10.角平分线性质与判定培优练习

第1题图

第2题图

第3题图

第4

题图

第5题图

第6题图

第7

题图

第8题图

第9题图

第10题图

10. 角平分线性质与判定培优 姓名： 01．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面

积是（ ）A ．

13

mn B ．

12

mn C ． mn D ．2 mn

02．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；④∠PBC

＝∠PCB .其中正确的结论个数有（ ）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4

03．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S .若AQ ＝

PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP.其中正确的是（ ） A ． ①③ B ．②③ C ．①② D ．①②③

04．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结

论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（ ） A ．②③

B ．②④

C ．②③④

D ．①②③④

05．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E

点，则∠AEB 的度数为（ ）A ．50°

B ．45°

C ．40°

D ．35°

06．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，给出下列

结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ） A ．①②③④ B ．①②③

C ．①②④

D ．②③④

07．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）

A ．点P 到△ABC 三边的距离相等

B ．点P 在∠AB

C 的平分线上

C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°

D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝1

2∠P

08．如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，BD 与CD 相交于D .给出下列结论：①点D 到AB 、AC 的距

离相等；②∠BAC ＝2∠BDC ；③DA ＝DC ；④DB 平分∠ADC .其中正确的个数是（ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

09．如图，△ABC 中，∠C ＝90°AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，下列结论中：①AD 平分∠CDE ；

②∠BAC ＝∠BDE ；③ DE 平分∠ADB ；④AB ＝AC ＋BE .其中正确的个数有（ ） A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．4个

10．如图，已知BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q 到BC 、AC

和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是_________

l 2第1

题图

第3题图

第4题图

第5题图

11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC .求证：BE ＝CF

12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：AD ⊥EF .

01．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相

等，则可选择的地址有（ ）A ．一处

B ．二处

C ．三处

D ．四处

03．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的平分线，有一个动点P 从A 向B 运动.已知：DC ＝3cm ，

DB ＝4cm ，AD ＝8cm .DP 的长为x (cm )，那么x 的范围是__________

04．如图，已知AB ∥CD ，PE ⊥AB ，PF ⊥BD ，PG ⊥CD ，垂足分别为E 、F 、G ，且PF ＝PG ＝PE ，则∠

BPD ＝__________

05．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠CAB 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC ，且OE ＝2，则两平行线AB 、

CD 间的距离等于__________

06．如图，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD ，垂足为P ，EF 的延长线于BC 的延长线相交于点G .

求证：∠G ＝1

2

(∠ACB －∠B )

07．如图,在△ABC 中,AB ＞AC ,AD 是∠BAC 的平分线,P 为AC 上任意一点.求证:AB －AC ＞DB －DC

08．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别为

∠BAC 、∠ABC 的角平分线上.求证：BQ ＋AQ ＝AB ＋BP

09．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求ACD

CBD

S S ??

10如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝12

BD

11．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD .

12．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F . ⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .

《角平分线的性质定理及其逆定理》教学设计-01

《角平分线的性质定理及其逆定理》教学设计 教学设计思想： 通过前面的学习已经探究出角平分线上的点所具有的性质，本节学习对这个性质进行证明.让学生完成对三角形全等的判定公理的推论的证明，进而应用这个公理完成对角平分线性质定理的证明，对于平分线的性质定理的逆定理仿照上节课处理线段垂直平分线逆命题的思路，引导学生解决与定理和逆定理的有关问题.对于尺规作角平分线，要让学生明白每步做法的依据.最后通过例题的学习来巩固这些知识点. 教学目标： 知识与技能： 总结角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明； 说出用尺规作角平分线的依据； 能够熟练地按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明. 过程与方法： 经历用尺规作角平分线的过程； 经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力； 情感态度价值观： 通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略； 愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见. 教学重点和难点： 重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用； 难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用. 解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出做题的方法. 教学方法： 启发引导、小组讨论 课时安排： １课时 教具学具准备： 投影仪或电脑、三角板 教学过程设计： （一）角平分线的性质定理 我们已经探究出角平分线上的点所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？

角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 证明角平分线的性质定理时，我们将用到三角形全等判定公理的推论： 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）. 做一做 证明三角形全等判定公理的推论. 注：让学生独立按照证明的格式完成对“AAS”定理的证明，作为证明本节定理的依据. 证明略. 利用上面你已经证明的推论，可以对角平分线的性质定理给出如下的证明. 已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)， ∴∠1=∠2(角平分线的定义). ∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， ∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义). 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO (已证)， ∠1＝∠2(已证)， OP＝OP(公共边)， ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等). （二）角平分线性质定理的逆定理 做一做 1.请写出角平分线性质定理的逆命题. 2.请根据逆命题的内容，画出图形，并结合图形，写出已知和求证.

角平分线的性质定理和判定(经典)

角平分线的性质定理和判定 第一部分：知识点回顾 1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离； 3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上 第二部分：例题剖析 例1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E， AB=15cm， （1）求证：BD+DE=AC． （2）求△DBE的周长． 例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB． 例3. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC 的面积是多少？ 第三部分：典型例题

例1、已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交 于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC． 【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180o 例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC． （1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论； （2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由． （3）CD、AB、AD间？直接写出结果 【变式练习】如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上． 例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm， 2 1 N P F C B A

《角平分线的性质》教学设计-参考模板

12.3 角的平分线的性质（第1课时）教案 一、教学分析 1．教学内容分析 本节课是新人教版教材《数学》八年级上册第12.3节第一课时内容，是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用．作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律． 2．教学对象分析 刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础． 3．教学环境分析 利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律．根据如今各学校实际教学环境及本节课的实际教学需要，我选择多媒体教学系统辅助教学，将有关教学内容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变．这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握． 二、教学目标 1、知识与技能： （1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法． （2）理解角的平分线的性质并能初步运用．

角平分线的性质定理和判定定理(含答案)

几何专题2：角平分线的性质定理和判定定理 一、 知识点(抄一遍)： 1. 角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线. 2. 角平分线的性质定理： 角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. 3. 角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 二、 专题检测题 1. 证明角平分线的性质定理. （注意：证明文字性命题的三个步骤：①根据题意，画出图形；②写出已知和求证；③写出证明过程.） 2. 证明角平分线的判定定理. 3. 定理的几何语言表示 （1）角平分线的性质定理： ∵ ， ∴ . （2）角平分线的判定定理： ∵ ， ∴ . 4. 已知：如图所示，BN 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，BN 、CP 相交于O 点，连接AO ，并延长交BC 于M 求证：AM 是∠BAC 的角平分线. 5. 如图，已知BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，点E ，F 为垂足，D 是BE 与CF 的交点，AD 平分∠BAC. 求证：BD=CD. B

6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC. AD 是∠CAB 的平分线. 求证：AB=AC+CD. 7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB. 8. 如图,已知P 是∠AOB 平分线上的一点.PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是点C ，D ，CD 与OP 交于点M. 求证：（1）∠PCD=∠PDC ； （2）OP 是CD 的垂直平分线； （3）OC=OD. O

几何专题2：角平分线的性质定理和判定定理答案 1. 证明角平分线的性质定理. 已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上， PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E 求证: PD=PE 证明：∵OC 平分∠ AOB ∴ ∠1= ∠2 ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴∠PDO= ∠PEO 在△PDO 和△PEO 中 ∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2 OP=OP ∴△PDO ≌ △PEO(AAS) ∴PD=PE 2. 证明角平分线的判定定理. 已知：如图,PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，PD ＝PE ． 求证：点P 在∠AOB 的平分线上 证明: 经过点P 作射线OC ∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴ ∠PDO ＝∠PEO ＝90° 在Rt △PDO 和Rt △PEO 中 PO ＝PO PD=PE ∴ Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ） ∴ ∠ POD ＝∠POE ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 3. 定理的几何语言表示 （1）角平分线的性质定理： ∵ OP 平分∠AOB ，DP ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴ DP=EP. （2）角平分线的判定定理： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD ＝PE ． ∴ OP 平分∠AOB ． O O

三角形培优训练100题集锦

E D F C B A 三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

七年级数学下册 角平分线的性质教案

第3课时 角平分线的性质 1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点) 2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点) 一、情境导入 问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线的性质 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，∠FDC ＝∠BDE .试说明：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB . 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即DE ＝DC .再根据△CDF ≌△EDB ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质可得△ADC 和△ADE 全等，从而得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行求解． 解：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .∵在△CDF 和△EDB 中，∵?????∠C ＝∠DEB ＝90°，DC ＝DE ，∠FDC ＝∠BDE ， ∴△CDF ≌△EDB (ASA)．∴CF ＝EB ； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ＝90°.在△ADC 和△ADE 中，∵?????∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ，AD ＝AD ， ∴△ADC ≌ △ADE (AAS)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .

(新)角平分线的性质和判定经典题

角平分线的性质和判定复习 一知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） 思考：这一画法的根据是什么？ 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质： 文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 几何表达： ∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知） ∴PA＝PB．（角平分线的性质） 思考：这一性质定理的根据是什么？ （2）角平分线的判定： 文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 几何表达： ∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知） ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定） 二、典型例题 角平分线的性质一 例题1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边距离相等 例题2 如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，则求DE的长.

例题3 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证： CF=EB。 D F E C B A 例题4 已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C. 例题5 已知:如图所示,点O在∠BAC的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,垂足分别为D，E,求证：OB＝OC. 例题6 如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB的周长. A F D E B

角平分线的性质典型例题

【典型例题】 例1.已知：如图所示，/ C=/ C'= 90 °, AC= AC 求证：（1）Z ABC=Z ABC ; （2）BO BC（要求：不用三角形全等判定）. 分析：由条件/ C=Z C = 90°, AO AC，可以把点A看作是/ CBC平分线上的点，由此可打开思路. 证明：（1）vZ C=Z C = 90°（已知）， ??? ACL BC, AC丄BC （垂直的定义）. 又??? AO AC （已知）， ???点A在/CBC勺角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）. ? / ABC=Z ABC. （2）vZ C=Z C；Z ABC=Z ABC, ?180°—（/ C+Z ABC = 180°—（/ C '+/ ABC）（三角形内角和定理）即/ BAC=Z BAC, ??? AC L BC, AC L BC, ?BO BC （角平分线上的点到这个角两边的距离相等）. 评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性. 例 2.女口图所示，已知△ ABC中, PE// AB交BC于E, PF// AC交BC于F, P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分Z BAC 并说明理由. 分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理.根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出Z 1 = Z 2,再利用平行线推得Z 3=Z 4,最后用角平分线的定义得证. 解：AD平分Z BAC ??? D到PE的距离与到PF的距离相等， ???点D在Z EPF的平分线上. ? Z 1 = Z 2. 又??? PE// AB ???/ 1 = Z 3.

七年级数学三角形的高中线与角平分线练习题

7.1.2 三角形的高、中线与角平分线 7.1.3 三角形的稳定性 基础过关作业 1．以下说法错误的是（） A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D．三角形的三条高可能相交于外部一点 2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，?那么这个三角形是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．如图1，BD=1 2 BC，则BC边上的中线为______，△ABD的面积=_____的面积． (1) (2) (3) 4．如图2，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，则△BOC?的三条高分别为线段________．5．下列图形中具有稳定性的是（） A．梯形 B．菱形 C．三角形 D．正方形 6．如图3，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD?与△ACD的周长之差．

7．如图，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，垂足为点D，且BD=CD．?可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？ 综合创新作业 8．（综合题）如图5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 9．有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，?由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．

10．（创新题）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC =4cm 2，求S △ABE ． 11．（2004年，陕西）如图，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，?且CD 、BE 交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC 的度数是（ ） A ．150° B ．130° C ．120° D ．100° 培优作业 12．（探究题）（1）如图7-1-2-9，AD 是△ABC 的角平分线， DE ∥AB ，DF ∥AC ，EF 交AD 于点O ．请问：DO 是△DEF 的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． （2）若将结论与AD 是△ABC 的角平分线、DE ∥AB 、DF ∥AC 中的任一条件交换，?所得命题正确吗？ 13．（开放题）要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n 边形木架呢？

角平分线的性质和判定(人教版)(含答案)

角平分线的性质和判定（人教版） 试卷简介:本套试卷主要测试学生角平分线的性质和判定，检测学生数学中“见到什么想什么”的模块化思维过程，逐步培养学生数学学习中有序思考的能力。 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( ) A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB垂直平分OP 答案：D 解题思路： ①根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可以得到PA=PB，A正确； ②角平分线可以看成一个角的对称轴，对称轴两侧的图形全等，即△APO≌△BPO， ∴B，C正确． 只有D选项不一定正确，所以选D 试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质 2.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B

解题思路： ①如图， 过点P向OM作垂线，垂足为Q．根据直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短，PQ 即为最小值； ②根据角平分线的性质，PQ=PA=2，选B 试题难度：三颗星知识点：垂线段最短 3.如图,已知点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC等于( ) A.110° B.120° C.130° D.140° 答案：A 解题思路： ①由点O到△ABC三边的距离相等，可知点O是△ABC三个角的角平分线； ②设， 分别在△ABC和△BOC中利用三角形内角和定理， 可得：，整体代入可得： ，选A

试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质与判定 4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,给出下列结论:①DC=DE;②DA平分∠CDE;③DE平分∠ADB;④BE+AC=AB;⑤∠BAC=∠BDE.其中正确的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 答案：C 解题思路： （1）根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可以得到DE=DC， ∴①正确； （2）角平分线可以看成一个角的对称轴，对称轴两侧的图形全等，即△ADC≌△ADE， ∴∠EAD=∠CAD，AE=AC， ∴②，④正确，③不正确； （3）∵∠BAC+∠B=90°，∠BDE+∠B=90°，根据同角的余角相等， ∴∠BAC=∠BDE， ∴⑤正确； 综上，正确序号为①②④⑤，共有4个，选C 试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质 5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和 N,再分别以M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点 D,则下列说法中正确的是( ) ①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③DA=DB;

角平分线的性质定理教案

角平分线的性质定理教案 慧光中学：王晓艳 教学目标：（1）掌握角平分线的性质定理； （2）能够运用性质定理证明两条线段相等； 教学重点：角平分线的性质定理及它的应用。 教学难点：角平分线定理的应用； 教学方法：引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法 教学过程： 一，新课引入： 1．通过复习线段垂直平分线的性质定理引出角平分线上的点具有什么样的特点 操作：（1）画一个角的平分线； （2）在这条平分线上任取一点P，画出P点到角两边的距离。 （3）说出这两段距离的关系并思考如何证明。 2．定理的获得： A、学生用文字语言叙述出命题的内容，写出已知，求证并给予证明， 得出此命题是真命题，从而得到定理，并写出相应的符号语言。 B、分析此定理的作用:证明两条线段相等； 应用定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离。 3．定理的应用 二．例题讲解： 例1：已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。 求证：PE=PF （此题已知中有垂直，缺乏角平分线这个条件）

例2：已知：如图，⊙O与∠MAN的边AM交于点B、C，与边AN交于点 E、F， 圆心O在∠MAN的角平分线AQ上。 求证：BC=EF （此题已知中有角平分线，缺乏垂直这个条件） 三：课堂小结： ①应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂 直距离; ②若图中有角平分线,,可尝试添加辅助线的方法:向角的两边引垂线段.四：巩固练习 1．已知：如图，△ABC中，D是BC上一点，BD=CD，∠1=∠2求证：AB=AC 分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌△ACD，所以必须添加一些线帮助解题。

八年级数学：角平分线的性质及判定练习(含答案)

T Q P N M O E D C B A 八年级数学：角平分线的性质及判定练习（含答案） 一、选择题 1．三角形中，到三边距离相等的点是（ ） （A ）三条高线交点． （B ）三条中线交点． （C ）三条角平分线交点． （D ）三边垂直平分线交点． 2．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△NMP 的角平分线，MT ＝MP ，连结TQ ，则下列结论不正确的是（ ） （A ）TQ ＝PQ ． （B ）∠MQT ＝∠MQP ．（C ）∠QTN ＝90o ． （D ）∠NQT ＝∠MQT ． （第2题） （第3题） （第4题） 3．如图，AB ＝AC ，AE ＝AD ，则①△ABD ≌△ACE ；②△BOE ≌△COD ；③O 在∠BAC 的平分线上， 以上结论（ ） （A ）都正确． （B ）都不正确． （C ）只有一个正确． （D ）只有一个不正确． 4．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 为∠ABC 的平分线，∠BDC ＝60o ，则∠A 的度数是（ ） （A ）10o ． （B ）20o ． （C ）30o ． （D ）40o ． 5．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是（ ） （A ）直角三角形． （B ）等腰三角形． （C ）等边三角形． （D ）等腰直角三角形． 6．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是（ ） （A ）DE ＝DF ． （B ）ME ＝MF ． （C ）AE ＝AF ． （D ）BD ＝DC ． 7．已知：如图，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，BE 、CF 相交于 D ，∠A ＝50o ，则∠BDC 的度数是（ ） （第6题） （A ）70o ． （B ）120o ． （C ）115o ． （D ）130o ． 8．已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90o ，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ， OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，CA ＝6cm ，则点O 到三边AB 、AC D C B A M F E C B A

《角平分线的性质》(课时)教案

12.3 《角的平分线的性质》教案设计 （第1课时） 利川市忠路镇初级中学钟金荣 教案目标 知识与技能： 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法； 2、理解角的平分线的性质并能初步运用。 过程与方法： 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。 教案重点： 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。 教案难点： 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。 教案过程： 一、创设情景

学生结合导学案，独立思考，小组交流完成。 二、探究体验 探究一 学生在导学案上完成，请一名学生板书到黑板上。探究二：

结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．教师归纳，强调定理的条件和作用．

三、合作交流 判断正误，并说明理由： （1）如图1，P 在射线OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，则PE =PF ． （2）如图2，P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，E 、F 分别在OA 、OB 上，则 PE =PF ． （3）如图3，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，若P 到OA 的距离为3cm ，则P 到OB 的距离边为3cm ． A O B P E 图2 图3 A B P E A O B P E F 图1

四、完成导学案练习 1．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝5， CD ＝2. 求：（1）点D 到AB 的距离； （2）△ABD 的面积. 2 五、课堂小结 六、作业 教材第51页第2、3题 七、板书设计： 12.3 角的平分线的性质

角平分线的性质定理和判定经典习题

角平分线的性质定理和判 1.已知：在等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°， AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，AB=15cm ， （1）求证：BD+DE=AC ． （2）求 △DBE 的周长． 2. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 中点， DM 平分∠ADC ， 求证：AM 平分∠DAB ． 3. 如图，已知△ABC 的周长是22，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ， 且OD=3，△ABC 的面积是多少？ 4.已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ， 求证：OB=OC ． 5. 如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点， PF ⊥BC 于F ，PA=PC ， 求证：∠PCB+∠BAP=180o 2 1N P F C B A

7.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC． （1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论； （2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由． （3）CD、AB、AD间有什么关系？直接写出结果 8.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点． 求证：点P在∠C的平分线上． 9.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线， DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm， 求△ABC的面积． 9.如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点， CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC． 10.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C， BF=CF。求证：AF为∠BAC的平分线。

角平分线性质教学反思

课题：角平分线的性质 学习目标：1、了解角平分线的性质．能够根据性质解决简单问题； 2、在动手操作过程中，培养动手操作能力与探索精神． 重点：角分线的性质证明及运用用 难点:性质的探究 一、复习旧知识 1、如图，已知OC 平分∠AOB ， 则 = = 2 1 =2 =2 2、如图AOB ∠内有一点P ， ①过点P 作OA 、OB 的垂线段PD 、PE ②PD 的长度叫做点P 到OA 的 ③PE 的长度叫做点P 到OB 的 二、想一想 如图是一个平分角的仪器模型，其中DC BC AD AB ==,，可以得到AC 平分 BAD ∠和BCD ∠,你能说明它的道理吗？ 三、动手做一做（跟老师来做一做） （1）将∠AOB 对折（折痕是∠AOB 的什么线？） （2）再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边） （3 猜想：PD 和 PE 大小如何？ 验证猜想 已知：OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上， PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E 求证: PD=PE 由此我们得到角平分线的性质：角的平分线上的 书写格式 ∵OC 平分 ，PD ⊥OA ∴PD=PE E B

四、练一练 1、如图，已知∠1 =∠2，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， 则 = （ ） 2、如上图判断： （1）AD 是∠BAC 的平分线，则DE=DF （ ） （2）DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 则DE=DF （ ） 3．如右图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ． 下列结论中错误的是 ( ) A ．PC = PD B ．O C = OD C ．∠CPO = ∠DPO D ．OC = PC 4.Rt 90ABC C BAC ∠∠ 在△中，＝，的角平分线AD 交BC 于点D ， 2CD ＝，则点D 到AB 的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、如图，在ABC ?中，C ∠是0 90,AD 是CAB ∠的角平分线，AB DE ⊥于点E ， 5,8==BD BC ，①求DE 的长, ②求证：BE AC AB += 6．如图，在△ABC 中，∠A=0 90，AC=AB ，BD 平分∠BAC ，DE ⊥BC ，BC=8， 求证①ED AD =②求证②BE AB =③求△DEC 的周长． 五、小结：通过本节课的学习，你对角的平分线有了哪些新的认识？谈谈感受！ 六、布置作业： A B C D O P A B C D E

(完整word版)垂直平分线角平分线培优提高练习

垂直平分线角平分线培优提高练习 一．选择题（共6小题） 1．如果三角形内有一点到三边距离相等，且到三顶点的距离也相等，那么这个三角形的形状是（） A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形 2．下列各语句中不正确的是（） A．全等三角形的周长相等B．全等三角形的对应角相等 C．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等 3．如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下： （甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求； （乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（） A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确 4．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，已知∠MAN=74°，∠DBC=41°，则∠ADC度数为（） A．45°B．47°C．49°D．51° 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（） A．B．C．D．6 6．如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF的度数为（）

A．50°B．60°C．70°D．80° 二．填空题（共5小题） 7．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE=30°，则∠BAC等于． 8．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF=． 9．在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E．若BC=10，DE=4，则AD+AE=．10．△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线，AB=2AC，且BC=18cm，则BE的长度是．11．如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，△PMN的周长为． 三．解答题（共6小题） 12．如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD． 13．已知如图，CD是RT△ABC斜边上的高，∠A的平分线交CD于H，交∠BCD的平分线于G，求证：HF∥BC． 14．在△ABC中，AB边的垂直平分线交直线BC于点D，垂足为点F，AC边的垂直平分线交直线BC于点E，垂足为点G． （1）当∠BAC=100°（如图）时，∠DAE=°；

第5讲 角平分线的性质及判定综合

第5讲 角平分线的性质及判定综合 作已知角的角平分线 如图，作∠AOB 的平分线的步骤 （1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N 。 （2）分别以点M 、N 为圆心，大于 2 1 MN 为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C 。 （3）连射线OC ，射线OC 即为所求。 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等。 符号语言： 如图，已知OC 是∠AOB 的角平分线，点P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于E ，则PD=PE 。 角的平分线的性质的推导： 已知，如上右图，OC 是∠AOB 的角平分线，点P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于E ，求证：PD=PE 。 证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB （已知） ∴∠ODP=∠OEP=900（垂直的定义） 又∵OC 平分∠AOB （已知） ∴∠AOC=∠BOC （角的平分线定义） 在Rt △DOP 和Rt △EOP 中 ??? ??=∠=∠∠=∠OP OP OEP ODP BOC AOC ∴Rt △DOP ≌Rt △EOP （AAS ） ∴PD=PE （全等三角形的对应边相等） 扩充：到三角形三边距离相等的点，是三条角平分线的交点。 练习： 1.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且BC=8cm ，BE=4cm ，则△BDE 的周长为________cm 。 2.在△ABC 中，∠C=90°，AM 平分∠CAB ，BM=6.2cm ，点M 到AB 的距离为2cm ，BC=_____ 3.在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=32，且BD ∶CD=9∶7，则D 到AB 的距离为 . A B C D E O P

人教版2020年八年级数学上册《角平分线性质》培优练习卷(含答案)

人教版2020年八年级数学上册 《角平分线性质》培优练习卷 一、选择题 1.如图，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落 在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（） A．25° B．30° C．35° D．40° 2.如图，已知∠AOB． 按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD． ②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E， 连接CE，DE． ③连接OE交CD于点M． 下列结论中错误的是( ) A．∠CEO=∠DEO B．CM=MD C．∠OCD=∠ECD D．S四边形OCED=CD?OE 3.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三 角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（） A.1：1：1 B.1：2：3 C.2：3：4 D.3：4：5 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC=7， 则AE的长为（） A.4 B.5 C.6 D.7 5.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分 ∠ABF，AE=2BF.给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AB=3BF，其中正确的结论共有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个 6.如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F， AB=6，AC=3，则BE=（） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1.5 7.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=6cm，则△DEB的 周长是（） A.6cm B.4cm C.10cm D.以上都不对 8.如图，已知OQ平分∠AOB，点P为OQ上任意一点，点N为OA上一点，点M为OB上一点，若 ∠PNO+∠PMO=180°，则PM和PN的大小关系是（） A.PM＞PN B.PM＜PN C.PM=PN D.不能确定 9.如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接PB，PC．若 PD=PE=PF，∠BAC=70°，则∠BPC的度数为（） A．25° B．30° C．35° D．40° 10.如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）

角平分线性质练习题集

４ 分层练习, 评价自我 活动四 做一做 练习一： 判断：（1）OP 是∠AOB 的平分线，则PE=PF （ ） （2）PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F 则PE=PF （ ） （3）在∠AOB 的平分线上任取一点Q ，点Q 到OA 的距离等于3cm,则点Q 到OB 距离等于3cm （ ） 练习二 判断:1、若PE=PF ，则OP 是∠AOB 的平分线。( ) 2、若PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则OP 是∠AOB 的平分线。( ) 3、已知Q 到OA 的距离等于3cm, 且Q 到OB 距离等于3cm ，则Q 在∠AOB 的平分线上（ ） 练习三 如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。 (1)求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等 。 (2)点P 在角A 的平分线上吗？ (3)三角形的三条角平分线有什么关系呢？ ５ 课堂反思，强化思想 活动五 想一想 （1）这节课我们帮助别人解决了什么问题？你是怎么做到的？ （2）你感悟到了什么？ ６ 布置作业，指导学习

1、必做题：教材：第2题。 2、选做题：教材：第3题。 板书设计 角平分线的性质角平分线的判定 ∵PA=PB ∵OP平分∠AOB， 又∵PA⊥OA，PB⊥OB 又∵PA⊥OA, PB⊥OB ∴OP平分∠AOB ∴PA=PB 到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线上的点到角的两边距离相等 测试目标：探索并掌握角平分线性质 11.3角平分线性质（1） 一、选择题 1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误 的是( ) A．PC = PD B．OC = OD C．∠CPO = ∠DPO D．OC = PC 2．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，D E⊥AB于E， A B C D O P D C

_角平分线的性质和判定(包含答案)

角平分线的性质和判定 （1）以的顶点为圆 心，任意长为半径画弧，分别交 、于点、； （2）分别以点、为圆心， 大于长为半径画弧，相交 于点； （3）连接点和并延长，则 射线就是的角平分线 若DP=EP，则点P在∠AOB的角 平分线上 一．考点：角平分线的尺规作图，角平分线的性质和判定

二．重难点：角平分线的性质和判定 三．易错点： 1．角平分线的性质和判定混淆不清导致解题出错． 题模一：尺规作图 例1.1.1如图，已知M、N分别是AOB ∠的边OA上任意两点． （1）尺规作图：作AOB ∠的平分线OC； （2）在AOB +的值最小．（保留作图痕迹，不写画法）∠的平分线OC上求作一点P，使PM PN 例1.1.2作图题：（简要写出作法，保留作图痕迹） 如图，已知点M，N和∠AOB，求作一点P，使P到点M，N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等． 题模二：性质 例1.2.1如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8， 则点P到BC的距离是（） A.8 B.6 C.4 D.2 例1.2.2如图，在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB＝7，BC＝8，AC＝9，则BP＋CQ－AR＝________．

例 1.2.3 如图，已知ABC ?的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ?的面积． 题模三：判定 例1.3.1 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥CB 于点B ，DC ⊥BC 于点C ，DE 平分∠ADC ，且点E 为BC 的中点，连接AE ． （1）求证：AE 平分∠BAD ； （2）求∠AED 的度数． 例 1.3.2 以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠． 随练1.1 尺规作图（保留作图痕迹，写出结论，不写作法） 如图，两条公路EA 和FB 相交于点O ，在AOB ∠的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使货站P 到两条公路EA 、FB 的距离相等，且到两工厂C 、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置． F A B C D E O O E D C B A