定积分的近似计算方法
定积分的近似计算方法
摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式、龙贝格求积公式、高斯求
积公式等近似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等.
关键词 插值型积分 龙贝格积分 高斯积分 误差分析 近似计算
1引言
在计算定积分的值()b a
I f x dx =
?
时,常常根据微积分学基本定理求出)(x f 的一个原函
数)(x F ,再用牛顿-莱布尼茨公式求的积分,()()()b
a
I f x dx F b F a =
=-?
.但在实际应用中,
这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()F x 无法用初等函数表示,例如,2
b
x a
e dx ?
,2
sin b
a x dx ?等等,这就需要我们用一些近似方法求的积分值.
与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x ?来近似代替
()f x ,且()b
a
x dx ??的值容易求的.这样就把计算复杂的()b
a
f x dx ?转化为求简单的积分值
()b a
x dx ??.因此,定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题.
2常见数值方法 2.1牛顿-科茨数值方法
牛顿-科茨求积公式是求积节点等距离分布的插值型求积公式.
利用插值多项式来构造数值积分公式是最常用、最基本的方法,具体做法是：
给定区间[,]a b 上一组节点01...n a x x x b =<<<=,以及节点处函数()(
0,1,2,i f x i n =,作
()f x 的n 次拉格朗日多项式
()()()
n
n i i i x f x l x ?==∑,
其中 011011()()()()
()()()()()
i i n i i i i i i i n x x L x x x x L x x l x x x L x x x x L x x -+-+----=
----,将插值公式
(1)1()
()()()
(1)!n n n f f x x x n ξ?ω++=++. 其中 10
1
2()()()()()n n x x
x x x
x x L x x ω+=----
,[,]a b ξ∈,依赖于变量x , 上式积分得
(1)
1()
()()()(1)!
n b
b b
n n a
a a
f f x dx x dx x dx n ξ?ω++=++?
??
(1)(1)0
()
()()()(1)!
n n
b b
i
i
i
n a
a
i f f x l x dx x dx n ξω++==++∑??
(1)(1)0
()
()()()(1)!n n
b b
i i n a
a
i f f x b l x dx x dx
n ξω++==++∑??
若记 (),(0,1,2,b
i i
a A l x dx i =
=?
….. )n (1)
(1)1()
[]()(1)!n b
n a
f R f x dx
n ξω++=+?
, (2)
则有
()()[]n
b
i i a
i f x dx A f x R f ==+∑?
(3)
称式(3)为插值求型公式,其中(0,1,2,i A i =…. )n 与()f x 无关,叫求积系数, i x 为求积节点,
[]R f 为求积公式余项,其中求积系数由(1)决定.
2.1.1梯形求积公式
1梯形公式
当插值节点01,x x 分别选取区间端点,a b 时,由式(3)分别求出求积系数
10012b
b a
a x x x
b b a
A dx dx x x a b ---===
--??,
01102b
b a
a x x x a
b a A dx dx x x b a ---===
--?
?.
从而的求积公式
()[()()]2
b
a
b a f x dx f a f b -≈
+?
. (4) 称求积公式(4)为梯形求积公式,简称梯形公式.
2梯形公式截断误差: 3
*()[](),12
b a R f f ξ-''=- *[,]a b ξ∈. (5) 3梯形求积公式的代数精度:1 当()1f x =时,式(5)中 1(1)2
b
a
b a
dx b a x b a -=-=
+=-?
. 精确成立.
2.1.2 辛普森求积公式
1辛普森求积公式
当选取节点为012,,2
a b
x a x x b +==
=时,由式(1)求下列求积系数 1200102()()()()2()()6()()
2b b a a a b x x b x x x x b a A dx dx a b x x x x a a b +-----===
+----??,
0211002()()()()2()
()()3()()
22b
b a
a x x x x x a x
b b a A dx dx a b a b x x x x a b -----===
++----?
?.
0122021()()()()2()()6()()
22b b a a a b
x a x x x x x b a A dx dx a b a b x x x x a b +--
---===
++----?? .
从而求积公式
()[()4()()]62b
a
b a a b
f x dx f a f f b -+≈
++?
. （6）
称式(6)为抛物线积分公式或辛普森积分公式.
2抛物线求积公式误差估计
定理1.若()f x 在[,]a b 上有四阶连续导数,则抛物线公式(6)的余项为:
5(4)**
()[](),[,]2880
b a R f f a b ξξ--=
∈. (7) 3抛物线公式的代数精度为3.
易验证,当23()1,,,f x x x x =时,式(6)精确成立,而当4
()f x x =时,式(6)不能精确成立.
2.1.3 牛顿-科茨公式
1牛顿-科茨公式
在等距离节点i x a ih =+下,其中(0,1,2b a
h i n
-==…. )n .作为变量替换x a th =+,那么由求积公式(1),得系数:
10
(1)
(1)(1)()
!(1)(1)!
n
i n t t t i t i t n A h dt i n ---+---==
--?
10(1)(1)...(1)(1)...()(0,1,2,...)!(1)!
n n
b a t t t i t i t n dt i n n i n -----+---=-? (8) 则 ()()n i i A b a C =- (9) 于是差值求积公式为:
()0
()()()[]n
b
n i i a
i f x dx b a C f x R f ==-+∑?
(10)
称公式(10)为牛顿-科茨求积公式,其中()
n i
C 称为科茨系数.显然,科茨系数与被积函数()f x 及
积分区间[,]a b 无关,它指依赖于n ,且为多项式积分.因此,只要给出n ,就能看出i A ,并写出相应地牛顿-科茨公式.
2牛顿-科茨公式的截断误差与代数精度.
当1n =与2n =情况分析牛顿-科茨公式的截断误差为
(1)()
[]()()()(1)!n b b b
n a
a
a
f R f f x dx x dx x dx
n ξ?ω+=-=+???
牛顿-科茨公式的截断误差还可以写成
(2)*1()[]()((2)!n b
n a f R f x dx n n ξω++=+?为偶数）
(1)
*1()[]()(1)!n b
n a f R f x dx n ξω++=
+? (n 为奇数） (11) 其中*
[,]a b ξ∈,且不依赖于x ,101()()()...()n n x x x x x x x ω+=---,对()f x 为任何并不超
过n 次多项式,均有(1)
()0n f
x +≡,因而[]0R f ≡,即0
()()n
b
i i a
i f x dx A f x ==∑?精确成立,也就
是说,牛顿-科茨公式的代数精度至少为n ,牛顿-科茨公式在n 为偶数时,至少具有1n +次代数精度,在n 为奇数情况时,至少具有n 次代数精度.
2.1.4复化梯形求积公式
将区间[,]a b 等分,节点为i x a ih =+ (步长b a
h n
-=
),0,1,2...,i n =)在每个小区间1[,]i i x x -上采用梯形公式(4)得
1
1
11
1
()()[
(()()]2i
i n
n
b
x i i i i a
x i i x x f x dx f x dx f x f x ---==-=≈+=∑∑?
?
11[()()]2n
i i i h
f x f x +=+=∑
1
1
[()2()()]2n i n i h
f a f x f b T -=++=∑ (12)
称式(12)为复化梯形公式. 复化梯形公式余项为()
2
()()()12
i n b a R f h f η-''=-
(13) 2.1.5复化辛普森求积公式
在每个小区间],[1+i i x x 上,辛普森公式(6)得
1
1102
()[()4()()]6n b
i i a
i i h
f x dx f x f x f x -++==++∑?
（14）
11
1012
[()4()2((6)]6n n i i i i h
f a f x f x f --+===+++∑∑
记 )]()(2)(4)([61
1
102
1b f x f x f a f h
S n i i n i i n +++=∑∑-=-=+ (15)
式中,2
1
+i x
为],[1+i i x x 的中点,即h x x
i i 2
1
2
1+=+
.式(15)称为复化辛普森公式,其余项为
∑-=-
=-=10
)
4(4)()2(180)()(n i i n n f h h S f I f R η, 1(,).i i i x x η+∈ 故 ),(),()2
(180)(R )
4(4b a f h a b f n ∈--=ηη (16) 为复化辛普森的截断误差. 2.1.6复化科茨求积公式
将区间[,]a b n 等分, 4n m =,m 为正整数,在每个子区间444[,]k k x x -上用科茨求积公
式得到复化求积公式:
41
2()[7()7()32()45m
b
k a
k h
f x dx f a f b f x -≈++∑?
142
4141
1
1
12
()32()14()m
m
m k k k N k k k f x
f x f x C ---===+++=∑∑∑ (17)
其中 4b a b a h n m
--==, k x a kh =+ 其截断误差为6(6)
2()[,](),()945
n b a R f C h f a b ηη-=-
<. 2.1.7 变步长复化求积方法
复化求积公式虽然计算简单,也达到了提高精度的目的,但为了满足精度要求必须顾及误差,利用误差公式往往很困难,因为误差表达式中含有未知函数的导数,而估计各阶导数的最大值不太容易.我们可以采取把积分的区间[,]a b 细分的办法,在计算积分时将步长逐步折半,利用前后两次结果进行误差估计,如此继续,直到相邻两次结果相差不大,取最小的步长算出的结果为积分值,这种方法称为变步长积分法.
以复化梯形公式为例,把区间[,]a b 分成n 等分,设复化梯形公式的近似值为n T ,原积分值为I ,由复化梯形公式误差公式(14)知:
2"
11()()()n b a b a I T f a b N N ηη--=-
<<
再把区间[,]a b 分成2n 等分,得近似值2n T ,则
2
222()()()122k b a b a I T f a b n
ηη--''=-
<< 假定()f x ''在[,]a b 上变化不大,既有12()()f f ηη''''≈. 由上式得 .
24k
k
I T I T -≈-
于是 222211
()()3
41
n n n n n n I T T T T T T ≈+-=+
-- (18) 式(18)表明若用2n T 作为I 的近似值,其截断误差约为
2()
3n n T T - (19)
2.2 龙贝格求积公式
龙贝格积分法的基本思想是采用复化梯形求积方法不断折半步长过程中,在积分结果中加入时候误差估计值进行补偿,使积分计算的收敛性加速,就可以加工出,,,...n n n S C R 精度较
高的积分结果.由式(19), 2n T 的误差大致为
23
n n
T T -,因此,可用这个误差值作为2n T 的一种补偿,加到2n T 上,则可得到积分准确值I ,比2n T 的更好近似值~
T .
222141
()333n n n n n
T T T T T T =+-=- 222
1(2)21n n T T =
-- (20)
式(20)左端1n =时 记
122121
141()333S T T T T T =+-=- 112()()332a b T b a f +=+- [()4()()]
62b a a b f a f f b -+=++
恰好为[,]a b 上应用辛普生公式(16)的结果.在每个小区间应用辛普生公式:
11[()2()()]
2n n k k h
T f a f x f b -==++∑
121()112[()2()()2()]
4n n n k k k k h
T f a f x f b f x --===+++∑∑
代入式(20)的左端得
11111[()2()()2()3
2n n
k k k k h f a f x f b f x -==+++--
∑∑ 1
1
[()2()()]
2n k k h f a f x f b -++∑
1
1111
[()4()2()()]
62n n k k k k f a f x f x f b -===+-++∑∑
n
S =
从而复化辛普森公式与复化梯形公式公式有以下关系式
2441n n
n T T S -=
- (21)
类似也可以推证,在辛普森序列基础上,利用以下关系式
22242161
151541n n n n n S S C S S -=
-=- (22)
可以造出收敛速度更快的科茨序列12,...,...n C C C 将此推行下去,在科茨序列基础上,通过
243431
n n
n C C R -=
- (23)
构造出收敛速度比科茨序列更快的龙贝格序列12,,......n R R R .以上这种通过逐步构造龙贝格序列的积分近似值法就称为龙贝格积分法.
2.3高斯求积公式
由定理
()()()b
a
f x F b F a =-?
知,插值型求积公式的代数精度与求积节点的个数有关,
具有1n +个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度.不仅如此,代数精度与节点的选取有关,在构造牛顿-科茨求积公式时,为了简化处理过程,限定用等分节点作为求积节点,这样做,虽然公式确实得到简化,但同时也限制了公式的代数精度. 设积分,1,1=-=b a 本段讨论如下求积公式
1
1
()()n
i i i f x A f x -==∑?
(24)
对任意积分区间[,]a b ,通过变 2
2b
a t a
b x ++-= 可以转换到区间]1,1[-上,这时
11()()222
b
a
b a b a a b
f x dx f t dt ---+=
+?
? 此时,求积公式写为
0()()222
n b
i i a
i b a a b b a
f x dx A f t =-+-=+∑?
若一组节点]1,1[.....,10-∈n x x x 使插值型求积公式(24)具有21n +次代数精度,则称此组节点为高斯点,并称相应求积公式(24)为高斯求积公式.
2.3.1 高斯求积公式的余项
(2)20
()[]()()()(22)!n n
b
b k k a
a k f R f f x dx A f x x dx n ηω+==-=+∑?? 其中 01()()()...(),[,]n x x x x x x x a
b ωη=---∈,且不依赖于x .
2.3.2 复化高斯求积公式
复化高斯求积公式的基本思想是:将积分区间[,]a b 分成n 个等长小区间
1[,](1,...)i i t t i m -=,然后在低阶(2n =)高斯求积公式算出近似值,最后将他们相加的积分
()b
a
f t dt ?
的近似值m G ,即
1
1111
11
1
()()[]222i
i m
m
b
t i i i i i i a
t i i t t t t t t f t dt f t dt dt -----==-+-==+∑∑
?
?
?
1111[()]222m i h h
a i h x dx
-==+-+∑?
101[()]222m n j j m
i j h h
A f a i h x G ==≈+-+≈∑∑ (25)
其中m
a
b h -=
,j A 与(0,1,2,...,)j t j n =可由书中表中查出. 3 应用
3.1插值型积分的应用
例1 用牛顿-科茨公式(1,2,4n =)计算积分122
1
1I x =+?
. 解 1n =时
2
210
11
2[]0.4512101()2I -≈+=++
2n =时
2
221
111
2[4]0.463725
116101()1()
42I -≈++=+++
4n =时
2
2221
1111
2[7321232]0.46363311390101()1()1()
848
I =++++≈++++
例2 利用复化梯形求积公式计算积分 1
22
1
1I dx x =
+?
解 设2
11
)(x x f +=
,分点个数为n =1,2,4,5时,求出相应积分n T , 1
1
1[(()())],
21,2(),.
n n i i i i i T f a f b f h b a h n n f x f x a ih ih -=?
=++??
-?
==??
=??
=+=?∑
列表如下:
n =1的计算结果见表1-1所列 n h
0x 1
x 0
f
1
f
1
T
1
0.5
0.0
0.5
1.0 0.8 0.45
n =2的表格如下 n h
x
1
x
2
x
f
1
f
2
f
2
T
2
0.25
0.00 0.25 0.50 1.00 0.941765 0.80 0.460294
n =4时计算结果如下表 n h 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
4
0.125
0.00 0.125 0.25 0.375 0.50
f
1
f
2
f
3
f
4
f
4
T
1.00 0.9846154 0.9411765 0.876712 0.80 0.462813
n = 5时计算结果如下 n h
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
5
0.1
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
0.5
f
1
f
2
f
3
f
4
f
5
f
5
T
1.0 0.990099 0.9615385 0.91743 0.862069 0.8
0.463114
例3 利用复化求积公式120
x e dx ?
,问积分区间为多少等分才能得证有5位有效数字？
解 由式（14）知
3
22()[],()()1212n b a b a R f h f n f n n
--''''=-=- 有1
(),(),2
x x
f x e f x e b a ''==-=
,当]21,0[∈x 时,在1
2
|()|f x e ''≤,所以12
2
|[]|96n e R f n ≤ 由于
1
20
x e dx ?
的准确值具有一位整数,所以要使近似值具有5位有效数字,n 必须满足
4
242
2
11048,102
196?≥?≤-e n n e 或 取对数有 19=n .
即将区间]2
1
,0[19等分可满足给定的精度要求.
例4 利用复化抛物线求积公式计算 120
21
1
I dx x =
+?
. 解 设11)(2+=x x f ,取m =1,2, 3时,公式()???
??
??
???
???
++=+=====-=+++=+---=-=+∑∑.
)12(,2),(),(),(,,242[3122121222111
1,
1222h i a x ih a x x f f x f f b f f a f f m a b n f f f f h S i i i i i i b a m i m i i b a m
当m =1,2,3时结果如下表所示 当m =1时
m h
(0.0)f )25.0(f )5.0(f
2S
1 0.25 1.0 0.9411765 0.80 0.463725
当m =2时
m
h
(0.0)
f
(0.125)f (0.025)f (0.35)f )5.0(f
4S
2
0.125 1.0 0.9846154 0.9411765 0.8767123 0.80 0.463653
当m =3时
m
h
(0.0)f
(0.08333)
f (0.16667)f (0.35)f
(0.33333)f (0.14166667)f )
5.0(f
4S
3
0.8333
1.0
0.9931034
0.972973
0.941176
0.9
0.85207
0.8
0.4636
例5 用复化梯形公式,辛普森公式和科茨公式计算积分1
0sin x
dx x ?的近似值.
解按精度要求确定]1,0[分多少等分,即确定步长,要使
6
44102
1)1(28801|],[|-?≤≤M m S f R n ,只需.4642880102M m ?≥
令10sin ()cos x
f x txdt x
==?,
则1()
0sin ()()(cos )k k
k k k d x
d f
x tx dt dx x dx
==? 1
cos().2
k t tx k
dt π
=
+?
dt k
tx t x f k k |)2
cos(|max )(|max 10
)
(π
+≤?
1
1
.1k t d t t
≤
=
+?)10(≤≤x (4)
1max |()| 5.
f x ≤
所以只要,9.1383
1
288010264
=??≥
-m 取m =4即可, 当4n =时,在每个子区间上用式(25）,或(14),或(17),结果.
9460829.0,9460833.0,9456911.0888===C S T
3.2 龙贝格积分公式应用
例6 用龙贝格算法计算积分1
2
41I dx x
=+?的近似值,要求误差小于5
10-. 解 .3,0,14
)(2
==+=
b a x x f 步骤如下:
2)1(,4)0()1(==f f 得.3)]1()0([2
1
1=+=f f T )2(计算,1.3)]21
([21,516)21(12=+==f T T f 由此得
30133333
41
2
1=-=T T S . (3)算出），（4
3),41(f f 从而
,3013118)]43()41([4
1
2124=++=
f f T T
,14157.3342
4
2=-=T T S .301421215
161
21=-=S S C
(4)计算),8
7(),85(),83(),81(f f f f 从而得到:
13899.3)]87()85()83()81([8
1
2148=++++=f f f f T T ,
,14159.3344
8
2=-=T T S ,14059.315162
42=-=S S C
.1458.363
641
21=-=
C C R (5)再计算),16
15(),1613(),1611(),169(),167(),165(),163(),161
(f f f f f f f f 从而得到: 14094.316=T
30141598=S ,,14159.3,14159.324==R C
5
1210||-≤-R R ,
所以
1
204
3.14159.1dx x ≈+?
3.3高斯求积公式的应用
例7 用两点复化高斯求积公式计算1
0,x I e dx =?要求允许误差.106
-=ε 解 在本算法中取21=+n 时,,110==A A 其中;,)(m
a
b h e x f x
-=
= =
++--=∑=)22(2201j j j b a x a b f A a b G
.87189637800
.1][2
1)3
2121()
32121
(=++-e
e
m =2时, h =21, ]4
1
21)21([4120202j i j j x i f A G +?-=∑∑==
.57182571650
.1)(4
1
3
41333
4133
41333
4
13=+++=++--e
e
e
e m =3时, h =
3
1. .3718276935
2.1]63
1
)21([6130203=+?-=∑∑==j i j j x i f A G
.101027.71
|||
|56323--
3.4 几种方法的比较分析
例8 计算积分
2
11
ln 2dx x =?，精确到0.001.
(1)利用矩形公式计算, 因为对于x x f 1)(=,有32
0()2f x x
''<=<(如果1 照公式 0)2 (S =+- dx b a x b a . 0 2112n . 如果取n =10,则我们公式的余项的余数得3101 0.84101200 R -< 10-,为了这个目的只要计算 1 x 的值到四位小数精确到0.00005就够了.我们有 1232527292132152172192 1.051.151.251.351.551.651.751.851.95 x x x x x x x x x ========= 5128 .05405.05714.06061.06897.07407.08.08696.09524.02192172152132927252321=========y y y y y y y y y 和6.9284 69284.010 9284 .6= (2) 按照梯形公式作同样的计算,在这种情况下,作公式 2 10,||6n n R R n << 在这儿也试一试取n =10,虽然此时仅可以证3107.1600 1 ||-?< 9 .18.17.16.15.14.13.12.11.1987654321=========x x x x x x x x x 5263 .05556.05882.06250.06667.07143.07692.08333.09091.0987654321=========y y y y y y y y y 和1877.6 69377.01877.62 1500101=+）（ (3) 用辛普森公式做同样的计算 作公式 . 0))(() 2(180)()4(4 5 <≤≤?--=n n R b a f n a b R ξξ 并且n =5时有55104.1||-? 8 .16.14.12 .14321====x x x x 45636 .555556.062500.071429.083333.04321和====y y y y 9 .17.15.13.11.12927252321=====x x x x x 83820 .1352632.058824.066667.076923.090909.029********和=====y y y y y .20.150==x x 50000 .150000.060000 .150和==y y 6931525.083820.345636.550000.130 1=++）（. 由此可见，用辛普森公式计算得到的值误差最小，计算量相对一般；而用矩形公式计算得到的值误差较大，计算量也比较大；用梯形公式计算的值误差比用矩形公式得到的值要误差小，计算量也是如此.所以我们计算定积分时用辛普森公式往往得到的值误差小，而对没有要求误差大小的，则可以选择辛普森或者是梯形公式，因为这两种方法计算量相对较小. 结 束 语 本文只讨论了一些一维数值积分方法及其它们的应用,误差分析等有关内容.其中最常用 的方法是插值型积分以及复化方法、龙贝格积分方法和高斯积分方法,并讨论了相关求积方法的代数精度和误差分析,并给出了一些例题,分析各种方法的近似值,得出误差分析最小的近似方法.由于篇幅有限,对于高维数值积分方法本文便不再讨论. 参考文献 [1] 华东师范大学数学系，数学分析（第一版）[M]，北京:高等教育出版社,2001. [2] 李庆阳,关治,白峰杉，数值计算原理（第二版）[M]，北京: 清华大学出版社, 2008. [3] 肖筱南，现代数值计算方法（第一版）[M]，北京: 北京大学出版社, 1999. [4] 菲赫金格尔茨，微积分学教程（第三版）[M]，北京: 高等教育出版社, 2005. [5] 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法（第一版）[M] ，北京: 北京大学出版社,2004. [6] 李桂成，计算方法（第三版）[M]，北京: 高等教育出版社,2010. [7] Yin Y uezhu ,Yang Zhonglian.Calculating Skillfully the Curve Integral and Surface Integral Type 2 by Symmetry, SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION ,2008(30) The Approximate Numerical Method of the Definite Integral Abstract This paper mainly discusses common numerical methods of unary function, such as approximate calculation method of interpolation integral, Lebesgue integral and Gauss integration. With these methods in calculating the integral, it will produce some error. In order to reduce the error, we can use after the formula for product and after the Gauss formula. This paper focus on these methods introducing formula of introduction and truncation errors .In addition they can provide examples to analysis size of the error and computation. Keywords interpolation integral Lebesgue integral Gauss integral error analysis approximate computation 定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+ 七大积分总结 一． 定积分 1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点： a=x 0 ? ??==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(。 （2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。 （3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ →0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限： 例：∑?=∞→=n i n n i f dx x f 1 1 0n 1 )()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理 定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义 对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x) 小于0时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分?b a dx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质 线性性质（性质一、性质二） 年 级 高二 学科 数学 内容标题 定积分的计算 编稿老师 马利军 一、教学目标： 1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：? b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分? b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ） 与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下. ? b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、 函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=? ，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=? ，在图（3）中：dx )x (f b a ? 表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于? b a dx x f )(，仅 当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于 ? b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）?? =b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3） ?? ?+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ，b ］上，? ≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 定积分讲义总结 内容一 定积分概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和： 1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功． 分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =?． 1．分割 在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 0,b n ??????，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -???=? ? ??L ，其长度为()1i b i b b x n n n -??=-= 把在分段0, b n ? ???? ?，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 上所作的功分别记作：1W ?，2W ?，…，n W ? （2）近似代替 有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --???=??=?? ? ?? (1,2,,)i n =L （3）求和 ()1 1 1n n n i i i i b b W W k n n ==-=?=??∑∑ =()()22222 110121122n n kb kb kb n n n n -?? ++++-==-?? ?? ??? L 一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示 函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 （2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理： 一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且 注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据 实验三定积分的近似计算 一、问题背景与实验目的 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分． 本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法．对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用． 二、相关函数（命令）及简介 1．sum(a)：求数组a的和． 2．format long：长格式，即屏幕显示15位有效数字． （注：由于本实验要比较近似解法和精确求解间的误差，需要更高的精度）．3．double()：若输入的是字符则转化为相应的ASCII码；若输入的是整型数值则转化为相应的实型数值． 4．quad()：抛物线法求数值积分． 格式： quad(fun,a,b) ，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使用*、/、^等运算时要在其前加上小数点，即 .*、./、.^等．例：Q = quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2); 5．trapz()：梯形法求数值积分． 格式：trapz(x,y) 其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相当于上面介绍的函数fun） 例：计算 0sin()d x x π ? x=0:pi/100:pi;y=sin(x); trapz(x,y) 6．dblquad()：抛物线法求二重数值积分． 格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以用inline定义，也可以通过某个函数文件的句柄传递． 例1：Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi) 顺便计算下面的Q2，通过计算，比较Q1 与Q2结果（或加上手工验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法． Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi)例2：Q3 = dblquad(@integrnd, pi, 2*pi, 0, pi) 这时必须存在一个函数文件integrnd.m： 实验二定积分的近似计算 一、问题背景与实验目的 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分． 本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法．对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用． 二、相关函数（命令）及简介 1．sum(a)：求数组a的和． 2．format long：长格式，即屏幕显示15位有效数字． （注：由于本实验要比较近似解法和精确求解间的误差，需要更高的精度）．3．double()：若输入的是字符则转化为相应的ASCII码；若输入的是整型数值则转化为相应的实型数值． 4．quad()：抛物线法求数值积分． 格式：quad(fun,a,b) ，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使用*、/、^等运算时要在其前加上小数点，即.*、./、.^等． 例：Q = quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2); 5．trapz()：梯形法求数值积分． 格式：trapz(x,y) 其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相当于上面介绍的函数fun） 例：计算 0sin()d x x π ? x=0:pi/100:pi;y=sin(x); trapz(x,y) 6．dblquad()：抛物线法求二重数值积分． 格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以用inline定义，也可以通过某个函数文件的句柄传递． 例1：Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi) 顺便计算下面的Q2，通过计算，比较Q1 与Q2结果（或加上手工验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法． Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi) 例2：Q3 = dblquad(@integrnd, pi, 2*pi, 0, pi) 这时必须存在一个函数文件integrnd.m： 定积分计算的总结论文公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限， 设()0()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[]1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>? 精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a 定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 （1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（ （10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ） （ （14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（ （16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+ 三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积 高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法: 樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分 分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__ -辿迪牆H JS m 弟 R Eff 洱 ->1和弟r 直 - —7朮呻' g 丄 U P A J 齐—系卩￡.§计 一 H a8~t ' J 乂 u D y " ?朮? p o r t v 卩 J (r 4 5*〉J" 卩?对渎 t-k )+c p T + T d ? g T + c m -辿」 当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx 第一章 函数、极限、连续 注 “★”表示方法常用重要. 一、求函数极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2.等价量替换；★3.变量代换；★4.洛比达法则；★5.重要极限；★6.初等函数的连续性；7.导数的定义；8. 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式；9.夹逼定理；10利用带有拉格朗日余项的泰勒公式；11.拉格朗日定理；★12. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量等. ★二、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值的方法 运用无穷小量阶的比较、洛必达法则或带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去分析问题，解决问题。 三、无穷小量阶的比较的方法 利用等价无穷小量替换或利用洛必达法则，无穷小量的等价代换或利用带有皮亚诺余项的佩亚诺余项公式展开 四、函数的连续与间断点的讨论的方法 如果是)(x f 初等函数，若)(x f 在0x x =处没有定义，但在0x 一侧或两侧有定义，则0x x =是间断点，再根据在0x x =处左右极限来确定是第几类间断点。如果)(x f 是分段函数，分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点。 五、求数列极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2. 夹逼定理；★3. 单调有界定理； 4. )()(lim )()(lim ∞=?∞=∞ →+∞→A n f A x f n x ；5. 数列的重要极限；6.用定积分的定义求数列极限；7. 利用若∑∞ =1n n a 收敛，则0lim =∞→n n a ；8. 无穷小量乘以有界量 仍是无穷小量；9.等价量替换等. 【评注】1. 数列的项有多项相加或相乘式或∞→n 时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算， 2.如果数列的项用递推关系式给出的数列的收敛性或证明数列极限存在，并求极限.用单调有界定理 3.对数列极限的未定式不能用洛比达法则。因为数列作为函数不连续，更不可导，故对数列极限不能用洛比达法则. 4.由数列{}n a 中的通项是n 的表达式，即).(n f a n =而)(lim )(lim x f n f x n ∞ →∞→与是特殊与一般的关系，由归结原则知 ★5. 有lim 1011()()n n i i f f x dx n n →∞ ==?∑或1lim 1001()()n n i i f f x dx n n -→∞==?∑ 第二章 一元函数微分学 ★一、求一点导数或给处在一点可导推导某个结论的方法： 利用导数定义，经常用第三种形式 二、研究导函数的连续性的方法： 定积分训练题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．将和式的极限)0(.......321lim 1 >+++++∞→p n n P p p p p n 表示成定积分 （ ） A ．dx x ?101 B ．dx x p ?10 C ．dx x p ?10)1( D ．dx n x p ?10)( 2．下列等于1的积分是 （ ） A ． dx x ? 1 B ．dx x ?+10 )1( C ．dx ? 1 01 D ．dx ?1 021 3．dx x |4|1 02 ? -= （ ） A ． 321 B ．322 C ．3 23 D ．325 4．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为 （ ） A ．320gt B ．2 0gt C ．2 2 0gt D ．6 2 0gt 5．曲线]2 3 ,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ） A ．4 B ．2 C ．2 5 D ．3 6．dx e e x x ? -+1 )(= （ ） A ．e e 1 + B ．2e C ． e 2 D ．e e 1- 7．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ） A ．［0，2e ］ B ．［0，2］ C ．［1，2］ D ．［0，1］ 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为 （ ） A ．()[]dy y y ?--1 1 B ． ()[]dx x x ?-+-210 1 C ． ()[]dy y y ?--210 1 D ．()[]dx x x ? +--10 1 9．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是 （ ） A ．0.18 B ．0.26 C ．0.12 D ．0.28 10．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米， 则该正方形薄片所受液压力为 （ ） A ．? 3 2 dx x ρ B ． ()?+2 1 2dx x ρ C ．? 1 dx x ρ D ． ()?+3 2 1dx x ρ 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．将和式)21 .........2111( lim n n n n +++++∞ →表示为定积分 ． 12．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ． 13．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ． ? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1 111)'ln )1(ln(+- =-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(?? 数学实验报告 实验序号：4 日期：2012 年12 月13 日 实验名称定积分的近似计算 问题背景描述： 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分． 实验目的： 本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用。 实验原理与数学模型： 1．矩形法 根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即 在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度． 针对不同的取法，计算结果会有不同。 （1）左点法：对等分区间 ， 在区间上取左端点，即取。 （2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取。 （3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取。2．梯形法 等分区间 ， 相应函数值为（）． 曲线上相应的点为（） 将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个 上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为 ，． 于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值， ， 即， 称此式为梯形公式。 3．抛物线法 将积分区间作等分，分点依次为 ，， 对应函数值为 （）， 曲线上相应点为 （）． 现把区间上的曲线段用通过三点，，的抛物线 第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积?(1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量? 三、教学过程 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求 定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 数学实验报告 实验序号:2 日期:2013 年11 月30日 班级应数二班姓名丁慧娜学号1101114088 实验名称定积分的近似计算 实验所用软件及版本MATLAB R2012b 问题背景描述: 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值,但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形.如果这点办不到或者不容易办到,这就有必要考虑近似计算的方法.在定积分的很多应用问题中,被积函数甚至没有解析表达式,可能只就是一条实验记录曲线,或者就是一组离散的采样值,这时只能应用近似方法去计算相应的定积分. 实验目的: 1、本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法:矩形法、梯形法、抛 物线法。 2、加深理解积分运算中分割、近似、求与、取极限的思想方法。 3、学习fulu2sum、m的程序设计方法,尝试用函数sum 改写附录1与 附录3的程序,避免for 循环。 实验原理与数学模型: 1.矩形法 根据定积分的定义,每一个积分与都可以瞧作就是定积分的一个近似值,即 在几何意义上,这就是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果,所以把 这个近似计算方法称为矩形法.不过,只有当积分区间被分割得很细时,矩形法才有一定的精确度. 针对不同的取法,计算结果会有不同。 (1)左点法:对等分区间 , 在区间上取左端点,即取。 (2)右点法:同(1)中划分区间,在区间上取右端点,即取。 (3)中点法:同(1)中划分区间,在区间上取中点,即取。 2.梯形法 等分区间 , 相应函数值为(). 曲线上相应的点为() 将曲线的每一段弧用过点,的弦(线性函数)来代替,这使得每个上的曲边梯形成为真正的梯形,其面积为定积分的方法总结
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