一道高中数学竞赛题目的推广

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一道高中数学竞赛题目的推广

作者：董正武

来源：《新一代》2015年第11期

摘要：在《奥林匹克数学中的代数问题》一书中有如下一道题：T为坐标平面上所有整点的集合（横，纵坐标都是整数的点称为整点），如果两个整点（x，y），（u，v）满足|x-

u|+|y-v|=1则称这两个点为相邻点。证明：存在集合S？哿T，使得每个点P∈T在P与P的相邻点中恰好有一个属于S。笔者先将题目中的“整点”这一条件推广到平面上的任意点，然后将平面上的结论类比到三维空间上，最后推广到n维空间上，得到类似的结论。

关键词：整点;相邻点;类比;推广

推广1：T为坐标平面上所有整点的集合（横，纵坐标都是整数的点称为整点），如果两个整点（x，y），（u，v）满足|x-u|+|y-v|=1则称这两个点为相邻点。证明：存在集合S？哿T，使得每个点P∈T在P与P的相邻点中恰好有一个属于S。

类比1：T为三维空间中所有整点的集合（横，纵，竖坐标都是整数的点称为整点），如果两个整点（x，y，z），（u，v，w）满足|x-u|+|y-v|+|z-w|=1则称这两个点为相邻点.证明：

存在集合S？哿T，使得每个点P∈T在P与P的相邻点中恰好有一个属于S。

类比2：T为三维空间中点的集合，如果两个点（x，y，z），（u，v，w）满足|x-u|，|y-v|，|z-w|中恰有两个为0，有一个为1，则称这两个点为相邻点。证明：存在集合S？哿T，使得每个点P∈T在P与P的相邻点中恰好有一个属于S。

推广2：T为n维空间中所有整点的集合（所有n个坐标都是整数的点称为整点），如果两个整点（x1，x2，…，xn），（y1，y2，…，yn）满足|x1-y1|+|x2-y2|+…+|x n-yn|=1则称这

两个点为相邻点.证明：存在集合S？哿T，使得每个点P∈T在P与P的相邻点中恰好有一个属于S。

证明：对n维空间中的整点A（x1，x2，…，xn），令Li1=（x1，x2，…，xi-1，xi+1，xi+1，…xn），Li-1=（x1，x2，…，xi-1，xi-1，xi+1，…xn）.于是A的相邻点为Lij（j=？芄1，i=1，2，…，n）.

对任意（x1，x2，…，xn）∈T，定义f（x1，x2，…，xn）=nx1+（n-1）x2+…+2xn-

1+xn，则f：T→Z为T到整数集的映射。

容易证明2n+1个数f（Lij）（j=？芄1，i=1，2，…，n），f（A）中恰有一个被2n+1整除.若令S={（x1，x2，…，xn）∈T|f（（x1，x2，…，xn）mod（）2n+1=0}则S满足要求。