贵州省铜仁市第一中学高考平面向量及其应用专题及答案百度文库
一、多选题1．题目文件丢失！
2．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是
（ ）
A ．()
0a b c -?= B ．()
0a b c a +-?= C ．()0a c b a --?=
D ．2a b c ++=
3．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）
A ．||||||a b a b ?≤
B ．若a b c b ?=?且0b ≠，则a c =
C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3??-+∞ ???
4．已知点()4,6A ，33,2
B ??- ??
?
，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）
A ．14,33??
???
B ．97,2?? ???
C ．14,33??
-
- ???
D ．(7，9)
5．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ）
A ．1122
AE AB AC →
→→
=+
B ．2AB EF →→
=
C ．1133
CP CA CB →→→
=+
D ．2233
CP CA CB →
→→
=+
6．在ABC 中，AB =1AC =，6
B π
=，则角A 的可能取值为（ ）
A ．
6
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
2
π 7．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角
B ．向量a 在b
C ．2m +n =4
D ．mn 的最大值为2
8．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ）
A ．()25,4a b +=
B ．2b =
C ．a 与b 的夹角为45°
D ．()
//2a a b +
9．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）
A ．
B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解
C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解
D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解
10．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）
A ．22
OA OD ?=-
B ．2OB OH OE +=-
C ．AH HO BC BO ?=?
D ．AH 在AB 向量上的投影为22
-
11．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)-
B ．(6,15)
C ．(2,3)-
D ．(2,3)
12．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa b
B ．若a b ⊥，则a b a b +=-
C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a
D ．若存在实数λ使得λa
b ，则a b a b +=-
13．下列命题中，正确的有（ ）
A ．向量A
B 与CD 是共线向量，则点A 、B 、
C 、
D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα?>且cos tan 0αα?<，则角
2
α
为第二或第四象限角
C ．函数1
cos 2
y x =+
是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ?中，若tan tan 1A B ?<，则ABC ?为钝角三角形 14．化简以下各式,结果为0的有( ) A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+- C ．OA OD AD -+
D ．NQ QP MN MP ++-
15．下列命题中正确的是( )
A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-
B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-
C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =
D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =
二、平面向量及其应用选择题
16．在ABC ?中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
17．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且
3
0aGA bGB cGC ++
=.则BAC ∠等于（ ） A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
18．已知非零向量AB 与AC 满足
0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ?
??
且1
2AB AC AB AC ?=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形
D ．以上均有可能
19．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()
20BC OB OC OA ?+-=，则
ABC 一定为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．钝角三角形
20．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ?的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ?的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．等边三角形
21．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???
，且1
||||2AB AC AB AC =，则ABC ?的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形
B ．直角三角形
C ．等腰（非等边）三角形
D ．等边三角形
22．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为
S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）
A ．43
-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
23．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=?，45BDC ∠=?，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )
A ．302m
B ．203m
C ．60m
D ．20m
24．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230
OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ?的形状是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．不能确定
25．ABC ?内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ?与ABC ?的面积之比为
（ ） A ．1:4
B ．4:5
C ．2:3
D ．3:526．题目文
件丢失！
27．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠?＝，BD 与
AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）
A 62
B ．
1
(62)2
C 62
D ．
1
(62)2
28．在ABC ?中，6013ABC A b S ?∠=?=，，，则2sin 2sin sin a b c
A B C
-+-+的值等于
（ ）
A ．239
3
B．
26
3
3
C
．
8
3
3
D．23
29．在ABC中，内角,,
A B C的对边分别是,,
a b c，若222
sin sin sin0
A B C
+-=，2220
a c
b ac
+--=，2
c=，则a=（）
A．3B．1C．
1
2
D ．
3
2 30．已知向量()
2
2cos,3
m x
=，()
1,sin2
n x
=，设函数()
f x m n
=?，则下列关于函数()
y f x
=的性质的描述正确的是()
A．关于直线
12
x
π
=对称B．关于点
5
,0
12
π
??
?
??
对称
C．周期为2πD．()
y f x
=在,0
3
π
??
-
?
??
上是增函数31．已知,m n是两个非零向量，且1
m=，2
||3
m n
+=，则||+||
m n n
+的最大值为A．5B．10C．4 D．5
32．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3
BC CD
=，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若()
1
AO xAB x AC
=+-，则x的取值范围是（）
A．
1
0,
2
??
?
??
B．
1
0,
3
??
?
??
C．
1
,0
2
??
-
?
??
D．
1
,0
3
??
-
?
??
33．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于（）
A
3
B．
2
2
C
31
-
D
2
1
34．在ABC
?中，内角,,
A B C的对边分别是,.
a b c，若cos
2
a
B
c
=，则ABC
?一定是（）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形35．已知点O是ABC内部一点，并且满足2350
OA OB OC
++=，OAC的面积为1
S，ABC的面积为
2
S，则1
2
S
S
=
A ．310
B ．38
C ．
25
D ．
421
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、多选题 1．无 2．ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解 解析：ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：
对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，
a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()
0a b c DB AC ∴-?=?=，A 选项正确；
对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()
00a b c a a +-?=?=，B 选项正确；
对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则
()0a c b a --?=，C 选项正确；
对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.
3．AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知
解析：AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ?=，则||||||a b a b ?≤，所以A 正确，
对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，
对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即
22||||a b a b -?=，cos 1θ=-，
则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ?+>即2||0a a b λ+?>可得530λ+>，解得53
λ>-
， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+?= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时5
3
λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
4．ABC 【分析】
先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点，，则
选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选
解析：ABC 【分析】
先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】
由点()4,6A ，33,2
B ?
?
- ??
?
，则972，AB ??
=-- ??
?
选项A . 914
73023
??-?--?= ???,所以A 选项正确.
选项B. 9977022??
-?
--?= ???
,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023????
-?---?-= ? ?????
,所以C 选项正确. 选项D. 979702??
-?--?≠ ???
,所以选项D 不正确 故选：ABC 【点睛】
本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.
5．AC 【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：
根据三角形中线性质和平行四边形法则知， , A 是正确的；
因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心
解析：AC 【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】
如图：
根据三角形中线性质和平行四边形法则知，
111()()222
AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →
→
→
→
→→→→→
→=+=+=+-=+, A 是正确的；
因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →
→→→→→????
==?+=+ ? ?????
，
所以C 是正确的，D 错误. 故选：AC 【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.
6．AD 【分析】
由余弦定理得，解得或，分别讨论即可. 【详解】 由余弦定理，得， 即，解得或.
当时，此时为等腰三角形，，所以； 当时，，此时为直角三角形，所以. 故选：AD 【点睛】 本题考查余弦
解析：AD 【分析】
由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-??，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可. 【详解】
由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-??， 即23
13232
BC BC =+-，解得1BC =或2BC =.
当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6
A B π
==
；
当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2
π. 故选：AD 【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.
7．CD 【分析】
对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；
对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】 对于A ，向量(
解析：CD 【分析】
对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断. 【详解】
对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ?=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；
对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为2
2
a b b
?=
，错误；
对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；
对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12=
(2m ?n )12
≤ (
22m n +)2
=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD. 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.
8．AC 【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】 由向量，， 则，故A 正确； ，故B 错误；
解析：AC 【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】
由向量()1,0a =，()2,2b =，
则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；
222b =+=，故B 错误；
2cos ,1a b a b a b
?<>=
=
=
?+
又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确； 由()1,0a =，()25,4a b +=，140540?-?=≠，故D 错误. 故选：AC 【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.
9．ABC 【分析】
根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】
对于，因为为锐角且，所以三角
解析：ABC 【分析】
根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当
sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】
对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；
对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.9c B b c ===<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；
对于C ，因为B 为锐角且 sin 432
c B b =?=>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；
对于D ，因为B 为锐角且sin 422
c B b =?=>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.
10．AB 【分析】
直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】
图2中的正八边形，其中， 对于；故正确． 对于，故正确．
对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于
解析：AB 【分析】
直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】
图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，
对于3:11cos
42
A OA OD π=??=；故正确． 对于:22
B OB OH OA OE +==-，故正确．
对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32
||cos ||42
AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】
本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
11．ABC 【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.
【详解】 第四个顶点为， 当时，，
解得，此时第四个顶点的坐标为； 当时，， 解得
解析：ABC 【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】
第四个顶点为(,)D x y ，
当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，
解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-； 当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，
解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)； 当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，
解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-． 故选:ABC . 【点睛】
本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.
12．AB 【分析】
根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当时，则、方向相反且，则存在负实数
解析：AB 【分析】
根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa
b ，A
选项正确，D 选项错误；
若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.
13．BCD 【分析】
根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误
解析：BCD 【分析】
根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角
2
α
的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数
1
cos 2
y x =+
的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ?<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；
对于B 选项，2sin sin tan 0cos α
ααα?=>，cos tan sin 0ααα?=<，所以sin 0cos 0
αα
>?， 则角α为第四象限角，如下图所示：
则
2
α
为第二或第四象限角，B 选项正确；
对于C 选项，作出函数1
cos 2
y x =+
的图象如下图所示：
由图象可知，函数1
cos 2
y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确； 对于D 选项，
tan tan 1A B <，
()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A B
π+--∴-=-===cos 0cos cos C
A B
=-
>，cos cos cos 0A B C ∴<，
对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ?的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC ?为钝角三角形，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】
本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.
14．ABCD 【分析】
根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】 ; ; ; .
故选：ABCD 【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.
解析：ABCD 【分析】
根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】
0AB BC CA AC CA ++=+=;
()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=;
()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=;
0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.
故选：ABCD 【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.
15．ABD 【详解】
解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．
对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确． 对
解析：ABD 【详解】
解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：
()m a b ma mb -=-，故A 正确．
对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．
对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】
本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．
二、平面向量及其应用选择题
16．D 【分析】
首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果． 【详解】
解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，
所以：22A B =或21802A B =?-，解得：A B =或90A B +=? 所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形 故选：D ．
【点评】
本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 17．D 【分析】
由点G 是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=,即GA GB GC =--,代入
303aGA bGB cGC ++=中可得3()0b a GB c a GC ??-+
-= ? ???,由,GB GC 不共线可得0
03
b a a -=?-=?,即可求得,,a b
c 的关系,进而利用余弦定理求解即可 【详解】
因为点G 是ABC 的重心,所以0GA GB GC ++=, 所以GA GB GC =--,
代入30aGA bGB cGC ++=可得3()03b a GB c a GC ??-+-=
? ???, 因为,GB GC 不共线,所以0
0b a a -=?-=,
即b a c =???=??,所以222cos 22b c a BAC bc +-∠==
,故30BAC ?∠=, 故选:D 【点睛】
本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角 18．C 【分析】
AB
AB 和AC
AC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ??
?+?= ?
??表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由1
2
AB AC AB
AC
?
=
可求出A ∠，即得三角形形状。 【详解】
由题的，∵0AB AC BC AB AC ??
?+?= ???
，∴A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，∴ABC 为
等腰三角形.又12AB AC AB
AC
?
=
，∴1cos 2A =，∴3
A π
=，故ABC 为等边三角形. 故选：C 【点睛】
本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。 19．C 【分析】
由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()
0BC AB AC ?+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案. 【详解】
由题意，()()
2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+， 所以()
0BC AB AC ?+=，
取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=. 所以0BC AE ?=，即BC AD ⊥， 故AB AC =，ABC 是等腰三角形. 故选：C.
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 20．D
【分析】
先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状. 【详解】
因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ， 所以()sin 0B A -=，所以A B =， 又因为2B A C B π=+=-，所以3
B π
=，
所以3
A B π
==，所以ABC 是等边三角形.
故选：D. 【点睛】
本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 21．D 【分析】
先根据0||||AB AC BC AB AC ??
+= ? ???
，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状． 【详解】
解：0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???
，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直， AB AC ∴=，
1
cos ||||2
AB AC A AB AC =
=，
3
A π
∴∠=
，
3
B C A π
∴∠=∠=∠=
，
∴三角形为等边三角形．
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题． 22．A 【分析】
由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan
2
C
，从而求得tan C ． 【详解】
∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即2221
2sin 22
ab C a b ab c ??=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ?-=+-，
又222sin 2sin cos 1222
a b c ab C ab C
C ab ab +-?-===-，∴sin cos 12C C +=
， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴2
22tan
2242tan 1231tan 2
C
C C ?===---， 故选：A ． 【点睛】
本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力． 23．D 【分析】
由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．
【详解】
15BCD ∠=?，45BDC ∠=?
120CBD
由正弦定理得：
sin120sin 45
BC
302sin 45203sin120
BC
3tan 30203
20AB
BC
故选D
【点睛】
本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题． 24．C 【分析】
根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果. 【详解】
由123||||||1OP OP OP ===，可知点O 是
123PP P ?的外心， 又1230
OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ?的重心，