 2

222213521

13521()()()()()2462n n P P P P n

--∴?????=??????? 22

1925(21)41636(2)n n -=??????? 135211

3572

n -

+， ………………… 8分 13521n P P P P -∴?????<13521n n P P P P T -?????<． ………………

9分

方法二：用数学归纳法证明如下：

（1）当1n =时，左边112P ==

，右边1T ===， 12

，∴左边<右边，即不等式成立． ………………… 7分（2）假设当n k =时，不等式成立，即13521k P P P P -?????<

那么，当1n k =+时，

左边13521211352121

k k k k P P P P P P P P P k -+-+=??????=??????

2122k k +<==+

===1k T +==右边，∴左边<右边．

∴当1n k =+时，不等式也成立． ………………… 9分

13521n n P P P P T -∴?????<对n N *

∈都成立．

② 再证明：n n T T <

设函数()f x x x =，则导函数/

()1f x x =．

令/

()0f x =，得cos 2

x =

， ∴在(0,)4π上有/()0f x <，即()f x 在(0,)4

上单调递减．

()(0)0f x f ∴<=，即x x <在(0,)4

上恒成立． ……………… 11分

又04π

≤

<，即n n T T ． ………………… 12分

综上可得：13521n n n P P P P T T -?????<<．