广东省执信中学2021届高三数学上学期期中试题含答案 文

2020-2021学年度第一学期高三级数学科(文科)期中考试卷

含答案

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.

第一部分选择题(共 50 分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合}5,4,3,2,1{=U ，}2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则 )(B A U 等于

A ．}2{

B ．}5{

C ．}4,3,2,1{

D ．}5,4,3,1{ 2．已知i 是虚数单位，则i

i 13+=

A ．i 2-

B ．i 2

C ．i -

D ．i 3．已知向量)1,1(=a ，),2(n =b ，若b a ⊥，则n 等于

A ．3-

B ．2-

C ．1

D ．2 4.已知等比数列{}n a 的前三项依次为t ,2t -,3t -.则n a =

A ．142n ??? ???

B ．42n ?

C ．1

142n -??

? ???

D ．142n -?

5．下列命题：①2,x x x ?∈≥R ；②2,x x x ?∈≥R ；③2,210x x x ?∈-+>R ， ④3[0,),(log 2)1x x ?∈+∞≥中，其中正确命题的个数是

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为3

1，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）

A ．

112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14

62

2=+y x C ．

1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14

62

2=+y x 7. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数。

给出下列函数： ①x x x f cos sin )(+=； ②)cos (sin 2)(x x x f +=；

③x x f sin )(=；

④2sin 2)(+=

x x f 。

A 1

第12题图

P

其中“互为生成”函数的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④

8. 如图,正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上

运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹是 A ．线段1B C B ．线段1BC C ．1BB 中点与1CC 中点连成的线段 D ．BC 中点与11B C 中点连成的线段

9. 在区间[π,π]-内随机取两个数分别记为,a b ，则使得函数

222()2πf x x ax b =+-+有零点的概率为

A ．1-8π

B ．1-4π

C ．1- 2π

D ．1-34

π

10. 若存在正数x 使()12<-a x x 成立,则a 的取值范围是

A ．()+∞∞-,

B ．()+∞-,2

C ．()+∞,0

D ．()+∞-,1

第二部分非选择题 (共 100 分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

本大题分为必做题和选做题.

（一）必做题：第11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须

做答．

11．已知点),(y x 满足?????≤+≥≥100

y x y x ，则x y u -=的取值范围是_____* ．

12. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序. 若输入m 的值为

2, 则输出的结果i =____* ______.

13．已知圆O :22

5x y +=,直线l :cos sin 1x y θθ+=(π02

θ<<).

设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ,则k =___* _____.

（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做1题，2题全

答的，只计算前1题的得分．

14．（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为)4

cos(2π

θρ+=，则该圆的半

径是 * ．

15.（几何证明选讲选做题）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且PB PA 3=，则

=BC

PB

* 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）

已知函数()sin()f x A x ω?=+(0,0,,)2

A x ω?π

>><∈R 的图象的一部分如下图所示.

(1)求函数()f x 的解析式;

(2)当2[6,]3

x ∈--时,求函数()(2)y f x f x =++ 的最大值与最小值及相应的x 的值.

17.(本小题满分12分) 某校高三文科分为五个班.高三数学测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最

少的班被抽取了18人.抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人.

(1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人?

(2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率. 18．（本小题满分12分）

某个实心零部件的形状是如图1－7所示的几何体，其下部

是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A 1B 1C 1D 1－

ABCD ，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2.

(1)证明：直线B 1D 1⊥平面ACC 2A 2；

(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知

AB ＝10，A 1B 1＝20，AA 2＝30，AA 1＝13(单位：cm)，每平方厘米的

加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？

19．（本小题满分14分）

已知两点(1,0)M -、(1,0)N ，点P 为坐标平面内的动点，满足

NP MN ?=．

（1）求动点P 的轨迹方程；

（2）若点(),4A t 是动点P 的轨迹上的一点，(,0)K m 是x 轴上的一动点，试讨论

频率分数

90100110120130

0.05

0.100.15

0.200.250.30

0.35

0.40

80

70

直线AK 与圆22(2)4x y +-=的位置关系．

20．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 满足：11=a ，2(0)a a a =≠，n

n n a a

p a 2

12++?=（其中p 为非零常数，

*N n ∈）

． （1）判断数列}{1

n

n a a +是不是等比数列？ （2）求n a ；

（3）当1=a 时，令2

n n n

na b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ．

21．（本题满分14分）

已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()

()g x f x x

=

． （１）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q

，求m 的值； （２）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点

2020-2021学年度第一学期

高三级数学科（文科）期中考试答卷

成绩：

注意事项：1、本答卷为第二部分非选择题答题区.考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在各题目指定区域内的相应位置上答题，超出指定区域的答案无效.

2、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和

涂改液，不按以上要求作答的答案无效.

2020-2021学年度第一学期 高三级数学科(文科)期中试题答案

一、选择题：1-10：BABCD CDABD ；

二、填空题： 11、]1,1[-；12、4；13、4；14、1；15、2

1； 三、解答题：

16、解:(1)由图像知2A =,

2284T T ωπ=?==

,∴4

ωπ

=,得()2sin()4

f x x ?π

=+.……………4分，将最高点(1，2)代入，得

1424??πππ?+=?=.……………5分∴()2sin()44

f x x ππ

=+;…………6分 (2)2sin()2sin[(2)]2sin()2cos()44444444y x x x x ππππππππ

=++++=+++

=22sin()22cos 424x x πππ

+=,……………9分

∵2[6,]3x ∈--,∴3[,]426

x πππ

∈--,………………10分

∴当46x ππ=-,即23x =-时,y 的最大值为6;当4x π

=-π,即4x =-时,y 的最小值

22-.………………14分

17.(1)由频率分布条形图知,抽取的学生总数为

5

1000.05

=人. ………………2分 ∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为d , 由51810d ?+=100, ………………5分 解得1d =.………………6分

∴各班被抽取的学生人数分别是18人，19人，20人，21人,22人. ………………8分 (2)在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为 0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. ………………12分

18．解：(1)因为四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的侧面是全等的矩形，

所以AA 2⊥AB ，AA 2⊥AD ，又因为AB ∩AD ＝A ，所以AA 2⊥平面ABCD . 连接BD ，因为BD ?平面ABCD ，所以AA 2⊥BD . 因为底面ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD . 根据棱台的定义可知，BD 与B 1D 1共面．

又已知平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面BB 1D 1D ∩平面ABCD ＝BD ， 平面BB 1D 1D ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥BD .于是

由AA 2⊥BD ，AC ⊥BD ，B 1D 1∥BD ，可得AA 2⊥B 1D 1，AC ⊥B 1D 1， 又因为AA 2∩AC ＝A ，所以B 1D 1⊥平面ACC 2A 2.

(2)因为四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，

所以S 1＝S 四棱柱上底面＋S 四棱柱侧面＝(A 2B 2)2＋4AB ·AA 2＝102＋4×10×30＝1 300(cm 2)． 又因为四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形． 所以S 2＝S 四棱台下底面＋S 四棱台侧面

＝(A 1B 1) 2＋4×1

2

(AB ＋A 1B 1)h 等腰梯形的高

＝202＋4×1

2

(10＋20)

132－??

??

??12

20－10

2

＝1 120(cm 2

)．

于是该实心零部件的表面积为S ＝S 1＋S 2＝1 300＋1 120＝2 420(cm 2

)， 故所需加工处理费为0.2S ＝0.2×2 420＝484(元)． 19. （本小题满分14分）

（1）解：设(,)P x y ，则(2,0)MN =，(1,)NP x y =-，(1,)MP x y =+．………2分 由||||MN NP MN MP ?=?，

得2(1)x =+，…………………………………………………………4分 化简得24y x =．

所以动点P 的轨迹方程为24y x =．……………………………………………………5分 （2）解：由(),4A t 在轨迹24y x =上，则244t =，解得4t =，即()4,4A ．…………………6分

当4m =时，直线AK 的方程为4x =，此时直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．……………7分 当

4m ≠时，直线AK 的方程为

4

()4y x m m

=

--，即

4(4)40x m y m +--=．………………8分

圆2

2

(2)4x y +-=的圆心(0,2)到直线AK

的距离d =

，

令2d =

<，解得1m <；

令2d ==，解得1m =；

令2d =>，解得1m >．

综上所述，当1m <时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相交；

当1m =时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相切； 当

1m >时，直线AK 与圆

22(2)4

x y +-=相

离．……………………………………14分

20（1）由n n n a a p a 2

1

2

++?=，得n

n n n a a p a a 112+++?=． ……………1分 令1

n n n

a c a +=

，则1c a =，1n n c pc +=．

0≠a ，10c ∴≠，p c c

n

n =+1（非零常数），

∴数列}{1n

n a a

+是等比数列．

……………………………………………………3分

（2）

数列{}n c 是首项为a ，公比为p 的等比数列，

∴111n n n c c p a p --=?=?，即

11

n n n

a ap a -+=． ……………………………4分

当2n ≥时，2301

2

112

1

()()()1n n n n n n n a a a a a

ap ap ap a a a -----=

???

?=????

232

12

n n n a p

-+-=， (6)

分

1a 满足上式， 232

1*2

,N n n n n a a p

n -+-∴=∈． (7)

分

（3）

1221221

1()()n n n n n n n n n

a a a ap ap a p a a a --++++=?=?=， ∴当1=a 时，212

n n n n

na b np pa -+=

=． …………………………………………8分

132112n n S p p n p -∴=?+?++?， ① 232121 1(1)n n n p S p n p n p -+=?+

+-?+? ②

∴当21p ≠，即1p ≠±时，①-②得：

2213

21

21

212

(1)(1)1n n n n n p p p S p p p

np

np p -++--=++

+-=--，

即221

222

(1),1(1)1n n n p p np S p p p

+-=-≠±--． …………………………11分

而当1p =时，(1)

122

n n n S n +=++

+=

， (12)

分

当1p =-时，(1)

(1)(2)()2

n n n S n +=-+-++-=-

．………………………13分

综上所述，221

222

(1)

,1,2

(1),1,2(1), 1.(1)1n

n n n n p n n S p p p np p p p +?+=?

?+?=-=-??

?--≠±?--?

………………14分

【说明】考查了等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化、分类讨论的思想． 20. 解：（1）依题可设1)1()(2-++=m x a x g (0≠a )，则

a ax x a x g 22)1(2)('+=+=；

又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴= 1a = m x x m x x g ++=-++=∴21)1()(22， ()()2g x m

f x x x x =

=++， 设()

,o o P x y ，则2

0202020

2)()2(||x m x x y x PQ ++=-+= m m m m m x m x 2||2222222220

2

20

+=+≥++=

当且仅当20

2

20

2x m x =时，2||PQ 取得最小值，即||PQ 取得最小值2

当0>m 时，2)222(=+m 解得12-=m

当0

y f x kx k x x

=-=-+

+=(0≠x )，得()2120k x x m -++= ()*

当1k =时，方程()*有一解2m x =-

，函数()y f x kx =-有一零点2

m x =-； 当1k ≠时，方程()*有二解()4410m k ??=-->，

若0m >，11k m

>-

， 函数

()y f x kx =-有两个零点)

1(2)

1(442k k m x ---±-=

，即

1

)1(11---±=k k m x ；

若0m <，11k m

<-

， 函数

()y f x kx =-有两个零点

)

1(2)1(442k k m x ---±-=

，即

1

)

1(11---±=

k k m x ；

当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ??=--=, 11k m

=-

, 函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=

1

1

综上，当1k =时, 函数()y f x kx =-有一零点2

m x =-

； 当11k m >-

(0m >)，或1

1k m

<-（0m <）时， 函数()y f x kx =-有两个零点1

)

1(11---±=k k m x ；

当11k m =-时，函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=1

1.