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2018级线代第一学期期中模拟试题

2018—2019学年第一学期期中模拟考试考试统一用答题册

题号一二三四五六七八总分成绩

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考试课程理科高等代数（1）

班级学号

姓名成绩

2018 年11月日

一. 填空题（每小题4 分，共20 分）

1. 设θ,r 是实数。若3R 中向量组)cos ,sin ,0(),0,0,1(),sin ,cos ,0(θθθθr r -线性

相关，则

r = ________________。

2. 矩阵 ??

???

?--------2111112121212 的秩为。

3. 设数域F 上的n 阶方阵A 的各行元素之和均为零，且1rank A n =-。则齐

次线性方程组0=AX 的通解为。

4. 实数域R 上的线性空间),(+∞-∞C 中向量组22cos ,cos ,1,sin ,cos(2)x x x x 的秩为。

5. 令{}

C a a a a V ∈=2121,),(，其中C 为复数域。V 按通常复数的加法和数乘

成为实数域R 上的线性空间，则=V dim ___________。

二. 选择题（每小题4 分，共20 分）

1. 设123,,ααα是方程组0AX =的基础解系，则下列向量组也可作为0AX =的基础解系的是（）。

（A ）32121,2,2ααααα-+ （B ）1223123,,2ααααααα++++

（C ）122331,,αααααα++- （D ）22121,3

,23ααααα-+

2. 设)0(≠=ββAX 是数域F 上的线性方程组，且321,,X X X 是该方程组的解

向量。则以下哪个不是该方程组的解向量:( ）

（A ）)(31

321X X X ++ （B ）321342X X X +-

（C ）321613121X X X ++ （D ）3212

14141X X X -+

3. 设F 是数域. 在][x F 中，定义2110202:{|},:{|,}O a x a F E a a x a a F =∈=+∈。则（）

（A ） E O , 都不是][x F 的子空间（B ）E O ? 是空集（C ）E O , 都是][x F 子空间且E O + 是直和（D ）以上A,B,C 都错

4. 以下论断中正确的有（）个；

（A ）1 个（B ）2 个（C ）3 个（D ）4个

（1）n 维线性空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基；（2）n 维线性空间V 的任意1+n 个向量线性相关；

（3）设12,,,n αααL 是线性空间V 的一个基，如果12,,,m βββL 线性无关且

与12,,,n αααL 线性等价，则n m =；

（4）设12,,,n αααL 是n 维线性空间V 中的n 个向量，且V 中的每个向量

都可由之线性表示，则n ααα,....,,21

是V 的一个基。 5. 以下论断中正确的有（）个；

（A ）1 个（B ）2 个（C ）3 个（D ）4个

（1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同；

（2）若12,,,r αααL 线性相关，则r α一定可由121,,,r ααα-L 线性表出；（3）设12,,,r αααL 线性无关，则121,,,r ααα-L 也线性无关；（4）若向量组的秩等于它所含向量的个数，则该向量组线性无关。三. （10分）给定4Q 中的向量组：

)1,1,2,2(),8,10,2,12(),2,4,2,3(),1,0,1,1(4321-====αααα。

求该向量组的一个极大线性无关组和秩。

四．（15分）给定数域F 上关于未知元54321,,,,x x x x x 的线性方程组

??=++++=+++=-+++2

66222

2223454321543254321x x x x x x x x x x x x x x

求其导出组的一个基础解系，并求原线性方程组的通解。

五．（10分）给定数域F 上的4维向量空间4F 中的向量组：

)14,6,2,2(),15,6,3,4(),1,3,5,1(),0,2,4,2(2121-=-===ββαα。

求21,αα生成的子空间U 与21,ββ 生成的子空间W 的交的一组基与维数。六．（10分）设12,V V 是数域F 上的线性空间V 的两个子空间。假设21V V ?也是V

的子空间。证明：21V V ?或者21V V ?。

七．（15分）设V 数域F 上的线性空间，M 是V 中向量4321,,,αααα生成的子空

间，N 是V 中向量21,ββ生成的子空间。已知

123412dim()2,

(,,,,,)4M N rank ααααββ?==。

问：4321,,,αααα线性无关还是线性相关?

（答题要求：如果回答“线性无关”或“线性相关”，给出证明；如果回答 “不一定”，各举一例说明。）