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高考复习专题：函数零点的求法及零点的个数

函数零点的求法及零点的个数

题型1：求函数的零点。

[例1] 求函数

222

3+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数2223+--=x x x y 的零点就是求方程0222

3=+--x x x 的根 [解析]令 32

220x x x --+=，∴2

(2)(2)0x x x ---=

∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或即函数222

+--=x x x y 的零点为-1，1，2。

[反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。

题型2：确定函数零点的个数。

[例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数.

[解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数

[解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增，又有(1)(4)0f f ?<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。

方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数

即求ln 62y x

y x =??

=-?的交点的个数。画图可知只有一个。

[反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法：

①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围

[例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数

()a x ax x f --+=3222

,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。

[解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关

于参数a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2x 的系数，故要对a 进行讨论

[解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠.

令

()2

48382440

a a a a ?=++=++=, 解得

2a -±=

①当

2a --=

时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上;

②当()()()()05111<--=?-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点。 ③当

()

y f x =在[

]

1,1-上有两个零点时, 则

()()20824401

1121010a a a a f f >?

??=++>??-<-

≥?

-≥?

或

()()20824401

1121010a a a a f f

??=++>??-<-

≤?

-≤?

解得5a ≥或

352a --<

综上所求实数a 的取值范围是 1a > 或 35

2a --≤

。

[反思归纳]①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高

考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.

②二次函数2()f x ax bx c =++的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据。考点3 根的分布问题

[例5] 已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围

[解题思路]由于二次函数的图象可能与x 轴有两个不同的交点，应分情况讨论

[解析]（1）若m=0，则f （x ）=－3x+1，显然满足要求. （2）若m ≠0，有两种情况：

原点的两侧各有一个，则????

??<=>--=01

04)3(2

12m x x m m Δm ＜0；

都在原点右侧，则???

???

>=>-=+≥--=,01,023,04)3(21212m x x m m x x m m Δ解得0＜m ≤1，综上可得m ∈（－∞，1］。

[反思归纳]二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程

ax2+bx+c=0（a ≠0）的根的分布有关的结论：

①方程f （x ）=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小?a ·f （r ）＜0.

②二次方程f （x ）=0的两根都大于r ???????>?>->-=?.

0)(,2,

042r f a r a

b a

c b Δ

③二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内有两根???????

??>?>?<-

<>-=?.

0)(,0)(,2,

042p f a q f a q a b p ac b Δ

④二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内只有一根?f （p ）·f （q ）＜0，或f （p ）=0，另一根在（p ，q ）内或f （q ）=0，另一根在（p ，q ）内.

⑤方程f （x ）=0的两根中一根大于p ，另一根小于q （p ＜q ）??

?>?

A ．(

],1-∞；B ．(

]

{},01-∞；C ．()(],00,1-∞；D ．(),1-∞

[解析] B ；依题意得（1）

???<>--=?>0)0(04)2(0

f m m 或（2）

???>>--=?<0)0(04)2(02

f m m 或

（3）

???=--=?≠04)2(0

2m m 显然（1）无解；解（2）得0

2、方程

223x x -+=的实数解的个数为 _______ 。 [解析] 2；在同一个坐标系中作函数x y )21

(=及

+-=x y 的图象，发现它们有两个交点

故方程2

23x x -+=的实数解的个数为2。

3、已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p 的取值范围是_________。

[解析] (－3，23

）只需2(1)2290f p p =--+>或2(1)210f p p -=-++> 即－3＜p ＜23或－21＜p ＜1.∴p ∈(－3, 23

)。

4、设函数321

()2

x y x y -==与的图象的交点为00(,)x y ，则0x 所在的区间是（）。

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4) 答案B 。

5、若方程2(2)210x k x k +-+-=的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k 的取值范围。

[解析] 12

23k <<；令

12)2()(2

-+-+=k x k x x f ，则依题意得 ??

??><>0)2(0)1(0

)0(f f f ，即

??>-+-+<-+-+>-01242401221012k k k k k ，解得122

3k <<

。

（三）、小结反思：本课主要注意以下几个问题：1．利用函数的图象求方程的解的个数；2．一元二次方程的根的分布；3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题。补充题：1、定义域和值域均为[-a,a] (常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中：

(1) 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解； (2) 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解； (3) 方程f[f(x)]=0有且仅有九个解； (4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。那么，其中正确命题的个数是（ )。 A ． 1; B. 2; C. 3; D. 4。

[解析] B ；由图可知，][)(a a x f ，-∈，][)(a a x g ，-∈，由左图及f[g(x)]=0得

]2[)(1a a x x g --∈=，，]02[)(2，a x x g -∈=，2)(a

x g =

，由右知方程f[g(x)]=0有且仅有三个解，即(1)正确；由右图及g[f(x)]=0得)

2()(0a a

x x f ，∈=，由左图知方程g[f(x)]=0有且仅有一个解，故(2)错误；由左图及f[f(x)]=0得

]

2[)(1a a x x f --∈=，，]02[)(2，a x x f -∈=，2)(a

x f =

，又由左图得到方程f[f(x)]=0最多有三个解，故(3)错误；由右图及g[g(x)]=0得)

2()(0a a

x x g ，∈=，由右图知方程g[g(x)]=0有且仅有一

个解，即(4)正确，所以应选择B

2、已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=。

(1)若方程有两根,其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围。

(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围。

[解析](1)条件说明抛物线2()221f x x mx m =+++与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和

(1，2)内，画出示意图，得

????????

???

->-<∈-

???

?>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴21

65-<<-m .

(2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组

??????

?<-<≥?>>10,

0,0)1(,0)0(m f f ??????

???

<<--≤+≥->->?.01,2121,

21,21m m m m m 或(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m 应在区间(0，1)内通

过) 即解得1122m -

<≤-．∴ 1,122m ??∈-- ???

． -a a x y y =f (x ) O

-a -

a a x y y =g (x ) O a -a

高考复习专题：函数零点的求法及零点的个数()

函数零点的求法及零点的个数题型1：求函数的零点。 [例1] 求函数 222 3+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数 222 3+--=x x x y 的零点就是求方程 0222 3=+--x x x 的根 [解析]令 32 220x x x --+=，∴ 2(2) (2) x x x --- = ∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或即函数222 3 +--=x x x y 的零点为-1，1，2。 [反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数 ()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。题型2：确定函数零点的个数。 [例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数. [解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 [解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增，又有(1)(4)0f f ?<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数即求ln 62y x y x =?? =-?的交点的个数。画图可知只有一个。 [反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法： ①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围 [例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数 ()a x ax x f --+=3222,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。 [解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2 x 的系数，故要对a 进行讨论 [解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在 []1,1-上没有零点, 所以 0a ≠. 令 ()248382440 a a a a ?=++=++=, 解得 37 2a -±= ①当 37 2a --= 时, ()y f x =恰有一个零点在[ ] 1,1-上; ②当()()()()05111<--=?-a a f f ，即15a <<时， () y f x =在[ ] 1,1-上也恰有一个零点。 ③当()y f x =在[ ] 1,1-上有两个零点时, 则 ()()20824401 1121010a a a a f f >? ??=++>??-<-??-<-

求函数零点的几种方法

求函数零点的几种方法 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】

函数零点一、知识点回顾 1、函数零点的定义：对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。注意：（1）零点不是点；（2）方程根与函数零点的关系：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 2、零点存在性定理：如果函数)(x f y =在闭区间[a, b]上的图象是连续曲线,并且有0)()(++c bx ax 的解集是例2 若函数2()2f x x x a =-+有两个零点，且一个在（－2，0）内，另一个在（1，3）内，求a 的取值范围．变式 1、已知关于x 的方程2350x x a -+=的两根12x x ，满足1(20)x ∈-，，2(13)x ∈，，求实数a 的取值范围．

求函数零点的几种方法

函数零点一、知识点回顾 1、函数零点的定义：对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。注意：（1）零点不是点；（2）方程根与函数零点的关系：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 2、零点存在性定理：如果函数)(x f y =在闭区间[a, b]上的图象是连续曲线,并且有0)()(++c bx ax 的解集是例2若函数2()2f x x x a =-+有两个零点，且一个在（－2，0）内，另一个在（1，3）内，求a 的取值范围．变式 1、已知关于x 的方程2350x x a -+=的两根12x x ，满足1(20)x ∈-，，2(13)x ∈，，求实数a 的取值范围． 2、已知函数()()()2()f x x a x b a b =--+<，若()αβαβ<，是方程()0f x =的两个根，则实数a b αβ，，，之间的大小关系是（） A ．a b αβ<<< B ．a b αβ<<< C ．a b αβ<<< D ．a b αβ<<<