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浙江2021届高三三校第一次联考数学试题

()

O 1x

(

)

()

O 1x

-1

()O 1x y 2

-11()

O 1x

-1

3π2ππ-1

O x 12021届高三三校第一次联考

数学试题卷选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的. 1.

已

知

集

合

21{||21|6},0,

3x A x x B x x ?+?

=-<=≤??-??

则R

B =

（）

A .517,3,222????-- ??????

B .517,3,222????-- ???????

C .1,32??- ???

D .1,32??- ???

2. 已知a R ∈，若112

a i

i ++

+（i 为虚数单位）是实数，则实数a 等于（）

A ．1

B ．2

C ．23

D ．25

．

若

2030x x y x y ≥??

-≤??+-≥?

,则3z x y =+的最小值是

（）

A ．0

B ．1

C ． 5

D ．9[来源:https://www.wendangku.net/doc/fa6564205.html,]

4. 设m ，n 是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．

的是 ( )[来源:https://www.wendangku.net/doc/fa6564205.html,]

A ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件

B ．当m ?α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件

C ．当m ?α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件

D ．当m ?α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件 5．已知函数y ＝sin ax ＋b (a >0)的图像如图所示，则函数y ＝log a (x ＋b )的图像可能是 ( )

A B C

6.已知12,F F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左右两个焦点，若双曲线左支上存在

一点P 与点2F 关于直线b

y x a

对称，则该双曲线C 的离心率为（）

5.2

A .5

B .2

C .2

D 7. 设函数()2cos f x x x =-,设{}n a 是公差为8

的等差数列, f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)

＝5π,则

()2

315f a a a -=????

（）

.0A 21.

16B π 21.8C π 213

.16

D π 8. 已知平面向量a ，b ，c 满足：2a =，a ，b 夹角为60o ，且()1

c a tb t R =-+∈.

则c c a

的最小值为（）

A ．13

B ．4

C ．23

D ．93

9.袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球,从A 中有放回地摸球,每次摸出一个,摸出

一个红球的概率是3

,有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为

ξ,则ξ的数学期望E ξ= （）

131.81A 143.81B 433.243C 593.243

D 10．定义全集U 的子集A 的特征函数()1,0,A U x A

f x x C A

∈?=?∈?.这里U C A 表示集合A 在全

集U 中的补集.已知A U ?，B U ?，以下结论不正确．．．的是

（）

A .若A

B ?，则对于任意x ∈U ，都有()()A B f x f x ≤；

B .对于任意x ∈U ，都有()()1U

C A A f x f x =-； C .对于任意x ∈U ，都有()()()A B

A B f x f x f x =?； D .对于任意x ∈U ，都有()()()A

B A B f x f x f x =+．

非选择题部分（共110分）

二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分 11.在2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；

把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。已知一个圆锥的高和底面半径都为2，则用与底面呈45?的平面截这个圆锥，得到的曲线是 ▲ .

12. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是1，则正视图中的x 的值是 ▲ ，该几何体的表面积是 ▲ .

13. 已知多项式()()()()()527

2012711111x x a a x a x a x +-=+++++???++，

则 127a a a ++???+= ▲ ，4a = ▲ .

14.已知7sin cos (0)13θθθπ+=-<<,则tan θ= ▲ ，sin 2()4π

θ-= ▲ ..

15. 过20x y --=上一点()00,P x y 作直线与221x y +=相切于A ,B 两点.当03x =时，切线长PA 为________________；当PO AB ?最小时，0x 的值为__________. 16.在平面直角坐标系中，给定两点M (1,2),N (3,4),点P 在x 轴的正半轴上移动，当

MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标为__________.

17.若对任意0x >，不等式1

(1)2()ln ax a e x x x

+≥+恒成立，则实数a 的最小值为

_________.

三．解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. （本小题满分14分）

在①2A C B +=②2a c b +=这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解. 问题：已知ABC ?内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2b =，_____，试求sin sin sin A B C ??的范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19. （本小题满分15分）

如图，在四棱锥E -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，

3==⊥DE AE CDE AE ，已知平面，F 为DE 的中点.

(Ⅰ)求证：BE //平面ACF ；

(Ⅱ)求BE 与平面BCF 所成角的正弦值.

M E D P x y 20．（本小题满分15分）

已知数列{}n a 的首项1a ，前n 项之和n S ，满足21

n n na S +=.数列{}n b 的前n 项之和

n T ，满足()()110n n q T qb q -=->，

*n N ∈.

（Ⅰ）若对任意正整数n 都有1n n a b +≤成立，求正数q 的取值范围；

（Ⅱ）当2q =，数列{}n c 满足：21n n n n a c S b ++=?，求证：123

n c c c ≤++???+<.

21. （本小题满分15分）

已知椭圆:Γ()222210x y a b a b +=>>左顶点为A ，离心率为32，且过点13,2?

? ???.

（Ⅰ）求Γ的方程；

（Ⅱ）过抛物线:C ()220y px p =>上一点P DE ,PA 的中点分别为,M N .求证：

对任意0p >在直线平行于y 轴.

[来源:学&科&网] [来源:学|科|网Z|X|X|K]

22. （本小题满分15分）

已知函数()2x f x e ax =+，其中 2.71828e =……是自然对数的底数.

（I ）若()()

()11

f x

g x x x =

≠-+有三个极值点123,,x x x ，[来源:学科网ZXXK] (i)求实数a 的范围；

(ii)求证：1232x x x ++>-；

（II ）若()y f x =有三个零点123,,x x x ，且123x x x <<，求证：11

x a -<<+.

2021届高三三校第一次联考

数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

题号 1 2[来源:Zxx https://www.wendangku.net/doc/fa6564205.html,] 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 C A C C C B D A A D[来

源:学科网]

二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分

11.抛物线 12. 1 ，521522++. 13. 63；-180 14. 512-,119

169

- [来源:学|科|网]

15.3；1 16. 3 17.

三．解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 解答：当选①2A C

B +=：易知3

B π

,20,

A π??

∈ ??

,……………………3分 4

3sin sin sin 3

a b c A B C ===,…………………………………………………6分[来源:学科网] 3333sin sin sin cos 20,3A B C A π???

???=-+∈ ? ? ?

???………………14分当选②2a c b +=:可知242a c ac +??≤= ???，()2

2261cos 122

a c ac

b B a

c ac +--=

=-≥，从而0,3B π??∈ ???，3sin 0,2B ??∈ ? ??

，而333sin sin sin sin 88abc A B C B ??=?≤当且仅当a b c ==时取等号，从而33sin sin sin 0,A B C ??

??∈ ? ??. 19. 证明：（1）连接,AC BD 交于O ，连OF ，，F 为DE 中点，O 为BD 中点//OF BE ∴,,OF ACF BE ACF ??平面平面,//BE ACF ∴平面. ……………6分

（2）

AE CDE CD CDE ⊥?平面，平面

AE CD

∴⊥

，

,,,CD AD AE AD A AD AE DAE ⊥?=?平面

CD DAE ∴⊥平面，如图建立坐标系，

则(3,0,0),(,0,0),(0,32,0),(3,0,3),(0,0,0)E F a C A D 由DC

AB =得(3,32,3)B ，

设面BCF 法向量()

,,n

x y z =，由00

n FB n FC ??=??

?=??可取()

22,1,22n =-，因此设线面角为θ则有

102

sin 51

n EB n EB

θ?=

?. ………………………………………………15分 20．解答：（Ⅰ）易知n a n =，1

n n b q

-=.

由n

n q ≤可知ln ln n n q ≤，即()ln ln n q n N n +

≥

∈，令()()ln 0x f x x x

=>，易知()y f x =在0x e <<上递增，x e >上递减，且()()23f f <，

即ln 3

ln 3

q ≥

，即33q ≥………………………………………………………………………7分（Ⅱ）易知()()11211

212212n n n n n c n n n n --??+==-??+??+?????

，因此()121

21212n n c c c n ??++???+=-

+?????

. 又因为132c =

，且0n c >，故123

n c c c ++???+≥，得证. ……………………………15分 21. 答案：（Ⅰ）2

214

x y +=……………3分（Ⅱ）设2,2t P t p ?? ???，()11,D x y ，()22,E x y ，则切线2:2p t l y t x t p ??

-=- ???

，由222

:2440p t l y t x t p x y ???

-=-? ?

???+-=?

，可得：222241440p x px t t ??+++-= ???，即21222

44pt x x p t

+=-+，422

04160t t p ?>?--<…………① 要证MN 所在直线平行于y 轴即证：22

12224224pt t x x p

p t +=-=-+，即

()4223124160t p p t p +--=…………②

令()2

y y =>，则()223124160y p p y p +--=，由()2

23124640p p p ?=-+>

可知必有两解1y ，2y ，且120y y ?<，故对任意0p >必存在20y >，从而存在

()

892131p t p p p =

-++-.

由②可知2

41612pt p t p t --=--，从而()

()422422

416112p t t p p t p t --=--

当1p =时，(

)422

4160p t t p

--<，从而①式成立；

当01p <<时，()22

1201p t p ->-,()()()24222

212416101p p t t p t p t p ??--=--< ? ?-?

?，从而①式成立；当1p >时，

()()()22921311921210p p p p p p p p -++-=-+-++>->，

()

1201p t p -<-，从而①式成立；

因此满足②的解t 也满足①式，从而对任意0p >，都存在这样的点P ，使得MN 所在直线平行于y

轴. ………………………………………………………………………………………15分 22. 解：（I ）(i)利用()g x 的极值点个数即为()'

x 的变号零点个数

()()'

(2),00,(1)x x e a x g x g x ??++??

=+设()(2)x

h x e a x =++，

由已知，方程()0h x =有两个不为0，-1的实根，'

()x

h x e a =+ 当0≥a 时，()h x 在R 上递增，()0h x =至多一个实根，故0

()h x ∴在())ln(,a -∞-上递减，在()+∞-),ln(a 上递增，

min

1(1)0(0)120()(ln())(ln()2)0

h a e

h a h x h a a a a ?

-=+≠??

∴=+≠??=-=-+-+

e a 1-<∴且21-≠a ………………………………5分 (ii)由（I ）不妨设312121

0,,

(1)01.x x x h a x x e

=<-=

+<∴<-< 要证2321->++x x x ，即证212x x -->而12,121-<----a

故只要证12()(2)h x h x <--，又12()()0h x h x ==，故只要证22()(2)h x h x <--

即证2

222(2)(2)2x x x e

a x e

a ----++<++，又2

+-=x e a x

即证0)2(22222>++--x x e x e x 设2()(2)(1)x

k x xe x e

x --=++>-

'2()(1)()0(1)x x k x x e e x --∴=+->>-[来源:学科网ZXXK] 2()(2)(1)x x k x xe x e x --∴=++>-递增，()(1)0k x k ∴>-=

即0)2(22222>++--x x e x e x

2321->++∴x x x ………………………………………10分

（II ）显然1x =-和0x =均不为该函数零点，令()2x

e g x x

=,则()g x a =-的三个交点的横坐标即

为三个零点123,,x x x ，由()()4

2x e x x

g x x -'=

,可知()y

g x =在0x <上增，在02x <<上减，在

2x >上增,即24e a ->，所以24e a <-，此时显然有()2

x f x e ax =+在0x <上增，且 ()2

11104

e f a e e -=+<-<，()010f =>，故1x x =为唯一负零点，且110x -<<.

令()()

2110x x e x x ?

=---<<，则()20x x e x ?'

=->，即递增，()()00x ??<=，而

121x e ax =-，所以221110ax x ---<，可得11

x a -

<<+.…………………………15分