5圆锥曲线专题训练及答案
圆锥曲线部分
班级姓名
一、性质与结论
1、椭圆：①两种定义
定义一：.
定义二：.
2、双曲线：①两种定义
定义一：.
定义二：. 3、抛物线：定义：平面内到一定点的距离与到一定直线的距离相等的点的轨迹.
焦点弦：
二、解答题训练
1、已知动圆C 与定圆2
2
13:204C x x y +++
=相外切，与定圆22245:204
C x x y -+-=相内切． （Ⅰ）求动圆C 的圆心C 的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线:(0)l y kx m k =+≠与C 的轨迹交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点1(,0)8
G ，求k 的取值范围．
解：（Ⅰ）设动圆C 的半径为r ， 1C ：221(1)4x y ++=
，2C ：2249(1)4
x y -+=， 则由题意有1217
||||22
CC r CC r =
+=-，， 124CC CC ∴+=，
C ∴的轨迹是以12(10)(10)C C -，，，为焦点，24a =的椭圆，
∴C 的轨迹方程为22143
x y +=． ………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）设1122()()M x y N x y ，，，，
由22
143
x y y kx m ?+
=???=+?
，， 消去y 并整理得222(34)84120k x kmx m +++-=． …………………………………（6分） 直线y kx m =+与椭圆有两个交点，
222(8)4(34)(412)0km k m ∴?=-+->，即2243m k <+，①
又122
834km
x x k +=-+， …………………………………………………………………（8分）
MN ∴中点P 的坐标为2
2433434km m k
k ?
?- ?++??，． 设MN 的垂直平分线l '的方程为118y x k ??
=-- ???
，
P 在l '上， 22
314134348m km k k k ??∴=--- ?++??， 即24830k km ++=，
21
(43)8m k k
∴=-+， …………………………………………………………………（10分）
将上式代入①得22
22
(43)43
k k +<+，
21
20
k ∴>
，即k
>k < k ∴的取值范围为5
???-∞+∞ ? ?????
，，．………………………………………（12分）
2、已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的焦距为4，设右焦点为1F ，离心率为e ．
（Ⅰ）若2
e =，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A 、B 为椭圆上关于原点对称的两点，1AF 的中点为M ，1BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上． ①证明点A 在定圆上；
②设直线AB 的斜率为k
，若k ≥e 的取值范围．
解：
（Ⅰ）由e =
，c =2
，得a =，b =2 , 所求椭圆方程为22
184
x y +=. ………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）设00(,)A x y ，则00(,)B x y --，
故00
+222x y M ?? ???，，0
0222x y N -??- ???
，. ① 由题意，得0OM ON =.
化简，得22
004x y +=，所以点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上. ……………（8分） ② 设00(,)A x y ，则00222
22
00220022222222220000,1,
111,(1)444y kx x k x x y k k a b
a b a b x kx x y =???+=??+=??+=+????+=??+=?
. 将2c e a a ==，22224
4b a c e =-=-，代入上式整理，
得2242(21)2 1.k e e e -=-+
因为42210e e -+>，k 2>0，所以2210e ->，
所以 422
221321
e e k e -+=-≥．
化简，得422840,210.e e e ?-+?
?->??
≥
解之，得21
42
e <-≤
1,e <
故离心率的取值范围是1?
???
. ……………………………………………（12分） 3、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的右顶点与抛物线)0(22
>=p px y 的
焦点重合，且双曲线与抛物线的准线的交点坐标为)1,2
2
(--。 （Ⅰ）求双曲线的标准方程； （Ⅱ）设斜率为)2|(|<
k k 的直线l 交双曲线C 于P 、Q 两点，若直线l 与圆122=+y x 相切，求证：
OQ OP ⊥.
解：
（Ⅰ）2-
=∴=p p ∴抛物线22(0)=>y px p
的焦点为?
????
，
∴=
a
1??- ? ???
，1∴=∴=b
b a . 故双曲线的标准方程为222 1.-=x y ………………………………………………（4分） （Ⅱ）设直线l ：=+y kx b . 直线l
与圆相切，221,1=∴=+b k ，
由22
,21=+??-=?
y kx b x y 消去y 得：222(2)210----=k x kbx b . 设1122(,),(,)P x y Q x y ，
则2
121222
21,22--+==
--kb b x x x x k k ， 22121212121212()()(1)()∴?=+=+++=++++OP OQ x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b
2222222
222
(1)(1)21222+---+-=++=
---k b k b b k b k k k ， 221=+b k ，0,∴?=∴⊥OP OQ OP OQ . ……………………………………（12分）
4、已知抛物线C 的顶点在原点，准线方程为1=x ，F 是焦点.过点)0,2(-A 的直线与抛物线C 交于
),(11y x P ，),(22y x Q 两点，
直线PF ，QF 分别交抛物线C 于点M ，N .（Ⅰ）求抛物线C 的方程及21y y 的值；（Ⅱ）记直线MN PQ ,的斜率分别为1k ，2k ，证明：2
1k k
为定值.
解：（Ⅰ）依题意，设抛物线方程为22(0)y px p =->，,
由准线12
p
x ==，得2p =，
所以抛物线方程为24y x =-． ………………………………………………（2分） 设直线PQ 的方程为2x my =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2480y my +-=， 从而128y y =-．
………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）证明：设3344(,),(,)M x y N x y ，
则22
34
3434112122212212343412
4444
y y x x y y k y y y y y y k x x y y y y y y -
-+----=?=?=---+---． …………………（8分）
设直线PM 的方程为1x ny =-，代入24y x =-，
消去x ，整理得2440y ny +-=， 所以134y y =-，
同理244y y =-． ………………………………………………………………（10分）
故3411221212124444182
y y k y y k y y y y y y --+
+--=====++-，为定值． …………………………（12分） 小结：①抛物线的定义与性质；②设直线的方程n ty x +=)0(0
≠α；③设而不求，联立方程组，利用根与系数的关系；④综合与分析的解题方法.
5、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
的离心率为2
，且椭圆C 上一点与两个焦点构成的三角形的周长
为222+.
（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设过椭圆C 右焦点F 的动直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，试问：在x 轴上
是否存在定点M ，使7
16
MA MB ?=
-成立？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（I
）由题意知：
2
c a =
，且222a c += ·······················································
······· 2' 解得：1a c ==
进而2
2
2
1b a c =-= ···················································································································· 4'
∴ 椭圆C 的方程为2
212
x y += ·································································································· 5' （II ）易求得右焦点(1,0)F ,
假设在x 轴上存在点(,0)M t （t 为常数），使7
16MA MB ?=- ················································
6'
①当直线l
的斜率不存在时，则:1l x =，此时(1,(1,
22
A B -,
217
(1,)(1,(1)22216
MA MB t t t ?=-?--=--=-
解得54t =或3
4
. ···························································································································· 7'
②当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，
联立方程组22
(1)12y k x x y =-???+=??，消去y 整理得2222
(21)4220k x k x k +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2212122
2422
,2121
k k x x x x k k -+==++ ·················································· 9' 1122(,(1))(,(1))MA MB x t k x x t k x ?=--?--
22221212(1)()()k x x t k x x k t =+-++++
222
222
22
224(1)()2121k k k t k k t k k -=+?-+?++++ 22
2(41)221
t k t k -+=-+
当41221t -=即54t =时，MA MB ?为定值：27
216
t -=- 由①②可知，在x 轴上存在定点5
(,0)4M ，使716
MA MB ?=-成立 ······································
12
' 6、已知动点(,)M
x y 与定点F
的距离和它到直线:l x =,记M 的轨迹
为曲线C .
（I ）求曲线C 的方程；（II ）设直线1x my =+与曲线C 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ',试问：当m 变化时，直线A B '与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不
是，请说明理由．
解:（I ）设d 是点M 到直线:l
x =
,根据题意,点M 的轨迹就是集合 ||{|
MF P M d == ··········································································· 1'
由此得
2||x =
·············································································· 2' 将上式两边平方,并化简得2244x y += ·································································· 4'
所以曲线C 的方程为2214
x y += ·
··········································································· 5' （II ）由22
1,
41,
x y x my ?+=???=+?
得22(1)44my y ++=，即22(4)230m y my ++-=. ······································· 6' 记1122(,),(,)A x y B x y ，
则11(,)A x y '-，且12122223
,44
m y y y y m m +=-?=-++. ···································· 7'
特别地，令11y =-，则123
0,1,5
x m y ===.
此时83
(0,1),(,)55
A B '，直线:440A B x y '+-=与x 轴的交点为(4,0)S ． ······· 8'
若直线A B '与x 轴交于一个定点，则定点只能为(4,0)S ． 以下证明对于任意的m ，直线A B '与x 轴交于定点(4,0)S ．
事实上，经过点1122(,),(,)A x y B x y '-的直线方程为11
2121
y y x x y y x x +-=
+-. 令0y =，得211 1.21x x x y x y y -=?++只需证211 1.21
4x x
y x y y -?+=+， ·
························ 9' 即证211121
()30m y y y my y y -?+-=+，
即证121223()0my y y y -+=. ·············································································· 10'
因为22322()3()044
m
m m m -?--=++， ································································ 11'
所以121223()0my y y y -+=成立．
这说明，当m 变化时，直线A B '与x 轴交于定点(4,0)S ． ································ 12'
7、 已知椭圆E 的焦点在x 轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点3
(1,)2
．
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）直线2y kx =-与椭圆E 相交于,A B 两点， O 为原点，在OA 、OB 上分别存在异于O 点的点M 、N ，使得O 在以MN 为直径的圆外，求直线斜率k 的取值范围．
解：（I ）依题意，可设椭圆E 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>．
由2222
12,32
c a c b a c c a =?==-= ∵ 椭圆经过点3(1,)2
，则22
191412c c +=，解得2
1c = ∴ 椭圆的方程为22
143
x y += ······································································································· 4'
（II ）联立方程组22214
3y kx x y =-??
?+=??，消去y 整理得22(43)1640k x kx +-+= ··························· 5'
∵ 直线与椭圆有两个交点，
∴ 22(16)16(43)0k k ?=--+>，解得2
1
4
k >
① ······························································· 6' ∵ 原点O 在以MN 为直径的圆外， ∴MON ∠为锐角，即0OM ON ?>．
而M 、N 分别在OA 、OB 上且异于O 点，即0OA OB ?> ··················································· 8'
设,A B 两点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，
则2121y y x x +=?21212(1)2()4k x x k x x =+-++ 2
22
416(1)
2404343
k
k k k k ==+-+>++ 解得2
4
3k <
， ··················································································································· ②11' 综合①②
可知：1123,22k ???∈- ? ? ?
???·······················································
··················12' 8、已知椭圆(22
2:13
x y E a a +=>的离心率12e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于不同的两点,M N ,
以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ． （I ）求椭圆E 的方程；
（II ） 若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABC ?的面积的最大值.
解（I ）
：∵椭圆()222:133x y E a a +=>的离心率12e =, ∴1
2a =. …… 2分
解得2a =. ∴ 椭圆E 的方程为22
143
x y +=． ……………… 4分 （II ）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．
由22
,1,43
x t x y
=???+
=?? 得22
1234t y -=. ∴ 圆C 的半径为2r =． …………
5分 ∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y
轴的距离d t =，
∴
02
t <
<
，即0t <<．
∴ 弦长||
AB == ……………… 7分
∴ABC
?
的面积1
2
S =? ……………… 8分
)=
)2
21272
t +-≤
7
=
…………………… 11分
=
，即
7
t=时，等号成立.
∴ABC
?
…………… 12分解法2：依题意，圆心为(,0)(02)
C t t
<<．
由22
,
1,
43
x t
x y
=
?
?
?
+=
??
得
2
2
123
4
t
y
-
=.∴圆C
的半径为r=．……5分∴圆C的方程为
2
22
123
()
4
t
x t y
-
-+=．
∵圆C与y轴相交于不同的两点,A B，且圆心C到y轴的距离d t
=，
∴
2
t<<
，即0
7
t<<．
在圆C的方程
2
22
123
()
4
t
x t y
-
-+=中，令0
x=
，得y=
∴
弦长||
AB=………………………………………………………7分∴ABC
?
的面积
1
2
S=?………………………………………… 8分
)
=
)22
127
2
t
+-
≤
=………………………………………………11分
=
，即
7
t=.
∴ABC
?
的面积的最大值为
7
．……………………………12分
9、椭圆C：)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
的左、右焦点分别为)0,1
(
1
-
F、)0,1(
2
F，O是坐标原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且AOB
?的面积为5．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点)0,4(P作与x轴不重合的直线l与C交于相异两点M、N，交y轴于Q点，证明|
|
|
|
|
|
|
|
PN
PQ
PM
PQ
+为定值，并求这个定值．
解：（Ⅰ）依题意得
??
?
?
?
=
=
-
5
2
1
1
2
2
ab
b
a
………3分
解得
?
?
?
=
=
4
5
2
2
b
a，故椭圆C的方程为
1
4
5
2
2
=
+
y
x．………5分（Ⅱ）依题意可设直线l的方程为4
+
=ky
x………6分
由
?
?
?
=
+
+
+
?
=
+
+
=
44
32
)5
4(
20
5
4
4
2
2
2
2
ky
y
k
y
x
ky
x
设),(11y x M ，),(22y x N ，),0(3y Q ，则??
???
+=+-=+5444
54322
2122
1k y y k k y y ………8分 又由直线l 的方程4+=ky x 知k
y 43-=
由三角形的相似比得|
||)||(||||
||||
||||
|||||||212132313y y y y y y y y y PN PQ PM PQ +=+=+
注意到||||||0212121y y y y y y +=+?>
11325
44454|
|32||4||||||||||||||2
221213=
++?=+?=+?k k k k y y y y y PN PQ PM PQ 故|
|||||||PN PQ PM PQ +为定值1132． ………12分
10、已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，过点A
与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=，过A ，Q ，F 2三点的圆
的半径为2，过定点M （0,2）的直线l 与椭圆C 交于G 、H 两点（G 在M 、H 之间） （I ）求椭圆的标准方程；
（II ）设直线l 的斜率0k >，在x 轴上是否存在点P （m ，0），使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由.
解（I ）2221=+F F F ，1F ∴是Q F 2的中点，)0,3(c Q -，2AF AQ ⊥ ，,4,32222c a c b ==∴过2,,F Q A 三点的圆的圆心为)0,(1c F -，半径为c 2，1=∴c ，13
42
2=+∴y x ......4分 （II ）设直线l 的方程为)0(2>+=k kx y
3416,2100416)43(134
)
0(22212222+-=+>?>??=+++??
????=+>+=k k x x k kx x k y x k kx y ....6分 )4)(,2(2121++-+=+x x k m x x PH PG ，))(,(),(12121212x x k x x y y x x GH --=--=
由于菱形对角线垂直，则0)(=?+，024))(1(212=-+++∴m k x x k
解得3422+-=k k
m ， ......9分
即k
k m 342+
-
=，06
3,21<≤-∴>
m k ， ......11分 当且仅当
k k
43
=时，等号成立 ......12分 11、已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，由4个点),(b a M -，),(b a N ，2F 和1
F 组成了一个高为3，面积为33的等腰梯形.
（I ）求椭圆的方程；
（II ）过点1F 的直线和椭圆交于A ，B 两点，求AB F 2?面积的最大值. 解：
（Ⅰ）由条件得b =
……………………………………………………（1分）
且
333222=?+c
a ，所以3a c +=． …………………………………………（2分） 又32
2=-c a ，解得2,1a c ==． ………………………………………………（4分）
所以椭圆的方程为22
143
x y +=． …………………………………………………（5分）
（Ⅱ）显然，直线的斜率不能为0，
设直线方程为1x my =-，直线与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y .
联立方程22
1,43
1,x y x my ?+
=???=-?
消去x 得22(34)690m y my +--=， ………………（7分） 因为直线过椭圆内的点，无论m 为何值，直线和椭圆总相交．
121222
69
3434m y y y y m m +==-++∴，． ……………………………………（8分） 21212121
2
F AB S F F y y y y =-=-△
=
= ………………………………………………（10分）
令112
≥+=m t ，设19y t t
=+
， 易知10,3t ??∈ ???时，函数单调递减，1,3t ??
∈+∞ ???
时，函数单调递增，
所以，当211t m =+=，即0m =时，min 10
9
y =，
AB F 2?面积的最大值为3．………………………………………………………………（12分）
小结：（这是一道好题）这是2014年4月贵阳一中月考（五）的题；①直线反设：1-=my x ；②求AB F 2?有两法：d AB S .||21=
或|)||.(|||2
1
2121y y F F S +=；③求最值时，用均值不等式或求导来解决。
圆锥曲线大题专题训练答案和题目
圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．
高考数学圆锥曲线专题复习
圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.
2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定.
文科圆锥曲线专题练习及问题详解
文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形， ∴322c a = ，∴e =3 4 ， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点 P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=
高中数学-圆锥曲线专题
高三数学-圆锥曲线知识点 圆锥曲线的统一定义： 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,O)的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e(e >0),则动点的轨迹叫 做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线I称为准线，正常数e称为离心率。当0v e< 1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e> 1时，轨迹为双曲线。
两点，则MFL NF. 1、点P 处的切线PT 平分△ PFF 2在点P 处的内角. 2、PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 3、以焦点半径PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支) 1 (a >o,b > o )上，则过F O 的双曲线的切线方程是 ^2 a b 2 2 2 t — (1)等轴双曲线：双曲线 x y a 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率e , 2 . (2)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴, 2 实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.笃 a 2 2 y_ 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线: 2 L o . b 2 (3)共渐近线的双曲线系方程: 2 y b 2 2 0)的渐近线方程为笃 a 2 y o 如果双曲线的渐近线为 b 2 0时，它的双曲 2 线方程可设为二 2 a 0). 1. 点P 处的切线PT 平分△ PF1F2在点P 处的外角. 2. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 3. P o (X o ,y o )在椭圆 2 y 2 1上，则 过 P o 的椭圆的切线方程是 2 a x °x y o y 1 b 2 4. P 0( x o , y 0) 在椭圆 2 y 2 1夕卜， 则过 P 0 作椭圆的两条切线切点为 P 、 P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是 辱 ^2 1. a b 5. 2 再 1 (a > b > 0)的焦半径公式 b 2 | MF i | a ex o , | MF 2 | ex o ( F i ( c,0) , F 2(C ,0) M(X o ,y 。)). 6. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 7. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、A 为椭圆长轴上的顶点, AiP 和AQ 交于点 M AP 和AQ 交于点N,贝U MF 丄NF. 8. 2 x AB 是椭圆— 2 a 2 y_ b 2 1的不平行于对称轴的弦， M (x o , y o )为AB 的中点，贝U k OM k AB b 2 二，即 K AB a b 2X o 2 a y o 9. 若P o (x o ,y o )在椭圆 -H-* 2 y x )x y o y 2 1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 与 乎 2 X 。 __2 a y 。2 b 2 2 2 x y 4、若P o (X o ,y 。)在双曲线r 2 a b 1. 【备注1】双曲线:
圆锥曲线练习题(附答案)
) 圆锥曲线 一、填空题 1、对于曲线C ∶1 42 2-+-k y k x =1，给出下面四个命题： ①由线C 不可能表示椭圆； ②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜2 5 其中所有正确命题的序号为_____________. ？ 2、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满 足021=?PF PF ，2tan 21=∠F PF ，则该椭圆的离心率为 3.若0>m ，点?? ? ??25,m P 在双曲线15422=-y x 上，则点P 到该双曲线左焦点的距离为 . 4、已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ． 5、已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是 （4，a ），则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是 ． 6. 在ABC 中,7 ,cos 18 AB BC B ==- ．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 7.已知ABC ?的顶点B ()-3,0、C ()3,0，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，AB 和AC 边上的中线交于G ，且5|GF |+|GE |=，则点G 的轨迹方程为 8.离心率3 5 = e ，一条准线为x ＝3的椭圆的标准方程是 .
9.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是_____________; 10将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =（4，－3）平移后所得抛物线的焦点坐标为 . ^ 11、抛物线)0(12 <=m x m y 的焦点坐标是 . 12.已知F 1、F 2是椭圆2 2 22)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10＝的两个焦点，B 是短轴的一个端 点，则△F 1BF 2的面积的最大值是 13.设O 是坐标原点，F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A 是抛物线上的一点， 与x 轴正向的夹角为60°，则||为 . 14.在ABC △中，AB BC =，7 cos 18 B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率e = ． 二.解答题 15、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值1 2 -. . （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C. （Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=3 2 4时，求直线l 的方程.
圆锥曲线专题复习.doc
锥曲线专题训练 一、定义 【焦点三角形】 1、已知椭圆一 +八=1的左右焦点为E、F2, P为椭圆上一点， 9 4 (1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积 (2) 若ZF1PF2=60°,求的面积 2 2 2、已知双曲线土-匕=1的左右焦点为E、F2, P为双曲线上一点, (1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积 (2) 若ZF1PF2=60°,求Z^PF?的面积 2 2 3、鸟,氏是椭圆二+七=1(〃＞。＞0)的两个焦点，以鸟为圆心且过椭圆中心的 a~ b~ 圆与椭圆的一个交点为M。若直线&M与圆鸟相切，求该椭圆的离心率。 Y2 v2 4、椭圆瓦+ *_ = 1的焦点为与、「2。点P为其上的动点，当PF2为钝角时。点P横坐标的取值范围为多少？ V-2 V2V-2 V2 5、椭圆—+ J(。＞。＞0)和双曲线、- —(m, n＞ 0)有公共的焦点F】(- 。,0)、 a~ b~〃广 F2(C,0),P为这两曲线的交点，求|商|?|户尸2|的值. 二、方程 已知圆亍+y2=9,从圆上任意一点P向X轴作垂线段PPL点M在PP，上，并且两=2布，求点M的轨迹。 2.3【定义法】(与两个定圆相切的圆心轨迹方程) :—动圆与两圆：『+ ,,2 =]和尤2 * ,2 _8x+]2 = 0都外切，#1勃圆的圆心 的轨迹方程是什么？AA
题型1：求轨迹方程例1. (1) 一动圆与圆J + y2+6x+5 = 0外切，同时与圆x2 + r-6x-91 = 0内切,
求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。. （2）双曲线y-/ =1有动点、P,月,％是曲线的两个焦点，求APgE的重心M的轨迹方程。 3、给出含参数的方程，说明表示什么曲线。 已知定圆G： x2 + y2 =9,圆C2：x2+6x+y2 =0 三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标）（结合向量）直线与圆锥曲线相交的弦长计算（1）要熟练利用方程的根与系数关系来计算弦 长.弦长公式： （2）对焦点弦要懂得用焦半径公式处理；对中点弦问题，还要掌握“点差法”. 3. 圆锥曲线方程的求法有两种类型：一种是已知曲线形状，可以用待定系数法求解；另一种是根据动点的几何性质，通过建立适当的坐标系来求解，一般是曲线的类型未知.主要方法有： ?直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等.在求轨迹方程中要仔细检查“遗漏”和“多余”. 4. 圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题，也就是说，它是处于代数与几何的交汇处，因此要处理好其综合问题，不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、定理、公式，达到灵活、综合运用，还要善于综合运用代数的知识和方法来解决问题，并注意解析法、数形结合和等价化归的数学思想的应用. 1、已知椭圆= i,过左焦点k倾斜角为￡的直9 6 线交椭圆于A、8两点。求：弦48的长，左焦点K到48 中点〃的长。 2、椭圆以2+如2=1与直线对尸住0相交于爪8两点，C是线段花的中点.若
2020高考专题复习—圆锥曲线
一、2020年高考虽然推迟，但是一定要坚持多练习，加油！ 二、高考分析 1、分值、题型、难度设置 圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，分值约占14﹪，即20分左右，题型一般为二小一大，例如，2005年高考为一道选择题，一道填空题一道解答题。小题基础灵活，解答题一般在中等以上，一般具有较高的区分度。 考试内容：椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单的几何性质，椭圆的参数方程。 主要题型：（1）定义及简单几何性质的灵活运用；（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；（3）直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦及斜率、对称问题），确定参数的取值范围；（4）在导数、不等式、函数、向量等知识网络交汇点上的问题。 2、命题方向 解析几何内容多，范围广，综合度高，其特点是：数形结合，形象思维，规律性强，运算量大，综合性好。主要考察运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的综合能力。 涉及函数、方程、不等式、三角、向量和导数等方面的内容，以及数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法。 要注意一些立意新，角度好，有创意的题目，特别要关注在向量和解析几何交汇点上的命题趋势，两者通过坐标自然融合，既考查基
础知识、基本方法，又平淡之中见功夫，强化区分功能，突出对能力的考查，从不同的思维层次上考察能力，有较好的思维价值。 三、 专题复习 2.1考查直线和圆锥曲线方程等有关基础知识和基本方法，要特别重视圆锥曲线定义的灵活应用，反映思维品质。 例1．1)如图，在正方体ABCD D C B A -111的侧 面1AB 内有 动点P 到直线AB 与直线11C B 距离相等，则动点P 所在的曲线的形状为： （ ） 1 11 A B 1 (A) (B) 1A B 1 A 1 B (C) B A B 1 (D) 分析：本题主要考查抛物线定义，线面垂直关系及点到直线的距离等概念，情景新，角度好，有创意，考查基础知识和基本方法。 ∵11C B ⊥面1AB ，1PB ∴即为点P 到直线11C B 的距离，故动点P 的轨迹应为过B B 1中点的抛物线，又点1A 显然在此抛物线上，故选C 。 2)已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作 正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A ．324+ B ．13- C ． 2 1 3+ D ．13+ 2.2 求曲线的方程，考查坐标法的思想和方法，从不同思维层次上反映数学能力。
圆锥曲线大题练习1(供参考)
1.已知动直线l 与椭圆C: 22 132 x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ?= 6 2 ,其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和22 12y y +均为定值; （Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ?的最大值； （Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得6 2 ODE ODG OEG S S S ???===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由. 2.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D. （I ）设1 2 e = ，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由 3.设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2 =上运动，点Q 满足QA BQ λ=，经过Q 点与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=,求点P 的轨迹方程。 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA ?AB = MB ?BA ，M 点的轨迹为曲线C 。 （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。
5.在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22 221 x y a b +=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ； （Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ?=-，求点M 的轨迹方程． 6.已知抛物线1C :2 x y =，圆2C :2 2 (4)1x y +-=的圆心为点M （Ⅰ）求点M 到抛物线1c 的准线的距离； （Ⅱ）已知点P 是抛物线1c 上一点（异于原点），过点P 作圆2c 的两条切线，交抛物线1c 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线 l 的方程 7.如图7，椭圆)0(1:22 221>>=+b a b y a x C 的离心率为23，x 轴被曲线 b x y C -=22:截得的线段长等于1C 的长半轴长. ()I 求1C ，2C 的方程； ()II 设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线 l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与1 C 相交于点 D ， E . (ⅰ)证明： ME MD ⊥; (ⅱ)记MAB ?,MDE ?的面积分别为21,S S ，问：是否存在直线l ，使得32 17 21=S S ？请说明理由.
历年高考数学圆锥曲线第二轮专题复习
高考数学试题圆锥曲线 一． 选择题： 1.又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 41 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ）
[高中数学]圆锥曲线专题-理科
圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式. 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用解 析法解决相应的几何问题. 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD 与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 , F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O
二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例 5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D （0,-1）为圆心 的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB 是矩形？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由
圆锥曲线大题练习1.doc
1. 已知动直线 l 与椭圆 C: x 2 y 2 1 交于 P x 1 , y 1 、 Q x 2 , y 2 两不同点，且△ OPQ 的 3 2 面积 S OPQ = 6 , 其中 O 为坐标原点 . 2 （Ⅰ）证明 x 12 x 22 和 y 12 y 2 2 均为定值 ; （Ⅱ）设线段 PQ 的中点为 M ，求 |OM | | PQ | 的最大值； （Ⅲ）椭圆 C 上是否存在点 D,E,G ，使得 S ODE S ODG S OEG 6 ?若存在，判断△ 2 DEG 的形状；若不存在，请说明理由 . 2. 如图，已知椭圆 C1 的中心在原点 O ，长轴左、右端点 M ，N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短轴为 MN ，且 C1， C2的离心率都为 e ，直线 l ⊥MN ， l 与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按纵坐标从大 到小依次为 A ， B ， C ， D. （I ）设 e 1 ，求 BC 与 AD 的比值； 2 （II ）当 e 变化时，是否存在直线 l ，使得 BO ∥ AN ，并说明理由 3. 设 ，点 A 的坐标为（ 1,1 ），点 B 在抛物线 y x 上 运动，点 Q 满足 BQ QA ，经过 Q 点与 x 轴垂直的直线 交抛物线于点 M ，点 P 满足 QM MP , 求点 P 的轨迹 方程。 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ，B 点在直线 y = -3 上， M 点满足 MB//OA ， MA ?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。 （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。
圆锥曲线提升专题训练
圆锥曲线专题训练2018.1 数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型： ①求曲线方程（类型确定，甚至给出曲线方程）； ②直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）； ③与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等） ④与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）； ⑤与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等)； ⑥探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征； 考点一、求范围（最值）问题 例1-1.（2014新课标全国卷Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32 ，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233 ，O 为坐标原点． (1)求E 的方程； (2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 例1-2.已知直线1y x =-+与椭圆相交于A B 、两点. （1，焦距为2，求线段AB 的长； （2）与向量OB 互相垂直（其中O 为坐标原点），求椭圆长轴长的最大值.
练习1.【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】 在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：的离心率为，右焦点F （1,0），点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ： 相切于点M. （1）求椭圆C 的方程；（2）求|PM|·|PF|的取值范围； （3）若OP ⊥OQ ，求点Q 的纵坐标t 的值. 考点二、存在性问题 例2-1.如图，过椭圆L 的左顶点(3,0)A -和下顶点B 且斜率均为k 的两直线12,l l 分别交椭圆于,C D ，又1l 交y 轴于M ，2l 交x 轴于N ， 且CD 与MN 相交于点P .当3k =时，ABM ?是直角三角形. （1）求椭圆L 的标准方程；（2）①证明：存在实数λ，使得AM OP λ=uuu r uu u r ； ②求|OP |的最小值.
圆锥曲线综合练习试题(有答案)
圆锥曲线综合练习 一、 选择题： 1．已知椭圆221102 x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 2．直线220x y -+=经过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ） A B ．12 C ．2 3 3．设双曲线22 219 x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线2 2 1y x m +=的离心率是（ ） A B C D 5．已知双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ， 两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ） A B 6．已知点12F F ，是椭圆2 2 22x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +u u u r u u u u r 的最小值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．7．双曲线221259 x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ） A ．22或2 B ．7 C ．22 D ．2 8．P 为双曲线22 1916 x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点， 则||||PM PN -的最大值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 9．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =u u u r u u u r ，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ） A B 1 C 1 D 1 11．两个正数a b ，的等差中项是92，一个等比中项是a b >，则抛物线2b y x a =-的焦点坐标是（ ） A ．5(0)16- ， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1 (0)5 ， 12．已知12A A ，分别为椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12A A ，的点P
微专题圆锥曲线几何条件的处理
微专题圆锥曲线几何条件的处理策略 1.平行四边形处理策略 例 1.（2015，新课标2理科20）已知椭圆 222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． (Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3 m m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ ）能，4 4+ 【解析】试题分析：(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点,A B 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB 的中点和直线l 的斜率；设直线l 的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB 的中点，并寻找两条直线斜率关系； （Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线OM 方程并与椭圆方程联立，求得M 坐标，利用2P M x x =以及直线l 过点(,)3 m m 列方程求k 的值． 试题解析：(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将y kx b =+代入222 9x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故122 29 M x x kb x k +==-+， 2 99 M M b y kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-，即9OM k k ?=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点(,)3 m m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9, y x k x y m ? =-???+=?得222 2981P k m x k =+ ，即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3) 3 m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分， 即2P M x x = = 2(3)23(9) mk k k -?+ ．解得14k = 24k =0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l 的斜率为 4 4+OAPB 为平行四边形． 考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系． 2.直角三角形处理策略 例2.椭圆 22 22x y a b +=（0a b >> （1）求椭圆的方程；2 214 x y += （2）过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ，O 为坐标原点，若OEF ?为直角三角形，求直线l 的斜率 解析：（2）根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+，联立 22 414 y kx x y =+???+=??消去y 得22 (14)32600k x kx +++=，
(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(二)
2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（二） 1.椭圆C 1：()22210x y a b a b +=>>的离心率为3，椭圆C 1截直线y x =所得的弦长为410 . 过椭圆C 1的左顶点A 作直线l 与椭圆交于另一点M ，直线l 与圆C 2： () ()2 2240x y r r -+=>相切于点N . （Ⅰ）求椭圆C 1的方程； （Ⅱ）若43AN MN =u u u r u u u u r ，求直线l 的方程和圆C 2的半径r . 2.已知椭圆C ：112 162 2=+ y x 左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足x BF ⊥轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C ，D ，连结AD ，BC 交于点Q ，若实数21,λλ满足：CQ BC 1λ=，DA QD 2λ=. （1）求21λ?λ的值； （2）求证：点Q 在一定直线上.
3.已知椭圆C ：)0(12 42 2>>=+ b a y x 上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线DF l //，且与y 轴交于点),0(t P ，又在直线t y =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OE OQ ⊥（O 为坐标原点），连接EQ . （1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222=+y x 相切； （2）判断直线EQ 与圆222=+y x 是否相切？若相切，请 证明；若不相切，请说明理由. 4.如图，△AOB 的顶点A 在射线)0(3:>=x x y l 上，A ，B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足3||||=?MB AM ，当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W . （1）求轨迹W 的方程； （2）设)0,(m P 为x 轴正半轴上一点，求||PM 的最小值)(m f .
圆锥曲线练习题含答案
圆锥曲线专题练习 一、选择题 1.已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 （ ） A ． 116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 3．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 4．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 5．抛物线x y 102 =的焦点到准线的距离是 （ ） A ． 25 B ．5 C ．2 15 D ．10 6．若抛物线2 8y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ） A ．(7, B ．(14, C ．(7,± D ．(7,-± 7．如果22 2 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,0 8．以椭圆 116 252 2=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ． 1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127 92 2=-y x D ．以上都不对 9．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠2 1π = Q PF ，则双曲线的离心率 e 等于（ ） A ．12- B ．2 C ．12+ D ．22+ 10．21,F F 是椭圆17 92 2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（ ） A ．7 B ． 47 C ．2 7 D ．257 11．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆09622 2 =++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程（） A ．2 3x y =或2 3x y -= B ．2 3x y = C ．x y 92 -=或2 3x y = D ．2 3x y -=或x y 92 =
高三数学文科圆锥曲线大题训练(含答案)
高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答） 1．已知椭圆2 2 :416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率; （2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆 221 2 x y += 的位置关系. 1．解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为 22 1164 x y +=, 所以2 2 2 2 2 16,4,12从而a b c a b ===-=, 因此4,a c ==故椭圆C 的离心率2 c e a = =............4分 (II)由22 1, 416 y kx x y =+??+=?得()22148120k x kx ++-=, 由题意可知0?>. ..............5分 设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y , 则1224214M x x k x k +==-+,122 1 214M y y y k +==+......................7分 因为BEF ?是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥, 因此BM 的斜率1 BM k k =-. ............... ...........................................8分 又点B 的坐标为()0,2-,所以2 221 2 2381440414M BM M y k k k k x k k ++++===- --+,..........10分 即()238104k k k k +-=-≠,亦即21 8 k =, 所以4k =±,....................12分 故EF 的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分 又圆221 2x y += 的圆心()0,0O 到直线EF 的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离.....................14分 2．已知椭圆的中心在坐标原点O ，长轴长为 离心率e = F 的直线l 交
圆锥曲线(椭圆)专项训练(含答案)
圆锥曲线 椭圆 专项训练 【例题精选】： 例1 求下列椭圆的标准方程： （1）与椭圆x y 22 416+=有相同焦点，过点P (,)56； （2）一个焦点为（0，1）长轴和短轴的长度之比为t ； （3）两焦点与短轴一个端点为正三角形的顶点，焦点到椭圆的最短距离为3。 （4）e c ==08216.,. 例2 已知椭圆的焦点为2),1,0()1,0(21=-a F F ，。 （1）求椭圆的标准方程； （2）设点P 在这个椭圆上，且||||PF PF 121-=，求：tg F PF ∠12的值。 例3 已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标的长等于短半轴长的23 。 求：椭圆的离心率。 小结：离心率是椭圆中的一个重要内容，要给予重视。 例4 已知椭圆x y 2291+=，过左焦点F 1倾斜角为π 6 的直线交椭圆于A B 、两点。
求：弦AB 的长，左焦点F 1到AB 中点M 的长。 小结：由此可以看到，椭圆求弦长，可用弦长公式，要用到一元二次方程中有关根的性质。 例5 过椭圆14 16 2 2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线方程。 小结：有关中点弦问题多采用“点差法”即设点做差的方法，也叫“设而不求”。 例6 已知C y x B A 的两个顶点，是椭圆 、125 16)5,0()0,4(2 2=+是椭圆在第一象限内部分上的一点，求?ABC 面积的最大值。 小结：已知椭圆的方程求最值或求范围，要用不等式的均值定理，或判别式来求解。（圆中用直径性质或弦心距）。要有耐心，处理好复杂运算。 【专项训练】： 一、 选择题：