2013-2017年高考数学(文)分类汇编解析：第2章-函数

第二章 函数

第1节 函数的概念及其表示

题型10 映射与函数的概念——暂无 题型11 同一函数的判断——暂无 题型12 函数解析式的求法

1.（2014陕西文14）已知()1x

f x x

=+，0x …， 若()()1f x f x =，()()()+1n n f x f f x =()n ∈+N ，

则

()2014f x 的表达式为__________.

2.（2015全国I 文10）已知函数12

22,1

()log (1),1x x f x x x -?-=?-+>?… ，且()3f a =-，

则(6)f a -=（ ）. A. 74-

B. 54-

C. 34-

D. 1

4

- 2.解析 当1a …时，()1223a f a -=-=-，即1

2

1a -=-，不成立；

当1a >时，

()()2log 13f a a =-+=-，即()322log 13log 2a +==，

得18a +=，所以7a =.

则()()()117

6671224

f a f f ---=-=-=-=-.故选A. 3.（2015山东文10）设函数31()2 1.x

x b x f x x -

，

…若546f f ??

??= ? ?????

，则b =（ ）. A. 1

B.

78

C.

34

D.

12

3.解析 由题意，可得555=3662f b b ??

?-=- ?

??

. ①当

512b -<，即32b >时，553462f f b b ??????=--= ? ? ???????

，解得7

8b =（舍）

；

②当512b -…，即32b …时，5

25246b f f -????== ? ?????

，解得1

2b =.

综上可知，1

2b =

.故选D.

4.（2015陕西文4）设

()=f

x 10

20

x

x x ???

14 C. 12 D. 32

4. 解析 因为()21

224

f --==

，所以()(

)111

2114

22f f f ??

-===-= ???.故选C.

5.（2015湖北文7）设x R ∈，定义符号函数10

sgn 0010x x x x ，，，>??

==??-

，则（ ）.

A ．{}sgn x x x =

B ．{}

sgn x x x = C ．{}sgn x x x = D ．{

}sgn x x x

=

5. 解析 对于选项A ，右边0sgn 00x x x x x ≠?==?

=?，，，而左边0

x x x x x ?==?-

对于选项B ，右边0sgn 00x x x x x ≠?==?

=?，，，而左边00

x x x x x ?==?-

对于选项C ，右边0sgn 000

x x x x x x x >??===?

?

0x x x x x ?==?-

x x x x x x x >??===?

?-

，，， ，而左边0

0x x x x x ?==?-

()124f a -=-+=，故2a =-.

7.（2016上海文6）已知点

()3,9在函数()1x f x a =+

的图像上，则()f x 的反函数

()1f x -= .

7.()2log 1x - 解析 由题意319a +=，故2a =，从而()12x

f x =+，所以()2lo

g 1x y =-，故

()()12log 1f x x -=-.故填()2log 1x -.

8.（2017全国3文16）设函数()10

20x x x f x x +?=?>?

，，…，则满足()112f x f x ?

?+

-> ??

?的x 的取值范围

是_____.

8.解析 ①0x …时，

，得

，所以

1

04

x -<

02

x <…

时，()1121122x f f x x x ?

?+-=-+> ?+?

?恒成立，所以102x <…；

③

时，

恒成立，所以

.

综上所述，x 的取值范围是1,4??-

+∞ ???

. 评注 考查分段函数的图像与性质，难度中偏高，分段函数主要考查分类讨论的数学思想，对学生的逻辑思维有较高的要求，容易出现不知道如何分类以及分类不严谨的错误.

9.（2017山东文9）设(

)()1

21,1x f x x x <<=-??…

，若()()1f a f a =+，则

1f a ??

= ???

（ ）. A.2

B.4

C. 6

D. 8

9.解析 由()(1)f a f a =+

2(11)a =+-，解得1

4

a =，则()146f f a ??

== ???

. 故选C.

题型13 函数定义域的求解

1. (2013重庆文3） 函数()

21

2y log x =

-的定义域是（ ）.

A. ()2-∞，

B. ()2+∞，

C. ()()233+∞ ，，

D.()()244+∞ ，， 1.分析 利用函数有意义的条件直接运算求解.

解析 由()2log 20,

20,

x x -≠???->??得23x x >≠且.故选C.

2．(2013广东文2）函数lg(1)

1

x y x +=

-的定义域是（ ）. A.()1,-+∞ B. [)1,-+∞ C.()()1,11,-+∞ D. [)()1,11,-+∞

2.分析 从函数有意义的角度分析求解. 解析 要使函数有意义，需10,

10,

x x +>??

-≠?解得11x x >-≠且，故函数的定义域为()()1,11,-+∞ ，

故选C.

3. （2013山东文5

）函数()f x =的定义域为（ ）. A. (]3,0- B. (]

3,1- C. ()(],33,0-∞-- D. ()(],33,1-∞--

3.分析 求函数定义域就是求使这个式子有意义的自变量x 的取值范围，本题需满足二次根

式下的式子大于等于0，分母不能为0，然后取交集.

解析 由题意，自变量x 应满足120,30,

x x ?-?+?≥>解得0,

3,x x ??-?≤>所以30x -≤<.故选A.

4. (2013安徽文11） 函数1ln 1y x ?

?=+

???

的定义域为 . 4.分析 列出函数有意义的限制条件，解出不等式组.

解析 要使函数有意义，需2

110,10,x

x ?+???-?≥>即2

1

0,1,

x x x +??

???≤>即10,11,x x x -???≤≤或<>-即11,x x x -???≤或<>0,-1<解得01,x ≤<所以定义域为(]0,1.

5.（2014山东文3）函数(

)f x =

）.

A.

()0,2

B.

(]0,2

C.

()2,+∞

D.

[)2,+∞

6.（2015重庆文3）函数()22log (23)f x x x =+-的定义域是（ ）.

A.

[]3,1- B.()3,1- C ．(][),31,-∞-+∞ D ．()(),31,-∞-+∞

6.解析 由题意知2230x x +->，解得1x >或3x <-.故选D ．

7.（2015湖北文6

）函数256

()lg 3

x x f x x -+=-的定义域为（ ）.

A ．(23)，

B ．(24]，

C ．(23)(34]，，

D ．(13)(36]，，- 7.解析 由函数()y f x =

的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：

40x -…，

256

03

x x x -+>-，解之得22x -剟，2x >，3x ≠，

即函数

()f x 的定义域为()(]2334 ，，.故选C.

8.（2016全国甲文10）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x

y =的定义域和值域相同的

是（ ）. A.y x =

B.lg y x =

C.2x

y =

D.y =

8. D 解析 lg 10

x

y =x =()0x >，定义域和值域均为()0,+∞

，而12y x -==，定义域和值域也为()0,+∞.故选D.

9.（2016江苏5

）函数y =

的定义域是 .

9.[]3,1- 解析 由题意得2

320x x --…

，解得31x -剟，因此定义域为[]3,1-. 题型14 函数值域的求解

1. (2013陕西文10）设[]x 表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有（ ）.

A. [][]x x -=-

B. []12

x x ??+=???

?

4

C. [][]22x x =

D. [][]122

x x x ??++=???

?

1.分析 选取特殊值，利用排除法求解．

解析 选项A ，取 1.5x =，则[][][]1.52x -=-=-，[][]1.51x -=-=-，显然[][]x x -≠-． 选项B ，取 1.5x =，则[][]122 1.512

x ??+==≠=???

?

．

选项C ，取 1.5x =，则[][]233x ==，[][]221.52x ==，显然[][]22x x ≠．故选D. 2. （2013江苏11）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不 等式x x f >)( 的解集用区间表示为 .

2.分析 先求出函数()f x 在R 上的解析式，然后分段求解不等式()f x x >，即得不等式的解集.

解析 设0x <，则0x ->，于是()()()2

2

44f x x x x x -=---=+，由于()f x 是R 上的奇函数，

所以()24f x x x -=+，即()24f x x x =--，且()00f =，于是()224,0,

0,0,4,0.x x x f x x x x x ?-?

==??--?

><

当0x >时，由24x x x ->得5x >；当0x <时，由24x x x -->得50x -<<，故不等式的解集为()()5,05,-+∞ .

3.（2014福建文9）要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）. A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 3.（2014大纲文14）函数cos 22sin y x x =+的最大值为 .

4.（2015重庆文14）设,0a b >，5a b +=

________.

4. 解析

令

m n ==，则229m n +=．因为

2

22

()2

m n m n ++…，所以

2()18,m n m n ++剟

5.（2015浙江文12）已知函数()21661

x x f x x x x ??

=?+->??

，，…，则()2f f -=???? ，

()f x 的最小值是 ．

5. 解析 ()()61244642

f f f -==+

-=-????， 当1x …时，()()min 00f x f ==；当1x >时，(

)min 6f x =. 综上所述，(

)min 6f x =. 6.（2015湖北文17）a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[01]，上的最大值记为()g a .

当a = 时，()g a 的值最小.

6. 解析 由题意得()()2

f x x ax x x a =-=-.

①当0a <时，函数()f x 的图像如图所示. 函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，

()()()max 11f x g a f a ===-.

②当0a =时，2

()f x x =，()f x 在区间[]0,1上

的最大值为()()11f g a a ==-. ③当0a >时，函数()f x 的图像如图所示. （i ）若

12a a <<，即12a <<，()()2

max 4a

f a

g a ==； （ii ）若

12

a

…，即2a …，()max 1f a a =-； （iii ）若01a <<

，

(

)

)

)

2

2max

,2114max ,141,021

a a a f a a a a ?

….

综上所述，(

)

)

)

2121212412

a a a

g a a a a ?-

)

)

min 2

13g a g ??==-?

?

.

7.(2015山东文14)定义运算―?‖：22

(0)x y x y x y xy xy

-?=∈≠R ，，. 当00x y >>，时， (2)x y y x ?+? 的最小值为 .

7.解析 由所给新定义运算，可知()()2

2

22222y x

x y x y y x xy yx

--?+?=+=

22222x y x y xy y x +=+.又0x >，0y >，所以(

)2x y y x ?+?=…

当且仅当

2x y

y x

=

，即x =时，取等号.

8.（2016全国甲文10）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x

y =的定义域和值域相同的是

（ ）. A.y x =

B.lg y x =

C.2x

y =

D.y

=

8. D 解析 lg 10x

y =x =()0x >，定义域和值域均为()0,+∞

，而12y x -==，定义域和值域也为()0,+∞.故选D.

9.（2016北京文10）函数()()21f x

x x x =

-…的最大值为_________. 9.2 解析 可得函数()()1

1211

f x x x x x ==+--…是减函数，所以函数()f x 的最大值为(2)2f =.

10.（2016浙江文20）设函数()31

1f x x x

=++，[]

0,1x ∈.证明：

（1）

()21f x x x -+…；

（2）

()3342

f x <…. 10. 解析 (1)因为()()4

423

11111x x x x x x x ----+-==--+，由于[]0,1x ∈，有41111+x x x

-+…，即231

11+x x x x

-+-…

，所以()21f x x x -+…. （2）由01x

剟，得3x x …，故()()()()

31211133112221x x f x x x x x x -+=+

+-+=++++ (33)

22…，

所以()32f x ….由（1）得()2

2133

1244

f x x x x ?

?-+=-+

??

?厖， 又因为11932244f ??=>

???

，所以()34f x >. 综上，

()33

42

f x <…. 11.（2017浙江5）若函数()2

f x x ax b =++在区间[]

01，上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -（ ）.

A. 与a 有关，且与b 有关

B. 与a 有关，但与b 无关

C. 与a 无关，且与b 无关

D. 与a 无关，但与b 有关 11.解析 函数()2

f x x ax b =++的图像是开口朝上且以直线2

a

x =-

为对称轴的抛物线. ①当12a -

>或02

a

-<，即2a <-，或0a >时，函数()f x 在区间[]0,1上单调，此时()()101M m f f a -=-=+，故M m -的值与a 有关，与b 无关；

②当112

2a -

剟，即21a --剟时，函数()f x 在区间0,2a ??-???

?上单调递减,在,12a ??-????上单调递增，且()()01f f >，此时()2

024a a

M m f f ??-=--= ???

，故M m -的值与a 有关，与b 无关；

③当1022a -

<…，即10a -<…时，函数()f x 在区间0,2a ??-????

上单调递减,在,12a ??-????上单调递增，且()()01f f <)，此时()21124a a M m f f a ??

-=--=++ ???

，故M m -的值与a 有关，与b 无关.

综上可得，M m -的值与a 有关，与b 无关.故选B ．

第二章 函数

第2节 函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性

题型15 函数的奇偶性

1. （2013山东文3）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21

()f x x x

=+

，则(1)f -=（ ）. A. 2 B. 1 C. 0 D. 2-

1.分析 利用奇函数的性质

()()f x f x -=-求解.

解析 当0x >时，()21f x x x =+，所以()21

1121

f =+=. 因为

()f x 为奇函数，所以()()112f f -=-=-.故选A.

2. (2013浙江文11） 已知函数()f x =()3f a =，则实数a =____________.

2.分析 直接代入求解.

解析 因为()3f a =

=，所以19a -=，即10a =.

3. （2014广东文5）下列函数为奇函数的是（ ）.

A.1

22

x

x y =-

B.3sin y x x =

C.2cos 1y x =+

D.22x y x =+ 4.（2014重庆文4）下列函数为偶函数的是（ ）.

A.()1f x x =- 2

B.()f x x x =+

C.()

22x

x

f x -=-

D.()

22

x

x

f x -=+

5.（2014新课标Ⅰ文5）设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，

则下列结论中正确的是（ ） A.()()f x g x 是偶函数 B. ()()f x g x 是奇函数 C.

()()

f x

g x 是奇函数 D.

()()f x g x 是奇函数

6.（2014湖南文15）若()()

3ln e 1x

f x ax =++是偶函数，则=a .

7.（2015安徽文4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）. A ． ln y x = B ．2

1y x

=+ C ．sin y x = D ．cos y x =

7. 解析 选项A ：ln y x =的定义域为()0,+∞，故ln y x =不具备奇偶性.故A 错误；

选项B ：2

1y x

=+是偶函数，但210x +=无解，即不存在零点.故B 错误；

选项C ：sin y x =是奇函数.故C 错误；

选项D ：cos y x =是偶函数，且由cos 0y x ==，可得()π

π2

x k k =+∈Z .故D 正确. 故选D.

评注 1. 考查函数的奇偶性；2. 考查零点.

8.（2015北京文3）下列函数中为偶函数的是（ ）. A.2

sin y x

x = B. 2cos y x x = C. ln y x = D. 2x y -=

8. 解析 函数2

sin y x x =为奇函数，2cos y x x =为偶函数，ln y x =与2x y -=为非奇

非偶函数.故选B.

9.（2015福建文3）下列函数为奇函数的是（ ）.

A ．y

B ．e

x

y = C ．

cos y x = D ．e e x

x y -=-

9.解析 函数y 和e

x

y =是非奇非偶函数；

cos y x =是偶函数；e e x

x

y -=-是奇函数.故选D.

评注 考查函数的奇偶性．

10.（2015广东文3）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）. A ．sin 2y x x =+ B ．2

cos y x x =-

C ．122x x

y =+

D ．

2sin y x x =+

10. 解析 函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称.

因为

()11sin1f =+，()11sin1f -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，

也不是偶函数.故选D.

评注 1.考查函数的奇偶性；2. 特殊值法的应用． 11.（2015湖南文8）设函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，则()f x 是（ ）.

A.奇函数，且在()0,1上是增函数

B. 奇函数，且在()0,1上是减函数

C.偶函数，且在

()0,1上是增函数 D. 偶函数，且在()0,1上是减函数

11. 解析 由已知

()f x 的定义域为()1,1-，关于原点对称.

又因为()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，所以()f x 为奇函数.

()2

112

'111f x x x x

=

+=+--，当()0,1x ∈时，()'0f x >，即

()f x 在

()0,1上为增函数.

故选A.

12.（2015陕西文9）设

()sin f x x x =-，则()f x （ ）.

A. 既是奇函数又是减函数

B. 既是奇函数又是增函数

C. 是有零点的减函数

D. 是没有零点的奇函数 12. 解析 因为()sin f x x x =-，()sin f x x x -=-+，所以()()f x f x =--，

又

()f x 的定义域为R ，关于原点对称，所以()f x 是奇函数；

因为

()()1cos 0f x x f x '=-?…是增函数.因为()00f =，所以()f x 有零点.故选B.

13.（2015湖北文21）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是

偶函数， ()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.

(1)求

()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >；

(2)设0a …，1b …，证明：当0x >时，()()()

()()11f x ag x a bg x b x

+-<

<+-. 13. 解析 (1)由()f x ，()g x 的奇偶性及条件()()e x f x g x += ①

得()()e x f x g x --+= ②

联立式①式②解得1()(e e )2x x f x -=-，1

()(e e )2

x x g x -=+.

当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0f x >. ③

又由基本不等式，有1

()(e e )12

x x g x -=+，即()1g x >. ④

(2)由(1)得 2111e 1

()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤

2111e 1

()(e )(e )(e e )()2e 2e 2

x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥

当0x >时，

()

()(1)f x ag x a x

>+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-， ⑦ ()

()(1)f x bg x b x

<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧ 设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由式⑤式⑥，

有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，

（1）若0c …，由式③式④，得()0h x '>，故()h x 在[0)+∞，

上为增函数， 从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故式⑦成立. （2）若1c …，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0)+∞，上为减函数， 从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故式⑧成立. 综合式⑦式⑧，得()

()(1)()(1)f x ag x a bg x b x

+-<<+-. 14.（2016山东文9）已知函数

()f x 的定义域为R . 当0x <时，()31f x x =-； 当11x -剟时，

()()f x f x -=-； 12x >时， 1122f x f x ?

???

+=

- ? ??

??

?，则()6f =（ ）.

A.2-

B.1-

C.0

D.2

14. D 解析 由1122f x f x ????+=- ? ????

?知，当12x >时， )(x f 的周期为1，所以(6)(1)f f =.又当11x -剟时，()()f x f x -=-，所以(1)(1)f f =--.

于是

3(6)(1)(1)[(1)1]2f f f ==--=---=.故选D.

15.（2016全国丙文16）已知()f x 为偶函数，当0x …时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =

在

点(1,2)处的切线方程是____________.

15. 2y x = 解析 当0x ≥时，0x -≤，又因为()f x 为偶函数，所以

()1()e x f x f x x -=-=+，

()1'e 1x f x -=+，()'12f =，所以曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程2y x =.

16.（2017全国2文14）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0x ∈-∞，

时，()322f x x x =+,则()

2f = .

16.解析 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-?-+=.

题型16 函数的单调性

1.（2014北京文2）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）.

A.e x

y -= B.3

y x = C.ln y x = D.y x

=

1. 解析

e x y -=在R 上为减函数；3y x =是定义域为R 的增函数；ln y x =的定义域为()0,+∞；

y x =在R 上不单调，故选B.

2.（2014陕西文7）下列函数中，满足―

()()()f x y f x f y +=‖的单调递增函数是（ ）.

A. ()3

f x x = B. ()3x

f x = C. ()1

2

f x x = D. ()12x

f x ??= ???

3.（2014湖南文4）下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）. A.2

1

()f x x =

B. 2()1f x x =+

C. 3()f x x =

D. ()2x f x -=

4.（2014新课标Ⅱ文11）X:\高中数学\高考真题\2014\2014年高考理科数学真题\作者：曹亚云若函数

()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）.

A.

(],2-∞- B.(],1-∞- C.[)2,+∞ D.[)1,+∞

5.（2014天津文12）函数

()2lg f x x =的单调递减区间是________. 6.（2015福建文15）若函数

()()2

x a

f x a -=∈R 满足()()11f x f x +=-，且()f x 在[),m +∞上

单调递增，则实数m 的最小值等于_______． 6.解析 由

()()11f x f x +=-，得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则()12x f x -=.

由复合函数单调性得

()f x 在[)1,+∞上单调递增，故1m …，所以实数m 的最小值等于1．

评注 考查函数的图像与性质． 7.（2016北京文4）下列函数中，在区间()1,1-上为减函数的是（ ）.

A.1

1y x

=

- B.cos y x = C.()ln 1y x =+ D.2x y -= 7. D 解析 选项A 错误：因为1

1y x

=-在区间()1,1-上为增函数；

选项B 错误：cos y x =在()1,1-上不单调，如11cos cos 22????-= ? ?????

；

选项C 错误：函数()ln

1y x =+在区间()1,1-上为增函数；

选项D 正确：指数函数122x

x y -??

== ???

在R 上为减函数. 故选D.

8.（2016浙江文7）已知函数()f x 满足：()f x x …且()2,x f x x ∈R …，下列选项正确的是（ ）.

A.若()f a b …，则a b …

B.若()2b

f a …，则a b …

C.若

()f a b …，则a b … D.若()2

b

f a …，则a b …

8. B 解析 若

()2b f a …，由条件知()2a f a ≤，则22a b …

，所以a b ….故选项B 正确，其他3个

选项可选特殊的函数()2,0

2,0

x x

x f x x -?=?

9.（2016北京文16）已知函数()()2sin cos cos20f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.

（1）求ω的值； （2）求

()f x 的单调递增区间.

9. 解析 （1）因为()2sin cos cos2sin2cos2f x x x x x x ωωωωω=+=+=π24x ω?

?+ ???

，

所以()f x 的最小正周期2ππ2T ωω=

=.依题意π

πω

=，解得1ω=. （2）由（1）知，(

)π24f x x ?

?=+ ???.函数sin y x =的单调递增区间为

()ππ2π,2π22k k k ?

?-+∈???

?Z . 由πππ2π22π242k x k -++剟，得3ππππ88

k x k -+剟.

所以

()f x 的单调递增区间为()3πππ,π88k k k ?

?-+∈???

?Z .

10.（2016全国丙文21）设函数()ln 1f x x x =-+. （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明当(1,)x ∈+∞时，1

1ln x x x

-<

<； （3）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x

c x c +->. 10.解析 (1)()111x

f x x x

-'=-=

，当01x <<时，()0f x '>；当1x >时， ()0f x '<，所以

()

f x 在

(]0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.

（2）由（1）知，()f x 在1x =处取得最大值，最大值为(1)0f =. 所以1x ≠时，ln 1x x <-.故当()1,x ∈+∞时，ln 1x x <-，11ln 1x x <-，即1

1ln x x x

-<<.

(3)由题设1c >，设()()11x g x c x c =+

--，则()1ln x g x c c x =--，令，()0g x '=，

解得01

ln

ln ln c c x c

-=

.当0x x <时，()0g x '>， ()g x 单调递增；当0

x x >时，()0g x '<，()g x 单

调递减.由（2）知，1

1ln c c c

-<

<，故001x <<，

又(0)(1)0g g ==，故当01x <<时，()0g

x >.所以当()0,1x ∈时， ()11x c x c +->.

11.（2017全国2文8）函数()()

2

ln 28f x x x =-- 的单调递增区间是（ ）.

A.

(),2-∞- B.(),1-∞- C.()1+∞， D.()4+∞，

11.解析 若使函数有意义，则2280x x -->，解得2x <-或4x >，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调递增区间为()4,+∞.

故选D.

题型17 函数的周期性

1.（2016江苏11）设

()

f x 是定义在

R

上且周期为

2的函数，在区间[)1,1-上

(),10

2,015x a x f x x x +-

……，其中a ∈R ，若

5922f f ????

-= ? ?????

，则()5f a 的值是 . 1. 11， 2

5-

解析 由题意得511222f f a ????-=-=-+ ? ?????，91211225210f f ????==-= ? ?????

.

由5922f f ????-= ? ?

????

，可得35a =，则()()()531f a f f ==-215a =-+=-. 2.（2016北京文16）已知函数()()2sin cos cos20f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.

（1）求ω的值； （2）求

()f x 的单调递增区间.

2. 解析 （1）因为()2sin cos cos2sin2cos2f x x x x x x ωωωωω=+=+

=π24x ω?

?+ ???

，

所以()f x 的最小正周期2ππ2T ωω=

=.依题意π

πω

=，解得1ω=. （2）由（1）知，

(

)πs i n 24f x x ??=+ ???

.函数s i n y x

=的单调递增区间为()ππ2π,2π22k k k ?

?-+∈???

?Z . 由

πππ2π22π242

k x k -++

剟，得

3ππ

ππ88

k x k -

+剟. 所以

()

f x 的单调递增区间为

()3πππ,π88k k k ??-+∈???

?Z . 题型18 函数性质的综合

1.(2013重庆文9) 已知函数

()()2s i n 4f x a x b x a b =++∈R ，，()()2lg log 105

f =，则

()()l g l g 2f =（ ）.

A. 5-

B. 1-

C. 3

D. 4 1.分析 运用奇函数性质，整体换元求解.

解析 因为2log 10与lg 2（即10log 2）互为倒数，所以()2lg log 10与()lg lg2互为相反数.

不妨令()2lg

log 10x =，则()lg lg2x =-，

而()()(

)3

sin 4

f x f x ax b x +-=++()

()3

sin 48a x b x ??+-+-+=??

，

故

()()8853f x f x -=-=-=，故选C.

2. (2013天津文7）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 且在区间[0,)+∞上单调递增. 若实数a 满足

212

(log )(log )2(1)f f a f a +…， 则a 的取值范围是( ).

A. []1,2

B. 10,2??

??? C.

1,22??????

D. (]0,2

2.分析 根据函数的单调性和奇偶性得出关于a 的不等式求解.

解析 因为()()1222log log log ,f a f a f a ??

=-= ???

所以原不等式可化为

()()2log 1.f a f ≤

又因为()f x 在区间[)0+∞，上单调递增，所以20log 1,a ≤≤即1 2.a ≤≤因为()f x 是偶函数，

所以()()2log 1.f a f -≤

又

()f x 在区间(]0∞-，上单调递减，所以21log 0,a -≤≤所以1 1.2

a ≤≤

综上可知

1

2.2

a ≤≤故选C. 3. (2013天津文8)设函数

2()e 2,()ln 3x x g x x x x f +-=+-=. 若实数, a b 满足

()0,()0f a g b ==， 则( ). A. ()0()g a f b << B. ()0()f b g a <<

C. 0()()g a f b <<

D. ()()0f b g a <<

3.分析 首先确定a b ,

的范围，再根据函数的单调性求解. 解析 因为

()e 10,x f x '=+>所以()f x 是增函数.因为()g x 的定义域是(0)+∞，，

所以()1

20,g x x x

'=

+>所以()g x 是()0

+∞，上的增函数. 因为

()()0101e 10f f =-<=->，，所以0 1.a <<

因为()()1202ln210g

g =-<=+>，，

所以12b <<，所以()()0,0.f b g a ><故选A. 4. (2013湖南文4） 已知

()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()112f g -+=，

()()114

f g +-=，则()1g 等于（ ）. A.4 B.3 C.2 D.1 4.分析 根据奇、偶函数的性质，将()1f -和()1g -转化为()()1,1f g -列方程组求解.

解析 ()f x 是奇函数，所以()()11f f -=-.又()g x 是偶函数，所以()()11g g -=.

因为()()112f g -+=，所以()()112g f -=. ①

又

()()114f g +-=，所以()()114f g +=. ②

由①②，得()13g

=.故选B.

5. (2013福建文13）已知函数()32,0,

ππ4tan ,0,

2

x x f x f f x x ?

??==? ? ?-

5.分析 分步求函数值，先内后外.

解析 因为ππ0,42??∈????，所以ππtan 144f ??=-=- ???，所以()()3

π12124f f f ????=-=?-=- ? ?????

. 6．(2013福建文16）设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满

足：（i ）{}();T f x x S =∈（ii ）对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()(),f x f x <

那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合： ①,;A B *

==N N ②}{

}

{}13,810;A x x B x x

=-=-剟剟

③{}01,.A x x

B ==R 剟

其中，“保序同构”的集合对的序号是_______.（写出“保序同构”的集合对的序号）. 6.分析 举例说明有符合条件的函数即可. 解析 ①取()1f x x =+，符合题意.

②取()97

22

f x x =

-，符合题意. ③取()1tan π2f x x ??

=- ???

，符合题意.答案：①②③.

7. （2014浙江文7）已知函数

()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233

f f f <-=

-=-…，则（ ）. A.3c … B.36c <… C.69c <… D. 9c >

8.（2014大纲文12）奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=

（ ）.

A ．2-

B ．1-

C ．0

D ．1 9.（2014山东文9）对于函数

()f x ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有

()()2f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（ ）.

A. ()f x =

B.()2f x x =

C.

()tan f x x =

D.

()()cos 1f x x =+

10. （2014安徽文14）若函数

()f x ()x ∈R 是周期为4的奇函数，且在[]0,2上的解析式为

()()1,01

sin ,12

x x x f x x x -?=?π