2020—2021学年第一学期高二期中考试数学试题(文科)
命题人【本试卷满分150分,考试时间为120分钟】
第Ⅰ卷(选择题 60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1.命题“0x ?>,1
ln 1x x
≥-”的否定是( ) A .00x ?≤,01ln 1x x ≥- B .00x ?>,01ln 1x x <- C .00x ?>,0
1ln 1x x ≥-
D .00x ?≤,0
1ln 1x x <-
2.演绎推理“因为对数函数()10log y ≠>=a a x a 且是增函数,而函数x y 2
1log =是对数函数,所以x y 2
1log =是增函数”所得结论错误的原因是( )
A .大前提错误
B .小前提错误
C .推理形式错误
D .大前提和小前提都错误
3.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A .()()q p ?∨?
B .()q p ?∨
C .()()q p ?∧?
D .q p ∨
4.已知向量()2,-=λ,()1,1λ+=,则“1=λ”是“⊥”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
5.把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面,则这个圆锥的高为( ) A .10
B .310
C .210
D .35
6.设三角形ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,面积为S ,内切圆半径为r ,则c
b a S
r ++=
2;
类比这个结论可知:若四面体ABC S -的四个面的面积分别为4321,,,S S S S 内切球的半径为r ,四面体ABC S -的体积为V ,则r 等于( )
A .
4321S S S S V
+++
B .
43212S S S S V
+++
C .4
3213S S S S V
+++
D .
4
3214S S S S V
+++
7.命题“已知R b a ∈,,若022=+b a ,则0==b a ”的逆否命题是( ) A .已知R b a ∈,,若0≠≠b a ,则022=+b a B .已知R b a ∈,,若0≠=b a ,则022≠+b a C .已知R b a ∈,,若00≠≠b a 且,则022≠+b a D .已知R b a ∈,,若00≠≠b a 或,则022≠+b a
8.设l n m ,,表示不同直线,γβα,,表示三个不同平面,则下列命题正确的是( ) A .若l n l m ⊥⊥,,则n m // B .若,//m m βα⊥,则βα⊥
C .若γβγα⊥⊥,,则α//β
D .若n m n m //,,==γβγα ,则βα//
9.在实数范围内,使得不等式11
>x
成立的一个充分而不必要的条件是( ) A .0>x
B .1 C .10< D .2 10< 的建筑.在一座宫殿中,有一件特别的“柱脚”的三视图如右图所示,则其体积为( ) A . π43 8 + B . π83 8 + C .π48+ D .π88+ 11.已知一块形状为正三棱柱111C B A ABC -(底面是正三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱)的 实心木材,321==AA AB 。若将该木材经过切割加工成一个球体,则此球体积的最大值为( ) A .4π B . C . D . 382 π43 π323 π 12.棱长为2的正方形 中,为棱的 中点,点,分别为面 和线段 上的动点, 则周长的最小值为( ) A . B . C . D . 第Ⅱ卷(非选择题 90分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答卷的相应位置. 13.设a R ∈,命题:1p a ≤,命题2 :1q a ≤,则p ?是q ?的__________条件.(填“充要”“充 分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”) 14.已知一个棱长为6cm 的正方体塑料盒子(无上盖),上口放着一个半径为5cm 的钢球,则 球心到盒底的距离为 cm . 15.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说: “是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是_______. 16.如图,某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱 锥构成的几何体,该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆,顶点在半球面上,则被挖去的正三棱锥体积为_______. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分10分)设命题():220p a x a a -≤≤+>,命题2:60q x x +-≤. (1)若 1a =,命题“p q ∧”为真,求实数 x 的取值范围; (2)若q 是p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 18.(本题满分12分)如图,在四棱锥 中,平面 , , . (1)若 为 的中点,求证: 平面 ; (2)求三棱锥的体积. 19.(本题满分12分)如图,在四棱锥ABCD P -中,ABCD PA 平面⊥,CD AD BC AD ⊥,//, 且 2= =CD AD ,22=BC ,2=PA . (1)求证:PD CD ⊥; (2)求直线AC 与PD 所成角的余弦值. 20.(本题满分12分)已知命题:对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立;命题:关 于x 的方程02=+-a x x 有实数根 . (1)若命题p 为假命题,求实数a 的取值范围; (2)如果“”为真命题,且“”为假命题,求实数的取值范围. 21.(本题满分12分)如图,已知多面体111C B ABCA ,A A 1,B B 1,C C 1均垂直于平面ABC , 120=∠ABC ,41=A A ,11=C C ,21===B B BC AB . (1)证明:1111C B A AB 平面⊥; (2)求直线1AC 平面1ABB 所成的角的正弦值. 22.(本题满分12分)设命题:函数的值域为;命题:不等式对一切均成立. (1)若p ?为假命题,求实数a 的取值范围; (2)若命题p ,q 至少有一个是真命题,求实数a 的取值范围. p q q p ∨q p ∧a p ()?? ? ?? + -=16lg 2 a x ax x f R q 39x x a - 2020—2021学年第一学期高二期中考试数学答案(文科) 1-5BAAAB 6-10CDBDC 11-12CB 13. 充分不必要 14.10 15.丙 16.32 17.答案:1.当 1a =时, :13p x ≤≤ 实数x 的取值范围是[1,2] 2.由260x x +-≤得: 32x -≤≤ 若q 是p 的充分不必要条件,则[3,2] -[]2,2a a -+ 即023 a a >??-≤-?所以5a ≥ 所以,实数a 的取值范围是[)+∞,5 18 19.(2) 6 6 20.解 对任意实数x 都有ax 2 +ax +1>0恒成立?a =0或?? ? a >0 Δ<0 ?0≤a <4; 关于x 的方程x 2-x +a =0有实数根?1-4a ≥0?a ≤1 4 ; (1)()[)+∞∞-,40, (2)如果p 真,且q 假,有0≤a <4,且a >1 4 ,