浙江省温州市2016年高考数学二模试卷(理科)(解析版)
一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={3,4,5},则A∩?U B=()A.{3} B.{1,2,4,5} C.{1,2} D.{1,3,5}
2.已知实数x,y满足,则z=x﹣y()
A.最小值为﹣1,不存在最大值B.最小值为2,不存在最大值
C.最大值为﹣1,不存在最小值D.最大值为2,不存在最小值
3.直线l1:mx+y﹣1=0与直线l2:(m﹣2)x+my﹣1=0,则“m=1”是“l1⊥l2”的()A.充分不必要条件B.充要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
4.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是()
A.4 B.C.8 D.
5.设集合S={A0,A1,A2,A3},在S上定义运算⊕为:A i⊕A j=A k,其中k为i+j被4除的余数,i,j=0,1,2,3.若(A2⊕A3)⊕A m=A0,则m的值为()
A.0 B.1 C.2 D.3
6.点P到图形C上所有点的距离的最小值称为点P到图形C的距离,那么平面内到定圆C的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点的轨迹是()
A.射线 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
7.数列{a n}是递增数列,且满足a n+1=f(a n),a1∈(0,1),则f(x)不可能是()
A .f (x )=
B .f (x )=2x
﹣1 C .f (x )=
D .f (x )=log 2(x+1)
8.棱长为2的正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CC 1的中点,点P ,Q 分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上的动点,则△PEQ 周长的最小值为( )
A .2
B .
C .
D .2
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分) 9.以椭圆
=1的焦点为顶点,长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是 ,
离心率为 . 10.函数
的图象如图所示,则ω= ,
φ= .
11.已知等差数列{a n }的公差为﹣3,且a 3是a 1和a 4的等比中项,则通项a n = ,数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为 . 12.设奇函数f (x )=
,则a+c 的值为 ,不等式f
(x )>f (﹣x )在x ∈[﹣π,π]上的解集为 . 13.若正数a ,b 满足log 2a=log 5b=lg (a+b ),则的值为 .
14.若存在x 0∈[﹣1,1]使得不等式1000
2124+≤+?-x x x a 成立,则实数a 的取值范围
是 .
15.如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,M,N分别为线段BC,CD上的点,且满足,若,则x+y的最小值为.
三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=,sinA=.(Ⅰ)求sinC的值;
(II)设D为AC的中点,若△ABC的面积为8,求BD的长.
17.如图,矩形ABCD中,=λ(λ>1),将其沿AC翻折,使点D到达点E的位置,且二面角C﹣AB﹣E为直二面角.
(1)求证:平面ACE⊥平面BCE;
(2)设F是BE的中点,二面角E﹣AC﹣F的平面角的大小为θ,当λ∈[2,3]时,求cosθ的取值范围.
18.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象过点(1,0).
(1)记函数f(x)在[0,2]上的最大值为M,若M≤1,求a的最大值;
(2)若对任意的x1∈[0,2],存在x2∈[0,2],使得f(x1)+f(x2)>a,求的取值范围.
19.已知椭圆=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,焦距为2,设点P(a,b)满足△PF1F2是等腰三角形.
(1)求该椭圆方程;
(2)过x轴上的一点M(m,0)作一条斜率为k的直线l,与椭圆交于点A,B两点,问是否存在常数k,使得|MA|2+|MB|2的值与m无关?若存在,求出这个k的值;若不存在,请说明理由.
20.设正项数列{a n}满足:a1=1,且对任意的n,m∈N+,n>m,均有a2n+m a2n﹣m=n2﹣m2成立.(1)求a2,a3的值,并求{a n}的通项公式;
(2)(ⅰ)比较a2n﹣1+a2n+1与2a2n的大小;
(ⅱ)证明:a2+a4+…+a2n>.
2016年浙江省温州市高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={3,4,5},则A∩?U B=()A.{3} B.{1,2,4,5} C.{1,2} D.{1,3,5}
【分析】由全集U及B,求出B的补集,找出A与B补集的交集即可.
【解答】解:∵全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={3,4,5},
∴?U B={1,2},
则A∩?U B={1,2},
故选:C.
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.2.已知实数x,y满足,则z=x﹣y()
A.最小值为﹣1,不存在最大值B.最小值为2,不存在最大值
C.最大值为﹣1,不存在最小值D.最大值为2,不存在最小值
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义进行求解即可.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=x﹣y,得y=x﹣z表示,斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线,
平移直线y=x﹣z,当直线y=x﹣z经过点A时,即和直线AD:x﹣y=﹣1平行时,直线y=x﹣z 的截距最大,此时z最小,最小为﹣1,
无最大值,
故选:A.
【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键,注意利用数形结合来解决.
3.直线l1:mx+y﹣1=0与直线l2:(m﹣2)x+my﹣1=0,则“m=1”是“l1⊥l2”的()A.充分不必要条件B.充要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
【分析】对m分类讨论,利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出.
【解答】解:当m=0时,两条直线分别化为:y﹣1=0,2x+1=0,此时两条直线相互垂直,∴m=0.
当m≠0时,若l1⊥l2,则﹣m(﹣)=﹣1,解得m=1.
综上可得:m=0,或m=1,
故“m=1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件,
故选:A.
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
4.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是()
A.4 B.C.8 D.
【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥,由三视图求出几何元素的长度,由锥体的体积公式求出几何体的体积.
【解答】解:根据三视图可知几何体是一个四棱锥,
底面是一个矩形:两条边分别是4、2,且四棱锥的高是2,
∴几何体的体积V==,
故选:B.
【点评】本题考查三视图求几何体的体积,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力.
5.设集合S={A0,A1,A2,A3},在S上定义运算⊕为:A i⊕A j=A k,其中k为i+j被4除的余数,i,j=0,1,2,3.若(A2⊕A3)⊕A m=A0,则m的值为()
A.0 B.1 C.2 D.3
【分析】根据新定义进行推理计算即可.
【解答】解:∵2+3=5,5除4的余数为1,
∴A2⊕A3=A1,
则A1⊕A m=A0,则1+m是4的倍数,
则m=3,
故选:D.
【点评】本题主要考查推理的应用,根据新定义是解决本题的关键.比较基础.
6.点P到图形C上所有点的距离的最小值称为点P到图形C的距离,那么平面内到定圆C的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点的轨迹是()
A.射线 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
【分析】根据题意可知|PC|﹣r=|PA|,即P到C与A的距离之差为常数,故而P在双曲线上运动.
【解答】解:设圆C的半径为r,由题意可知P到圆C的距离为|PC|﹣r,
∴|PC|﹣r=|PA|,即|PC|﹣|PA|=r.
∴P点轨迹为以A,C为焦点的双曲线靠近A点的一只.
故选:C.
【点评】本题考查了圆锥曲线的定义,属于基础题,
7.数列{a n}是递增数列,且满足a n+1=f(a n),a1∈(0,1),则f(x)不可能是()A.f(x)=B.f(x)=2x﹣1 C.f(x)= D.f(x)=log2(x+1)
【分析】A.由a1∈(0,1),可得>a n,即可判断出数列{a n}的单调性;
B.由a1∈(0,1),不妨取a1=,则a2=﹣1=﹣1,即可判断出数列{a n}的单调性;C:f(x)=,令2x﹣x2≥0,可得得0≤x≤2.由f(x)==,利用二次函数的单调性及其a1∈(0,1),即可判断出数列{a n}的单调性;
D.利用几何画板画出图象y=log2(x+1),y=x,可知:在x∈(0,1)时,log2(x+1)>x,即可判断出数列{a n}的单调性.
【解答】解:对于A.∵a1∈(0,1),∴>a n,可得数列{a n}是递增数列;
对于B.∵a1∈(0,1),不妨取a1=,则a2=﹣1=﹣1,因此数列{a n}不是递增数列;
对于C:f(x)=,令2x﹣x2≥0,解得0≤x≤2.由f(x)==,可知:当0≤x≤1时,函数f(x)单调递增;当1≤x≤2时,函数f(x)单调递减.∵a1∈(0,1),∴数列{a n}是递增数列;
对于D.利用几何画板画出图象y=log2(x+1),y=x,可知:在x∈(0,1)时,log2(x+1)>x,
∴a n+1=log2(a n+1)>a n,因此数列{a n}是递增数列.
故选:B.
【点评】本题考查了数列的单调性,考查了数形结合方法、推理能力与计算能力,属于中档题.
8.棱长为2的正方形ABCD﹣A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,点P,Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上的动点,则△PEQ周长的最小值为()
A.2 B. C. D.2
【分析】由题意,△PEQ周长取得最小值时,P在B1C1上,在平面B1C1CB上,设E关于B1C的对称点为M,关于B1C1的对称点为N,求出MN,即可得出结论.
【解答】解:由题意,△PEQ周长取得最小值时,P在B1C1上,
在平面B1C1CB上,设E关于B1C的对称点为M,关于B1C1的对称点为N,则
EM=2.EN=,∠MEN=135°,
∴MN==.
故选:B.
【点评】本题考查棱柱的结构特征,考查对称点的运用,考查余弦定理,考查学生的计算能力,属于中档题.
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)
9.以椭圆=1的焦点为顶点,长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是y=±x ,离心率为.
【分析】由椭圆=1的焦点坐标为(,0),长轴顶点为(±2,0),求出双曲线的标准方程,由此能求出结果.
【解答】解:∵椭圆=1的焦点坐标为(,0),长轴顶点为(±2,0),
∴以椭圆=1的焦点为顶点,长轴顶点为焦点的双曲线的标准方程为:
=1,
∴双曲线的渐近线方程是y=±x,离心率e==.
故答案为:,.
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意椭圆、双曲线的性质的合理运用.
10.函数的图象如图所示,则ω= 2 ,φ=.
【分析】通过函数的图象,求出T然后求出ω,利用图象经过(π,0)求出φ的值.
【解答】2,解:由图象可知T=π,,则ω=2,
∵函数经过点(π,1),
∴1=2sin(2×π+φ),sinφ=,
|φ|<,故φ=;
故答案为2,.
【点评】本题是基础题,考查三角函数的图象的应用,学生的视图能力,注意角的范围的应用.
11.已知等差数列{a n}的公差为﹣3,且a3是a1和a4的等比中项,则通项a n= ﹣3n+15 ,数列{a n}的前n项和S n的最大值为30 .
【分析】由题意可得(a1﹣6)2=a1(a1﹣6),解之可得a1,代入通项公式得到a n=﹣3n+15,再判断数列{a n}的前n项和S n的最大值的n的情况,即可求出,
【解答】解:由题意可得(a1﹣6)2=a1(a1﹣9),
解得a1=12,
∴a n=12+(n﹣1)×(﹣3)=﹣3n+15,
∴a n=﹣3n+15≥0,解得n≤5,
∴S5=5×12+=30,
故答案为:﹣3n+15,30.
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式和等比中项的定义,属基础题.
12.设奇函数f(x)=,则a+c的值为0 ,不等式f(x)>f(﹣x)在x∈[﹣π,π]上的解集为.
【分析】根据函数奇偶性的定义和性质求出a,b,c的值,利用分类讨论的思想进行求解即可得到结论.
【解答】解:∵f(x)是奇函数,
∴f(0)=0,
即f(0)=acos0﹣sin0+c=a+c=0,
即a+c=0,
则f(x)=,
若x<0,则﹣x>0,
则f(﹣x)=acosx+sinx﹣a=﹣cosx﹣bsinx﹣a,
则a=﹣1,b=﹣,c=1,
即f(x)=,
若0≤x≤π,
则由f(x)>f(﹣x)得﹣cosx﹣sinx+1>cosx+sinx﹣1,
即cosx+sinx<1,即cos(x﹣)<,
∵0≤x≤π,∴﹣≤x﹣≤,
则<x﹣≤,即<x≤π,
若﹣π≤x<0,
则由f(x)>f(﹣x)得cosx﹣sinx﹣1>﹣cosx+sinx+1,