九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十四讲 探索性问题(含答案)

第二十四讲 探索性问题

趣题引路】

一个圆形街心花园，有三个出口A 、B 、C ，如图24﹣1，每两个出口之间有一条60m 长的道路，组成正三角形ABC.在中心点处有一个亭子，为使亭子与原有的道路相通，需要修三条小路OD ，OE ，OF ，使另一出口D 、E 、F 分别落在△ABC 的三边上，且这三条小路把△ABC 分成三个全等的多边形，以备种植不同品种的花草。

图24－1

（1）请你按以上要求设计两种不同的方案，将设计方案分别画出来，并附简单说明；

（2）要使三条小路把△ABC 分成三个全等的等腰梯形，应怎样设计？请把方案画出来，并求此时三条小路的总长；

（3）请你探索出一种一般方法，使得出口D 不论在什么位置都能准确地找到另外两个出口E 、F 的位置，请写明方法；

（4）你在（3）中探究出的一般方法适用于正五边形吗？这种方法可以推广到正n 边形吗？ 解析 （1）方案1 D 、E 、F 分别与A 、B 、C 重合，连结OD 、OE ，OF ，得三条小路OD 、OE 、OF.如图24-2；

B

)

图24－2

A (D

)

图24－3A

图24－4

A

方案2 OD 、OE 、OF 分别垂直于D ，E ，F 得0D ，OE 、OF ，如图24﹣3.

（2）如图24﹣4，三条小路OD 、OE 、OF 分别与AC 、AB 、BC 平行，得到三个全等的等腰梯形；作OM ⊥BC 于M.连结BO ，则20sin60

OM

OE =

=，又OE=OF=OD. ∴OE+OF+OD=3·OE=60.即3条小路OD ，OE ，OF 总长为60.

（3）方案1 在BC 、CA 上分别截取BE=CF=AD ，连结OD 、OE 、OF 即得三条小路如图24﹣5.

方案2 连OD ，将OD 逆时针旋转120°交BC 于E ，再逆时针旋转120°交AC 于F 即得3条小路，如图24﹣5.

图24－5

F

D

E

C

O

A

B

（4）在正五边形A 1A 2A 3A 4A 5中，设M 1为A 1A 2上任意一点，在各边上分别截取A 2M 2=A 3M 3=A 4M 4=A 5M 5=A 1M 1，连结OM 1、OM 2、OM 3、OM 4、OM 5；即可得5条小路，从而可进一步推广到正n 边形 知记延伸】

探索性问题有别于通常的问题（常规问题）.如果把一个题目的系统分成已知条件，解题依据，解题方法和结论四个要素，那么探索性问题往往只有其中的两个要素，以解题过程来看，较少现成的法则和套路，较多分析、探索与创造.

解决此类问题要求我们能综合运用观察、分析、分类、类比、转译、化归、特殊化、一般化、反证法以及数形结合甚至猜想等数学思想和方法.

探索性问题归纳有四种题型：（1）探索题设下的图形或数量之间的关系；（2）探索解决问题的方法；（3）探索图形具备某性质或关系的条件或结论；（4）探索改变题设条件后结论是否变化。

例1、如图24-6，☉0为等腰梯形ABCD 的内切圆，M 、N 、P 分别为☉0与AB 、CD 、BC 的切点.试尽可能多地找出其中图形的形状和大小之间所存在的各种关系.

解（1）角的相等：∠A=∠ABC ，∠BCD=∠D ；∠MBO=∠PBO ；∠MOB=∠P0B ；∠MBO=∠COP 等.

（2）角的互补：∠A+∠D=180；∠ABC+∠BCD=180°. （3）角的互余：∠MBO+∠M0B=90°；∠BOP+∠COP=90°等。 （4）线段的垂直：OM ⊥AB ；ON ⊥CD ；OP ⊥BC ；OB ⊥OC. （5）共线点：N 、O 、M 三点在一条直线上。

（6）线段的相等：BM=PB=MA ；CN=CP=ND ；OP=OM=ON ；BC=BM+CN ；AB+CD=AD+BC=2AD. （7）三角形全等：△MBO ≌△PBO ；△NOC ≌△POC.

（8）三角形相似：△OCB ∽△MOB （或△PBO ）∽△NOC （或△PCO ）. （9）比例线段：通过相似三角形对应边成比例，可找到多组成比例线段关系.

（10）作为比例中项的线段：OP 是BP 与CP 的比例中项，也是MB 与NC 的比例中项；MN 是AB 与CD 的比例中项；OB 是MB 与BC 的比例中项；OC 是NC 与BC 的比例中项.

点评 解此问题时最好要有条理性，先从某个角度进行分析，待不能再挖掘出新的对等或成比例的关系后，应及时地换一个角度再思考…

例2 如图24-7，EB 是O0的直径，且EB=6.在BE 的延长线上，取点P ，使EP=EB.A 是PE 上一点，过A 作OO 的切线AD ，切点为D.过D 作DF ⊥AB 于点F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于点H.连结ED 和FH.

（1）若AE=2，求AD 的长；

（2）当点A 在EP 上移动（点A 不与点E 重合）时，①是否总有FH

ED

AH AD =

？ 试证明你的结论；

②设ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。

解析（1）∵AD 切☉0于D ，AE=2，EB=6.AD 2=AE·AB=2×（2+6）=16 ∴AD=4；

（2）①无论点A 在EP 止怎么移动（点A 不与点E 重合），总有

FH

ED

AH AD =

证明 连结BD ，交FH 于G .AH 是☉0的切线，D 为切点，.∠3=∠4.又∵BH ⊥AH ，BE 为直径，

∴∠BDE=90°∴∠1=90°-∠3=90°-∠4=∠2.在△DFB 和△DHB 中，∠DFB=∠DHB=90°，∠1= ∠2，DB=DB.△DFB ≌△DHB ∴BF=BH ∴△BHF 是等腰三角形 ∵∠1=∠2 ∴BG ⊥FH ，即 BD ⊥FH ∵BD ⊥DE ，∴ED ∥FH ，

FH

ED

AH AD =

. ②设ED=x ，BH=y ，BE=6，BF=BH ， ∴EF=6-y.

∵DF 是Rt △BDE 斜边上的高，∴△DFE ∽△BDE ，∴EB

ED

ED EF =，即ED 2=EF·EB. ∴x 2=6（6-y ），即66

12

+-

=x y . ∴点A 不与点E 重合ED=x>0，

当点A 从点E 向左移动，ED 逐渐增大，A 和P 重合时，ED 最大，这时，连结OD ，则OD ⊥PH ， ∴OD//BH.

又∵PO=PE+E0=6+3=9，PB=12，

PB PO BH OD =，4=?=PO

PB

OD BH ,∴BF=BH=4.

EF=EB-BF=6-4=2.

由ED 2=EF·EB ，得x 2=2×6=12. 建立的函数关系式，必须注意求出自 ∵x>0，∴x=32，∴0＜x≤23. 故所求的函数关系式为66

12

+-

=x y ，自变量x 的取值范围是0＜x≤25. 点评 此题根据动点，建立有关函数关系，揭示了函数的本质；函数是研究运动变化的两个变量间的关系问题，此题第（2）题的第①小题是一个结论探索问题，它要求先探索出结论再证明出结论成立。在实际问题中变量的取值范围，即使题目中没有明确提出这个要求。

好题引路】

佳题新题品味.

例1、如图24-8，直线l 上有两点A 、B ，AB=4cm ，过l 外一点C 作CD//l ，射线BC 与l 所成的锐角∠1=60°，线段BC=2cm ，动点P 、Q 分别从B 、C 同时出发，P 以1cm/s 的速度沿由B 向C 的方向运动，Q 以2cm/s 的速度沿由C 向D 的方向运动，设P 、Q 运动的时间为t （s ），当t>2时，PA 交CD 于E.

（1）用含t 的代数式分别表示CE 和QE 的长； （2）求△APQ 的面积S 和t 的函数关系式；

（3）当QE 恰好平分△APQ 的面积时，QE 的长是多少厘米？

解析（1）∵BP=t ，CQ=2t ，PC=t-2，由EC//AB ，且AB=4，得△PEC ∽△PAB ，

∴PB PC AB EC =,即t t EC )2(4-=，t

t t t t t EC QC QE )

42(2)2(422+-=--=-=； （2）过P 作PF ⊥1，垂足为F ，交QC 的延长线于点G.因∠1=60°，∴PF=PB·sin 60°=

t 2

3

. 又∵CD ∥l ，故PG ⊥CD.

S △APQ =S △EQA + S △EPQ =21QE·GF+21QE·PG=21QE （GF+GP ）=21QE·PF=t t t t 23

)42(2212?+-?=

)42(2

32

+-t t ； （3）因为△APQ 是由△QEA 和△QEP 组成，又这两个三角形具有公共的底QE ，所以只须G 平分PF ，即当C 为PB 的中点时,QE 即平分△PAQ 的面积，于是由t-2=2，可得t=4，从而有：

)

(6

4

)4

4

2

2(2

)4

2

(22

2

cm

t

t

t

QE=

+

?

-

=

+

-

=.

点评这是一个点以定速沿规定方向移动的几何问题，求解此题的关键是抓住动点移动的时间与各量之间的关系.

例2 AB是☉0的直径，把AB分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB=a，那么OO的周长l=πa，

计算：（1）如图24-9，把AB分成两条相等的线段，每个圆的周长l

a

l

2

1

2

1

2

=

=π；

（2）如图24-10，把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长15=___________；

（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长14=___________.

（4）如图24-11，把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长l n=__________.

结论：把大圆的直径分成n条相等的线段以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆的周长是大圆周长的___________.

请依照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系.

解析（2）l

3

1

；（3）l

4

1

；（4）l

n

1

；结论：

n

1

.又由直径与面积的关系，得：面积关系为，每个小圆

面积是大圆面积的

2

1

n

.

点评常此题先感出了种殊范例，感后要求归纳出一般性的规律，这类问题的解法因题而异，没有固定的解题模式，只有多练习多思考，提高观察、推理，归纳能力，遇到这类问题才会很快找到解法。

中考真题欣赏

例3（北京市中考题）如图24-12，□ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF，请你以F为端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）

证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BG ，AD ∥BC.

∴∠DAE=∠BCF.在△BCF 和△DAE 中，CB=AD ，∠BCF=∠DAE ，CF=AE ∴△BCF ≌△DAE. ∴BF=DE.

点评 本题是一个常见的几何基本图形，可创设新的图形背景，使之成为我们合情推理能力的生长点.

例2（吉林省中考题）如图24-13，AB 是半O 的直径，点M 是半径0A 的中点，点P 在线段AM 上运动（不与点M 重合），点Q 在半圆O 上运动，且总保持PQ=PO ；过点Q 作半圆O 的切线交BA 的延长线于点C

（1）∠QPA=60°时，请你对△QCP 的形状做出猜想，并给予证明；. （2）当QP ⊥AB 时，△QCP 的形状是__________三角形；

（3）由（1）、（2）得出的结论，请进一步猜想当点P 在线段AM 上运动到任何位置时，△QCP 一定是________三角形。

解析（1）△QCP 是等边三角形。 证明 连结OQ ，则CQ ⊥OQ. ∵PQ=PO ，∠QPC=60°，

∴∠P0Q=∠PQ0=30° ∴∠C=90°-30°=60°， ∴∠COP=∠C=∠0PC=60°. ∴△QPC 是等边三角形. （2）等腰直角三角形 （3）等腰三角形。

点评 本题设计精良，考查我们的推理能力，并且探求方式扩展到了由特殊到一般的归纳推理模式，使数学学习经历从金情推理到演绎推理的完整过程

竞赛样题展示

例4（2000年黄冈市数学竞赛试题）如图24-14，堆放在车厢里的两根圆木紧紧挨在一起，两根圆木的半径分别为9dm 和4dm ，为了有效地利用空间，现要在两根圆木的间隙处插进一根半径为1.5dm 的小圆木，问能否做到？

解析 ☉O 1、☉O 2的半径分别为R 、r 连结O 1O 2，，O 1C 、O 2B 、O 3G ，过O 2作O 2D ⊥O 1C 交O 1C 于点D ，过O 3作O 2D 的平行线交O 2B 、O 1C 于点E 、F.设☉O 3的半径为x ，则在Rt △O 203E 中，O 3E=

()()

rx r x r x 22

2

=+-+.

又

∵BG=O 3E

；在Rt △O 1O 3F

中

，

∴Rx rx BC EF D O 222+===，①

在Rt △O 1O 2D 中，（R+r ）2-（R-r ）2=02D 2， ∴02D=Rr 2，②

由①、②，得：Rr Rx rx 222=+，

∴

r

R Rr

x +=

即Rr r R Rr x 2++=

当R=9和=4时，25

36

4924949=?++?=

x

∵

2

3

2536<,故半径为寻的圆木不能插进两圆木的间隙。 点评 本题实质上是求☉O 1和☉O 2相外切同时☉O 1、☉O 2又和直线（截面图形）相切的☉O 3，在此情况下，已知☉O 1、☉O 2的半径，☉O 3的半径也就可求出来了

例2（江苏省初中数学竞赛题）如图24-15，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC=AB.在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交AB 于点E ，BF ⊥AB 交AD 的延长线于点F.

（1）设AD 是x°的弧，若要使点E 在线段BA 的延长线上，求x 的取值范围； （2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB=AC 外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予以证明.

解析（1）当E 点由右趋向于点A 时，△ADB 将成为等腰直角三角形，即D 点

为0S 与☉O 的交点，这里0S ⊥AB ，所以，点E 从右运动到点A 时，AD 是45°的弧，即x=45.

当点E 离开点A 在BA 的延长线时，离点A 越远，点D 越接近于点A ，因此x 接近于0，D 为A 点时，x=0，所以满足题设要求的x 的范围是0≤x<45；

(2)由题意，知∠CDE=90°，∠CAB=∠EBF=90°，∠ADB=90°， ∵AC 为圆的切线，∴∠CAD=∠ABD.

∵∠DEB=180°-∠AED=180°-（360°-180°-∠C ）=∠C. ∴△ACD ∽△EBD ，

BE

AC

BD AD =

. 又∠ABD=∠BFD ，所以△ABD ∽△BFD,BF

AB

BD AD =

所以

BF

AB

BE AC =

∵AB=AC ，∴BE=BF. 点评 此题是探索结论问题，是在给定的条件下，探求相应的结论，解这类问题的思路是从给定的条件出发，进行探索，归纳，猜想出结论，然后对猜想出的结论进行证明。

过关检测】

A 级

1.请你观察思考下列计算过程：因112=121，所以11121=；同样，1112=12321，因为11112321=； …由此猜想：=76543211234567898________.

2. 观察一列数：3，8，13，18，23，28…，依此规律，在此数列中比2000大的最小整数是_______

3.用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图24-16所示的规律，拼成若干个图案：

问：（1）第4个图案中有白色地面砖_________块

（2）第n 个图案中有白色地面砖_________块

4.将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到______条折痕，如果对折n 次，可以得到_________条折痕.

5.已知，如图24-18，线段AM ∥DN ，直线l 与AM 、DN 分别交于点B 、C ，直线l 绕BC 的中点P 旋转（点C 由点D 向点N 方向移动）.

（1）线段BC 与AD 、AB 、CD 围成的图形，在初始状态下，形状是△ABD （即△ABC ）请你写出变化过程中其余的各种特殊四边形名称；

（2）任取变化过程中的两个图形，测量AB 、CD 长度后分别计算同一图形的AB+CD （精确到1cm ），比较这两个和是否相同？试加以证明.

6.如图24-19，AB 是☉O 的直径，☉O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC ，垂足为E ，

（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助

线不能出现在结论中，不写推理过程写出4个结论即可）；

（2）若∠ABC 为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些正确结论？并画出图形（要求：写出6个结论即可，其他要求同（1））.

B 级

1.如图24-20，△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB=10cm ，点P 由点C 出发以2cm/s 的速度沿线段CA 向点C 运动（不运动至点A ），☉O 的圆心在BP 上，且☉O 分别与AB 、AC 相切，当点P 运动2s 时，☉O 的半径是（ ）.

A.712cm

B.512cm

C.3

5

cm D.2cm

2.如图24-21，直径AB 经过☉O 的圆心，与☉O 相交于A 、B 两点，点C 在☉O 上，且∠A0C=30°，点E 是直线AB 上的一个动点（与点0不重合），直线EC 交☉O 于点D ，则使DE=DO 的点E 共有（ ）.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3.如图24-22，直角梯形ABCD 中，AB=7，AD=2，BC=3，若点P 在边AB 上移动，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形和以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，则符合条件的P 点有（ ）.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4.如图24-23，在菱形ABCD中，∠DAB=120°，点E平分BC，点P在BD上，且PE+PC=1，探求边AB的最大值

5.已知如图24-24，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC 的外接圆于点D，连结BD、CD、CE，且∠BDA=60°.

（1）求证：△BDE是等边三角形；

（2）若∠BDC=120°，猜想四边形BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想。

(最新)六年级下册数学培优讲义

1、圆柱的表面积 复习1： （1） （2）把一根长2 米，底面直径是6分米的圆柱形木料平均锯成4段后，增加了（ ）面，表面积增加了（ ）平方分米，每段木料的表面积（ ）平方分米。 例题1如图，一个零件是由高是1米，底面直径分别是4厘米和8厘米，高分别是5厘米和6厘米的2个圆柱体组成的，求该零件的表面积。 练习： 1、右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a （a=10厘米），那么哪种颜色的布用得多？ 2、如图：求该零件的表面积。 做一个圆柱形纸盒，至少要多大面积的纸板？ 底面积： 侧面积： 表面积： 30cm

h 例题2把一个圆柱形木料锯开（如下图：单位cm），求下图的表面积。 练习： 1、把一个底面半径6分米，高1米的圆柱切成3个小圆柱，表面积增加了（） 2、一段长1米，半径是10厘米的圆木，若沿着它的直径剧成两半，表面积增加了（） 3、把一段长20分米的圆柱形木头沿着底面直径劈开，表面积增加80平方分米，原来这段 圆柱形木头的表面积是多少？ 例题3、求下面图形的侧面积。（单位：cm）

一、填空题 1、一个圆柱的底面半径是2cm，高是10cm，它的侧面积是( )，表面积是( )。 2、把一张长方形的纸的一条边固定贴在一根木棒上，然后快速转动，得到一个（）。 3、一个圆柱的侧面展开后得到一个长方形，长是12.56厘米，宽是3厘米。这个圆柱的底面周长是（）厘米，高是（）厘米。 4、已知圆柱的底面周长是12.56m，高是3m，圆柱的表面积是（）。 5、圆柱形烟囱的直径为8分米，每节长1.5米，做2节这样的烟囱至少要（）分米2铁皮。 6、一个圆柱体的侧面积是12.56平方厘米，底面半径是2分米，它的高是（）厘米。 7、一个圆柱的侧面积展开是一个边长15.7厘米的正方形。这个圆柱的表面积是 （）平方厘米。 8、圆柱形水池内壁和底面都抹上水泥，水泥底面半径是4m，深15米，抹水泥的面积是 （）m2. 9、一台压路机，前轮直径1米，轮宽1.2米，工作时每分滚动15周。 这台压路机工作1分前进了（）米，工作1分前轮压过的路面是（）平方米。 二、应用题 1、右图是一个零件的直观图。下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半。求这个零件的表面积。

人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程：二元一次方程组解的讨论

人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程 （10）二元一次方程组解的讨论 【知识精读】 1． 二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 【分类解析】 例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解 解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解 解比例得a=10, c=14。 ② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。 解得a=10, c ≠14。 ③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解， 即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a 取什么值时，方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组

六年级数学培优综合训练题.doc

2019-2020 年六年级数学培优综合训练题 一、填空。 1、由 9 个亿、5 个千万、3 个万、7 个百组成的数是 （ ），读作（ ）， 省略亿后面的尾数约是（ ）。 2、 0.095095095 用简便记法记作（ ），精确到百分位是（ ）。 3、 2.45 小时 =（ ）小时（ ）分； 3 吨 25 千克 =（ ）千克； 7 升 50 毫升 =（ ）立方分米； 44000 平方米 =（ ）公顷。 14 =（ ）%= （ ）÷（ ）=3.5 4、=3 2 5、 75 吨比（ ）吨多 25%； （ ）千克比 30 千克少 1 。 3 等于女生人数的 2 ，男女生人数比是（ 6 6、男生人数的 ）。 4 3 7、 a 能被 b 整除，它们的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。 8、一个圆的周长是 18.84 厘米，它的面积是（ ）平方厘米。 9、一个圆柱体削成一个和它等底等高的圆锥体，削去的体积是圆柱体积的（ ）。 10、某个体商贩将进价 90 元的商品标价为 120 元，然后九价出售，这样他从中获利（ ） %。 二、判断（正确的打√，错误的打×）。 1、等边三角形有 1 条对称轴。 （ ） 2、北京到太原行车的速度与时间成反比例。 （ ） 3、五年级种了 101 棵树，死了一棵，成活率是 100%。 （ ） 4、半径是 2 厘米的圆，它的面积和周长相等。 （ ） 5、 2008 年是闰年。 （ ） 三、选择（将正确答案的序号填在括号里）。 1、 30 以内是合数的奇数有（ ）个。 A 、 4 B 、 5 C 、 6 D 、 7 2、如果 3x=4y ，下面的比例式（ ）是成立的。 A 、 3:4=x:y B 、 4:3=y:x C 、 3:4=y:x D 、x:3=y:4 3 、将 1 克糖溶解在 10 克水中，糖和糖水的比是（ ）。 A 、 1:10 B 、 10:1 C 、 1:11 D 、11:1 4 、如果大圆直径是小圆直径的 3 倍，那么大圆面积是小圆面积的（ ）倍。 A 、 3 B 、 6 C 、 9 D 、12 5 、某机关精简机构后有职工 120 人，精简了 30 人，精减了百分之几？正确的算式是（ ）。 A 、 30÷ 120 B 、 30÷（ 120－ 30） C 、 30÷（ 120＋ 30） D 、1－ 30÷ 120 四、计算。 1 、直接写得数。 1 ＋ 1 = 5 ×3.6= 2.4－1 1 = 12 6 ÷3= 5 4 6 2 7 2.5＋ 1 1 = 1 3 － 1 － 5 = ( 3 － 2 ) ×30= 1 ×40%÷ 0.5÷ 40%= 5 5 6 6 10 15 2

数学培优竞赛新方法(九年级)-第22讲 几何最值

第22讲 几何最值 知识纵横 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。求几何最值问题的基本方式有： 1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。 2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理. 3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。 例题求解 【例1】 如图，在锐角ABC ?中，24=AB ，45=∠BAC ，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BN BM +的最小值 。 （陕西省中考题） 思路点拨 画折线为直线，综合运用轴对称、垂线段最短等知识。 例1

例2 【例2】 如图，在ABC ?中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 的最小值（ ）。 A.24 B.4.75 C.5 D4.8 （兰州市中考题） 思路点拨 设O 与AB 相切与T ，连OC 、OT,EF 为O 直径，则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT 的最小值。 【例3】 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B 、C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm. (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值； (2) 当4 1 = y cm 时，求x 的值. （河南省中考题） 思路点拨 利用相似形建立y 与x 的函数关系式，由此导出y 的最大值 例3

最新沪科版七年级数学培优竞赛训练一

培优竞赛训练一 1. 有理数a ，b ，c 在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”填空： (1)｜a ｜______｜b ｜； (2)a ＋b ＋c ______0： (3)a －b ＋c ______0； (4)a ＋c ______b ； (5)c －b ______a ． 2. 已知321===c b a ，，，且c b a >>，那么c b a -+＝ ． 3. 已知d c b a 、、、是有理数，169≤-≤-d c b a ，，且25=+--d c b a ， 那么=---c d a b ． 4. 若有理数x 、y 满足2002(x 一1)2 +0112=+-y x ，则=+2 2y x ． 5. a 与b 互为相反数，且54=-b a ，那么1 2+++-ab a b ab a ＝ ． 6. 设0=++c b a ，0>abc ，则c b a b a c a c b +++++的值是（ ）． A ．-3 B ．1 C ．3或-1 D ．-3或1 7. 若｜x ｜＝x ，并且｜x －3｜＝3－x ，请求出所有符合条件的整数x 的值，并计算这些值 的和． 8. 已知m ，n 为整数，且｜m －2｜＋｜m －n ｜＝1，求m ＋n 的值． 9. ｜x －1｜＋｜y ＋2｜＋｜z －3｜＝0，则(x －1)(y －2)(z ＋3)的值为( )． (A)48 (B)－48 (C)0 (D)xyz 10. 巧算下列各题： (1))2004 11)(120031( )151)(411)(131)(211(--?---- (2)666663333222299999?-? 11. 式子| |||||ab ab b b a a ++的所有可能的值有( )． (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个 12. 13. 如果c b a 、、是非零有理数，且0=++c b a ，那么 abc abc c c b b a a +++的所有可能

六年级数学培优试1

六年级数学培优试卷 一、填空（20分，每题5分） 1、两个连续自然数的和乘以它们的差，积是45，这两个自然数是——和—— 2、一个旅游团有287人，要租车到某地游览，有两种车供选择，54座大巴士每辆租费204元，24座的中巴车每辆租费204元。要使每个旅客都有座位，又最省钱，应租大巴车＿＿＿辆，中巴车＿＿辆。 3、六（3）班学生人数在40～50人之间，女生比男生多——，男生有——人，女生有——人。 4、图中AB长18厘米，一只蚂蚁从A到B沿着 三个半圆爬行，蚂蚁共爬行———厘米。 二、操作题（10分，每题5分） 1、如图在一个面积是25平方厘米的大正方形中画一个小正方形， 使小正方形的面积是大正方形的五分之一。 2、口袋里有99张小纸片，上面分别写着1～99。从口袋里任意摸出若干张小纸片，然后算出这些小纸片上各数的和，再将这个和数的后两位数字写在一张新纸片上，然后放入口袋中。经过若干次这样的操作后，袋中还剩一张纸片，这张纸片上的数是——— 三、应用题（70分，每题7分） 1、小淩带108元去买米。由于米价降价了，结果正好可以多买10千克大米。这种大米原来每千克多少元？ 2、五年级学生参加社会实践活动，如果分为7人一组少5人，分为13人一组少11人。五年级学生有多少？ 3、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行80千米，乙车每小时行60千米，当乙车行至全程的——时，甲车已超过中点12千米。求A、B两地的路程。 4、甲生产2个零件要15分，乙生产1个零件要12分。现在要生产91个零件，怎样分配给甲、乙两人，才能同时完成生产任务？ 5、建筑施工队租用两种货车将76吨水泥从仓库运到工地，大货车每次可运5吨，每次运费85元，小货车每次可运3吨，每次运费60元，要使运费最省，应利用大小货车各运多少次？ 6、甲、乙、丙、丁四人共植树60棵。甲植树的棵数是其他三人的——，乙植树的棵数是其他三人的——，丙植树的棵数是其他三人的——。丁植树多少棵？ 7、小松鼠采蘑菇，睛天每天可以采20个，雨天每天可以采12个。6天后共采蘑菇88个。求晴天和雨天中有多少天？ 8、一根绳子，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米。这根绳子原来有多少米？ 9、一辆摩托车出发后，每分钟的加速度相等，已知前两分钟行了2600米，后两分钟行了3400米。那么第四分钟行了多少米？

8年级数学培优竞赛试题1-25题(含详解)

八年级 第1题：下列命题： （1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等； （2）两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等； （3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等； （4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等。其中正确命题的个数有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：B 解析： （1）全等三角形的中线、高、角平分线对应相等，正确 （2）可以先证明两边的夹角相等，再证明两三角形全等，正确 （3）可以用AAS或ASA判定两个三角形全等，正确 （4）参考等高模型，两三角形不一定全等，错误 第2题：如图，在△ABC中，IB，IC分别平分∠ABC和∠ACB，过点I作DE ∥BC，分别交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形； ②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC，其中正确的是（） A．①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④

答案：C 解析： ①因为IB 平分ABC ∠ 所以CBI DBI ∠=∠ 因为DE 平行BC 所以CBI DIB ∠=∠ 所以DIB DBI ∠=∠ 所以BD=DI 所以DBI ?是等腰三角形 ②因为BAC ∠不一定等于ACB ∠ 所以IAC ∠不一定等于ICA ∠ 所以ACI ?不一定是等腰三角形 ③因为三角形角平分线相交于一点，BI 、CI 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线 所以AI 平分BAC ∠ ④因为DI BD =,同理可得EC EI = 所以ADE ?的周长AE EC BD AD AE EI DI AD +++=+++ 第3题：已知△ABC 的三条边长分别为3,4,6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A ．6条 B.7条 C.8条 D.9条 答案：B 解析： 根据当11AC BC =，2CC AC =，3BC AB =，44CC AC =，5AC AB = 6AC AB =，77CC BC =时，都可以得到符合题意的等腰三角形 所以共有7条

七年级数学竞赛培优(含解析)专题27 以形借数

27 以形借数——借助图形思考 阅读与思考 数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面： 1．从给定的图形获取解题信息 数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能． 2．有意地画图辅助解题 图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解． 阅读与思考 【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住 其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同 形状的共有____________种。 （“五羊杯”竞赛试题） x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,, ≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。 ++=。不妨设x y z 9 x y z

【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为 ．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。根据图像进行一下探究： 信息读取 （1）甲、乙两地之间的距离为___________km。 （2）请解释图中点B的实际意义。 图像理解 （3）求慢车和快车的速度。 （4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 问题解决 （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚车发多少小时？ （江苏省南京市中考试题）解题思路：函数图像包含了两种不同层次的信息：有慢车行驶900km用了12h等可直接感知的浅层结构信息，也有在0～4小时之间以及稍后的一段时间内，快车和慢车的速度之和为定值和C点表示快车在某一时刻已到达终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息。

小学六年级数学培优专题训练

目录 第1讲简便运算 (2) 第2讲长方体的表面积和体积 (4) 第3讲圆柱体的表面积 (6) 第4讲圆柱和圆锥的体积 (8) 第5讲巧求面积（1） (11) 第6讲组合图形面积（2） (13) 第7讲简易方程 (15) 第8讲列方程解应用题（1） (17) 第9讲列方程解应用题（2） (19) 第10讲比例的应用（1） (21) 第11讲比例的应用（2） (23) 第12讲巧用比例解行程问题 (25) 第13讲巧用比解分数应用题 (27) 第14讲图示法解分数应用题 (29) 第15讲工程问题 (31)

第1讲 简便运算 一、夯实基础 在实行分数的运算时，能够利用约分法将分数形式中分子与分母同时扩大或缩小若干倍，从而简化计算过程；还能够使用分数拆分的方法使一些复杂的分数数列计算简便。同学们在实行分数简便运算式，要灵活、巧妙的使用简算方法。 让我们先回忆一下基本的运算法则和性质： 乘法结合律：a×b×c=a×（b×c ）=（a×c ）×b 乘法分配律：a×（b ＋c ）=a×b ＋a×c a×（b －c ）=a×b －a×c 拆分： n n )1(1-=11-n －n 1 n k n a )(-=k a （k n -1－n 1 ） 二、典型例题 例1．（1）2006÷200620072006 （2）9.1×4.8×421 ÷1.6÷20 3÷1.3 例2．（1）200620042005120062005?+-? （2）（972＋792）÷（75＋9 5 ） 例3． 211?＋321?＋4 31? (100991)

三、熟能生巧 1． （1）238÷238239238 （2）3.41×9.9×0.38÷0.19÷310 3 ÷1.1 2．（1）186548362361548362-??+ （2）（98＋173＋116）÷（113＋75＋9 4 ） 3． 211?＋321?＋431?＋541?＋651?＋7 61? 4．（1）12313 1÷41391 （2）43×2.84÷353÷（121×1.42）×154

黄东坡数学培优竞赛新方法平行四边形与平移变换(答案)

例1 （1）本题先结合平行四边形性质，根据ASA得出△ABM≌△CDN，从而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位线得出CN=MN，BM=DN=2NF，同时推翻AM=AC、S△AMB= S△ABC．

（2）用大五边形面积减去3个三角形面积即可求得结果 （三角形ABD、三角形ACE、三角形ABC）； ∴△BDF、△EFC均为RT三角形 例2平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，任取两个进行推理．

解：根据平行四边形的判定，符合四边形ABCD是平行四边形条件的有九种：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）；（1）（3）；（2）（4）；（1）（5）；（1）（6）；（2）（5）；（2）（6）共九种． 例3熟记平行四边形的判定，其中对角线互相平分，是平行四边形，延长AC 后，证明AD∥BC，然后再证明三角形全等，证得对角线互相平分，得到结论． 证明：延长AC，在C上方取N，A下方取M，使AM=AE，CN=CF，则由已知可得PM=PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF都是等腰三角形． ∴∠M=∠N，MEP=∠NFP ∴∠AEP=∠PFC ∴AD∥BC， 可证得△PAE≌△PCF，得PA=PC， 再证△PED≌△PFB．得PB=PD． ∴ABCD为平行四边形． 例4（1）先过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G，由EG∥CD，AB∥CD，可得，CD∥GE，再有BE∥AG，那么四边形ABEG是平行四边形，就可得，AB=GE=CD，而GE∥CD，会出现两对内错角相等，故△EGF≌△DCF，即EF=DF．

七年级数学培优竞赛教案

奥数培训之趣味数学 生活中的数学： 1、诗仙李白豪放豁达，有斗酒诗百篇的美名，为唐代“饮中八仙”之一， 民间流传李白买酒歌谣，是一道有趣的数学问题：李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一抖，三遇店和花，喝完壶中酒。试问：酒壶中原有多少酒？ 解：设酒壶中原有酒x 斗，“三遇店和花”意思是李白三遇店，同时也三见花。 第一次见店又见花后，酒有：12-x ； 第二次见店又见花后，酒有：1-122）（ -x ； 第三次见店又见花后，喝完壶中酒，所以 依题意，得 ()[]0111222=---x 解方程，得 87= x 答：酒壶中原有酒8 7斗。 2、有甲乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了”，求两个牧童各有多少只羊。 解：设甲有x 只羊，乙有y 只羊。依题意，得 ()? ??+=--=+11121y x y x 解方程组，得? ??==57y x 所以甲牧童有羊7只，乙牧童有5只。 3、一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完．那么，若在120天里将草吃完，则需要（ ）头牛 A 、16 B 、18 C 、20 D 、22 分析：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c ，根据60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完，列方程组，用其中一个未知数表示另一个未知数即可求解。

解：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c 。 根据题意，得 ???==???+=?+=?b c b a a c b a c b 120010606030242460解得， 则若在120天里将草吃完，则需要牛的头数是20120120=+b a c 。故选C 。 4、杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A ．一样多． B ．多了． C ．少了． D ．多少都可能． 解：设杯中原有水量为a ，依题意可得， 第二天杯中水量为a ×(1－10%)=0.9a ； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a ； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为199.01.19.01.19.0<=?=??a a 。 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C ． 5、 甲杯中盛有2m 毫升红墨水，乙杯中盛有m 毫升蓝墨水，从甲杯倒出a 毫升到乙杯里（0＜a ＜m ），搅匀后，又从乙杯倒出a 毫升到甲杯里，则这时( )。 A ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少． B ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多． C ．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同． D ．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定． 解：从甲杯倒出a 毫升红墨水到乙杯中以后： 乙杯中含红墨水的比例是a m a +， 乙杯中含蓝墨水的比例是 a m m +， 再从乙杯倒出a 毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的红墨水的数量是毫升a m ma a m a a a +=+?- ①

最新小学六年级数学培优专题训练含答案

最新小学六年级数学培优专题训练含答案 一、培优题易错题 1．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第6个图形中小正方形的个数是________，第n（n为正整数）个图形中小正方形的个数是________（用含n的代数式表 示）． 【答案】55；（n+1）2+n 【解析】【解答】第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2； 第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3； …； 则第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n， 所以第6个图形共有小正方形的个数为：7×7+6=55． 故答案为：55；（n+1）2+n 【分析】观察图形规律，第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；则第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n，找出一般规律. 2．某儿童服装店老板以32元的价格买进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以45元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，记录结果如下表： 售出件数763545 售价（元）+2+2+10﹣1﹣2 【答案】解：由题意可得，该服装店在售完这30件连衣裙后，赚的钱数为： （45-32）×30+[7×2+6×2+3×1+5×0+4×（-1）+5×（-2）] =13×30+[14+12+3+（-4）+（-10）] =390+15 =405（元）， 即该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了405元 【解析】【分析】根据表格计算售出件数与售价积的和，再以45元为标准32元的价格买进30件，求出差价，计算即可. 3．规定一种新的运算：a★b=a×b-a-b2+1，例如3★（-4）=3×（-4）-3-（-4）2+1．请计算下列各式的值。

(完整word版)小学六年级数学培优训练(word文档良心出品)

小升初思维训练（1） 一、快速填空。 1．a是一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是70.70，a最大可以是（），最小是（）。2．b是一个大于0的自然数，且a=b＋1，那么a和b的最大公约是（），最小公倍数是（）。3．一辆汽车从甲地开往乙地用了5时，返回时速度提高了20%，这样将比去时少用（）时。4．一套西服的价格是250元，其中上衣价钱的1/6正好与裤子价钱的1/4相等。每件上衣（）元，每条裤子（）元。 5．甲、乙、丙三个数的比是2：5：8，这三个数的平均数是90，甲数是（）。 6．在一个密封的不透明的袋子里装了两只红球，两只黄球，明明伸手任意抓一只球，抓到红球的机会是（）。 7．8（x－3）－5x = 27 ，x=( )。 8．把一杯20升的纯牛奶喝掉2升，再用水填满，则牛奶的浓度为（）。 二、准确计算。 1．1－3＋5－7＋9－11＋…－1999＋2001 三、解决问题。 1．小红看一本书，已看的页数与未看的页数比是1：5，如果再看10页这时已看页数占全书总页数的25%，这本书共多少页？ 2．甲、乙两桶油共68千克，若从甲桶中取出它的1/4，从乙桶中取出它的1/3后，两桶油剩下的一样重。那么，原来甲、乙两桶油各多少千克？

3．两列火车同时从甲、乙两地相对开出，快车行完全程需要20时，慢车行完全程需要30时。开出1 5时后两车相遇。已知快车在相遇前途中停留了4小时，慢车在相遇前途中停留了几时？ 4．一项工程单独完成甲队需要10天，乙队需要15天，丙队需要20天，三队一起干，甲队中途撤走，结果一共用了6天，甲队实际干了几天？ 5、幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生，已知大班中男生和女生的比是5：3，中班中男生和女生的比是2：1。那么大班有女生多少名？

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲 质数与合数

第二十讲 质数与合数 趣题引路】 由超级计算机运算得到的结果2859433－1是一个质数，则2859433＋1是（ ） A ．质数 B ．合数 C ．奇合数 D ．偶合数 解析 ∵2859433－1，2859433，2859433＋1．是三个连续正整数，∵2859433－1的末位数字是1．∴2859433 是偶合数，∵上述三个数中一定有一个能被3整除，而2859433－1是质数，∴2859433＋1的末位数字是奇数且能被3整除，故2859433＋1是奇合数．故选C ． 同学们，你们知道什么是“哥德巴赫猜想”吗？二百多年前，德国数学家哥德巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和．如6＝3＋3，12＝5＋7等．对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例．到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的“1＋2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为“陈氏定理”． 知识延伸】 1．正整数依据不同的标准可以有各种分类，这里依据它们的正约数的个数可以分为三类： （1）只有一个正约数的数，它只能是1； （2）只有两个正约数的数，如2，3，11这样的数叫质数； （3）有两个以上正约数的数，如4，10，12这样的数叫合数． 2．（1）2是最小的质数，也是唯一的偶质数；除2以外，其余的质数都是奇数。 （2）质数有无穷多；合数也有无穷多． 证明 假设只有有限多个质数，设为P 1，P 2，P 3，…，P n 考虑P 1P 2P 3…P n ＋1，由假设可知，P 1P 2P 3…P n ＋1是合数，它一定有一个质因数P ，显然，P 不同于P 1，P 2，P 3，…，P n ，这与假设P 1，P 2，P 3，…，P n 为全部质数矛盾． 3．质数可以采用埃拉托色尼筛选法进行判定．如判断2003为质数，可以这样操作：分别用质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，41，43来除2003，它们都不能整除2003，而下一个质数47，它的平方472＝2209大于2003，由此就可判定2003为质数。 4．算术基本定理 对于一合数，如果将它分解为若干质数的连乘积的形式，并不考虑质因数的排列顺序，那么这种分解 式将是唯一的，即正整数N （N ＞1）可以唯一表示为12 12m a a a m N P P P =??? 其中，P 1，P 2，…，P m 为质数，且P 1＜P 2＜…＜P m ，a 1，a 2，…，a m 为正整数. 5．对于正整数N 的质因数标准分解式12 12m a a a m N P P P =??? 根据乘法原理，它的正约数个数为（1＋a 1）（1＋a 2）…（1＋a m ）．它的所有约数之和为 ()()()() 12 11221+++1+++1+++m a a a m m S N P P P P P P =???????????? 121 11 1212111=111 m m m p p p p p p ααα+++---???---. 而且仅当N 为平方数时，它的正约数个数为奇数.

六年级数学培优专题-逻辑推理

六年级数学培优专题-逻辑推理 曾经爱因斯坦出过一道测试题, 他说世界上有98%的人回答不出!!让我们一起来看看是什么题呢。 在一条街上有5座颜色不同的房子,住着5个不同国家的人,他们抽着5种不同的烟,喝着5种不同的饮料,养着5种不同的宠物。有下面15个已知条件,求解。 1、英国人住红色房子。 2、瑞典人养狗。 3、丹麦人喝茶。 4、绿色房子在白色房子左面。 5、绿色房子主人喝咖啡。 6、抽Pall Mall香烟的人养鸟。 7、黄色房子主人抽Dunhill香烟。 8、住在中间房子的人喝牛奶。 9、挪威人住第一间房。 10、抽Blends香烟的人住在养猫的人隔壁。 11、养马的人住抽Dunhill香烟的人隔壁。 12、抽Blue Master的人喝啤酒。 13、德国人抽Prince香烟。 14、挪威人住蓝色房子隔壁。 15、抽Blends香烟的人有一个喝水的邻居。 问:哪个国家的人养鱼? 这道题为什么会难倒这么多人呢,首先,我们就来研究一下关于他的最基本的逻辑问题吧。 一、例题与方法指导 例1. 某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别： 甲判断：不是铁,也不是铜。 乙判断：不是铁,而是锡。 丙判断：不是锡,而是铁。 经化验证明：有一个人的判断完全正确,有一个人说对了一半,而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的,谁是错的,谁是只对一半的吗？ 思路导航： 丙全说对了,甲说对了一半,乙全说错了。先设甲全对,推出矛盾后,再设乙全对,又推出矛盾,则说明丙全对,甲说对了一半,乙全说错了。 例2. 数学竞赛后,小明、小华和小强各获得一枚奖牌,其中一人得金牌,一人得银牌,一人得铜牌。老师猜测：“小明得金牌,小华不得金牌,小强不得铜牌。”结果老师只猜对了一个,那么谁得金牌,谁得银牌,谁得铜牌？ 思路导航： 小华得金牌,小强得银牌,小明得铜牌。

西安交大少年班入学考试试题

数学：全国数学竞赛或联赛的题要做，黄东坡的《培优竞赛新方法》的竞赛内容。物理：省赛水平，力电为主，去年光声都没考。 语文：古文要注意，作文关注社会热点。 英语：看高中词汇，做高考阅读和完型填空。 化学：去年没考，建议天原杯的原题。 面试：10个科普，一个一分钟回答，一个动手能力操作，一个团队合作项目，再问你什么事情让你成长最多。面试时要努力争取发表意见的机会但不要让人觉得你爱出风头过于张扬，要把握一个度。 科普：书香门第是什么意思？被蚊子叮了为什么痒？兔子上山快还是下山快为什么？NBA单场最高得分是多少？ 一分钟：砖块的用处？空城计被识破了会怎么样？ 团队合作：每人在一张纸上画一笔，并起一个名字。 动手：如何把一张纸变得最长，要有创意。 数学是最难的一门，甚至有好多高中奥赛的题，千万不要指望都做出来，重要的是心态，不要慌，能做多少做多少就行了。 语文重要的是阅读量，都是初中生没看过的，如果你平常看的课外书比较多，应该不成问题。 英语吗，我英语比较好，当时考了全河北省第一，所以觉得比较简单，呵呵，给不出什么建议，抱歉啦。 物理不难，要做一本叫《初中生物理培优教程》，有大量原题。 面试要落落大方，大胆些，抢到说话的主动权，无论发生什么紧急状况，千万不要怵，因为那是评委给你设的套！ 题目很多，我是去年的，我们先是自我介绍，然后专家会根据你的介绍向个人提问题。不过，呵呵，有的会问提前写好的问题，我们那一组有两道题挺好“如果照相时摄影师没有安排你位置，你会选择坐在哪里？”，“你如何看待学校里阴盛阳衰（女生比男生强势）的问题？”反正，我觉得这种题，你最好答的成熟一些，比如我前面有个人答第一个题，她竟说在最边上！当时我觉得她就挂掉了。不过因人而异，表达自己就好，专家通常能看出你是不是很真实，最忌讳虚假！！！然后就是看了一幅图片，我记得当时是一只母鸡喂养一只小狗，然后写下自己的感想，然后依次发言，我的建议，写的不要太详细，关键字写上就好，这样发言时自由空间比较大。然后是动手操作，我知道两道题：用一个纸杯，一根吸管，胶带，一根牙签（好像是），一个组做一个能下落时间最长的飞行器，一个组我记得是做能从斜面上滑下能直线运动且运动最远的模型。反正你只要做得比同组人做的好就行了。比较式的那种呵呵，你比同组强就行了。我是女生，我觉得女生其实挺占优势，至少我们做得差不多就行了，不过最后的环节，他们问你可不可以实验一下，一定要实验哦，否则我个人认为你的主动性得分就会大打折扣。还有最简单有效的模型有时就比奇异形状好。既省时间，又好想。最后一个环节，我们是集体合作将一个字改成画，“旮”。我们组做得超级好。因为我们提前就商量

(完整版)七年级数学(下)培优试题

七年级数学（下）培优竞赛试题 1、已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠1：∠3=3：1， ∠2=20度，求∠DOE 的度数。 2、如图所示,O 为直线AB 上一点,∠AOC=1 3 ∠BOC,OC 是∠AOD 的平分线。 ①求∠COD 的度数； ②判断OD 与AB 的位置关系，并说明理由。 3、如图，两直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，如果∠AOC ：∠AOD=7：11， ①求∠COE ； ②若OF ⊥OE ，∠AOC=70°，求∠COF 。 4、如图⑺，在直角 ABC 中，∠C ＝90°，DE ⊥AC 于E,交AB 于D . ①指出当BC 、DE 被AB 所截时，∠3的同位角、内错角和同旁内角. ②试说明∠1＝∠2＝∠3的理由.（提示：三角形内角和是1800） 5、如图是一个3×3的正方形，则图中∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠9= 。 6,（安徽中考）如图，已知AB ∥DE ，∠ABC= 80 ，∠CDE= 1400 ，则∠BCD= . 3 21O F E D C B A O D C B A A B C D O E F 6 3 2 １ 9 8 7 5 4

7、如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ， （1）若∠A=60°。求∠Q （2）若∠A=100°、120°，∠Q 又是多少？ （3）由（1）、（2）你发现了什么规律？当∠A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三解形的内角和等于180°） 8、如图所示，AB ⊥EF 于G ，CD ⊥EF 于H ，GP 平分∠EGB ，HQ 平分∠CHF ，试找出图中有哪些平行线，并说明理由． 9，（北大）如图所示，图（1）是某城市古建筑群中一座古 塔底部的建筑平面图，请你利用学过的知识设计测量古塔外墙底部的∠ABC 大小的方案，并说明理由，（注：图（2）、图（3）备用） （1） （2） （3） 10、已知点B 在直线AC 上，AB=8cm ，AC=18cm ，P. Q 分别是AB. AC 的中点,则PQ 为多少cm? （自己构造图） A B C D E F G H P Q

小学六年级数学培优专题训练含答案

小学六年级数学培优专题训练含答案 一、培优题易错题 1．列方程解应用题： （1）一个箱子，如果装橙子可以装18个，如果装梨可以装16个，现共有橙子、梨400个，而且装梨的箱子是装橙子箱子的2倍．请算一下，装橙子和装梨的箱子各多少个？（2）一群小孩分一堆苹果，每人3个多7个，每人4个少3个，求有几个小孩？几个苹果？ （3）一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/时．顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的速度和两城之间的航程． 【答案】（1）解：设装橙子的箱子x个，则装梨的箱子2x个，依题意有 18x+16×2x=400， 解得x=8， 2x=2×8=16． 答：装橙子的箱子8个，则装梨的箱子16个 （2）解：设有x个小孩， 依题意得：3x+7=4x﹣3， 解得x=10， 则3x+7=37． 答：有10个小孩，37个苹果 （3）解：设无风时飞机的航速为x千米/小时． 根据题意，列出方程得： （x+24）× =（x﹣24）×3， 解这个方程，得x=840． 航程为（x﹣24）×3=2448（千米）． 答：无风时飞机的航速为840千米/小时，两城之间的航程2448千米 【解析】【分析】（1）根据梨和橙子与各自箱数分别相乘，相加为两者的总数，求出装梨和橙子的箱子数。 （2）利用两种分法的苹果数是相同的，列出方程求解出小孩数和苹果数。 （3）利用逆风和顺风的路程是相同的，列出方程求出速度，再利用速度和时间求出航程。 2．某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下。（单位：km）

（1）求收工时距A地多远？ （2）在第________次纪录时距A地最远。 （3）若每千米耗油0.3升，问共耗油多少升？ 【答案】（1）解：根据题意列式-4+7-9+8+6-5-2=1km． 答：收工时距A地1km，在A的东面 （2）五 （3）解：根据题意得检修小组走的路程为： |-4|+|+7|+|-9|+8|+|+6|+|-5|+|-2|=41（km） 41×0.3=12.3升． 答：检修小组工作一天需汽油12.3升 【解析】【解答】解:（2）由题意得，第一次距A地|-4|=4千米；第二次距A地-4+7=3千米；第三次距A地|-4+7-9|=6千米；第四次距A地|-4+7-9+8|=2千米；第五次距A地|-4+7-9+8+6|=8千米；第六次距A地|-4+7-9+8+6-5|=3千米；第五次距A地|-4+7-9+8+6-5-2|=1千米；所以在第五次纪录时距A地最远． 故答案为：五． 【分析】（1）根据题意得到收工时距A地（-4+7-9+8+6-5-2），正数在东，负数在西；（2）根据题意得到五次距A地最远；（3）根据题意和距离的定义，得到共走了的距离，再求出耗油量. 3．十字交叉法的证明过程：设甲、乙两瓶溶液的质量分别为和，浓度分别为和（），将两瓶溶液混合后所得的溶液浓度为，求证：．【答案】证明：甲溶液中溶质的质量为，乙溶液中的溶质质量为，则混和溶 液中的溶质质量为，所以混合溶液的浓度为，所以，即，，可见。 【解析】【分析】溶液的浓度=溶质的质量÷溶液的质量，溶质的质量=溶液质量×浓度。根据计算方法分别表示出两个容器中溶质的质量和混合后的浓度，得到等式后用十字交叉法

八年级上册科学《溶液》单元培优训练试题

八年级上册科学《溶液》单元培优训练试题 1．20 ℃时，在三个各盛有100 g水的容器中加10 g甲、乙、丙三种纯净物(不含结晶水，不与水反应)，待充分溶解后，情况如表所示，正确的是() A． C．丙溶液的溶质的质量分数最大D．20 ℃时，甲的溶解度最大 2．分离混合物要根据各成分不同的性质选用不同的方法，是人们改造、利用自然界物质的重要方法。下列说法不正确的是() A．结晶法是利用混合物各成分在水中的溶解性不同 B．化学沉淀法是根据混合物各成分的化学性质不同 C．过滤法是根据混合物各种成分的粒子大小不同 D．蒸馏法是利用混合物各成分的沸点不同 3．30 ℃时将等质量的两份饱和石灰水一份冷却到20 ℃，另一份加入少量生石灰，温度仍保持在30 ℃。则两种情况下均不改变的是() A．溶剂的质量B．溶质的质量C．溶质的溶解度D．溶质的质量分数 4．下列有关实验操作的叙述，不正确的是() A．把烧杯置于铁架台的铁圈上直接加热 B．给试管中液体加热时，液体体积不超过试管容积的1/3 C．用量筒量取液体时，视线与量筒内液体的凹液面的最低处保持水平 D．实验剩余的药品，不能放回原试剂瓶 5．能证实20℃时，原硝酸钾溶液是饱和溶液的事实是() A．降温到10℃时有硝酸钾晶体析出 B．蒸发掉10g水，有硝酸钾晶体析出 C．加热到30℃后，再加入硝酸钾晶体仍能继续溶解 D．在20℃的硝酸钾溶液中加入少量硝酸钾晶体，溶液的质量不变 6．下列物质与水混合，在室温时难以形成饱和溶液的是() A．硝酸钾B．酒精C．二氧化碳D．氯化钠 7．配制硝酸钾溶液时得到下表数据，根据表中数据分析，不正确的是() A．28℃时10g水中最多能溶解硝酸钾4g B．60℃时等质量水中能溶解的硝酸钾比28℃时多 C．①②所得溶液溶质的质量分数相等 D．③所得溶液一定是硝酸钾的饱和溶液 8．如图所示，甲、乙试管中分别盛有硝酸钾、氢氧化钙的饱和溶液，试管底部均有未溶解的固体．向烧杯中加入一定质量的氢氧化钠固体后，下列分析正确的是()