二次函数图象和性质知识点总结
二次函数的图象和性质知识点总结
一、知识点回顾
1. 二次函数解析式的几种形式：
①一般式：
（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐
标。
③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即
一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数
的图象 ①二次函数
的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）
完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线
可以由抛物线经过适当的平移得到，移动
规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成
的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴
对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），
y ax bx c =++2
y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 2
0++=y ax bx c =++2
y ax bx c =++2y a x h k =-+()2
y a x =
2
y ax bx c =++2y a x h k =-+()2
y ax =2
y ax bx c =++2y a x h k =-+()2
（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0
(1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开
4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法
①配方法：将解析式化为
的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2
（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；
若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，
。
②公式法：直接利用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若若，y 有最大值，当
5. 抛物线与x 轴交点情况：
对于抛物线
①当时，抛物线与x 轴有两个交点，反之也成立。
②当时，抛物线与x 轴有一个交点，反之也成立，此交点即为
顶点。
③当时，抛物线与x 轴无交点，反之也成立。
二、考点归纳
考点一求二次函数的解析式
例1.已知二次函数f （x ）满足f （2）＝－1，f （－1）＝－1，且f （x ）的最
x h =y k
最小值=y k
最大值=--b a ac b a 2442
，x b
a =-
2a y x b a y ac b a >=-=-02442，有最小值，当时，；最小值a <0x b a y ac b a =-=
-2442
时，最大值y ax bx c a =++2
0()≠?=->b ac 2
40?=-=b ac 2
40?=-
40
大值是8，试求f（x）。
解答：
法一：利用二次函数的一般式方程
设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由题意
故得f（x）＝－4x2＋4x＋7。
法二：利用二次函数的顶点式方程
设f（x）＝a（x－m）2＋n
由f（2）＝f（－1）可知其对称轴方程为，故m＝；
又由f（x）的最大值是8可知，a<0且n＝8；
由f（2）＝－1可解得a＝－4。
故。
法三：利用二次函数的零点式方程
由f（2）＝－1，f（－1）＝－1可知f（x）＝－1的两根为2和－1，故可设F（x）＝f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）。又由f（x）的最大值是8可知F（x）的最大值是9，从而解得a＝－4或0（舍）。
所以f（x）＝－4x2＋4x＋7。
说明：求函数解析式一般采用待定系数法，即先按照需要设出函数方程，然后再代入求待定系数。
考点二二次函数的图像变换
例2.（20XX年浙江卷）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则t＝。
解答：作出的图像，I、若所有点都在x轴上方，则y
max
＝f（3）＝2可解得t＝1；II、若图像有部分在x轴下方，把x轴下方的部分对称地翻折
到x轴上方即可得到的图像，则y
max ＝f（1）或y
max
＝f（3），解
得t＝－3或t＝1，经检验，t＝1。综上所述，t＝1。
考点三二次函数的图像的应用
例3.已知函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞]上是增函数，则f（1）
的范围是（）
A. f（1）≥25
B. f（1）＝25
C. f（1）≤25
D. f（1）>25
解答：函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞）上是增函数，则区间[－
2，＋∞）必在对称轴的右侧，从而，故f（1）＝9－m≥25。
选A。
说明：解决此类问题结合函数图像显得直观。
考点四二次函数的性质的应用
例4.设的定义域是[n，n＋1]（n是自然数），试判断的
值域中共有多少个整数？
分析：可以先求出值域，再研究其中可能有多少个整数。
解答：的对称轴为，因为n是自然数，故，所以函数在[n，n＋1]上是增函数。故
故知：值域中共有2n＋2个整数。
说明：本题利用了函数的单调性，很快求出了函数的值域，这是求函数值域的一个重要方法。
考点五二次函数的最值
例5.试求函数在区间[1，3]上的最值。
分析：本题需就对称轴与区间的相对位置关系进行分类讨论：
<1，∈[1，2]，∈（2，3]，>3。
解答：函数的对称轴
I、当<1即时：函数在[1，3]上是增函数，故
；
II、当∈[1，2]即时：
；
III、当∈（2，3]即时：
；
IV、当>3即时：函数在[1，3]上为减函数，故
综上所述：当时，；当时，；当
时，；当
时，。
考点六方程的根或函数零点的分布问题
例6.已知二次方程的一个根比1大，另一个根比1小，试求
的取值范围。
解答：设，则；
例7.当为何实数时，关于的方程
（I）有两个正实根；
（II）有一个正实根，一个负实根。
解答：（I）设，由方程有两个正实根，结合图像可知：
（II）设，结合图像可知：
说明：一元二次方程的根或二次函数零点的分布问题的处理主要思路是结合函数图像，考虑三个内容：根或零点所在区间端点的函数的正负、判别式及对称轴的位置。
考点七三个“二次”的关系
例8.已知关于的一元二次不等式的解集为，试解关于的一元二次不等式。
解答：
法一：由题意可知，，一元二次不等式对应的一元二次方程的两个根是1和2，故；又
即关于的一元二次不等式的解集为。
法二：
，即关于
的一元二次不等式的解集为。
y
x
O
D
C
B (4,4)A (1,4)考点八二次函数的应用
例9.（2003北京春招）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元。未租出的车每辆每月需维护费50元。
（I ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（II ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解答：（I ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为
，故租出了88辆；
（II ）设每辆车月租金定为
元，则租赁公司的月收益为
故当月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为307050元。
三、综合练习
1、小李从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面四条信息：（1）b 2
－4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）ab ＞0；（4）a －b ＋c ＜0. 你认为其中错误．．
的有( ) A. 2个
B. 3个
C. 4个
D.
1
个
第1题
2.已知二次函数）和点N （1，-2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 则……①；②该二次函数图像与y ③ 存在这样一个a ④若以上说法正确的有： A ．①②③④
B ．②③④
C ．①②④
D ．①②③
3、在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2
不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( )
A ．y ＝2(x + 2)2
－2 B ．y ＝2(x －2)2
+ 2 C ．y ＝2(x －2)2－2
D ．y ＝2(x + 2)2
+ 2
c bx ax y ++=2
2
+=ax y 2-=b ,1OB OA a ?=则
4.如图，点A ，B 的坐标分别为（1,4）和（4, 4）,抛物线的顶点在线段
AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为，则点D
的横坐标最大值为( ) A ．－3
B ．1
C ．5
D ．8
5. 抛物线图像如图所示，则一次函数与反比例函数
在同一坐标系内的图像大致为 ( )
6. 把抛物线向上平移2个单位，那么所得抛物线与x 轴的两个交点之间的距离是
7.如图，菱形ABCD 的三个顶点在二次函数y=ax 2
－2ax+32（a ＜
0）的
图象上，点A 、B 分别是该抛物线的顶点和抛物线与y 轴的交点， 则点D 的坐标为．
8. 老师给出一个y 关于x 甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x<2而减小；丁：当x<2时y>0.函数______________.
9.已知关于x 的函数y ＝（m －1）x 2
＋2x ＋m 图像与坐标轴有且只有2m ＝
10. 如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线上运动，
当⊙P 与轴相切时，圆心P 的坐标为.
11. ．如图，在第一象限内作射线OC ,与x 轴的夹角为30o
,在射线OC 上取一点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H .在抛物线y =x 2
(x >0)上取点P ，在y 轴上取点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是 _______________ .
12. 我们知道，根据二次函数的平移规律，可以由简单的函数通过平移后得
到较复杂的函数，事实上，对于其他函数也是如此。如一次函数，反比例函数等。请问
n m x a y +-=2
)(3-c bx ax y ++=22
4b ac bx y +--=a b c y x ++=
2x y -=2
112
y x =-x x x x x 第10题
可以由通过_________________________平移得到。 13如图，点P 的坐标为（2，23），过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点A ，交双曲线x
k
y =(x>0)
于点N ；作PM ⊥AN 交双曲线x
k
y =(x>0)于点M ，连结AM.已知PN=4.
（1）求k 的值.（3分）
（2）求△APM 的面积.（3分）
14如图，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和
反比例函数m
y x
=
的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； (3)求方程0=-+x
m
b kx 的解（请直接写出答案）
； (4)求不等式0<-+x
m
b kx 的解集（请直接写出答案）.
15. 如图，在直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上。抛物线经过点B 、C 。 （1）求抛物线的解析式；
（2）点D 、E 分别是AB 、BC 上的动点，且点D 从点A 开始，以1cm/s 的速度沿AB 向点B 移动，同时点E 从点B 开始，以1cm/s 的速度沿BC 向点C 移动。运动t 秒（t ≤2）后，能否在抛物线上找到一点P ，使得四边形BEDP 为平行四边形。如果能，请求出t 值和点P
123--=
x x y x
y 1
=c bx x y ++-=
2
的坐标；如果不能，请说明理由。
16 已知二次函数，它的图象与x 轴只有一个交点，交点为A ，与y 轴交于点B ，且AB=2 . (1)求二次函数解析式；
(2)当b<0时，过A 的直线y=x ＋m 与二次函数的图象交于点C ，在线段BC 上依次取D 、E 两点，若，试确定∠DAE 的度数，并简述求解过程。
17. 如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x 轴交于A 、B 两点，D 是抛物线的顶点，O 为坐标原点. A 、B 两点的横坐标分别是方程
的两根，且cos ∠DAB ＝
. （1）求抛物线的函数解析式；
（2）作AC ⊥AD ，AC 交抛物线于点C ，求点C 的坐标及直线AC 的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在一点P ，使△APC 的面积最大？如
果存在，请求出点P 的坐标和△APC 的最大面积；如果不存在，请说明理由.
y ax bx c a b a c =++>-=2
2
2
2
040，其中，DE BD EC 2
2
2
=+01242=--x x 2
2
18. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2
+bx +3（a ≠0）经过、两点，抛物线与y 轴交点为C ，其顶点为D ，连接BD ，点P 是线段BD 上一个动点（不与B 、D 重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为E ，连接BE ． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；
（2）如果P 点的坐标为（x ，y ），△PBE 的面积为s ，求s 与x 的函数关系式，写出自变
量x 的取值范围，并求出s 的最大值；
（3）在（2）的条件下，当s 取得最大值时，过点P 作x 的垂线，垂足为F ，连接EF ，把
△PEF 沿直线EF 折叠，点P 的对应点为P ＇
P ＇是否在该抛物线上．
19. 已知：抛物线经过点，，且对称轴与轴交于点
.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点、分别是轴、对称轴上的点，且四边形是矩形，点是上一点，将沿着直线翻折，点与线段上的点重合，求D
点的坐
标；
（3）在（2）的条件下，点是对称轴上的点，直线交于点，，求点坐标.
(10)A -，(30)B ，2y ax bx c =++()0,0O ()7,4A l x ()5,0B E F y l EOBF 55,2C ??
?
??
BF BOC ?OC B EF D G l DG CO H :1:4DOH DHC S S ??=G
20. 如图，抛物线，与轴交于点，且
．
（I ）求抛物线的解析式；
（II ）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？
若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由； （III ）直线交轴于点，为抛物线顶点．若， 的值．
21如图，二次函数的图象经过点D(0
，)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截
得的线段AB 的长为6.
两点轴交于与B A x bx ax y ,32
-+=y C OA OC OB 3==P C A P ,,P 13
1
+-
=x y y D E α=∠DBC βαβ-=∠求,CBE 397
⑴求二次函数的解析式；
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
二次函数的图像与性质知识点及练习
第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2 ，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质：
2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质：
二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左 加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
二次函数知识点大全
二次函数知识点归纳及提高训练 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0c ,与y 轴交于正半轴；③0 二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项 系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。 总结： 3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k 总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法 如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． 总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 二次函数知识点整理： １.二次函数的图象特征与a ，b ，c 及判别式ac b 42-的符号之间的关系 （1）字母a 决定抛物线的形状. 即开口方向和开口大小；决定二次函数有最大值或最小值. a ＞0时开口向上，函数有最小值； a ＜0时开口向下，函数有最大值； a 相同，抛物线形状相同，可通过平移、对称相互得到； a 越大，开口越小. （2）字母b 、a 的符号一起决定抛物线对称轴的位置. ab=0 （a ≠0，b=0）， 对称轴为y 轴； ab ＞0（a 与b 同号），对称轴在y 轴左侧； ab ＜0（a 与b 异号），对称轴在y 轴右侧. （3）字母c 决定抛物线与y 轴交点的位置. c=0， 抛物线经过原点； c ＞0，抛物线与y 轴正半轴相交； c ＜0，抛物线与y 轴负半轴相交. （4）ac b 42-决定抛物线与x 轴交点的个数. ac b 42-=0，抛物线与x 轴有唯一交点（顶点）； ac b 42-＞0抛物线与x 轴有两个不同的交点； ac b 42-＜0抛物线与x 轴无交点. ２.任意抛物线()k h x a y +-=2 都可以由抛物线2ax y =经过平移得到，具体平移方法如 下： 【注意】 二次函数图象间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数间的平移. 二次函数图象间对称变换也是同样的道理. ３.用待定系数法求二次函数的解析式 确定二次函数的解析式一般需要三个独立条件，根据不同条件选不同的设法 （1）设一般式：c bx ax y ++=2 （a ，b ，c 为常数、a ≠0） 若已知条件是图象上的三点，将已知条件代入所设一般式，求出a,b,c 的值 （2）设顶点式：()k h x a y +-=2 （a,h,k 为常数，a ≠0） 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），将已知条件代入所设顶点式，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式. （3）设两点式：()()21x x x x a y --=（a ≠0，a 、1x 、2x 为常数） 若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为()()0,0,21x x ，将第三点（m,n ） 的坐标（其中m ，n 为已知数）或其他已知条件代入所设交点式，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般形式. ４. 二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）与一元二次方程02=++c bx ax 的关系 （1）二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）中，当y=0时，就变成了一元二次方程02=++c bx ax （2）一元二次方程02=++c bx ax 的根就是二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的横坐标. （3）二次函数的图象与x 轴交点的个数与一元二次方程根的个数一致. （4）在它俩的关系中，判别式△=ac b 42-起着重要作用. 二次函数的图象与x 轴有两个交点?对应方程的△＞0 二次函数的图象与x 轴有一个交点?对应方程的△=0 二次函数的图象与x 轴无交点 ?对应方程的△＜0 ５.二次函数应用 包括两方面 （1）用二次函数表示实际问题中变量之间的关系； （2）用二次函数解决最大化问题即最值问题. 二次函数知识点总结及典型题目 一.定义： 一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点. 二.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0 二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减） 3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 初三数学二次函数知识点总结 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小. 当a＞0时,二次函数图像向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口. |a|越大,则二次函数图像的开口越小. 1、决定对称轴位置的因素 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置. 当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜ 0 ）,对称轴在y轴右. 事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到. 2、决定二次函数图像与y轴交点的因素 常数项c决定二次函数图像与y轴交点. 二次函数图像与y轴交于（0，c) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。Array 2. 2 =+的性质：上加下减。 y ax c 二次函数de 基础 一、考点、热点回顾 二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数de 概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）de 函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数de 定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++de 结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x de 二次式，x de 最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数de 基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =de 性质： a de 绝对值越大，抛物线de 开口越小。 2. 2 y ax c =+de 性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-de 性质：左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+de 性质： 三、二次函数图象de 平移 在原有函数de 基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴ c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵ c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++de 比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++是两种不同de 表达形式，后者通过配方可以 得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2 y ax bx c =++图象de 画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取de 五点为：顶点、 与y 轴de 交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称de 点()2h c ，、与x 轴de 交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称de 点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴de 交点，与y 轴de 交点. 六、二次函数2 y ax bx c =++de 性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x de 增大而减小；当2b x a >-时，y 随x de 增大而增大；当2b x a =-时，y 二次函数一般式的图像和性质 一?选择题(共11小题) 1. 用配方法解一元二次方程 2x 2-4x+仁0, 变形正确的是( ) A. ( x -丄)I 。 B . (x -丄) 2 =' 2 2 2 C. ( x - 1) 2=— D. (x - 1) 2=0 2 2. 把抛物线y=x 2向上平移3个单位，再向 右平移1个单位，则平移后抛物线的解析式 为( ) A. y= (x+3) 2+1 B. y= (x+3) 2 - 1 2 2 C. y= (x - 1) +3 D. y= ( x+1) +3 3. 方程x 2 - 2x=0的根是( ) A.x 1=X 2=0 B.x 1=X 2=2 C.X 1=0,x 2=2 D.X 1=0, X 2 = — 2 .. 2 4. 如图，抛物线y=ax +bx+c 的对称轴是经过 点(1,0)且平行于y 轴的直线，若点P (4, 2 . _ . y= - 2 (x - 3) +1的图象的顶 点坐标是( A. ( 3,1 ) B. (3, - 1) C. (- 3,1 ) D. (- 3, - 1) 6. —元二次方程x 2-?x+仁0的根的情况 是( ) A.无实数根B .有两个实数根 C.有两个不相等的实数根 D .无法确定 7. 抛物线y= - 3( x - 1) 2 - 2的顶点坐标为 ( ) A. (- 1, - 2) B. (1, - 2) C. (- 1,2 ) D . (1 , - 2) 8. 将抛物线y=3x 2向上平移3个单 位，再向 左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析 式为( ) 2 2 A . y=3 (x+2) +3 B . y=3 (x - 2) +3 2 2 C. y=3 (x+2) - 3 D. y=3 (x - 2) - 3 9. 二次函数y=ax +bx+c 的图象如图所示， 对称轴是直线 x= - 1,有以下结论：①abc >0;②4ac v b 2;③2a+b=0;④a - b+c >2.其 中正确的结论的个数是( ) A . 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 关于x 的一元二次方程kx +2x - 1=0有两 个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A.k >- 1 B.k > 1 C.k 工 0 D. k >- 1 且k 工0 11. 一元二次方程 x 2+3x+2=0的两个根为 () A.1, - 2 B. - 1 , - 2 C. - 1 , 2 D . 1 , 2 二.填空题(共 9小题) 12 .如图，有一个抛物线型拱桥，其最大高 度为 C. 2 D. 4 5.二次函数 则4a - 2b+c 的值为( 二次函数知识点归纳 一．二次函数的一般形式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)。强调a≠0． 二．性质 1. 2.y＝ax2＋c 3.y=a(x-h)2+k 4. 注：顶点在y轴上无一次项（或顶点的横坐标为0）：顶点在x轴上函数是一个完全平方式（或顶点的纵坐标为0） 三．二次函数的三种形式：1.当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。2.当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式。3.当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为 交点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2) 四．平移 五．如何将实际问题转化为二次函数问题，从而利用二次函数的性质解决最大利润问题，最大面积问题。 练习 1.已知函数4m m 2 x )2m (y -++=是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值； (2)m 为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大?(3)m 为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小? 2.抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位，得抛物线y ＝x 2－2x ＋1，求：b 与c 的值。 3.通过配方，求抛物线y ＝12 x 2－4x ＋5的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画出图象。 4.根据下列条件，求出二次函数的解析式。 (1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点。 (2)抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)。 (3)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x ＝1为对称轴。 (4)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过一次函数y ＝－ 2 3x ＋3的图象与x 轴、y 轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式。 5.如图，已知直线AB 经过x 轴上的点A(2，0)，且与抛物线y ＝ax 2相交于B 、C 两点，已知B 点坐标为(1，1)。 (1)求直线和抛物线的解析式； (2)如果D 为抛物线上一点，使得△AOD 与△OBC 的面积相等，求D 点坐标。 二次函数知识点总结大全一 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数（R ）。 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 结论：在Y 轴上，上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：在X 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： 二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴 的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质： 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值 244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ? ?? ，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． ① 二次函数 考点一 一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数． 1．结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式；②x 的最高次数是2；③二次项系数a ≠0. 2．二次函数的三种基本形式 一般形式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)； 顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h ，k)； 交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1 、x 2 是图象与x 轴交点的横坐标． 考 点二 二次函数的图象和性质 考点三 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系 考点四 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 考点五 1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 若已知条件是图象上三个点的坐标．则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式． 3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式 考点六 二次函数的应用包括两个方法 ①用二次函数表示实际问题变量之间关系． ②用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围． (1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是() A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2)D．(1，－4) (2)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为() A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋2 (3)函数y＝x2－2x－2的图象如下图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是() ② ★二次函数知识点汇总★ 初三备课组 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧；③0c ,与y 轴交于正半轴；③0 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 二次函数知识点 二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数。<＜＞≤≥ 2. 二次函数y=ax 2+bx+c 的性质 1）当a ＞0时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值 2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． （三）、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可 以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 练习 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( ) A. B. C. D. 2. 函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是( ) A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. x 轴上 D. y 轴上初三.二次函数知识点总结
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