(完整版)线性代数期末测试题及其答案

线性代数期末考试题

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题5分，共25分）

1. 若02

2

1

50

1

31

=---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组???

??=++=++=++0

00321

321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．已知矩阵A 为3?3的矩阵，且3||=A ，则=|2|A 。

5．n 阶方阵A 满足032

=--E A A ，则=-1

A 。

二、选择题 （每小题5分，共25分）

6．已知二次型3231212

322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为

正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<

154-<<-t

7．已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且???

?

?

??=????? ??-=，求x 的值（ ）

A.3

B.-2

C.5

D.-5

8．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01

≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关

9．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ）

A.

14322-=-=-z y x B.24

322-=

-=z y x C.14322+=+=-z y x D.2

4

322+=

+=z y x

10．已知矩阵???

?

??-=1513A ,其特征值为（ ） A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ

三、解答题 （每小题10分，共50分）

11.设,100011000110

0011??????

?

?---=B ??

??

?

?

?

?

?=20001200

31204312C 且矩阵X 满足关系式

E

X B C T

=-)(， 求X 。

12.问a 取何值时，下列向量组线性相关？123112211

,,221122a a a ααα????-?? ? ?- ? ? ?

? ? ?=-==- ? ? ?

? ? ?- ? ? ?-?? ?

????

。

13. λ为何值时，线性方程组???

??-=++-=++-=++2

23

321

321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解，无解和有无穷多解？当方

程组有无穷多解时求其通解。

14. 设.77103 ,1301 ,3192 ,01414321????

??

? ??--=??????? ??--=???????

??--=??????? ??=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

15.证明：若A 是n 阶方阵，且，I AA =T

，

1-=A 证明 0=+I A 。其中I 为单位矩阵

线性代数期末考试题答案

一、填空题 1. 5.

解析:采用对角线法则,由002)5(03)2(51=----++-??x x 有5=x . 考查知识点:行列式的计算. 难度系数:

2.1≠λ.

解析:由现行方程组有)1(2

2

211

11

11

1

1-=-+==λλλλλ

D ,要使该现行方程组只有零

解,则0≠D ,即1≠λ.

考查知识点:线性方程组的求解 难度系数: 3.??， 解析;由题可知

n

s ij c C ?=)(,则设D CB AC ==,可知D 的行数与A 一致,列数与B 一致,且

A 与

B 均为方阵,所以A 为s s ?阶矩阵,B 为n n ?阶矩阵.

考查知识点:n 阶矩阵的性质 难度系数:

4. 24

解析:由题可知,A 为3阶矩阵且3=A ,则24223

==A A .

考查知识点:矩阵的运算 难度系数:

5. E A 3-

解析:由032

=--E A A 有E E A A =-)3(,此时E A A 31

-=-.

考查知识点:求解矩阵的逆矩阵 难度系数:

6. A

解析：

由题可知，该二次型矩阵为

????

? ??--5212111t t ，而

0455

2

1211

1,011

1,

1122>--=-->-=>t t t t t t t

，可解得05

4

<<-t 。此时，该二次型正定。

考查知识点:二次型正定的判断 难度系数

7. C

解析：由矩阵特征值性质有1-3+3=1+x+5，可解得x=-5。 考查知识点:n 阶矩阵特征值的性质 难度系数: 8. D

解析：由题可知，A 为n 阶可逆矩阵，则A 的行向量组线性无关。 考查知识点:n 阶可逆矩阵的性质 难度系数:

9. A.

解析：由题可知，两平面法向量分别为)3,1,0(),2,0,1(21-==n n ，则所求直线的方向向量为k j i n n ++-=?=3221。所以所求直线为

1

4

322-=

-=-z y x 。 考查知识点:求空间平面交线平行的直线方程

难度系数:

10. C.

解析：由08215

1

32=--=???

? ?

?---=-λλλλ

λE A ，可解得特征值为4,221=-=λλ 考查知识点:求解矩阵的特征值

难度系数:

11. 解：

?????

????

???---==?????

????

???---=?????

??

?????=??

???????

???=------12

1

012100120001][1210012100120001

][12

3

4

012300120001

1000

21003210

43211

1)()()(B C B C B C T

T T E X B C ，， 考查知识点:矩阵方程的运算求解

难度系数:

12.解：

)22()12(81

21212121

212

1||2321-+=----

-

-

==a a a a a

a a a A ，， 当||A =0时即2

1

-=a 或1=a 时，向量组321a a a ，，线性相关。

考查知识点:向量组的线性相关性 难度系数:

13.解：

①当1≠λ且2-≠λ时，方程组有唯一解；

②当2-=λ时方程组无解

③当1=λ时，有无穷多组解，通解为????

??????-+??????????-+??????????-=X 10101100221c c 考查知识点:线性方程组的求解

难度系数:

14.解：

由题可知

????

?

???????-=?????????

???------→?????

???????--------→?????????

???------==0000110020102001131300161600241031

21713010430241031217130731110094312

1)(4321a a a a A ，，，

则()34321=a a a a r ，，，，其中321a a a ，，构成极大无关组,且线性关系为 321422a a a a ++-=

考查知识点:向量组的秩与 最大无关组

难度系数:

15.证明：

由题可知,

()

()A I T

A I A I A AA A I A T

T

+-=+-=+=+=+

∴()02=+A I ,即()0=+A I 考查知识点:n 阶方阵的性质 难度系数: