1绪论-课件-11
数值分析Numerical Analysis
数值分析是
学习和了解科学计算的桥梁！
数学的一种分类
基础数学（理想化的）计算数学（实用化的）随机数学（圆滑的）
数值分析学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理
2.注意各种方法的构造手法
3.重视各种方法的误差分析
4.做一定量的习题
5.注意与实际问题相联系
6.了解各种方法的算法与程序实现
●教材与参考书
1.《数值分析教程》，北京交通大学自编 , 教材
科,2010
2.《数值分析》第四版，李庆杨等 , 清华大学出
版社,2001
3.数学实验基础，王兵团，清华大学出版社，2008
●考试方法
1.闭卷考试占90%
2.课外小论文（或选一个数值实验题做）占10%（交纸质论文）
第1章绪论
本章主要介绍科学计算的特点、数值分析基本知识和概念，它们对学习数值分析、了解科学计算原理，以及进行科学计算都是很有帮助的。
1.1 学习数值分析的重要性
思考：
用一种计算机语言正确编程，计算机就一定能给出正确的结果，问题是这样简单吗？
例 1.1 将数列
10
5
n
n x I dx x =+?
写成递推公式形式，并计算数列12,,I I 的值。
解：因为
11
1
01
111
1
00555
1555n n n n n n n x x x I dx
x x x dx dx I x n
-----+-=+=-=-+??? 得到计算I n 的递推公式
()1
1
51,2, 1.1n n I I n n
-=-=
由
100
16ln 55
I dx x ==+?
由递推公式（1.1）可依次算出I 1，I 2，……。
实际中，计算时一般需要具体的数据，若取0I 为准确到小数点后8位的近似值作为初始值，在字长为8的计算机上编程计算，可出现
2120.3290211010I =-?
的结果，这显然是错误的！（为什么？）
用计算机解决实际问题的四个步骤
1.建立数学模型；
2.选择数值方法；！
3.编写程序；
4.上机计算。
1.2计算机中的数系与运算特点
1.计算机的数系 ● 数学中的实数
123100.c
x a a a =±????
其中}{9,4,3,2,1,0???∈i a ，c 为整数。x 称为十进制浮点数。
● β 进制的浮点数
?
???±=321.0a a a x c
β
}{1,4,3,2,1,0-???∈βi a 。
● 计算机中实数
t c
a a a a x ????±=321.0β
}{1,4,3,2,1,0-???∈βi a
其中t （字长）是正整数； β一般取为2,8,10和16； C （阶码）是整数，L ≤c ≤U ，L 和U 为固定整数； 1230.t a a a a ???称为尾数；数x 称为t 位β进制浮点数。
是计算机进行实数运算所用的数系。
在),,,(U L t F β 中，若10a ≠称为规格化的浮点数。
机器数系的特点
● 机器数系是有限的离散集。
● 机器数系中有绝对值最大的非零数(常用M 表示)和绝对值最小的非零数(常用m 表示)。
例如在4位十进制浮点数系F （10,4,-99，99）中，99100.9999M =±?，99100.0001m -=±?。
● 若一个非零实数的绝对值大于M ，则计算机产生上溢错误，若其绝对值小于m ，则计算机产生下溢错误。
● 上溢时，计算机中断程序处理;下溢时，计算机将此数用零表示并继续执行程序。无论是上溢，还是下溢，都称为溢出错误。 ● 计算机把尾数为0且阶数最小的数表示数零。
2.计算机对数的接收与处理
计算机对数的接收
设非零实数x 是计算机接收的实数，则计算机对其的处理为
（1）若),,,(U L t F x β∈ 则原样接收x ； （2）若),,,(U L t F x β?，M x m ≤≤，则用),,,(U L t F β 中最接近x 的数)(x fl 表示并记录x 。
计算机对数的运算处理
两个数在计算机中参与运算的方式为：（1）加减法
先对阶，后运算，再舍入；（2）乘除法
先运算，再舍入
例，某计算机的数系F （10, 4,－99,99）的
两个数x 1=0.2337×10 -1和x 2＝0.3364×102
，则运算过程如下
12
1222
2
2
()(0.2337100.336410)
(0.0002337100.336410)(0.336633710)
0.336610
fl x x fl fl fl -+=?+??+???=
=
=对阶
运算
舍入
12
120
()(0.2337100.336410)
(0.786166810)
0.7862100.7862
fl x x fl fl -?=???=?=?=运算
舍入
1.3 误差
准确值与近似值的差异就是误差，误差无处不在。
1.误差的来源
1).模型误差（也称描述误差）；
2).观测误差（也称数据误差）；
3).截断误差（也称方法误差）；
4).舍入误差（也称计算误差）。
例如要计算e
0.32
函数值，由于e x
的展开式
2
12!!
n
x
x x
e x n =+++???++???
用近似公式
212!!n
x
x x
e x n ≈+++???+
去计算e
0.32
，这样产生的误差就是截断误差。
2.误差的定义（数学描述）
定义1.1 设x 是准确值，x *是x 的一个近似值，称差 x*－x 为近似值x *的绝对误差，简称误差，记为e* 或e (x*) ，即
e (x*)= x*－x
定义1.2 称满足
的正数ε * 为近似值x*的误差限。
****
x x x εε
-≤≤+
该范围常用**
x
x ε
=±表示。
定义1.3 设x是准确值，x*是x的近似值，称
为近似值x*的相对误差，记为e*r或e r(x*)，即
重要结论！
相对误差绝对值越小，近似程度越高。