江苏省2020届高考数学二轮复习 专题3 导数(Ⅰ)
江苏省2020届高考数学（苏教版）二轮复习专题3 导__数(Ⅰ)
导数作为研究函数的重要工具，同时也是学习高等数学的基础，一直受到命题者的青睐.2020年考了2小题，并在17题中进行了考查运用导数求三角函数的最值；2020年考了2小题，都是考查三次函数的导数，显然重复；2020年第8题和压轴题都考查了导数；2020年12题和19题；2020年14题和18题.可以看出江苏高考每年都会出现两题考查导数的几何意义或者导数的四则运算以及利用导数研究极值、单调性等.
预测在2020年的高考题中： 1导数的几何意义；
2利用导数研究函数的单调性或者极值、最值.
1．(2020·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3
－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．
解析：y ′＝3x 2
－10＝2?x ＝±2，又点P 在第二象限内，故x ＝－2.点P 的坐标为(－2,15)． 答案：(－2,15)
2．(2020·江苏高考)函数y ＝x 2
(x >0)的图象在点(a k ，a 2
k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.
解析：在点(a k ，a 2
k )处的切线方程为y －a 2
k ＝2a k (x －a k )，当y ＝0时，解得x ＝a k
2
，所以a k
＋1
＝a k
2.则a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21. 答案：21
3．若函数f (x )＝e x
－2x －a 在R 上有两个零点，则实数a 的取值
范围是________．
解析：当直线y ＝2x ＋a 和y ＝e x
相切时，仅有一个公共点，这时切点是(ln 2,2)，直线方程是y ＝2x ＋2－2ln 2，将直线y ＝2x ＋2－2ln 2向上平移，这时两曲线必有两个不同的交点．
答案：(2－2ln 2，＋∞)
4．(2020·江苏高考)将边长为1 m 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝
梯形的周长2
梯形的面积
，则S 的最小值是________．
解析：设剪成的小正三角形的边长为x ，则
S ＝
3－x
2
12x ＋1·32
1－x
＝4
3·3－x
2
1－x 2
(0 3 ·3－x 2 1－x 2 ， S ′(x )＝ 43 · 2x －6·1－x 2 －3－x 2 ·－2x 1－x 22 ＝4 3 ·－23x －1 x －3 1－x 2 2 . 令S ′(x )＝0，又0 3 . 当x ∈? ????0，13时，S ′(x )<0，函数单调递减；当x ∈???? ??13，1时，S ′(x )>0，函数单调递增； 故当x ＝13时，S 取最小值为32 33. 法二：利用函数的方法求最小值． 令3－x ＝t ，t ∈(2,3)，1t ∈? ?? ?? 13，12，则 S ＝ 4 3·t 2 －t 2＋6t －8＝4 3 ·1－8 t 2＋6t －1. 故当1t ＝38，x ＝13时，S 取最小值为32 33. 答案：32 33 5．(2020·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________． 解析：设P (x 0，e x 0)，则l ：y －e x 0＝e x 0 (x －x 0)， 所以M (0，(1－x 0)e x 0)．过点P 作l 的垂线其方程为 y －e x 0＝－e －x 0 (x －x 0)，N (0，e x 0＋x 0e －x 0)， 所以t ＝12[(1－x 0)e x 0＋e x 0＋x 0e －x 0] ＝e x 0＋12 x 0(e －x 0－e x 0)． t ′＝12 (e x 0＋e －x 0)(1－x 0)，所以t 在(0,1)上单调增，在(1，＋∞)上单调减，所以当x 0 ＝1时，t 取最大值t max ＝12? ???? e ＋1e . 答案：12? ???? e ＋1e [典例1] (2020·扬州调研)已知函数f (x )＝e x ＋ax ，g (x )＝e x ln x (e 是自然对数的底数)． (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线也是抛物线y 2 ＝4(x －1)的切线，求a 的值； (2)若对于任意x ∈R ，f (x )>0恒成立，试确定实数a 的取值范围； (3)当a ＝－1时，是否存在x 0∈(0，＋∞)，使曲线C ：y ＝g (x )－f (x )在点x ＝x 0处的切线斜率与f (x )在R 上的最小值相等？若存在，求符合条件的x 0的个数；若不存在，请说明理由． [解] (1)f ′(x )＝e x ＋a ，f ′(1)＝e ＋a ，所以在x ＝1处的切线为y －(e ＋a )＝(e ＋a )(x －1)， 即y ＝(e ＋a )x . 与y 2 ＝4(x －1)联立，消去y 得 (e ＋a )2x 2－4x ＋4＝0， 由Δ＝0知，a ＝1－e 或a ＝－1－e. (2)f ′(x )＝e x ＋a ， ①当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在R 上单调递增，且当x →－∞时，e x →0，ax →－∞， 所以f (x )→－∞，故f (x )>0不恒成立， 所以a >0不合题意； ②当a ＝0时，f (x )＝e x >0对x ∈R 恒成立， 所以a ＝0符合题意； ③当a <0时，令f ′(x )＝e x ＋a ＝0，得x ＝ln(－a )，当x ∈(－∞，ln(－a ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln(－a )，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，ln(－a ))上单调递减，在(ln(－a )，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (ln(－a ))＝－a ＋a ln(－a )>0，所以a >－e.又a <0，所以 a ∈(－e,0)． 综上a 的取值范围为(－e,0]． (3)当a ＝－1时，由(2)知f (x )min ＝f (ln(－a ))＝ －a ＋a ln(－a )＝1. 设h (x )＝g (x )－f (x )＝e x ln x －e x ＋x ， 则h ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1x －e x ＋1 ＝e x ? ?? ??ln x ＋1x －1＋1， 假设存在实数x 0∈(0，＋∞)，使曲线C ∶y ＝g (x )－f (x )在点x ＝x 0处的切线斜率与f (x )在R 上的最小值相等，x 0即为方程的解， 令h ′(x )＝1得，e x ? ?? ??ln x ＋1x －1＝0， 因为e x >0，所以ln x ＋1x －1＝0. 令φ(x )＝ln x ＋1x －1，则φ′(x )＝1x －1x 2＝x －1 x 2， 当0 x －1在(0,1)上单 调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以φ(x )>φ(1)＝0，故方程e x ? ?? ??ln x ＋1x －1＝0有惟一 解为1. 所以存在符合条件的x 0，且仅有一个x 0＝1. 第一问考查导数的几何意义；第二问还可采用分离参数构造函数求最值的方法，不过也要进行讨论；第三问先求f (x )的最小值，然后再研究函数h (x )＝g (x )－f (x )＝e x ln x －e x ＋x 在x ＝x 0处的切线斜率，最后利用函数与方程思想，把方程实根的问题转化为函数的零点问题． [演练1] 已知抛物线C 1：y ＝x 2 ＋2x 和C 2：y ＝－x 2 ＋a .如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是 C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段． (1)a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； (2)若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分． 解：(1)函数y ＝x 2 ＋2x 的导数y ′＝2x ＋2曲线C 1在点P (x 1，x 2 1＋2x 1)的切线方程是 y －(x 21＋2x 1)＝(2x 1＋2)(x －x 1)， 即y ＝(2x 1＋2)x －x 2 1.① 函数y ＝－x 2 ＋a 的导数y ′＝－2x ， 曲线C 2在点Q (x 2，－x 2 2＋a )的切线方程是 y －(－x 22＋a )＝－2x 2(x －x 2)， 即y ＝－2x 2x ＋x 2 2＋a .② 如果直线l 是过P 和Q 的公切线， 则①式和②式都是l 的方程． 所以? ???? x 1＋1＝－x 2，－x 21＝x 2 2＋a . 消去x 2得方程2x 2 1＋2x 1＋1＋a ＝0. 当判别式Δ＝4－4×2(1＋a )＝0，即a ＝－1 2时， 解得x 1＝－12，x 2＝－1 2，此时点P 与Q 重合． 即当a ＝－1 2时C 1和C 2有且仅有一条公切线， 由①得公切线方程为y ＝x －1 4 . (2)证明：由(1)可知，当a <－1 2时C 1和C 2有两条公切线． 设一条公切线上切点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 其中P 在C 1上，Q 在C 2上，则有x 1＋x 2＝－1， y 1＋y 2＝x 21＋2x 1＋(－x 22＋a )＝x 21＋2x 1－(x 1＋1)2 ＋a ＝－1＋a ， 线段PQ 的中点为? ?? ??－12， －1＋a 2. 同理，另一条公切线段P ′Q ′的中点也是? ?? ??－12， －1＋a 2. 所以公切线段PQ 和P ′Q ′互相平分． [典例2] (2020·苏锡常镇一调)若斜率为k 的两条平行直线l ，m 经过曲线C 的端点或与曲线C 相切，且曲线C 上的所有点都在l ，m 之间(也可在直线l ，m 上)，则把l ，m 间的距离称为曲线 C 在“k 方向上的宽度”，记为d (k )． (1)若曲线C ：y ＝2x 2 －1(－1≤x ≤2)，求d (－1)； (2)已知k >2，若曲线C ：y ＝x 3 －x (－1≤x ≤2)，求关于k 的函数关系式d (k )． 解：(1)y ＝2x 2 －1(－1≤x ≤2)的端点为A (－1,1)，B (2,7)， ∵y ′＝4x ，由y ′＝－1得到切点为? ????－1 4，－78， ∴当k ＝－1时，与曲线C 相切的直线只有一条． 结合题意可得，两条平行直线中一条与曲线C ：y ＝2x 2 －1(－1≤x ≤2)相切，另一条直线过曲线的端点B (2，7)． ∴平行的两条直线分别为：x ＋y －9＝0和x ＋y ＋9 8＝0. 由两条平行线间的距离公式可得，d (－1)＝812 16 . (2)曲线C ：y ＝x 3 －x (－1≤x ≤2)的端点A (－1,0)，B (2,6)， ∴y ′＝3x 2 －1∈[－1,11]． 下面分两种情况： ①当k ≥11时，两条直线都不是曲线的切线，且分别经过点A (－1,0)，B (2,6)，此时两条直线方程分别为l ：y ＝k (x ＋1)，m ：y －6 ＝ k (x －2)，所以d (k )＝ 3k －61＋k 2 ； ②当2 －a )得到k ＝3a 2 －1>2且－1≤a ≤2得到1 3 从而推出l ，m 当中有一条与曲线C 相切，有一条经过一点，且是经过A (－1,0)的直线，和以B (2,6)为切点的直线，方程分别为l ：y ＝k (x ＋1)，m ：y ＝(3a 2 －1)(x －a )＋a 3 －a ＝kx －2 39(1＋k )32 ，所以d (k )＝ 9k ＋2 3 1＋k 3 29 1＋k 2 . 综上得d (k )＝????? 3k －6 1＋k 2 ，k ≥11， 9k ＋2 31＋k 3 2 9 1＋k 2 ，2 本题是一个即时定义问题，背景新颖，在解决第二问时要注意将k 看成一个常数，对k 进行讨论，探究出两条直线与曲线C 的关系是都相切还是都是经过点还是一个相切一个经过 点，并且了解经过哪个点．这些都可以利用导数这个工具解决． [演练2] 设函数f (x )＝ax ＋ 1 x ＋b (a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3. (1)求f (x )的解析式； (2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 解：(1)f ′(x )＝a － 1 x ＋b 2 ，于是????? 2a ＋12＋b ＝3， a －1 2＋b 2 ＝0. 解得??? ? ? a ＝1， b ＝－1， 或????? a ＝9 4，b ＝－8 3. 因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋ 1 x －1 . (2)证明：在曲线上任取一点? ?? ?? x 0，x 0＋1x 0－1， 由f ′(x 0)＝1－ 1 x 0－1 2 知，过此点的切线方程为 y －x 20－x 0＋1x 0－1＝???? ??1－ 1x 0－12 (x －x 0)． 令x ＝1，得y ＝ x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为? ?? ??1，x 0＋1x 0－1； 令y ＝x ，得y ＝2x 0－1， 切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)． 直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为12?? ????x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12??? ? ?? 2x 0－1|2x 0－2|＝2. 所以所围三角形的面积为定值2. [典例3] (2020·泰州中学期中)已知函数f (x )＝ax 3 ＋bx 2 －3x (a ，b ∈R )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋2＝0. (1)求函数f (x )的解析式； (2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2都有|f (x 1)－f (x 2)|≤c ，求实数c 的最小值； (3)若过点M (2，m )(m ≠2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3ax 2 ＋2bx －3. 根据题意，得??? ?? f 1＝－2， f ′1＝0，即? ?? ?? a ＋ b －3＝－2， 3a ＋2b －3＝0， 解得? ?? ?? a ＝1， b ＝0. 所以f (x )＝x 3 －3x . (2)令f ′(x )＝0，即3x 2 －3＝0，得x ＝±1. x －2 (－2，－1) －1 (－1,1) 1 (1,2) 2 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) －2 极大值 极小值 2 因为f (－1)＝2，f (1)＝－2， 所以当x ∈[－2,2]时，f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2. 则对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x )max －f (x )min |＝4，所以c ≥4， 即c 的最小值为4. (3)因为点M (2，m )(m ≠2)不在曲线y ＝f (x )上，所以可设切点为(x 0，y 0)．因为f ′(x 0)＝3x 2 0－3，所以切线的斜率为3x 2 0－3. 则3x 20 －3＝x 30－3x 0－m x 0－2 ，即2x 30－6x 2 0＋6＋m ＝0. 因为过点M (2，m )(m ≠2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，所以方程2x 30－6x 2 0＋6＋m ＝0有三个不同的实数解． 所以函数g (x )＝2x 3 －6x 2 ＋6＋m 有三个不同的零点． 则g ′(x )＝6x 2 －12x .令g ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝2. x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x ) 极大值 极小值 则????? g 0>0， g 2<0， 即????? 6＋m >0， －2＋m <0， 解得－6 所以m 的取值范围为(－6,2)． 本题考查导数的几何意义、不等式恒成立、极值、最值等问题，一、二两问中规中矩，掌握好计算方法即可，第三问主要能够将“若过点M (2，m )(m ≠2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线”转化成“关于切点横坐标x 0的方程2x 3 0－6x 2 0＋6＋m ＝0有三个不同的实数解”，问题就迎刃而解了． [演练3] (2020·南京一模)已知函数f (x )＝x －1－ln x . (1)求函数f (x )的最小值； (2)求证：当n ∈N * 时，e1＋12＋13＋ (1) >n ＋1； (3)对于函数h (x )和g (x )定义域上的任意实数x ，若存在常数k ，b ，使得不等式h (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b 都成立，则称直线y ＝kx ＋b 是函数h (x )与g (x )的“分界线”．设函数 h (x )＝12 x 2，g (x )＝e[x －1－f (x )]，试问函数h (x )与g (x )是否存在“分界线”？若存在，求 出常数k ，b 的值；若不存在，说明理由． 解：(1)∵f (x )＝x －1－ln x (x >0)， ∴f ′(x )＝1－1x ＝x －1 x . 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )递增． ∴f (x )的最小值为f (1)＝0. (2)证明：由(1)知当x >0时，恒有f (x )≥0， 即x －1≥ln x . 故e x －1 ≥x ，从而有e x ≥x ＋1，当且仅当x ＝0时取等号．分别令x ＝1，12，13， (1) 可得 e 1 >1＋1＝2，e 12>12＋1＝32，e 13>13＋1＝43，…，e 1n >1n ＋1＝n ＋1n ， 相乘可得e1＋12＋13＋…＋1n >2×32×43×…×n ＋1n ＝n ＋1，即e1＋12＋13＋…＋1 n >n ＋1. (3)令F (x )＝h (x )－g (x )＝12x 2 －eln x (x >0)， 则F ′(x )＝x －e x ＝ x ＋e x －e x ， 当x ∈(0，e)时，F ′(x )<0，F (x )递减； 当x ∈(e ，＋∞)时，F ′(x )>0，F (x )递增． 所以当x ＝e 时，F (x )取得最小值0. 则h (x )与g (x )的图象在x ＝e 处有公共点? ????e ，e 2. 设函数h (x )与g (x )存在“分界线”，方程为y －e 2＝k (x －e)，应有h (x )≥kx ＋e 2－k e 在x ∈R 时恒成立，即x 2 －2kx －e ＋2k e ≥0在x ∈R 时恒成立， 必须Δ＝4k 2 －4(2k e －e)＝4(k －e)2 ≤0，得k ＝ e. 下证g (x )≤e x －e 2在x >0时恒成立， 记G (x )＝eln x －e x ＋e 2 ， 则G ′(x )＝e x －e ＝e －e x x ，当x ∈(0，e)时，G ′(x )>0，G (x )递增；当x ∈(e ，＋ ∞)时G ′(x )<0，G (x )递减． 所以当x ＝e 时，G (x )取得最大值0， 即g (x )≤e x －e 2 在x >0时恒成立． 综上可知，函数h (x )与g (x )存在“分界线”，其中k ＝e ，b ＝－e 2. [专题技法归纳] (1)利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围和符号． (2)可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数表示曲线在点 P (x 0，f (x 0))处切线的斜率，因此，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程可如下求得： ①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率． ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y ＝y 0＋f ′(x 0)(x －x 0)． 1．(2020·南通调研)设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________． 解析：依题意得，y ＝x 32＋x 12，y ′＝32x 12＋12x －12(x >0)，当x >0时，y ′＝32x 12＋12x －1 2≥2 32x 12×12x －1 2 ＝ 3，即该图象在点P 处的切线的斜率不小于3，即tan θ≥ 3.又θ∈[0，π)，因此π3≤θ＜π2，即θ的取值范围是???? ??π3，π2. 答案：?? ?? ??π3，π2 2．若方程ln x －2x －a ＝0有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是________． 解析：作出y ＝ln x 和y ＝2x ＋a 的图象，分析方程ln x －2x －a ＝0，有两个不等的实数根问题，即是研究y ＝ln x 和y ＝2x ＋a 的图象交点问题，如图可知，y ＝2x ＋a 与y ＝ln x 相切时，a ＝－1－ln 2，只要a <－1－ln 2，图象都有两个不等的交点， 即a ∈(－∞，－1－ln 2)． 答案：(－∞，－1－ln 2) 3．若函数f (x )＝3 x ＋ln x 在区间(m ，m ＋2)上单调递减，则实数m 的范围是________． 解析：由f (x )＝3x ＋ln x ，得f ′(x )＝－3x 2＋1x ＝x －3 x 2，由f ′(x )<0得0 的减区间是(0,3]．由(m ，m ＋2)?(0,3]得0≤m ≤1. 答案：[0,1] 4．f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋bx ＋a 2 在x ＝1处有极值10，则a ＝________，b ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2 ＋2ax ＋b ， 由已知，得??? ?? f ′1＝0， f 1＝10， 即????? 2a ＋b ＝－3，a 2 ＋a ＋b ＝9， 解得??? ?? a ＝－3， b ＝3 或??? ? ? a ＝4， b ＝－11. 经检验，当a ＝－3，b ＝3时，x ＝1不是极值点；当a ＝4，b ＝－11时，符合题意． 答案：4 －11 5．设曲线y ＝x n ＋1 (n ∈N * )在点(1,1)处的切线与y 轴的交点的纵坐标为y n ，令b n ＝2y n ，则 b 1·b 2·…·b 2 010的值为________． 解析：先求出函数在(1,1)处的切线方程y －1＝(n ＋1)·(x －1)，令x ＝0，求出y n ＝－n ，下面利用指数式的运算法则以及等差数列求和即可． 答案：? ?? ? ?12 2 011×1 005 6．已知函数y ＝f (x )在定义域? ?? ??－32，3上可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )，则不等式xf ′(x )≤0的解集是________． 解析：利用函数f (x )的图象信息得出f ′(x )≤0的解集是??????－12，1，f ′(x )≥0的解集是? ?? ??－3 2，－12∪[1,3)， 从而由xf ′(x )≤0，得? ?? ?? x ≥0，f ′x ≤0 或? ?? ?? x ≤0， f ′x ≥0， 从而0≤x ≤1或－32 2 . 答案：[0,1]∪? ????－3 2 ，－12 7．曲边梯形由曲线y ＝e x ，y ＝0，x ＝1，x ＝5所围成，过曲线y ＝e x ，x ∈[1,5]上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点P 的坐标是________． 解析：如图设P (x 0，y 0)，得切线AB 方程y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，从而 A (1，e x 0 (2－x 0))， B (5，e x 0(6－x 0))，所以梯形的面积S ＝2e x 0(8－2x 0)＝4e x 0(4－x 0)，对S 求导得 S ′＝4e x 0(3－x 0)，易知S (x 0)在(1,3)上递增，(3,5)上递减，所以S (x 0)取最大时，P 点 坐标为(3，e 3 )． 答案：(3，e 3 ) 8．已知函数f (x )＝－12x 2 ＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不是单调函数，则t 的取值范围是 ________． 解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2 ＋4x －3x ＝－ x －1 x －3x ，由f ′(x )＝0 得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不是单调函数，由t <1 答案：(0,1)∪(2,3) 9．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称 f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在? ?? ?? 0，π2 上不是凸函数的是________．(把你认为正确的 序号都填上) ①f (x )＝sin x ＋cos x ； ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3 ＋2x －1； ④f (x )＝x e x . 解析：对于①，f ″(x )＝－(sin x ＋cos x )， x ∈? ?? ?? 0，π2 时，f ″(x )<0恒成立； 对于②，f ″(x )＝－1x 2，在x ∈? ????0，π2时， f ″(x )<0恒成立； 对于③，f ″(x )＝－6x ，在x ∈? ????0，π2时， f ″(x )<0恒成立； 对于④，f ″(x )＝(2＋x )·e x 在x ∈? ????0，π2时， f ″(x )>0恒成立，所以f (x )＝x e x 不是凸函数． 答案：④ 10．设曲线y ＝x n ＋1 (n ∈N * )在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ， 则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________． 解析：函数在(1,1)处切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得到x n ＝n n ＋1 ，所以a 1 ＋a 2＋…＋a 99＝lg 1 100 ＝－2. 答案：－2 11．已知函数f (x )＝a ＋sin x 2＋cos x －bx (a ，b ∈R )． (1)若f (x )在R 上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为2 680，试求a 和b 的值； (2)若f (x )为奇函数， ①是否存在实数b ，使得f (x )在? ????0，2π3为增函数，? ?? ??2π3，π为减函数？若存在，求出 b 的值；若不存在，请说明理由； ②如果当x ≥0时，都有f (x )≤0恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)∵f (x )在x ∈R 上存在最大值和最小值， ∴b ＝0(否则f (x )值域为R )． ∴y ＝f (x )＝a ＋sin x 2＋cos x ?sin x －y cos x ＝2y －a ?|sin(x －φ)|＝|2y －a |1＋y 2 ≤1?3y 2－4ay ＋a 2 －1≤0， 又Δ＝4a 2 ＋12>0，由题意有y min ＋y max ＝43a ＝2 680， ∴a ＝2 010. (2)若f (x )为奇函数，∵x ∈R ，∴f (0)＝0?a ＝0， ∴f (x )＝sin x 2＋cos x －bx ，f ′(x )＝2cos x ＋1 2＋cos x 2－b ， ①若?b ∈R ，使f (x )在? ????0，23π上递增，在? ????23π，π上递减，则f ′? ?? ??23π＝0， ∴b ＝0.这时f ′(x )＝ 1＋2cos x 2＋cos x 2， 当x ∈? ????0，23π时，f ′(x )>0，f (x )递增， 当x ∈? ?? ??23π，π时f ′(x )<0，f (x )递减． ②f ′(x )＝－b cos 2 x ＋21－2b cos x ＋1－4b 2＋cos x 2 ， Δ＝4[(1－2b )2＋b (1－4b )]＝4(1－3b )， 若Δ≤0，则b ≥1 3 ，则f ′(x )≤0，对?x ≥0恒成立，这时f (x )在[0，＋∞)上递减，∴ f (x )≤f (0)＝0. 若b <0，则当x ≥0时，－bx ∈[0，＋∞)， sin x 2＋cos x ∈??? ? ??－33，33， f (x )＝ sin x 2＋cos x －bx 不可能恒小于等于0. 若b ＝0，则f (x )＝sin x 2＋cos x ∈??? ? ??－33，33不合题意． 若0 3 >0， f ′(π)＝－b －1<0，∴?x 0∈(0，π)，使f ′(x 0)＝0， x ∈(0，x 0)时，f ′(x )>0，这时f (x )递增，f (x )>f (0)＝0，不合题意．综上b 的取值范 围为???? ??13，＋∞. 12．(2020·无锡一中)已知函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 －a 2 x ＋2，a ∈R . (1)若a <0时，试求函数y ＝f (x )的单调递减区间； (2)若a ＝0，且曲线y ＝f (x )在点A ，B (A ，B 不重合)处切线的交点位于直线x ＝2上，证明：A ，B 两点的横坐标之和小于4； (3)如果对于一切 x 1，x 2，x 3∈[0,1]，总存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为三边长的三角形，试求正实数a 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2 ＋2ax －a 2 ＝3(x ＋a )? ? ??? x －a 3. 因为a <0，由f ′(x )<0，解得a 3 所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为? ?? ??a 3，－a . (2)当a ＝0时，f (x )＝x 3 ＋2. 设在点A (x 1，x 3 1＋2)，B (x 2，x 3 2＋2)处的切线交于直线x ＝2上一点P (2，t )． 因为y ′＝3x 2， 所以曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为k ＝3x 2 1， 所以在点A 处的切线方程为 y －(x 31＋2)＝3x 2 1(x －x 1)． 因为切线过点P ，所以t －(x 31＋2)＝3x 21(2－x 1)，即2x 31－6x 2 1＋(t －2)＝0. 同理可得2x 3 2－6x 2 2＋(t －2)＝0. 两式相减得2(x 3 1－x 3 2)－6(x 2 1－x 2 2)＝0， 即(x 1－x 2)(x 2 1＋x 1x 2＋x 2 2)－3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0. 因为x 1－x 2≠0， 所以x 2 1＋x 1x 2＋x 22－3(x 1＋x 2)＝0. 即(x 1＋x 2)2 －x 1x 2－3(x 1＋x 2)＝0. 因为x 1x 2≤? ?? ??x 1＋x 222，且x 1≠x 2 ， 所以x 1x 2 ?? ??x 1＋x 222. 从而上式可以化为(x 1＋x 2)2 －? ?? ??x 1＋x 222－3(x 1＋x 2)<0，即(x 1＋x 2)(x 1＋x 2 －4)<0. 解得0 即A ，B 两点的横坐标之和小于4. (3)由题设知，f (0) ＋a ＋3)，解得－10，所以0 ? ?? x －a 3， 所以当x ∈? ? ? ?? 0，a 3时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈? ?? ??a 3，1，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝a 3时，f (x )有最小值f ? ?? ??a 3＝－527a 3＋2. 从而条件转化为???? ? f ? ?? ??a 3 ＝－527 a 3＋2>0，① f 0 <2? ????－527a 3＋2，②f 1 <2? ?? ??－527a 3＋2.③ 由①得a <33
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