第三章 不等式
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.2 简单的线性规划问题 第2课时 简单线性规划的应用
A 级 基础巩固
一、选择题
1.有5辆6吨的汽车,4辆4吨的汽车,要运送最多的货物,完成这项运输任务的线性目标函数为( )
A .z =6x +4y
B .z =5x +4y
C .z =x +y
D .z =4x +5y
解析:设需x 辆6吨汽车,y 辆4吨汽车.则运输货物的吨数为z =6x +4y ,即目标函数z =6x +4y .
答案:A
2.某服装制造商有10 m 2的棉布料,10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料,做一条裤子需要1 m 2的棉布料,2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料,做一条裙子需要1 m 2的棉布料,1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料,做一条裤子的纯收益是20元,一条裙子的纯收益是40元,为了使收益达到最大,若生产裤子x 条,裙子y 条,利润为z ,则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )
A.?????x +y ≤10,
2x +y ≤10,x +y ≤6,x ,y ∈N
z =20x +40y
B.?????x +y ≥10,
2x +y ≥10,x +y ≤6,x ,y ∈N
z =20x +40y
C.????
?x +y ≤10,2x +y ≤10,x +y ≤6,
z =20x +40y D.?????x +y ≤10,
2x +y ≤10,x +y ≤6,x ,y ∈N
z =40x +20y
解析:由题意可知选A. 答案:A
3.实数x ,y 满足?????x ≥1,y ≥0,x -y ≥0,则z =
y -1x
的取值范围是(
)
A .[-1,0]
B .(-∞,0]
C .[-1,+∞)
D .[-1,1)
解析:作出可行域,如图所示,y -1
x 的几何意义是点(x ,y )与点
(0,1)连线l 的斜率,当直线l 过B (1,0)时k 1最小,最小为-1.又直线l 不能与直线x -y =0平行,所以k l <1.综上,k ∈[-1,1).
答案:D
4.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:
品种 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为( )
A .50,0
B .30,20
C .20,30
D .0,50
解析:设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x ,y 亩,则总利润z =4×0.55x +6×0.3y -1.2x -0.9y =x +0.9y .此时x ,y 满足条件
??
?x +y ≤50,
1.2x +0.9y ≤54,
画出可行域如图,得最优解为A (30,20),故选B.
答案:B
5.某学校用800元购买A 、B 两种教学用品,A 种用品每件100元,B 种用品每件160元,两种用品至少各买一件,要使剩下的钱最少, A 、B 两种用品应各买的件数为( )
A .2,4
B .3,3
C .4,2
D .不确定
解析:设买A 种用品x 件,B 种用品y 件,剩下的钱为z 元,则
??
???100x +160y ≤800,x ≥1,
y ≥1,
x ,y ∈N *
.
求z =800-100x -160y 取得最小值时的整数解(x ,y ),用图解法求得整数解为(3,3).
答案:B 二、填空题
6.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ,乙材料1 kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ,乙材料0.3 kg ,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ,乙材料90 kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.
解析:设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件,利润之和为z 元,那么
?????
??1.5x +0.5y ≤150,
x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ≥0,y ≥0
①
目标函数z =2 100x +900y . 二元一次不等式组①等价于 ?????
??3x +y ≤30010x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ≥0,y ≥0.
② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图),即可行域.
将z =2 100x +900y 变形,得y =-73x +z
900,平行直线y =-73x ,
当直线y =-73x +z
900
经过点M 时,z 取得最大值.
解方程组???10x +3y =900,
5x +3y =600
得M 的坐标(60,100).
所以当x =60,y =100时,z max =2 100×60+900×100=216 000. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元. 答案:216 000
7.若x ,y 满足约束条件????
?x -y +1≥0,x -2y ≤0,x +2y -2≤0,则z =x +y 的最大值为
________.
解析:作出不等式组满足的平面区域,如图所示,由图知,当目
标函数z =x +y 经过点A ?
?
???1
,12时取得最大值,即z max =1+12=32.
答案:3
2
8.满足|x |+|y |≤2的点(x ,y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个.
解析:|x |+|y |≤2可化为
??
???x +y ≤2(x ≥0,y ≥0),x -y ≤2(x ≥,y <0),-x +y ≤2(x <0,y ≥0),-x -y ≤2(x <0,y <0),
作出可行域,为如图所示的正方形内部(包括边界),
容易得到整点个数为13个.
答案:13 三、解答题
9.某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A ,B ,要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,搭载每件产品有关数据如表:
达到最大,最大收益是多少?
解:设“神十一”宇宙飞船搭载产品A ,B 的件数分别为x ,y ,最大收益为z ,则目标函数为z =80x +60y ,根据题意可知,约束条
件为?????20x +30y ≤300,10x +5y ≤110,x ≥0,y ≥0,x ∈N ,y ∈N ,即??
???2x +3y ≤30,2x +y ≤22,x ≥0,y ≥0,x ∈N ,y ∈N ,
作出可行域如图阴影部分所示,
作出直线l :80x +60y =0,并平移直线l ,由图可知,当直线过
点M 时,z 取得最大值,解???2x +3y =30,
2x +y =22,
得M (9,4),
所以z max =80×9+60×4=960,即搭载A 产品9件,B 产品4件,可使得总预计收益最大,为960万元.
10.某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大,对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查,得出下表:
资金
每台空调或
冰箱所需资金/元 月资金供 应数量/元 空调
冰箱 成本 3 000 2 000 30 000 工人工资 500 1 000 11 000 每台利润
600
800
——
大?最大利润是多少?
解:设空调和冰箱的月供应量分别为x ,y 台,月总利润为z 元, 则????
?3 000x +2 000y ≤30 000,500x +1 000y ≤11 000,x ,y ∈N *
,
z =600x +800y ,作出可行域(如图所示).
因为y =-34x +z 800,表示纵截距为z
800,斜率为k =- 34的直线,
当z 最大时z 800最大,此时,直线y =-34x +z
800必过四边形区域的顶
点.
由???3 000x +2 000y =30 000,500x +1 000y =11 000,
得交点(4,9),所以x ,y 分别为4,9时,z =600x +800y =9 600(元).
所以空调和冰箱的月供应量分别为 4台、9台时,月总利润最大,最大值为9 600元.
B 级 能力提升
1.某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如表所示:
产品 用煤/吨 用电/千瓦
产值/万元
甲产品 7 20 8 乙产品
3
50
12
电至多450千瓦,则该厂最大日产值为( )
A .120万元
B .124万元
C .130万元
D .135万元
解析:设该厂每天安排生产甲产品x 吨,乙产品y 吨,则日产值z =8x +12y ,线性约束条件为????
?7x +3y ≤56,20x +50y ≤450,x ≥0,y ≥0,作出可行域如图所
示,
把z =8x +12y 变形为一簇平行直线系l :y =-812x +z
12,由图可
知,当直线l 经过可行域上的点M 时,截距z
12
最大,即z 取最大值,
解方程组???7x +3y =56,
20x +50y =450,
得M (5,7),
z max =8×5+12×7=124,所以,该厂每天安排生产甲产品5吨,乙产品7吨时该厂日产值最大,最大日产值为124万元.
答案:B
2.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.则该公司可获得的最大收益是________万元.
解析:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟
和y 分钟,总收益为z 元,由题意得?????x +y ≤300,
500x +200y ≤90 000,
x ≥0,y ≥0.
目标函数为z =3 000x +2 000y .
二元一次不等式组等价于?????x +y ≤300,5x +2y ≤900,
x ≥0,y ≥0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图所示.
作直线l :3 000x +2 000y =0, 即3x +2y =0.
平移直线l ,从图中可知,当直线l 过M 点时,目标函数取得最大值.
联立???x +y =300,5x +2y =900,
解得x =100,y =200.
所以点M 的坐标为(100,200).
所以z 最大值=3 000x +2 000y =700 000(元).
因此,该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.
答案:70
3.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5 min ,生产一个骑兵需7 min ,生产一个伞兵需4 min ,已知总生产时间不超过10 h .若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元.
(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元);
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?
解:(1)依题意每天生产的伞兵个数为100-x -y ,所以利润W =5x +6y +3(100-x -y )=2x +3y +300.
(2)约束条件为:
?????5x +7y +4(100-x -y )≤600,100-x -y ≥0,
x ∈N ,
y ∈N ,
整理得?????x +3y ≤200,x +y ≤100,x ∈N , y ∈N.
目标函数为W =2x +3y +300,
如图所示,作出可行域,初始直线l 0:2x +3y =0,平移初始直线经过点A 时,W 有最大值,
由???x +3y =200,x +y =100,得???x =50,y =50.
最优解为A (50,50),所以W max =550(元).
故每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最大,为550元.