三角函数图像与性质知识点总结材料和经典题型
函数图像与性质知识点总结和经典题型
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2．三角函数的单调区间：
求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；
x y sin =的递增区间是??????
+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是??
????
++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，
-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，
x y tan =的递增区间是??? ??
+-22ππππk k ，)(Z k ∈，
3．对称轴与对称中心：
sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；
tan y x =无对称轴，对称中心为k 2
(,0)π
；
对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。
4．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA
最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω
π
2=
T ，频率是π
ω
2=
f ，相位是?ω+x ，初
相是?；其图象的对称轴是直线)(2
Z k k x ∈+
=+π
π?ω，凡是该图象与直线
B y =的交点都是该图象的对称中心。
y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：
①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点
2
；
②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点
2；
③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2π
ω
(ω>0)来确定ω；
④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的围确定φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φ
ω
)确定φ. 5.三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩
sin y x =的图象???0)或向右(0)
平移个单位长度
得sin()y x ?=+的图象()
ωωω
?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)
1
到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)
为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0)
k k k >
得sin()y A x k ?=++的图象． 先伸缩后平移
sin y x =的图象(1)(01)
A A A ><
得sin y A x =的图象(01)(1)
1
()
ωωω
<<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变
得sin()y A x ω=的图象
(0)(0)???ω
>
个单位
得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0)
k k k >
得sin()y A x k ω?=++的图象． 6．由y ＝A sin(ωx ＋?)的图象求其函数式：
给出图象确定解析式y =A sin （ωx +?）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－
ω
?
，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。 7．求三角函数的周期的常用方法：
经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。
函数y ＝Asin(ωx ＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π
|ω|
，
y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π
|ω|
.
8．五点法作y =A sin （ωx +?）的简图：
五点取法是设x =ωx +?，由x 取0、2
π、π、
2
π
3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
9. 求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；
由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x ∈R ，恒有－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，.
(2)形式复杂的函数应化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：
y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1).
三角函数的图象及常用性质
对称性
对称中心：(kπ，0)(k∈
Z)；对称轴：x＝
π
2
＋kπ
(k∈Z)
对称中心：(
π
2
＋kπ，0)(k∈Z)；
对称轴：x＝kπ(k∈Z)
对称中心：(
kπ
2
，
0)(k∈Z)
四．典例解析
题型1：三角函数的图象
例1．（全国，5）函数y＝－xc os x的部分图象是（）
解析：因为函数y＝－xc os x是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除
A、C，当x∈（0，
2
π
）时，y＝－xc os x＜0。答案为D。
题型2：三角函数图象的变换
（）将函数sin
y x
=的图像上所有的点向右平行移动
10
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
（A）sin(2)
10
y x
π
=-（B）y=sin(2)
5
x
π
-
（C）y=
1
sin()
210
x
π
-（D）
1
sin()
220
y x
π
=-
解析：将函数sin
y x
=的图像上所有的点向右平行移动
10
π
个单位长度，所得函数图象的解
析式为y＝sin(x－
10
π
) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
1
sin()
210
y x
π
=-.
题型3：三角函数图象的应用
例1：函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<
π
2
)的部分图象如图所示．求f(x)的解析式；
解：由图可知A＝2，
T
4
＝
π
3
，则
2π
ω
＝4×
π
3
∴ω＝
3
2
.
又f(－
π
6
)＝2sin[
3
2
×(－
π
6
)＋φ]＝2sin(－
π
4
＋φ)＝0 ∴sin(φ－
π
4
)＝0
∵0<φ<
π
2
，∴－
π
4
<φ－
π
4
<
π
4
∴φ－
π
4
＝0，即φ＝
π
4
∴f(x)＝2sin(
3
2
x＋
π
4
)．
例2．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.
解析：由图可知，T 2＝2π－3
4
π，
∴T ＝52π，∴2πω＝52π，∴ω＝45
，
∴y ＝sin(4
5x ＋φ)．
又∵sin(45×3
4π＋φ)＝－1，
∴sin(3
5π＋φ)＝－1，
∴35π＋φ＝3
2
π＋2k π，k ∈Z . ∵－π≤φ<π，∴φ＝910π. 答案：9
10
π
例3．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.
解析：由图象知T ＝2(2π3－π
6
)＝π.
∴ω＝2πT ＝2，把点(π6，1)代入，可得2×π6＋φ＝π2，φ＝π6
.
例4．(卷改编)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ) 的图象如图所示，f (π2)＝－23
，则f (0)＝
________.
解析：T 2＝1112π－712π＝π3，∴ω＝2π
T ＝3.
又(7
12π，0)是函数的一个上升段的零点， ∴3×712π＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，得φ＝－π
4
＋2k π，k ∈Z ，
代入f (π2)＝－23，得A ＝223，∴f (0)＝23
.
.
,0)(sin(.5求这个函数的解析式的图象的一部分，右图所示的曲线是例>>+=ω?ωA x A y
解：由函数图象可知
52
y
o x
π
6
π
).
3
2sin(2.
32652065(2
2,)1265(34,2π
π?π?ππωπω
π
πππ+
=∴=∴=+?=∴==-==x y T A 所求函数的解析式为，即第五个点，
）是“五点法”作图的，又，
即 .)sin(6析式的图象的一段，求其解右图为例?ω+=x A y ： 解1：以点N 为第一个零点，则,3-=A
,)3
65(
2ππ
π=-=T )
3
2sin(3.3
026
)
0,6().2sin(3,2π
π
??π
π
?ω+
-=∴=
?=+?-
∴-+-==∴x y N x y 所求解析式为点此时解析式为
解2：以点)0,3
(
π
M 为第一个零点，则,22,3==
=T
A π
ω 解析式为),2sin(3?+=x y 将点M 的坐标代入得,3
203
2π??π
-
=?=+?
).3
22sin(3π
-
=∴x y 所求解析式为 小结：
的表达式：求函数)sin(?ω+=x A y
;.1由图像中的振幅确定A
;.2由图像的周期确定ω
代点法平移法
常用的两种方法：
求)2( )1( .3?
题型4：三角函数的定义域、值域
已知函数()2sin()cos f x x x π=-.
（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,62ππ??-????上的最大值和最小值.
解：（1）∵()()2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x π=-==
∴函数()f x 的最小正周期为π.
-
三角函数图像与性质知识点总结和经典题型
三角函数图像与性质经典题型 题型1：三角函数的图象 例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ） 解析：因为函数y ＝－xc os x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所 以排除A 、C ，当x ∈（0， 2 π ）时，y ＝－xc os x ＜0。 题型2：三角函数图象的变换 例2．试述如何由y =31sin （2x +3 π ）的图象得到y =sin x 的图象。 解析：y =31sin （2x +3π））（纵坐标不变倍 横坐标扩大为原来的3 πsin 312+=?????????→?x y x y sin 313 π =????????→?纵坐标不变个单位图象向右平移 x y sin 3=?????????→?横坐标不变 倍 纵坐标扩大到原来的 例3．（2003上海春，15）把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移 2 π 个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲 线方程是（ ）A ．（1－y ）sin x +2y －3=0B ．（y －1）sin x +2y －3=0C ．（y +1）sin x +2y +1=0 D ．－(y +1)sin x +2y +1=0 解析：将原方程整理为：y = x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π 个单位和1个单位，因此可得 y = ) 2 cos(21π -+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0. 题型3：三角函数图象的应用 例4．（2003上海春，18）已知函数f （x ）=A sin （ωx +?）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图所示，求直线 y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标。 解析：根据图象得A =2，T = 27π－（－2π）=4π，∴ω=21，∴y =2sin （2 x +?），又由图象可得相位移为－2π，∴－2 1? = － 2 π，∴?= 4π.即y =2sin （21x +4π）。根据条件3=2sin （4 21π+x ），∴421π+x =2k π+ 3π(k ∈Z )或 4 21π+x =2k π+32 π（k ∈Z ），∴x =4k π+ 6 π （k ∈Z ）或x =4k π+ 65π（k ∈Z ）。∴所有交点坐标为（4k π+3,6 π）或（4k π+3,65π ）（k ∈Z ）。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。 题型4：三角函数的定义域、值域 例5．（1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （c os x ）的定义域；（2）求函数y =lgsin （c os x ）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤c os x ≤1，（2）要使sin （c os x ）＞0，这里的c os x 以它的值充当角。 解析：（1）0≤c os x ＜1?2k π－ 2π≤x ≤2k π+2π，且x ≠2k π（k ∈Z ）∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－2 π ，2 k
导数及其应用(知识点总结)
导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'' ()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数
三角函数的图像与性质练习题
. 三角函数的图像与性质练习题 正弦函数、余弦函数的图象 A组 1.下列函数图象相同的是() A. y= sin x 与 y=sin(x+ π) B.y= cos x 与 y= sin - C.y= sin x 与 y=sin( -x) D.y=- sin(2π+x )与 y= sin x 解析 :由诱导公式易知 y= sin- = cos x,故选 B . 答案 :B 2.y= 1+ sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y= 2 交点的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 解析 :作出 y= 1+ sin x 在 [0,2 π]上的图象 ,可知只有一个交点. 答案 :B 3.函数y= sin(-x),x∈[0,2π]的简图是() 解析 :y=sin( -x)=- sin x,x∈ [0,2 π]的图象可看作是由y= sin x,x∈ [0,2 π]的图象关于 x 轴对称得到的 ,故选B. 答案 :B 4.已知cos x=- ,且x∈[0,2π],则角x等于() A. 或 B.或 C.或 D.或 解析 :如图 :
由图象可知 ,x=或. 答案 :A 5.当x∈[0,2π]时,满足sin-≥ -的x的取值范围是() A. B. C. D. 解析 :由 sin -≥ - ,得cos x≥ - . 画出 y=cos x,x∈ [0,2 π],y=- 的图象 ,如图所示 . ∵cos = cos =- ,∴当 x∈ [0,2 π]时 ,由 cos x≥- ,可得 x∈. 答案 :C 6.函数y= 2sin x与函数y=x图象的交点有个. 解析 :在同一坐标系中作出函数 y= 2sin x与 y=x 的图象可见有3个交点. 答案 :3 7.利用余弦曲线,写出满足cos x>0,x∈ [0,2 π]的 x 的区间是. 解析 :画出 y= cos x,x∈ [0,2 π]上的图象如图所示 . cos x>0 的区间为 答案 : 8.下列函数的图象:①y= sin x-1;② y=| sin x|;③y=- cos x;④ y=;⑤y=-.其中与函数y= sin x 图象形状完全相同的是.(填序号 )
指数函数知识点总结
指数函数知识总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念： 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ①负数没有偶次方根；②0的任何次方根都是0，记作00=n 。 ③当n 是奇数时，a a n n =， 当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0()1(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1)2(*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 题型一、计算 1.44 等于（ ） A 、16a B 、8a C 、4a D 、2 a 2.⑴ 33 )2(-= ⑵ 44 )2(-= ⑶ 66)3(π-= ⑷ 2 22y xy x ++= 3.① 625625++- ② 335252-++ 4.计算（1 + 2048 21）（1 + 1024 21）…（1 + 421）（1 + 2 21）（1 + 21 ）. 5. 计算（0.0081）4 1-- [3×(87)0]1-·[8125 .0-+(38 3)31-]21 -.
题型二、化简 1. 3 2 13 2b a b a ?- ÷3 2 11- --??? ? ? ?a b b a 2. 322a a a ?（a ＞0）. 3.化简： 3 32 b a a b b a （a ＞0，b ＞0）. 题型三、带附加条件的求值问题 1. 已知a 2 1+ a 2 1-= 3，求下列各式的值： ⑴ a + a 1 - ⑵ a 2+ a 2 - ⑶ 2 12 1232 3- - --a a a a 2. 已知2a x x =+-2（常数），求8x x -+8的值。 3. 已知x + y = 12, xy = 9，且x ＜y ，求 2 12 1 212 1y x y x +-的值。 4.已知a 、b 是方程x 2 - 6x + 4 = 0的两根，且a ＞b ＞0，求b a b a +-的值。
三角函数的平移及伸缩变换(含答案)
三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道，每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.
答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案：D
指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)
指数函数与对数函数总结与练习 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0
三角函数图像与性质知识点总结和经典题型
函数图像及性质知识点总结和经典题型 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2．三角函数的单调区间： 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； x y sin =的递增区间是)(Z k ∈，递减区间是)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22， -)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是)(Z k ∈， 3．对称轴及对称中心： sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； tan y x =无对称轴，对称中心为k 2 (,0)π ； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心及零点相联系，对称轴及最值点联系。 4．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA
最大值是B A +，最小值是A B -，周期是，频率是，相位是?ω+x ，初 相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象及直线 B y =的交点都是该图象的对称中心。 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点 2 ； ②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点 2 ； ③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2π ω (ω>0)来确定ω； ④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定 φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始及x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φ ω (即 令ωx ＋φ＝0，x ＝－φ ω )确定φ. 5.三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0)???ω >
必修4三角函数的图像和性质专题练习
三角函数图像及性质练习题 1.已知4k <-，则函数cos 2(cos 1)y x k x =+-的最小值是（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．21k + Ｄ．21k -+ 2.已知f (x )的图象关于y 轴对称,且它在［0,+∞)上是减函数,若f (lg x )＞f (1),则x 的取值范围是( ) A.( 10 1 ,1) B.(0, 101)∪(1,+∞) C.( 10 1,10) D.(0,1)∪(10,+∞) 3.定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π ］ 时，f （x ）=sin x ，则f （ 3 π 5）的值为( ) A.－ 21 B.2 1 C.－23 D.23 4.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则( ) A.f （sin 6π）＜f （cos 6π ） B.f （sin1）＞f （cos1） C.f （cos 3π2）＜f （sin 3 π2） D.f （cos2）＞f （sin2） 5.关于函数f （x ）=sin 2x －( 32)|x |+21 ，有下面四个结论，其中正确结论的个数为 ( ) ． ①()f x 是奇函数 ②当x ＞2003时，1 ()2 f x > 恒成立 ③()f x 的最大值是23 ④f （x ）的最小值是12- A.1 B.2 C.3 D.4 6.使)tan lg(cos θθ?有意义的角θ是( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第一、二象限的角 D.第一、二象限或y 轴的非负半轴上的角 7 函数lg(2cos y x =的单调递增区间为 ( ) ． A ．(2,22)()k k k Z ππππ++∈ B ．11 (2,2)()6 k k k Z ππππ++ ∈ C ．(2,2)()6 k k k Z π ππ- ∈ D ．(2,2)()6 k k k Z π ππ+∈ 8．已知函数()sin()(0,)f x x x R ωφω=+>∈,对定义域内任意的x ，都满足条件(6)()f x f x +=,若 sin(3),sin(3)A x B x ωφωωφω=++=+-,则有 ( ) ． A. A>B B. A=B C.A三角函数图像变换顺序详解(全面).
《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换： 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？ 【解法1】第1步，横向平移： 将y = sin x向右平移，得 第2步，横向伸缩： 将的横坐标缩短倍，得 第3步：纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移： 将向上平移1，得 【解法2】第1步，横向伸缩： 将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x 第2步，横向平移：
将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变 换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？ （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？ （3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？ 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的变成 它们的变换“方向”就“统一”了. 对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x进行的. 故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响； 但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
第六章留数理论及其应用 §1.留数1.（定理柯西留数定理）： 2.（定理）：设a为f(z)的m阶极点， 其中在点a解析，，则 3.（推论）：设a为f(z)的一阶极点， 则 4.（推论）：设a为f(z)的二阶极点 则 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数：
即，等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号 7.（定理）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有，但是，如果点为f(z)的可去奇点（或解析点），则可以不为零。 8.计算留数的另一公式： §2.用留数定理计算实积分 一.→引入 注：注意偶函数 二.型积分 1.（引理大弧引理）：上 则 2.（定理）设
为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 注：可记为 三.型积分 3.（引理若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周 上连续，且 在上一致成立。则 4.（定理）：设，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：（1）Q的次数比P高； （2）Q无实数解； （3）m>0 则有 特别的，上式可拆分成：
及 四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理小弧引理）： 于上一致成立，则有 五.杂例 六.应用多值函数的积分 §3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数： 2.（引理）：（1）设a为f(z)的n阶零点，则a必为函数的一阶极点，并且 （2）设b为f(z)的m阶极点，则b必为函数的一阶极点，并且 3.（定理对数留数定理）：设C是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在C的内部是亚纯的；
指数函数知识点汇总
指数函数知识点汇总
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