高考数学压轴专题人教版备战高考《函数与导数》单元检测

新《函数与导数》专题解析(1)

一、选择题

1．已知函数())

ln

f x x =，设()3lo

g 0.2a f =，()0.23b f -=，

()

1.13c f =-，则（ ）

A ．a b c >>

B ．b a c >>

C ．c b a >>

D ．c a b >>

【答案】D 【解析】

∵())

ln

f x x =

∴())f x x ==

∴())f x x -=

∵当0x >1x >；当0x <时，01x <

∴当0x >时，())))f x x x x ==-=，

())f x x -=；

当0x <时()))f x x x ==；

()))f x x x -=-=.

∴()()f x f x =- ∴函数()f x 是偶函数

∴当0x >时，易得())f x x =为增函数

∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1

(3)(3)c f f =-=

∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>

∴ 1.10.2

3(3)(log 5)(3)f f f ->>

∴c a b >> 故选D.

2．设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足

()()

3f x f x x

'->，则关于x 的不等式3

1(3)(3)03x f x f ??---< ???

的解集为（ ）

A ．()3,6

B ．()0,3

C ．()0,6

D ．()6,+∞

【答案】A 【解析】 【分析】

根据条件，构造函数3

()()g x x f x =，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(,0)-∞上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可． 【详解】

解：Q 3

(1)(3)(3)03

x f x f ---<，

3(3)(3)27x f x f ∴---（3）0<， 3(3)(3)27x f x f ∴--<（3），

Q 定义在(0,)+∞的函数()f x ，

3x ∴<，

令3

()()g x x f x =，

∴不等式3(3)(3)27x f x f --<（3），

即为(3)g x g -<（3），

323()(())3()()g x x f x x f x x f x '='=+'，

Q

()()

3f x f x x

'->， ()3()xf x f x ∴'>-， ()3()0xf x f x ∴'+>，

32()3()0x f x x f x ∴+>，

()0g x ∴'>， ()g x ∴单调递增，

又因为由上可知(3)g x g -<（3）， 33x ∴-<，3x

故选：A ． 【点睛】

本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题．

3．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}

2

|0?N x x x =-<，则下

列结论正确的是 A ．M N N =I

B ．()U M N =?I e

C ．M N U =U

D ．()

U M N ?e

【答案】A 【解析】 【分析】

求函数定义域得集合M ，N 后，再判断． 【详解】

由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ． 故选A ． 【点睛】

本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．

4．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2

42f x f x x +-=+，设()()2

2g x f x x =-，

若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【答案】B 【解析】

∵()()2

42f x f x x +-=+，()()2

2g x f x x =-

∴2222

()()()2()24242g x g x f x x f x x x x +-=-+--=+-= ∴函数()g x 关于点(0,1)对称

∵()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ∴122M m +=?= 故选B.

5．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7 B ．4

C ．0

D ．﹣4

【答案】A 【解析】

()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处

的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，

()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．

6．在二项式2

6

()2a x x

+

的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）

A ．

14

6

π

+

B ．

146

π

- C ．

4

π D ．

16

【答案】B 【解析】 【分析】

用二项式定理得到中间项系数，解得a ，然后利用定积分求阴影部分的面积． 【详解】

（x 2+a 2x ）6展开式中，由通项公式可得122r 162r

r r r a T C x x --+??= ???

, 令12﹣3r ＝0，可得r ＝4,即常数项为446

2a C ?? ???，可得4

46

2a C ?? ???

＝15，解得a ＝2．

曲线y ＝x 2和圆x 2+y 2＝2的在第一象限的交点为（1，1） 所以阴影部分的面积为()1

223100

1

11

-x-x |4

42346

dx x x π

ππ??=

--=- ????． 故选：B 【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．

7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（ ） A ．()()()0.6

33log 132f f f -<-<

B ．()()()0.6

332log 13f f f -<<-

C ．()()()0.6

3

2

log 133f f f <-<- D ．()()()0.6

3

2

3log 13f f f <-<

【答案】C 【解析】 【分析】

利用指数函数和对数函数单调性可得到0.6

32log 133<<，结合单调性和偶函数的性质可

得大小关系.

【详解】

()f x Q 为R 上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=，

0.633322log 9log 13log 273<=<<=Q 且()f x 在()0,∞+上单调递增，

()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.

故选：C . 【点睛】

本题考查函数值大小关系的比较，关键是能够利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间内，由自变量的大小关系，利用函数单调性即可得到函数值的大小关系.

8．给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4

x π

=

”的充分不必要条件；

②定义在[],a b 上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001

,2x x x ?∈+

≥R ”的否定形式是“1,2x x x ?∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

【答案】C 【解析】 【分析】

利用充分条件与必要条件的定义判断①；利用函数奇偶性的性质以及二次函数的性质判断②；利用特称命题的否定判断③，进而可得结果. 【详解】 对于①，当4

x π

=

时，一定有tan 1x =，但是当tan 1x =时，,4

x k k ππ=+

∈Z ，

所以“tan 1x =”是“4

x π

=

”的必要不充分条件，所以①不正确；

对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域[],a b 关于原点对称，所以

5b =，

所以函数2

()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为()()5530f f -==，所以②正确；

对于③，命题“0001

,2x x x ?∈+≥R ”的否定形式是“1,2x x x

?∈+

本题考查了特称命题的否定、充分条件与必要条件，考查了函数奇偶性的性质，同时考查了二次函数的性质，属于中档题..

9．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ?∈有()()2

2f x f x x +-=，在()0+∞，

上()2f x x '<，若()()4168f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．[)2+∞，

B ．[)0+∞，

C ．[]

22-，

D ．(][)22-∞-?+∞，

， 【答案】A 【解析】 【分析】

通过x R ?∈有()()2

2f x f x x +-=，构造新函数()()2

g x f x x =-，可得()g x 为奇函

数；利用()2f x x '<，求()g x 的导函数得出()g x 的单调性，再将不等式

()()4168f m f m m --≥-转化，可求实数m 的取值范围.

【详解】

设()()2

g x f x x =-，

∵()()()()2

2

0g x g x f x x f x x +-=-+--=，

∴函数()g x 为奇函数，

∵在()0,x ∈+∞上，()2f x x '<，即()20f x x '-<， ∴()()20g x f x x ''=-<，

∴函数()g x 在()0,x ∈+∞上是减函数， ∴函数()g x 在(),0x ∈-∞上也是减函数， 且()00g =，

∴函数()g x 在x ∈R 上是减函数， ∵()()4168f m f m m --≥-，

∴()()()22

44168g m m g m m m ????-+--+≥-?

???， ∴()()4g m g m -≥， ∴4m m -≤， 即2m ≥. 故选：A. 【点睛】

本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查运算求解能力、转化与化归的数学思想，是中档题.

10．若关于x 的不等式220x ax -+>在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是（ ）

A ．)+∞

B ．(,-∞

C ．(,3)-∞

D ．27(,

)5

-∞ 【答案】D 【解析】 【分析】

把220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]

1,5x ∈使得

22

x 2ax x a x

+>?+

>，解出()f x 的最大值． 【详解】

220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]1,5x ∈使得

22x 2ax x a x +>?+

>，设()2

f x x x

=+，即是()f x 的最大值a >，()f x 的最大值27

5=

，当5x =时取得，故选D 【点睛】

11．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>

C ．b a c >>

D ．c a b >>

【答案】B 【解析】

试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；

7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，

故正确答案为选项B ．

考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．

12．已知定义在R 上的函数(f x ），其导函数为()f x '，若()()3f x f x '-<-，

()04f =，则不等式()3x f x e >+的解集是（ ）

A ．(),1-∞

B ．(),0-∞

C ．()0,+∞

D ．()1,+∞

【答案】B 【解析】

不等式()3x

f x e >+得

()()33

11x

x x

f x f x e e e ->+

∴>， ()()()()()33

0x

x

f x f x f x

g x g x e

e

--+=

∴=

'<'设，

所以()g x 在R 上是减函数，因为()()()43

01001

g g x g x -=

=∴>∴<．

点睛：本题的难点在于解题的思路． 已知条件和探究的问题看起来好像没有分析联系，这里主要利用了分析法，通过分析构造函数，利用导数的知识解答．

13．若函数()()sin x

f x e x a =+在区间,22ππ

??

- ???

上单调递增，则实数a 的取值范围是

（）

A ．)

+∞ B ．[

)1,+∞ C ．()1,+∞

D ．()

+∞

【答案】B 【解析】 【分析】

将问题转化为()0f x '≥在,22ππ??

- ???

上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化

04x a π??

+

+≥ ??

?

在,22ππ??

-

???上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得(

14x a a a π?

??++∈-+ ????

，则只需10a -+?即可，解不等式求得结果. 【详解】

由题意得：()()sin cos 4x

x x f x e

x a e x e x a π??

?'=++=++ ?????

()f x Q 在,22ππ

??- ??

?

上单调递增 ()0f x '∴≥在,22

ππ

??

- ??

?

上恒成立

又0x e > 04x a π?

?

+

+≥ ??

?

在,22ππ??

-

???上恒成立

当,22x ππ??∈- ???时，3,444x πππ??+∈- ??? sin 4x π???

?∴+∈ ? ? ???? (

14x a a a π?

??++∈-+ ????

10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】

本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.

14．已知函数()f x 为偶函数，当x ＜0时，2()ln()f x x x =--，则曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程为（ ） A ．x -y ＝0

B ．x -y -2＝0

C ．x +y -2＝0

D ．3x -y -2＝0

【解析】 【分析】

先求出当0x >时，()f x 的解析式，再利用导数的几何意义计算即可得到答案. 【详解】

当0x >时，0x -<，2

()ln f x x x -=-，又函数()f x 为偶函数，所以

2()ln f x x x =-，

(1)1f =，所以'1

()2f x x x

=-，'(1)1f =，故切线方程为11y x -=-，即y x =.

故选：A ．

【点睛】

本题考查导数的几何意义，涉及到函数的奇偶性求对称区间的解析式，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

15．已知函数()2

814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ?∈-≥-，

(]20,1x ?∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）

A ．-4

B ．-3

C ．-2

D ．-1

【答案】C 【解析】 【分析】

由[]()15,4x a a ?∈-≥-，(]20,1x ?∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为

()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.

【详解】

由[]()15,4x a a ?∈-≥-，(]20,1x ?∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，

由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ?≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()

21f x

-＃-，

此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.

当3a >-时，()2

2814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，

即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.

16．[]()x a,b ,f x m ?∈≥恒成立，等价于[]

()x a,b ,[f x ]m min ∈≥

17．设奇函数()f x 在[]11-，上为增函数，且()11f =，若[]11x ?∈-，，使[]11a ?∈-，，

不等式()2

21f x t at ≤--成立，则t 的取值范围是（ ）

A ．22t -≤≤

B ．11

22

t -

≤≤ C ．2t ≥或2t ≤-或0t = D ．1

2

t ≥

或12t ≤-或0t =

【答案】C 【解析】 【分析】

()f x 在[]11x ∈-，上为增函数,[]11x ?∈-，，使[]11a ?∈-，,不等式()221f x t at ≤--成

立,只需对于[]11a ?∈-，,()2

121f t at -≤--即可.

【详解】

∵奇函数()f x 在[]11x ∈-，上为增函数，且()11f =， ∴函数在[]11x ∈-，上的最小值为()()111f f -=-=-，

又∵[]11x ?∈-，，使[]11a ?∈-，，不等式()2

21f x t at ≤--成立，

∴()2

2111t at f --≥-=-，

即220t at -≥， ①0t =时，不等式成立；

②0t >时，()2

220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≥，解得2t ≥；

③0t <时，()2

220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≤，解得2t ≤-

故选：C. 【点睛】

本题考查了含参数不等式恒成立问题，需要将不等式问题转化为函数最值问题，考查了理解辨析能力、运算求解能力和分类讨论思想，是中档题.

18．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取

lg30.4771≈，lg 20.3010≈）

A ．16

B ．17

C ．24

D ．25

【答案】D 【解析】 【分析】

由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43n

a ?? ???，由此得到410003n

??≥ ???

，利用运算法则可知3

2lg 2lg 3

n ≥?-，由此计算得到结果.

【详解】

记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为

4

3

a ，“二次构造”后的折线长度为2

43a ?? ???，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43n

a ?? ???

， 若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003n a a ??≥ ???，即410003n

??≥ ???，

()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333n

n n n ??

∴==-=-≥= ???，

即3

24.0220.30100.4771n ≥

≈?-，∴至少需要25次构造.

故选：D . 【点睛】

本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.

19．已知函数()2ln 2

x

x f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2x

g x e x =+-的零点为2x ，

函数()ln 2x

h x x

=

的最大值为3x ，则（ ） A ．123x x x >> B ．213x x x >>

C ．312x x x >>

D ．321x x x >>

【答案】A 【解析】 【分析】

根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ????

''?<

? ?????

，可知导函数零点在区间

11,42??

???内，即()f x 的极值点111,42x ??∈ ???；根据()g x 单调递增且11024g g ?????< ? ?????可知

211,42x ??

∈ ???

；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得

()max 1124h x e =

<，即31

4

x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】

()1

x f x e x x

'=+-Q 在()0,∞+上单调递增

且1213022f e ??'=-> ???，1

4

115044f e ??'=-< ??? 111,42x ??∴∈ ???且11

1

10x e x x +-= Q 函数()2x g x e x =+-在()0,∞+上单调递增

且12

13022g e ??=-> ???，1

4112044g e ??=+-< ???

211,42x ??∴∈ ???

又()()1111121111

2220x

g x e x x x g x x x ??=+-=-+-=->=

???

且()g x 单调递增 12x x ∴> 由()2

1ln 2x h x x -'=

可得：()()max

12h x h e e ==，即311

24x e =< 123x x x ∴>>

本题正确选项：A 【点睛】

本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难.

20．

设1

1

30

,,a b xdx c x dx =

==??，则,,a b c 的大小关系为（ ）

A ．b c a >>

B ．b a c >>

C ．a c b >>

D ．a b c >>

【答案】D 【解析】

根据微积分定理，31

200

22|33a x ??=

== ???，1

210

11|22b xdx x ??=== ????，1

3410

011|44c x dx x ??

=== ????，所以a b c >>，故选择D 。