4、已知∠ABC=3∠C ,∠1=∠2,BE ⊥AE ,求证: AC-AB=2BE 5、已知,E 是AB 中点,AF=BD ,BD=5,AC=7,求DC 6、(6分)如图①,E 、F 分别为线段AC 上的两个动点,且DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F ,若AB =CD ,AF =CE ,BD 交AC 于点M . (1)求证:MB =MD ,ME =MF (2)当E 、F 两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由. F A E D C B
7.已知:如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点, (1)求证:△AED ≌△EBC . (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明): 8、(10分)如图:AE 、BC 交于点M ,F 点在AM 上,BE ∥CF ,BE=CF 。 求证:AM 是△ABC 的中线。 M F E C B A 9.已知:如图所示,AB =AD ,BC =DC ,E 、F 分别是DC 、BC 的中点,求证: AE =AF 。 O E D C B A
人教版八年级上册数学 全等三角形单元培优测试卷
人教版八年级上册数学全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题(难) 1.如图,已知△ABC和△ADE都是正三角形,连接CE、BD、AF,BF=4,CF=7,求AF的长 _________ . 【答案】3 【解析】 【分析】 过点A作AF⊥CE交于I,AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD,再证明 CAI?BAJ,求出° 7830 ∠=∠=,然后求出 1 2 IF FJ AF ==,,通过设FJ x =求出x,即可求出AF的长. 【详解】 解:过点A作AF⊥CE交于I,AG⊥BD交于J 在CAE和BAD中 AC AB CAE BAD AE AD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴CAE?BAD ∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠(8字形) ∴° 120 CFD ∠= 在CAI和BAJ中
°90 ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠??∠=∠=??=? ∴CAI ?BAJ ,AI AJ CI BJ == ∴°60CFA AFJ ∠=∠= ∴°30FAI FAE ∠=∠= 在RtAIF 和RtAJF 中 °30FAI FAE ∠=∠= ∴12 IF FJ AF == 设FJ x = 7,4CF BF == 则47x x +=- 3 2x ∴= 2AF FJ = AF ∴= 3 【点睛】 此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等,得出相关的边相等,学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点. 2.如图,在ABC ?中,AB AC =,点D 和点A 在直线BC 的同侧, ,82,38BD BC BAC DBC =∠=?∠=?,连接,AD CD ,则ADB ∠的度数为__________.
全等三角形培优训练一(整理)
全等三角形提优训练(一) (全等三角形的性质与判定的应用) 知识点 全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等. 寻找对应边和对应角,常用到以下方法: (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的,公共边常是对应边. (4)有公共角的,公共角常是对应角. (5)有对顶角的,对顶角常是对应角. (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角). 要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键. 全等三角形的判定方法: 一、全等三角形 注:①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等; ②全等三角形面积相等. 全等三角形证明的思路:
?? ? ?? ??? ???? ? ? ????? ?? ? ?? ?????? ???????)找任意一边()找两角的夹边(已知两角)找夹已知边的另一角()找已知边的对角()找已知角的另一边(边为角的邻边)任意角(若边为角的对边,则找已知一边一角)找第三边()找直角()找夹角(已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 练习: 1、如图,在平面上将△ABC 绕B 点旋转到△A’BC’的位置时,AA’∥BC ,∠ABC =70°,则∠CBC’为________度. 2、如图∠1=∠2=200,AD =A B, ∠D=∠B ,E 在线段BC 上,则∠A EC= 3、如图所示,ABC ADE △≌△,BC 的延长线交DA 于F ,交DE 于G , 105ACB AED ∠=∠=,15CAD ∠=,30B D ∠=∠=,则1∠的度数为 4、已知:如图,△OAD ≌△OBC ,且∠O=70°,∠C=25°,则∠A EB=________度. 5、如图,D E ,分别为ABC △的AC ,BC 边的中点,将此三角形沿DE 折叠,使点C 落在AB 边上的点P 处.若48CDE ∠=°,则APD ∠等于 6、如图,在Rt △A BC 中,已知∠A CB =90°,∠A=50°,将其折叠,使点A 落在边CB 上点A ′处,折痕为CD,则∠A′DB = 7、如图,已知△ABC 为 等 边三角形, 点D 、E 分别在变边BC 、AC 上,且AE=CD,AD 与BE 相交于点F,则:∠BFD= 8、如图,点A 、C 、B 在同一直线上,△DAC 和△EBC 均是等边三角形,AE 与BD 交于点O ,AE 、
全等三角形专题训练题.doc
八年级提高班数学资料 (全等三角形专题训练题) 1、 如图,已知MB=ND ,∠MBA=∠NDC ,下列条件不能判定△ABM ≌△CDN 的是( ) (A ) ∠M=∠N (B ) AB=CD (C ) AM=CN (D ) AM ∥CN 2、如图,D 在AB 上,E 在AC 上,且∠B=∠C ,那么补充下列一个条件后,仍无法判断 △ABE ≌△ACD 的是( ) (A ) AD=AE (B ) ∠AEB=∠ADC (C ) BE=CD (D ) AB=AC 3、已知,如图,M 、N 在AB 上,AC=MP ,AM=BN ,BC=PN 。求证:AC ∥MP 4、 已知,如图,AB=CD ,DF ⊥AC 于F ,BE ⊥AC 于E ,DF=BE 。求证:AF=CE 。 5、 已知,如图,AB 、CD 相交于点O ,△ACO ≌△BDO ,CE ∥DF 。求证:CE=DF 。 F E A C D B M P C B N F E O D C B A C N M A B D E B D A C
6、 已知,如图,AB ⊥AC ,AB =AC ,AD ⊥AE ,AD =AE 。求证:BE =CD 。 7、已知,如图,四边形ABCD 是正方形,△ECF 是等腰直角三角形,其中CE=CF ,G 是CD 与EF 的交点,求证:△BCF ≌△DCE 8、 如图,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别为E 、F ,请你从下面三个条件中任选出两个作为 已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题。 ① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF 9、 如图,EG ∥AF ,请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件,另一个作为结论, 推出一个正确的命题。 ① AB=AC ② DE=DF ③ BE=CF A E D C B G F E D C A B D C F E D C A B G
全等三角形经典培优题型(含问题详解)
全等三角形的提高拓展训练 全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等. 寻找对应边和对应角,常用到以下方法: (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的,公共边常是对应边. (4)有公共角的,公共角常是对应角. (5)有对顶角的,对顶角常是对应角. (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角). 要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键. 全等三角形的判定方法: (1) 边角边定理(SAS ):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (2) 角边角定理(ASA ):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS ):三边对应相等的两个三角形全等. (4) 角角边定理(AAS ):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 全等三角形的应用:运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线. 拓展关键点:能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础. 全等三角形证明经典题 1已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 2已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2 A D B C
全等三角形培优竞赛训练题
全等三角形培优竞赛训练题 1、已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF , G为DF中点,连接EG, CG. (1 )直接写出线段EG与CG的数量关系; (2)将图1中厶BEF绕B点逆时针旋转450,如图2所示,取DF中点G,连接EG, CG. 你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明. (3)将图1中厶BEF绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1) 中的结论是否仍然成立? 图1图2图3
学习参考
2、数学课上,张老师出示了问题:如图1 ,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点. AEF 90°,且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F,求证:AE= EF. 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M ,连接ME,则 AM = EC,易证△ AME =△ ECF ,所以AE EF . 在此基础上,同学们作了进一步的研究: (1)小颖提出:如图2,如果把点E是边BC的中点”改为点E是边BC上(除B, C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论AE=EF'仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由; (2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条 件不变,结论AE= EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由 图1图2图3
3、已知Rt A ABC 中,AC BC,Z C 90, D 为AB 边的中点,EDF 90° EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB (或它们的延长线)于E、F. 1 当EDF绕D点旋转到DE AC于E时(如图1),易证S A DEF S A CEF S A ABC- 2 当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是 否成立?若成立,请给予证明;若不成立,S A DEF、S A C EF、S A ABC又有怎样的数量关 系?请写出你的猜想,不需证明 F 图 1图2
初二数学全等三角形证明题专题训练
初二数学全等三角形证明题专题训练 1.如图,,,,A F E B 四点共线,AC CE ⊥,BD DF ⊥,AE BF =,AC BD =。求证: ACF BDE ???。 2.如图,在ABC ?中,BE 是∠ABC 的平分线,AD BE ⊥,垂足为D 。求证:21C ∠=∠+∠。 3.如图,在ABC ?中,AB BC =,90ABC ∠=。F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,BE BF =,连接,AE EF 和CF 。求证:AE CF =。 4.如图,AB //CD ,AD //BC ,求证:AB CD =。 5. 如图,,AP CP 分别是ABC ?外角MAC ∠和NCA ∠的平分线,它们交于点P 。求证:BP 为MBN ∠的平分线。
6.如图,D 是ABC ?的边BC 上的点,且CD AB =,ADB BAD ∠=∠,AE 是ABD ?的中线。求证:2AC AE =。 7.如图,在ABC ?中,AB AC >,12∠=∠,P 为AD 上任意一点。 求证:AB AC PB PC ->-。 8.直线CD 经过BCA ∠的顶点C ,CA=CB .E 、F 分别是直线CD 上两点,且BEC CFA α ∠=∠=∠. (1)若直线CD 经过BCA ∠的内部,且E 、F 在射线CD 上,请解决下面两个问题: ①如图1,若90,90BCA α∠=∠=,则 AF -(填“>”,“<”或“=”号); ②如图2,若0 180BCA <∠<,若使①中的结论仍然成立,则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系 是 ; (2)如图3,若直线CD 经过BCA ∠的外部,BCA α∠=∠,请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数 量关系,并给予证明. 9.已知:如图,△ABC 中,∠ABC =45°,CD ⊥AB 于D ,BE 平分∠ABC ,且BE ⊥AC 于E ,与CD 相交于点F ,H 是BC 边的中点,连结DH 与BE 相交于点G 。 (!)求证:BF =AC ; A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图1 图2 图3
八年级上册全等三角形单元培优测试卷
八年级上册全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题(难) 1.如图,已知△ABC和△ADE都是正三角形,连接CE、BD、AF,BF=4,CF=7,求AF的长 _________ . 【答案】3 【解析】 【分析】 过点A作AF⊥CE交于I,AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD,再证明 CAI?BAJ,求出° 7830 ∠=∠=,然后求出 1 2 IF FJ AF ==,,通过设FJ x =求出x,即可求出AF的长. 【详解】 解:过点A作AF⊥CE交于I,AG⊥BD交于J 在CAE和BAD中 AC AB CAE BAD AE AD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴CAE?BAD ∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠(8字形) ∴° 120 CFD ∠= 在CAI和BAJ中
°90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠??∠=∠=??=? ∴CAI ?BAJ ,AI AJ CI BJ == ∴°60CFA AFJ ∠=∠= ∴°30FAI FAE ∠=∠= 在RtAIF 和RtAJF 中 °30FAI FAE ∠=∠= ∴1 2 IF FJ AF == 设FJ x = 7,4CF BF == 则47x x +=- 32x ∴= 2AF FJ = AF ∴= 3 【点睛】 此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等,得出相关的边相等,学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点. 2.如图,线段AB ,DE 的垂直平分线交于点C ,且72ABC EDC ∠=∠=?, 92AEB ∠=?,则EBD ∠的度数为 ________ .
全等三角形培优训练
D A B C E 全等三角形培优练习 一、选择题 1.(2009·江苏中考)如图,给出下列四组条件: ①AB DE BC EF AC DF ===,,; ②AB DE B E BC EF =∠=∠=,,; ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠,,; ④AB DE AC DF B E ==∠=∠,,. 其中,能使ABC DEF △≌△的条件共有( ) A .1组 B .2组 C .3组 D .4组 2.(2009·太原中考)如图,ACB A CB ''△≌△,BCB ∠'=30°,则ACA '∠的度数为( ) A.20° B.30° C.35° D.40° 3.(2010·温州中考)如图,AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线,过点D 作DE∥AC 交BC 的延长线于E ,则图中与△ABC 全等的三角形共有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4、(2007·中山中考)到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( ) (A)三条中线的交点 (B)三条高的交点 (C)三条边的垂直平分线的交点 (D)三条角平分线的交点 5.将长为13 的木棒截成长度为整数的三段,使它们构成一个三角形的三边,则不同的截法有( ) A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 6.如图所示,90E F ∠=∠=,B C ∠=∠,AE AF =,结论:①EM FN =;②CD DN =;③FAN EAM ∠=∠;④ACN ABM △≌△.其中正确的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个
7、(2009·温州中考)如图,OP 平分AOB ∠,PA OA ⊥,PB OB ⊥,垂足分别为A ,B .下列结论中不一定成立的是( ) A.PA PB = B.PO 平分APB ∠ C.OA OB = D.AB 垂直平分OP 8.如图,△ABC 是不等边三角形,DE=BC ,以D 、E 为两个顶点作位置不同的三角形.使得所作的三角形与△ABC 全等,这样的三角形最多可以作出( ) A .4个 B .6个 C .8个 D .10个 9、尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下:以O 为圆心,任意长为半径画弧交OA 、 OB 于C 、D ,再分别以点C 、D 为圆心,以大于1 2CD 长为半径画弧,两弧交 于点P ,作射线OP ,由作法得OCP ODP △≌△的根据是( ) A .SAS B .ASA C .AAS D .SSS 10、下列叙述: ①任意一个三角形的三条高至少有一条在此三角形内部;②以a,b,c 为边,且a+b=c, 可以构成一个三角形;③一个三角形内角之比为3:2:1,此三角形为直角三角形;④两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;⑤两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等;⑥三个角对应相等的两个三角形全等,其中正确的有( ) A 、① ③ ⑤ B 、② ④ ⑥ C 、① ③ ④ D 、① ② ③ ④ O D P C A B E D C B A 第8题图 A E F B C D M N
全等三角形培优(含答案)
三角形培优练习题 1已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 2已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2 3已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 4已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C A D B C A B C D E F 2 1 B A C D F 2 1 E
5已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°, 求证:AE=AD+BE 6 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。求证:BC=AB+DC 。 7已知:AB=CD ,∠A=∠D ,求证:∠B=∠C 8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点,AC>AB ,求证:PC-PB9已知,E 是AB 中点,AF=BD ,BD=5,AC=7,求DC 10.如图,已知AD ∥BC ,∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线交AP 于D .求 证:AD +BC =AB . 11如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且AB =AC +CD ,求证:∠C =2∠B 12如图:AE 、BC 交于点M ,F 点在AM 上,BE ∥CF ,BE=CF 。 P D A C B F A E D C B P E D C B A D C B A
求证:AM 是△ABC 的中线。 13已知:如图,AB =AC ,BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,垂足分别为D 、E ,BD 、CE 相交于点F 。 求证:BE =CD . 14在△ABC 中,?=∠90ACB ,BC AC =,直线MN 经过点C ,且MN AD ⊥于D ,MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时, 求证: ①ADC ?≌CEB ?;②BE AD DE +=; (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立, 请给出证明;若不成立,说明理由. 15如图所示,已知AE ⊥AB ,AF ⊥AC ,AE=AB ,AF=AC 。求证:(1)EC=BF ;(2)EC ⊥BF M F E C B A A C B D E F