在极坐标系下二重积分的计算

第九节 在极坐标系下二重积分的计算

根据微元法可得到极坐标系下的面积微元

θσr d r d

d = 注意到直角坐标与极坐标之间的转换关系为

,c o s θr x = ,sin θr y =

从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式为

????

=D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),( (9.1)

内容分布图示

★ 利用极坐标系计算二重积分

★ 二重积分化为二次积分的公式

★ 例1 ★ 例2 ★ 例3

★ 例4 ★ 例5 ★ 例6

★ 例7 ★ 例8

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题6-9

★ 返回

内容提要：

一、二重积分的计算

1．如果积分区域D 介于两条射线βθαθ==,之间，而对D 内任一点),(θr ，其极径总是介于曲线)(),(21θ?θ?==r r 之间（图6-9-2），则区域D 的积分限

).()(,

21θ?θ?βθα≤≤≤≤r

于是 ????

=

D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),( .)sin ,cos ()()(21??=θ?θ?βαθθθrdr r r f d (9.2)

具体计算时，内层积分的上、下限可按如下方式确定：从极点出发在区间),(βα上任意作一条极角为θ的射线穿透区域D （图6-9-2），则进入点与穿出点的极径)(),(21θ?θ?就分别为内层积分的下限与上限.

2．如果积分区域D 是如图6-9-3所示的曲边扇形，则可以把它看作是第一种情形中当)()(,0)(21θ?θ?θ?==的特例，此时，区域D 的积分限

).(0,

θ?βθα≤≤≤≤r 于是

.)sin ,cos (),()(0????

=θ?βαθθθrdr r r f d dxdy y x f D (9.3)

3．如果积分区域D 如图6-9-4所示，极点位于D 的内部，则可以把它看作是第二种情形中当πβα2,0==的特例，此时，区域D 的积分限

).(0,20θ?πθ≤≤≤≤r

于是

.)sin ,cos (),()(020????

=θ?πθθθrdr r r f d dxdy y x f D (9.4)

注：根据二重积分的性质3，闭区域D 的面积σ在极坐标系下可表示为

????==D

D rdrd d θσ

σ (9.5) 如果区域D 如图6-9-3所示，则有

?????===

β

αθ?βαθθ?θθσd rdr d rdrd D )(21)(0 (9.6) 例题选讲：

例1（讲义例1）计算??

++D y

x dxdy 221，其中D 是由122≤+y x 所确定的圆域. 例2（讲义例2） 计算??

++D dxdy y x y x 2222)sin(π

, 其中积分区域D 是由412

2≤+≤y x 所确定的圆环域.

例3（讲义例3）计算??

D dxdy x y 22, 其中D 是由曲线x y x 22

2=+所围成的平面区域. 例4（讲义例4）写出在极坐标系下二重积分??D

dxdy y x f ),(的二次积分，其中区域

}.10,11|),{(2

≤≤-≤≤-=x x y x y x D 例5 计算dxdy y x D

)(22+??,其中D 为由圆y y x y y x 4,22222=+=+及直线03=-y x , 03=-x y 所围成的平面闭区域.

例 6 将二重积分

σd y x f D

??),(化为极坐标形式的二次积分,其中D 是曲线,222a y x =+ 42222a y a x =+??? ??-及直线0=+y x 所围成上半平面的区域.

例7（讲义例5）求曲线)(2)(222222y x a y x -=+和a y x ≥+22所围成区域D 的面积.

例8（讲义例6）求球体22224a z y x ≤++被圆柱面ax y x 222=+)0(>a 所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积（图6-9-9）.

课堂练习

1.计算??--D y x dxdy e

22, 其中D 是由中心在原点, 半径为a 的圆周所围成的闭区域.

2.计算,|2|22

??-+D d y x σ 其中3:22≤+y x D .

在极坐标系下二重积分的计算

在极坐标系下二重积分的计算 第九节在极坐标系下二重积分的计算 根据微元法可得到极坐标系下的面积微元 注意到直角坐标与极坐标之间的转换关系为 从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式为 内容分布图示 ★ 利用极坐标系计算二重积分 ★ 二重积分化为二次积分的公式 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题6-9 ★ 返回 内容提要： 一、二重积分的计算 1．如果积分区域D介于两条射线之间，而对D内任一点，其极径总是介于曲线之间（图6-9-2），则区域D的积分限 于是

Df(x,y)dxdy 具体计算时，内层积分的上、下限可按如下方式确定：从极点出发在区间上任意作一条极角为的射线穿透区域D（图6-9-2），则进入点与穿出点的极径 就分别为内层积分的下限与上限. 2．如果积分区域D是如图6-9-3所示的曲边扇形，则可以把它看作是第一种情形中当的特例，此时，区域D的积分限 于是 3．如果积分区域D如图6-9-4所示，极点位于D的内部，则可以把它看作是第二种情形中当的特例，此时，区域D的积分限 于是 注：根据二重积分的性质3，闭区域D的面积在极坐标系下可表示为 如果区域D如图6-9-3所示，则有 例题选讲： 例1（讲义例1）计算

2222，其中D是由所确定的圆域. 例2（讲义例2）计算 其中积分区域D是由 所确定的圆环域. 例3（讲义例3）计算 Dyx22dxdy, 其中D是由曲线所围成的平面区域. 22 例4（讲义例4）写出在极坐标系下二重积分的二次积分，其中区域 D 22例5 计算其中D为由圆及直线 D 所围成的平面闭区域. 例6 将二重积分 化为极坐标形式的二次积分,其中D是曲线 及直线所围成上半平面的区域. 例7（讲义例5）求曲线和所围成区域D的面积. 例8（讲义例6）求球体被圆柱面所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积（图6-9-9）. 课堂练习 1.计算 其中D是由中心在原点, 半径为a的圆周所围成的闭区域. 22.计算其中

二重积分的计算方法

重庆三峡学院数学分析课程论文 二重积分的计算方法 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名 年级 2010级 学号 指导教师刘学飞 2014年5月

二重积分的计算方法 (重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班) 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 引言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何、物理、力学等方面有着重 要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被 积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求 二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作(),D J f x y d σ= ??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??. 1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????.

二重积分的计算方法

第二节 二重积分的计算法 教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定 ； 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为

一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对 计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分. 这个先对, 后对的二次积分也常记作 在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 解: 类似地,如果积分区域可以用下述不等式 表示,且函数,在上连续,在上连续,则 (2)

显然,(2)式是先对,后对的二次积分. 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点. 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集. 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交 点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限； 又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为 . 例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.

二重积分计算中的积分限的确定

二重积分计算中积分限的确定 摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法. 关键词:二重积分累次积分积分限积分次序 引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。 1．高等数学中计算二重积分的方法 在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。 (1)画出积分区域 (2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将 积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域. (3)用公式化二重积分为累次积分. (4)计算累次积分的值. 在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得. 2．教学过程中总结的方法 本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限. 3．例题解析 例1 计算?? D xydxdy,其中D是由直线x y y x= = =,1 ,2所围成的区域. 解:作出积分区域D的图形 x 页脚内容1

归纳二重积分的计算方法

归纳二重积分的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε ,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和 都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??.

1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ?? ()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ?存 在,则累次积分(),b d a c dx f x y dy ??也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ?存在,在上述条件上可得 (),D f x y d σ?? (),d b c a dy f x y dx =?? 2.求的二重积分的几类理论依据 二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}12 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ??()()() 21,b y x a y x dx f x y dy =?? 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有

二重积分计算方法

1利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算 对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,) f x y在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1），即 {} 12 (,)()(), D x y x x x a x b ?? =≤≤≤≤，其中 12 (),() x x ??在[,] a b上连续，则有 2 1 () () (,)(,) b x a x D f x y d dx f x y dy ? ? σ= ????；（1） 若D为y型区域（如图2），即{} 12 (,)()(), D x y y y y c y d ψψ =≤≤≤≤，其中 12 (),() y y ψψ在[,] c d上连续，则有 2 1 () () (,)(,) d y c y D f x y d dy f x y dx ψ ψ σ= ????．[1]（2）例1 计算 2 2 D y dxdy x ??，其中D是由2 x=，y x =，及1 xy=所围成． 分析积分区域如图3所示，为x型区域()1 D=,12, x y x y x x ?? ≤≤≤≤ ?? ?? ．确定了积分区

域然后可以利用公式（1）进行求解． 解 积分区域为x 型区域 ()1D=,12,x y x y x x ??≤≤≤≤???? 则 1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计 算 当被积函数的原函数比较容易求出， 是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1行计 算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干x 型或 y 型区域，然 后利用公式 1 2 3 (,)(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++???????? （3） 进行计算， 例2 计算二重积分D d σ??，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域． 分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是y 型区域，但是将可D 划 分为()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ??=≤≤≤≤?? ??=≤≤≤≤-均为x 型 区域， 进而通过公式（3）和（1）可进行计算． 解 D 划分为

6.9 在极坐标系下二重积分的计算-习题

1．把 (,)D f x y dxdy ??表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D 是 ⑴2 222 a x y b ≤+≤，其中0a b <<； 【解】如图，积分区域2 2 2 2 a x y b ≤+≤是圆环， 作变换cos sin x r y r θθ=??=? ，得积分函数(,)(cos ,sin )f x y f r r θθ=， 积分区域D 的边界2 2 2 2 a x y b ≤+≤变换为02θπ≤≤，a r b ≤≤， 即得 (,)D f x y dxdy ?? 20 (cos ,sin )b a d f r r rdr πθθθ=??。 ⑵22 2x y x +≤ 【解】如图，积分区域为圆心在(1,0)，半径为1的圆， 作变换cos sin x r y r θ θ=?? =? ，得积分函数(,)(cos ,sin )f x y f r r θθ=， 积分区域D 的边界2 2 2x y x +≤转换为2 2 ππθ- ≤≤ ，02cos r θ≤≤， 即得 (,)D f x y dxdy ?? c 22 2os (cos ,sin )a d f r r rdr θ π πθθθ-=?? 。 2．化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： ⑴ 2 3220 (x x dx f x y dy +? ； 【解】由二次积分 2 3220 (x x dx f x y dy +? 得积分区域D 的边界为X 型区域：

上曲线3y x =，下曲线y x =，左直边0x =，右直边2x =。 据此作出图形如下： 作变换cos sin x r y r θθ =?? =?，得积分函数22 ()()r y f x f =+， 上曲线3y x =转换为sin 3cos r r θθ=，即为3 πθ=， 下曲线y x =转换为sin cos r r θθ=，即为4 πθ=， 右直边2x =转换为sin 2r θ=，即为2 sin r θ =， 于是，积分区域D 的边界转换为 4 3 ππθ≤≤ ，2 0cos r θ ≤≤ ， 即得 2 322 ()x x dx f x y dy +? ? 23cos 0 4 ()d f r rdr π θπθ=?? 。 ⑵ 2 1 10 1(,)x x dx f x y dy --?? 【解】由二次积分 2 1 10 1(,)x x dx f x y dy --?? ，知积分区域D 的边界为X 型区域： 上曲线2 1y x =-，下曲线1y x =-，左直边0x =，右直边1x =， 据此作出图形如下： 作变换cos sin x r y r θ θ=?? =? ，得积分函数(,)(cos ,sin )f x y f r r θθ=， 上曲线2 1y x =-2 sin 1(cos )r r θθ=-，即为1r =， 下曲线1y x =-转换为sin 1cos r r θθ=-，即为1 sin cos r θθ = +，