圆的面积公式计算
在这里说一下圆的面积不包含圆柱计算,只算圆的表面积
π---园周率 S---面积 L---周长 r---圆半径 d----圆直径
圆的面积计算公式：S = π×r2=3.1416×r2
圆周长计算公式：L=2×π×r
(圆的面积说白了一点就是:半径乘于半径乘于3.14)已知圆的面积求直径：直径：2√(面积÷园周率) 求面积例：一个单根直径为80毫米的电缆线，求其截面积
3.14×（40×40）或3.14×402
= 3.14×1600 = 5024（平方毫米）
求球的体积计算公式：4.18879×半径×半径×半径
圆的面积计算
圆的面积计算 教学内容：新课标数学六年级上册P67、68例1，圆的面积计算公式推导，圆面积计算的运用。 教学目标： 1、通过动手操作、认真观察，让学生经历圆面积计算公式的推导过程，理解掌握圆面积公式，并能正确计算圆的面积。 2、学生能综合运用所学的知识解决有关的问题，培养学生的应用意识。 3、利用已有知识迁移，类推，使学生感受数学知识间的联系与区别。培养学生的观察、分析、质疑、概括的能力，发展学生的空间观念。 4、通过学生小组合作交流，互相学习，培养学生的合作精神和创新意识，提高动手实际和数学交流的能力，体验数学探究的乐趣和成功。 教学重点：运用圆的面积计算公式解决实际问题。 教学难点：理解把圆转化为长方形推导出计算公式的过程。 教学准备：多媒体课件及圆的分解教具，学生准备圆纸片和圆形物品。 教学过程： 出示以下图形： 1、请同学们指出这些平面图形的周长和面积，并说说它们的区别。 2、你会计算它们的面积吗？想一想，我们是怎样推导出它们面积的计算公式的？（电脑课件演示） 二、合作交流，探究新知。 1 出示圆： （1）让学生说出圆周长的概念，并指出来。 （2）想一想：圆的面积指什么？让学生动手摸一摸。 （揭示：圆所占平面的大小叫做圆的面积。）
（3）对比圆的周长和面积，让学生感受他们的区别。 同时引出课题——圆的面积。 2、推导圆面积的计算公式。 （1）学生观察书本P67主题图，思考：这个圆形草坪的占地面积是多少平方米？也就是要求什么？怎样计算一个圆的面积呢？ （2）刚才我们已经回顾了利用平移、割、补等方法推导平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式的方法，那能不能把圆也转化成学过的图形来计算？猜一猜，圆可以转化成什么图形来推导面积公式呢？你打算用什么方式进行转化？ （3）请各小组先商量一下，你们想拼成什么图形，打算怎么剪拼，然后动手操作。 ①分小组动手操作，把圆平均分成若干(偶数)等份，剪开后，拼成其他图形，看谁拼得又快又好？ ②展示交流并介绍：小组代表给大家介绍一下你们组拼出来的图形近似于什么？是用什么方法剪拼的？为什么只能说是“近似”？能不能把拼出的图形的边变直一点？ ③当圆转化成近似长方形时，你们发现它们之间有什么联系？ 课件演示：
2.8 圆的面积计算公式的应用
2.8 圆的面积计算公式的应用 1.我会填。 (1)半径是9cm的半圆，它的周长是( )cm，面积是( )cm2。 (2)一个圆形花坛的周长是18．84m，它的半径是( )m，这个花坛占地面积是( )m2。 2.判断。(对的画“√”，错的画“X”) (1)2πr和πr2所表示的意思相同。( ) (2)周长相等的两个圆，面积也相等。( ) (3)圆的面积比半径的平方的3倍多一些。( ) (4)圆规两脚尖间的距离是1厘米，画出的圆的面积和周长相等。( )； 3.填表。 半径(cm) 直径(cm) 周长(cm) 面积(cm／) 5 6 6.28 4. 5.在一个周长是80厘米的正方形木板上，锯下一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米? 6.一个底面是圆形的蒙古包，量得它的底面周长是25.12米，它的占地面积是多少平方米? 7.小明量得一棵树干的周长是1.256米，这棵树干的横截面面积是多少平方米? 8.用两根长度都是62．8cm的铜丝，分别围出一个圆和一个正方形，计算出它们的面积。
答案提示： 1.(1)46.26 127.17 (2)3 28.26 2.(1) ×(2)√(3)√(4) × 3.10 31.4 78.5；3 18.84 28.26；l 2 3.14 4.(1)3.14×[(10÷2) 2一(6÷2)2]＝50．24(cm 2) (2)3.14×(8÷2) 2一8×8÷2＝18.24(cm 2) 5.80÷4÷2＝10(厘米) 3.14×10 2＝314(平方厘米) 6.25.12÷3.14÷2＝4(米) 3.14×4 2＝50.24(平方米) 7.1.256÷3.14÷2＝0.2(米) 3.14×0.22＝0.1256(平方米) 8.圆：62.8÷3.14÷2＝10(cm) 3.14×102＝314(cm2) 正方形：62.8÷4＝15.7(cm) 15.7×15.7＝246.49(cm 2)
中考数学椭圆的面积公式考点总结
中考数学椭圆的面积公式考点总结 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，那么 e=PF/PL 椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a(e1,因为2a2c) 椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a^2/ C)的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点A, B之间的距离，数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系点M(x0，y0) 椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内：x0^2/a^2+y0^2/b^21 点在圆上：x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外：x0^2/a^2+y0^2/b^21 直线与椭圆位置关系
y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1 相切△=0 相离△0无交点 相交△0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底〝记死〞的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的〝积累专栏〞上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故〝贮藏〞在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地〝提取〞出来,使文章增色添辉。 椭圆通径(定义：圆锥曲线(除圆外)中，过焦点并垂直于轴的弦)公式：2 b^2/a 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底〝记死〞的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的〝积累专栏〞上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故〝贮藏〞在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地〝提取〞出来,使文章增色添辉。
圆的面积公式应用
六年级《圆的面积》教学设计 刘集镇中心小学：李志 【设计理念】 《新课程标准》指出数学课堂老师应想法设法激发学生的学习积极性，为学生充分提供从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索与合作交流的过程中，掌握和理解基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动和经验。本节课我力求以学生的知识经验为基础，让学生自己动手操作,在充分探索的过程中感悟出圆的面积公式，从而培养学生的逻辑推理能力、动手操作能力及小组协作能力。 【教学背景】 在教学本课内容以前，学生们会求直线围成的平面图形的面积，而对于圆这个曲边图形却是初次接触，虽然前面已学过平面图形面积运用过转化思想，如将平行四边形转化成长方形，将三角形转化成平行四边形等。而圆的面积对于学生来说运用转化的思想倒很容易想到，但由于是曲边图形的问题使得学生不知该如何转化成他们所熟悉的直线图形成为了本课的难点。 为了真正从学生已有的知识和经验出发，发现学生学习的困难，先进行课前了解，掌握实情，找出对学生学习新课造成困难的障碍，对已学过而遗忘的知识要及时进行巩固温习。 【数学思想】 本课数学的核心思想虽然用的是“转化”的方法，但最重要的是“以直代曲”的思想。 【教学方式】 本课采取的教学方式主要有创设情境、动手操作、小组合作、引导归纳、总结。 【教学手段】 实物演示、电脑课件。 【教学内容】九年制义务教育（人教科标版）六年级数学上册第67-68页《圆的面积》。【教学目标】 知识与技能：理解圆的面积的意义，掌握圆面积的计算公式推导过程，能正确计算圆的面积。过程与方法：培养学生运用已学知识解决新问题的能力，进一步体会“转化”的思想方法，感悟极限、转化、以直代曲等数学思想方法。 情感态度价值观：培养学生善于思考勤于动脑的思想品质，体会学习数学的乐趣，树立学好数学的信心。 【教学重点】圆的面积计算公式的推导，能熟练地应用公式解决实际问题。 【教学难点】理解圆的面积公式的推导过程，理解极限思想（化曲为直）。 【教学过程】 一、创设情境，理解圆的面积。 1、回忆：什么平面图形的面积？ 2、课件出示：长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形的图片。说说这些图形的面积计算公式。 3、引出质疑：那圆的面积是什么呢？ 请同学们摸一摸自己准备的圆形纸片的面积，用自己的话说说什么是圆的面积。 出示结语：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 4、揭示课题：这节课我们一起来研究怎样计算圆的面积。 （板书课题：圆的面积） 二、动手操作，探究面积公式。 1.明确研究问题。 （1）明确策略
椭圆的面积公式
椭圆面积公式 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则 e=PF/PL 椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a(e<1,因为2a>2c)
椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系点M（x0，y0）椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1 点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1 直线与椭圆位置关系 y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1 相切△=0 相离△＜0无交点 相交△＞0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2
圆的面积公式03
《圆的面积》教学设计 正定回民小学吴彦霞 教材分析： 本课是学生学习了其它平面图形的面积后教学的，是小学平面几何的最后阶段，教材通过直观的组合图形面积的计算，让学生操作、观察、比较推导出圆的面积计算公式来解决生活中的实际问题。 学情分析： 学生已经掌握长方形、正方形、三角形、梯形的面积计算公式，并有了将一个图形转化成另一个面积相等的图形的转化思想，在此基础上将圆转化成长方形学生是乐于接受的。 教学目标： 知识与技能: 让学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆的面积计算公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的简单实际问题，构建数学模型。 过程与方法： 让学生进一步体会“转化”的数学思想方法，感情极限思想的价值，培养运用已有知识解决新问题的能力，增强空间观念，发展数学思维。 情感态度价值观： 让学生进一步体验数学与生活的联系，感受用数学的方式解决实际问题的过程，提高学习数学的兴趣。 教学重点：让学生经历圆面积公式的推导过程，理解和掌握圆面积的计算
公式。 教学难点：“化圆为方”的转化方法和极限思想的感受。 教学准备：平均分成16份的学具、课件。 教学策略： 1、本课是在学生掌握了面积的含义及长方形、正方形等平面图形面积的计算方法，认识了圆，会计算圆的周长的基础上进行教学的，教学时要注意遵循学生的认识规律，重视学生获取知识的思维过程，重视从学生的生活经验和已有的知识出发。 2、教学本课时，重点引导学生参与知识形成的过程，从而培养学生的创新意识、实践能力，并发展学生的空间观念提出将圆割拼成已学过的图形，组织学生动手操作，让学生主动。 教学过程： 一、复习导入，激发探索欲望 1.复习圆的周长计算方方法，圆周长的一半计算方法。 2.复习圆的面积，学生自己总结圆的面积是什么？ 3.复习已学的平面图形的计算方法。 4.我们先来回忆一下平行四边形的面积计算公式是怎样推导出来？ 我们遇到没学过的图形可以转化成学过的图形来计算,那能否把圆也转化成学过的图形来计算呢？ 【设计意图:复习铺垫，让学生能很快联系所学过的知识，很快就能进入新课的学习。】 二、新课探究
园的面积公式一
一、复习旧知，导入新课 1、还记得这些平面图形的面积计算公式吗？ 2、平行四边形的面积公式推导过程还记得吗？ 我们是通过剪拼的方法把它转化成长方形的。 小结：把圆转化成哪一个我们学过的平面图形，从而得到它的面积公式，这是今天我们要学习的内容。板书：圆的面积 【设计意图】在复习引导中让学生回想一下什么叫面积，理解平面图形的面积，然后让学生回忆长方形的面积是怎样计算的，为学习圆的面积公式作铺垫，同时回忆平行四边形、三角形和梯形等图形的面积计算公式的推导过程。通过直观的演示，激发学生积极主动地学习。引导学生复习长方形的面积计算公式，渗透了要求圆的面积也需从转化的思想放手。 二、教学实施 （一）、定义： 1、请你摸一摸哪里是圆的面积？ 2、师：圆所占平面的大小就是圆的面积。 （二）、渗透极限思想： 师：圆与以前我们研究的平面图形有什么不同？ 不同之处：圆是由一条封闭曲线围成的平面图形，而以前学过的平面图形都是由几条线段围成的封闭图形。 师：如何化曲为直呢？ 引导学生操作： 师：（拿出一个圆片）我们怎么剪？圆的大小是由什么决定的？（直径、半径） 生：（圆的大小由直径或半径决定。）沿直径或半径剪。 师剪第一刀，再问:第二刀怎么剪？ 师:我们要把圆通过剪成多份并用拼的方法转化成学过的规则图形，为了计算上的方便，我们把圆平均分成多份。 将一个圆分别平均分成2份、4分、8分、16份，分别罗列排好。请学生观察四组图。 师：随着等分份数的不断增加，你有什么发现吗？ A：随着等分份数的不断增加，曲线越来越直。 B：随着等分份数的不断增加，每一小份越来越接近三角形。 【设计意图】让学生经历圆面积公式的推导过程，理解和掌握圆面积的计算公式是本节课的重点；由于圆与以前学习的直线图形性质有很大不同，对“曲线图形”转化为直线图形学生是第一次接触，对学生已有知识和经验都是一种挑战，因此，“化圆为方”的转化方法和极限思想的感受是本节课的难点。 （三）拼摆推导面积公式。 1、拼摆 师：把圆转化成什么图形？我们来试一试。 学生操作，演示学生的作品。 师：转化后的图形面积与圆的面积有什么关系？面积不变。 课件出示：把圆等分成不同等份时的图形的趋势。 2、推导面积公式
圆的面积计算 练习题 (1)
圆的面积计算练习题 一、填空 1．一个圆形桌面的直径是 2米，它的面积是（）平方米。 2．已知圆的周长，求d=（），求r=（）。 3．圆的半径扩大2倍，直径就扩大（）倍，周长就扩大（）倍，面积就扩大（）倍。 4．环形面积S＝（）。 5．用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚尖之间的距离应是（）厘米，画出的这个圆的面积是（）平方厘米。 6．大圆半径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆周长的（）倍，小圆面积是大圆面积的（）。 7．圆的半径增加，圆的周长增加（），圆的面积增加（）。 8．一个半圆的周长是20.56分米，这个半圆的面积是（）平方分米。 9．将一个圆平均分成1000个完全相同的小扇形，割拼成近似的长方形的周长比原来圆周长长10厘米，这个长方形的面积是（）平方厘米。 10．在一个面积是16平方厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是（）平方厘米；再在这个圆内画一个最大的正方形，正方形的面积是（）平方厘米。 11．大圆半径是小圆半径的3倍，大圆面积是84.78平方厘米，则小圆面积为（）平方厘米。 12．大圆半径是小圆半径的2倍，大圆面积比小圆面积多12平方厘米，小圆面积是（）平方厘米。 13．鼓楼中心岛是半径 10米的圆，它的占地面积是（）平方米。 14．小华量得一根树干的周长是75.36厘米，这根树干的横截面大约是（）平方厘米 15．一只羊栓在一块草地中央的树桩上，树桩到羊颈的绳长是 3米。这只羊可以吃到（）平方米地面的草。 16．一根 2米长的铁丝，围成一个半径是30厘米的圆，（接头处不计），还多（）米，围成的面积是（） 17．用一根 10.28米的绳子，围成一个半圆形，这个半圆的半径是（），面积是（） 18．从一个长8分米，宽5分米的长方形木板上锯下一个最大的圆，这个圆的面积是（）19．大圆的半径等于小圆的直径，大圆的面积是小圆面积的（） 20．一个圆的周长扩大3倍，面积就扩大（）倍。
第5课时--圆的面积公式应用——已知周长求面积圆的面积公式应用——已知周长求面积
圆的面积公式应用——已知周长求面积教学目标： 1.在解决问题的过程中，进一步巩固圆的面积公式。 2.结合具体事例，能灵活运用所学公式解决生活中的问题。 3．感受数学与生活的密切联系，培养学生综合运用知识的能力。。 教学重点： 正确并灵活的运用公式进行计算。 教学难点： 正确并灵活的运用公式解决生活中的问题 教学过程： 一、复习旧知，导入新课 前面我们学习了圆、圆的周长、圆的面积，如果圆的半径用r表示，周长怎样表示？（2πr）面积怎样表示？（πr2），这节课我们继续学习圆的面积，研究如何用圆的公式解决实际问题。 二、引导探究，解决问题 1．探究教材第52页“蒙古包占地”问题。 （1）多媒体出示问题。 一个底面是圆形的蒙古包，沿地面量得周长是25.12米。它的占地面积是多少平方米?
（2）探究。 学生根据以前的经验可知：要先利用圆的周长公式求出蒙古包的半径或直径，才能计算占地面积。 师：我们在算蒙古包半径时用算术法和方程法都可以，哪种更简单? 生：列方程解，思路统一，便于理解。 师：请同学们在练习本上把过程写完整! 指名学生板演。 2．探究教材第52页“选台布”问题。 圆桌面的直径是120厘米。 （1）多媒体出示三块不同规格的台布： 110cm×110cm；120cm×120cm；140cm×140cm （2）合作探究。(教师需引导学生知道"110cm×110cm"等表示的意义) 120)2＝11304(平方厘米) 生1：因为桌面面积：3.14×( 2 边长是110厘米的台布面积：110×110＝12100(平方厘米) 12100＞11304 所以边长是110厘米的台布能用，因为它的面积比圆桌面的面积大。 生2：边长是110厘米的台布不能用，边长是110厘米的台布最大只能遮盖直径是110厘米的圆桌面。 (教师引导学生知道，只比较面积的大小不行，还要看台布能不能盖全圆桌) 通过学生比较第2种和第3种台布，使学生知道边长是140厘米的台布不但比圆桌面的面积大，而且铺在上面周围都能垂下一部分，这样比较美观，台布不容易被掀起，所以选择边长是140厘米的台布更合适些。
椭圆周长和面积计算公式
椭圆定理（又名：椭圆猜想） 椭圆定理 易亚苏 （关键词：椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。） 圆完美的和谐，椭圆和谐的完美。 一、椭圆第一定义 椭圆第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。椭圆第一定义的数学表达式： MF1+MF2=2a>F1F2 （由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。） M为动点，F1、F2为定点，a为常数。在椭圆中，用a表示长半轴的长，b表示短半轴的长，且 a>b>0；2c表示焦距。 二、椭圆定理 （一）椭圆定理Ⅰ（椭圆焦距定理） 椭圆定理Ⅰ：任意同心圆，小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的椭圆焦距。该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。 附图：椭圆的奥秘图解之一（焦距定理）（略） （二）椭圆定理Ⅱ（椭圆第一常数定理） 定义1：K1=2/(π-2)，K1为椭圆第一常数。 定义2：f=b/a，f为椭圆向心率（a>b>0）。 定义3：T=K1+f，T为椭圆周率。 椭圆定理Ⅱ：椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合，椭圆第一常数K1的数值加上椭圆向心率f的数值等于椭圆周率T的数值。 （三）椭圆定理Ⅲ（椭圆第三常数定理） 椭圆具有三特性，也称椭圆三态。 1、当椭圆b>c时，椭圆为向外膨胀型，其焦点在以b为半径的圆内； 2、当椭圆b=c时，椭圆为相对稳定型，其焦点在以b为半径的圆上； 3、当椭圆b 九年义务教育第十一册第94页 圆的面积计算公式的推导 江油市世纪奥桥小学吴琼 设计意图： 拓展学生的思路，培养学生的创新能力，多角度来推导圆的面积计算公式。教学目标： （一）知识与技能 1．知道圆面积的含义。 2．理解和掌握圆面积的计算公式。 （二）过程与方法 1. 通过公式推导培养操作、观察、比较、分析、判断、推理、归纳概括能力，发展空间观念。 2．培养学生迁移类推能力。 （三）情感态度价值观 1.通过对圆面积公式的推导，认识到事物在一定条件下可以互相转化，渗透转化和极限的思想和方法。 2.运用转化思考方法解决实际问题， 探究过程： 1．回忆学过的图形面积公式的推导过程。 2．推导圆面积的计算公式。 （1）教师指导转化。 将已分成16等份的圆用剪刀把每一份剪开，用这些近似等腰三角形的小纸片依次横着拼起来，并用固体胶粘在纸上，看能拼成什么图形？ （2）学生动手操作。 按照老师的示范，请同学们动手剪拼一下，看到底能拼成什么图形。（学生动手操作。） 谁能向大家汇报一下，你把圆拼成了一个什么图形？（生答：拼成了一个近似的平行四边形。请把你拼好的图形放在实物投影上展示给大家看。） （3）课件演示过程。 把圆分成16等份，这些小纸片可以拼成一个近似的平行四边形；把圆分成32等份，可以拼成一个近似的长方形；如果分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越接近于长方形。） （4）推导面积公式。 拼成的长方形与圆有什么联系？同位讨论。 学生汇报讨论结果。生答师继续演示课件。 生：拼成的长方形的面积与圆的面积相等。 师：这个长方形的长和宽与圆的周长和半径有什么关系？ 生：长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径。 因为长方形的面积＝长×宽 所以圆的面积＝周长的一半×半径 S＝πr×r S＝πr2 [设计意图：动手操作是学生学习数学的重要方式，让学生经历公式的推导过程， 一、椭圆周长、面积计算公式 根据椭圆第一定义，用a表示椭圆长半轴的长，b表示椭圆短半轴的长，且a>b>0。 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程 （一）发现椭圆常数 常数在于探索和发现。椭圆三要素：焦距的一半（c），长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。 椭圆的周长取值范围：4a 封头面积公式： S=πr[r+h1×C+2h] 其中r=Di/2 h1=H-h 标准椭圆封头C=0.760346 公称直径DN=Di/mm 曲面深度 Hi/mm 直边高度h (mm) 25 40 50 内表面积S/m2,容积V/m3 S V S V S V 300 75 0.12 0.005 350 88 0.16 0.008 400 100 0.20 0.012 450 113 0.25 0.016 500 125 0.31 0.021 0.33 0.024 550 138 0.37 0.028 0.40 0.031 600 150 0.44 0.035 0.47 0.040 650 163 0.51 0.044 0.54 0.049 700 175 0.59 0.055 0.62 0.060 750 188 0.67 0.066 0.70 0.073. 800 200 0.76 0.080 0.79 0.087 900 225 0.95 0.111 0.99 0.121 1000 250 1.16 0.151 1.21 0.162 1100 275 1.40 0.198 1.45 0.212 1200 300 1.66 0.254 1.71 0.271 1300 325 1.93 0.321 2.00 0.341 1400 350 2.23 0.398 2.30 0.421 1500 375 2.56 0.486 2.63 0.512 1600 400 2.90 0.586 2.98 0.617 1700 425 3.27 0.700 3.35 0.734 3.40 0.757 1800 450 3.65 0.827 3.71 0.865 3.79 0.891 1900 475 4.06 0.969 4.15 1.011 4.21 1.040 2000 500 4.49 1.126 4.59 1.173 4.65 1.204 2100 525 4.95 1.299 5.04 1.351 5.11 1.385 2200 550 5.42 1.489 5.52 1.546 5.59 1.581 2300 575 5.91 1.697 6.02 1.759 6.10 1.800 2400 600 6.43 1.923 6.55 1.991 6.62 2.036 2500 625 6.97 2.168 7.09 2.242 7.17 2.291 2600 650 7.53 2.433 7.65 2.513 7.74 2.566 2800 700 8.72 3.027 8.85 3.120 8.94 3.181 3000 750 9.99 3.711 10.13 3.817 10.23 3.888 3200 800 11.35 4.490 11.50 4.611 10.60 4.691 3400 850 12.80 5.372 12.96 5.508 13.06 5.599 3500 875 13.55 5.853 13.72 5.997 13.83 6.093 “圆的面积”的教法探讨 圆是小学阶段最后的一个平面图形，学生从学习直线图形的认识，到学习曲线图形的认识，不论是学习内容的本身，还是研究问题的方法，都有所变化，是学习上的一次飞跃。 通过对圆的研究，我让学生认识到研究曲线图形的基本方法，同时渗透了曲线图形与直线图形的关系。这样不仅扩展了学生的知识面，而且从空间观念来说，进入了一个新的领域。因此，通过对圆有关知识学习，不仅加深学生对周围事物的理解，激发学习数学的兴趣，也为以后学习圆柱，圆锥和绘制简单的统计图打下基础。这节课中，我渗透了曲线图形与直线图形的关系，即化曲为直的思想。本节课，我认为我主要有以下几个亮点： 一、故事激趣，渗透“转化”重视自主探究，发挥学生主体性。 教学“圆的面积”计算公式推导时，故事激趣，渗透“转化”我先让学生回忆学过的平面图形面积的推导方法，引导学生进行知识迁移，能不能运用割补的方法把圆割补拼成学过的平行四边形、三角形等平面图形，来推导出圆的面积计算公式呢，然后留给学生充分的时间和空间，让学生小组合作动手、动脑剪一剪、拼一拼，再把圆转化成学过的平面图形。再引导学生交流、验证自己的推导想法，师生共同倾听并判断学生汇报圆的面积公式的推导过程，看看他们的推导方 法是否科学、合理，使学生们经历操作、验证的学习过程。这样有序的学习，提高了学生的实践能力和创新意识。 二、大胆猜测，激发探究 在凸现圆的面积的意义以后，我让学生猜测圆的面积可能与什么有关。当学生猜测出圆的面积可能与圆的半径有关系时，设计实验验证：以正方形的边长为半径画一个圆，用数方格的方法计算出圆的面积，探索圆的面积大约是正方形面积的几倍。这一内容是旧教材所没有的。学生的好奇心、求知欲被充分调动起来，而这些，又正好为他们随后进一步展开探究活动作好了“预埋”。明确了概念，认识圆的面积之后，自然是想到该如何计算图的面积？公式是什么？怎么发现和推导圆的面积公式？这些都是摆在学生面前的一系列现实的问题。此时的学生可能一片茫然，也可能会有惊人的发现，不管怎样都要鼓励学生大胆的猜测，设想，说出他们预设的方案？你打算怎样计算圆的面积？课堂上根据学生的反映随机处理，估计大部分学生会不得要领，即使知道，也可以让大家共同经历一下公式的发现之路。此时，由于学生的年龄小，不能和以前的平面图形建立联系，这就需要教师的引导，以前学过哪些平面图形？让学生迅速回忆，调动原有的知识储备，为新知的“再创造”做好知识的准备。 椭圆焦点三角形面积公式的应用 性质1(选填题课直接用，大题需论证): 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点， θ=∠21PF F ，则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212 22 1c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2 21212 21c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典型例题 例1 若P 是椭圆 164 10022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 例 2 已知P 是椭圆 19252 2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2 1 | |||2121= ?PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D. 3 3 例3（04湖北）已知椭圆 19 162 2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779 C. 49 D. 49或7 79 答案： 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 解法一：在椭圆 1641002 2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上， ∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212 22 1c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(212 21=-+r r r r .144340021=-∴r r 从而.3 256 21= r r .3 36423325621sin 212121=??== ?θr r S PF F 解法二：在椭圆 1641002 2=+y x 中，642=b ，而.60?=θ .3 3 6430tan 642 tan 221= ?==∴?θ b S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！ 椭圆面积公式的推导 韩贞焱（贵州省遵义四中 563000） 椭圆面积公式S= ab （其中a 、b 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.在中 学数 学教材中，仅在高中《平面解析几何》的习题中作为已知公式给出过，直到高 等数学的定积分学习时才给出定积分推导?现用初等数学方法作两种推导，供读者 定理 1.若夹在两条平行直线间的两个平面图形，被平行于两条平行直线的任 一直线所截，如果截得的两条线段长的比例总相等，那么这两个平面图形的面积比 等于截得线段长的比. 注：此定理相当于祖暅原理的推论，故证明从略 2 2 方法一：设椭圆C 的方程为务 笃1（ a>b>0）,辅助圆C '的方程为x 2+y 2=b 2 , a b m b ）与两曲线相交，交点分别为M （ X 1 , m ）、N （X 2 , m ） 2°、当 b 2 m 2，即 b^|m| 时，有 f X2| a . 卜3刈b 及 P (X 3 , m )、Q(X 4 , m) ，如图1. y 由X 2 a m v 2 解得X 1 b 2 1、2 此时, 由y 2 X b 2 解得 X 3,4=±lb 2 m 2 此时, X 3 X 4 =2 - b 2 m 2 10、当 b 2 （图1） m 2,即 b=|m| 时，交点为（0, 3或（0，-b ）； 且一直线L ： y = m （ b a .. b 2 m 2 b 显然1°是一种特殊情况，即直线L与两曲线C、C'交于一点，此时与求椭圆C 的面 积无影响，故可忽略；在情况2°下，即椭圆C的弦长|MN|与圆C'的弦长|PQ| 比恒为定 值a时，贝U当设椭圆C与圆C'的面积分别为S、S'时，由定理1得=-， b S b a ! a 又圆C'的面积S' = n b2，故有S = —S' = — Ttb2 = ^ab . b b 所以椭圆C的面积公式为S =n ab （其中a b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）. 注：此法适应于类似夹在两条平行直线间的平面图形，若被平行于两平行直线的任一条直线所截得的线段长成相等比例，当已知线段长的比值时，则可利用定理1由一已知平面图形面积求另一平面图形面积? 定理2.若一平面图形M'是另一凸平面图形M的射影，且凸平面图形M与射影平面图形M'所成角为，则射影平面图形M'的面积与凸平面图形M的面积比为cos . 证明：设平面图形M'是平面图形M的射影.1°当平面图形M是凸曲边行时，如图2,将平面图形M的边缘进行n+1等分，设分点分别为A1、A2、A3、…、A i、A i 1、 …、A n、A n1，它们分别在平 面图形M'上的射影为A1、A 2 I I I I A A A i、i 1、、A\ n、n1 , 则分别连结点A1、A 2、A3 (1) 在圆的面积公式S=πr 2中，常量是----------，变量是---------。 (2) 某村的耕地面积是108m 2,这个村人均占有耕地面积ym 2随这个村的人数x 人和变 化而变化，其中常量是--------，变量是----------。 (3) 下列变量之间的系中，是函数关系的是( ) A.人的体重与年龄 B,正方形的周长与边长 C.长方形的面积与长 D.y=±x 中，y 与x (4)李教师讲完“变量与函数”这节知识后，让同学们说出实际生活中有函 数关系的 实例，并指出其中的常量与变量，自变量及函数。 甲生说:“如果设路程为s （千米），速度为v （千米/时），时间为t （时），当路程s 为 一定值时，s 为常量，v,t 为变量，v,是自变量，t 是v 的函数。” 乙生说：“甲生所举实例中，t 是自变量，v 是t 的函数。” 丙生说：“四生所举实例中，当v 为一定值量，v 为常量，s ，t 是变量，t 为自变量，s 是t 的函数。” 你认为哪位同学的说法正确？（ ） （5）函数1 1+x 中，自变量x 的取值范围是（ ） （6）函数y= 2-x 中，自变量x 的取傎范围是（ ） （7）函数y=31 -x 中，自变量x 的取傎范围是（ ） (8) 函数y=2x 2-3x-1中，自变量x 的取傎范围是（ ） （9）如图，等腰△ABC 的周长为10，腰长为x ，底边长为y ，则y 与x 的函数关系 式及自变量的取值范围是？ A A.y=10-2x(x>0) B.y=10-2x(0 圆的面积 教学目标： 知识与能力：使学生理解和掌握圆的面积计算公式，能利用公式计算圆的面积，解决一些简单的实际问题。培养学生操 作，观察，分析和概括等能力。 过程与方法：通过学生动手操作，培养学生的创新意识和创新精神。 情感、态度、价值观：渗透极限思想，并使学生进一步认识转化的数学思想和方法。 教学重点、难点：圆的面积推导过程 教具、学具： 用于圆面积推导演示的相应的5个圆面积展开模型，彩纸圆形，剪刀，多媒体电脑及相关课件。 教学内容：教材第67页第四单元第三课时：圆的面积计算 教学过程： 一、导入新课 1、电脑演示：用一根绳子把斑马栓到草地中心一棵树上，斑马走一圈。 2、提问：看着刚才的动画，你能想到什么问题？斑马吃草的最大 面积是多少？也就是求什么的面积？（从学生熟悉的事物引入，激发学生的学习兴趣。） 4、我们已经认识了圆，圆的直径，半径。周长之间的关系。 3、那么我们该怎样求圆的面积呢？今天我们就一起来研究与这有关的问题。（板书课题）“圆的面积”。 出示：概念：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 二、转化 1、师：我们先来回忆一下，以前学过的平行四边形的面积公式是怎样推导转化而来的呢？（根据学生回答电脑演示：平行四边形的转化过程。） 2、师：请同学们自己动手操作。利用你桌面上的圆片，把它们各自平均分成8等份，16等份， 32等份。试一试，能拼成什么图形？我们以前学过的图形的边都是直的，而圆的边是曲的怎么办呢？（学生动手操作） 3、根据学生操作的结果，计算机边演示转化过程边归纳。 （1）把圆平均分成4等份，拼成近似平行四边形。看拼成的图形像什么图形？ （2）把圆平均分成8等份，拼成近似平行四边形。看看这个图形像什么？是不是有点像平行四边形？（有点像平行四边形）要怎样变圆的面积计算公式的推导(吴琼)
椭圆周长和面积计算公式
标准椭圆计算公式
圆的面积的教法探讨
椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习)
椭圆面积公式的推导
在圆的面积公式S
圆的面积计算教案