1高一数学讲义函数及其基本性质

一、函数的单调性：

1．增函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，

如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

2、类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？

注意：

○

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○

2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间：

4．判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ① 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

② 作差f(x 1)－f(x 2)；

③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．

例1、如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单 调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

解：

高一数学讲义（61期） 第一讲 函数及其基本性质

变式训练：1、证明函数x

x y 1

+=在（1，+∞）上为增函数．

例2、已知(1)4 , 1

()(13)2,1a x a x f x a x a x -+

≥是(,)-∞+∞上的减函数，求a 的取值范围。

变式训练：2、已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m

的取值范围

二、函数的最大（小）值

1、最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最大值．

思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义．

注意：

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有

()(())f x M f x m ≤≥．

2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．

①配方法 ②换元法 ③数形结合法 ④分类讨论

例3．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？

变式训练：3、求函数2

1

y x =

-在区间[2，6] 上的最大值和最小值．

变式训练：4、求函数2()32a ,[3,2]f x x x x =+-∈-的最大值和最小值。

三、函数的奇偶性

函数的奇偶性定义：

1．偶函数

一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．

2．奇函数

一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．

注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意

一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

3．具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

例4．判断下列函数是否是偶函数．

（1）2

()[1,2]f x x

x =∈-

（2）11)(22

-+

-=x x x f

例5、已知函数2

1)(x

b ax x f ++=

是定义在)1,1(-上的奇函数，且.52

)21(=f （1）确定函数)(x f 的解析式；（2）判断并证明)(x f 在)1,1(-的单调性；

变式训练：5、判断函数的奇偶性：2

211(0)2()11(0)2

x x g x x x ?+>??=??--

四、巩固习题：

一、选择题

1、下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是（ ） A 、{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方； B 、{}{}f B A ,1,0,1,1,0-==：A 中的数开方； C 、,,A Z B Q f ==：A 中的数取倒数； D 、,,A R B R f +==：A 中的数取绝对值；

2、函数y ＝ax 2＋a 与y ＝

x

a

（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）

3、已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于（ ）

A ．q p +

B ．q p 23+

C ．q p 32+

D ．2

3

q p +

4、函数223f(x)x mx =-+,当x ∈[－2,+ ∞]时增函数,当x ∈(]2,-∞-时,是减函数, 则(1)f 等于（ ）

A ．－3

B ．13

C ．7

D ．由m 而定的其它常数 5、已知函数2

3212

---=x x x y 的定义域为（ ）

A ．]1,(-∞

B ．]2,(-∞

C ．]1,21()21,(-

?--∞ D ． ]1,2

1()21,(-?--∞ 6、设??

???<=>+=)0(,0)0(,)

0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （ ）

A ．1+π

B ．0

C ．π

D ．1-

7、若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（ ） A 、必是增函数

B 、必是减函数

C 、是增函数或是减函数

D 、无法确定增减性

8、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．．

的是( ) A 、0)()(=+-x f x f

B 、)(2)()(x f x f x f -=--

C 、)(x f ·)(x f -≤0

D 、

1)

()

(-=-x f x f 二、填空题

9、12)(2

++=x x x f ，]2,2[-∈x 的最大值是 . 10、已知x x x f 2)12(2

-=+，则)3(f = .

11、已知函数()23{|15}f x x x x N x =-∈∈≤≤，则函数的值域为 12、若函数2

()2(1)2(,4)f x x a x =+-+-∞在区间上是减函数，那么实数a 的取值范围是 三、解答题：

13、已知函数[]2

()22,5,5f x x ax x =++∈-

(1) 求函数的最大值和最小值；

(2) 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数

14、已知函数2()23f x x x =-+在[0,]a (0)a >上的最大值为3，最小值为2，求实数a 的取值范围．

高一数学（巩固）班讲义第一讲参考答案（61期）

例1、 解：函数的单调区间为：[5,2)--；[2,1)-；[1,3)；[3,5]

在区间[5,2)--和[1,3)上()f x 是减函数；在在区间[2,1)-和[3,5]上()f x 是增函数 变式训练1、证明：

任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，则1212

12121212

()(1)11

()x x x x y y x x x x x x ---=+

-+= 因为12,(1,)x x ∈+∞， 121x x ∴>，1210x x ->；120x x > 又12x x <120x x ∴-<

120y y ∴-< 即：12y y <∴函数在(1,)+∞上为增函数。

例2、 解：略

例3、 变式训练2、解：因为()f x 在(2,2)-+的减函数，(1)(12)0f m f m --->

即(1)(12)f m f m ->-212

2122112m m m m

-<-

∴-<-

解得：1223m -<<

m ∴的取值范围为12

(,)23

-

例3、解：设利润为y,售价为x,则[50010(50)](40)y x x =---

即：2

10(70)9000y x =--+

∴售价定为70元时，赚得最大利润为9000元。

变式训练3、

解：任取1,2[2,6]x x ∈，且12x x <，则211212122()22

11(1)(1)

x x y y x x x x --=

-=---- 因为1,2[2,6]x x ∈，且12x x < ，∴21120,10,10x x x x ->->-> 12y y ∴>

∴函数在[2,6]是减函数 ∴当2x =时，max 2y =；当6x =，min 2

5

y =

变式训练4、解：（1）函数2

()32f x ax x =+-的对称轴为：x a = （1） 当2a ≥时，

()f x 在[32]-，上递减m

i n

()(3)66

f x f a ∴=-=--

max ()(2)41f x f a ==-

（2） 当32a -<<时，

()f x 在[3,)a -上递增，在[,2]a 上递减

∴2

m

a x ()()

3f x f a a ==+m i n 1(3)66(2)

2()1(2)41(3)2

f a a f x f a a ?

-=---≤

min ()(2)41f x f a ==-

综上：当2a ≥时，max ()41f x a =-，min ()66f x a =--

当1

22

a -

≤<时，2max ()3f x a =+，min ()66f x a =-- 当132

a -<<-时，2

max ()3f x a =+，min ()41f x a =-

当3a ≤-时，max ()66f x a =--，min ()41f x a =-

例4、 解：（1）因为[1,2]x ∈-定义域不关于原点对称 ∴()f x 是非奇非偶函数

（2）()f x 需满足条件221010x x ?-≥?-≥? ∴1x =±关于原点对称

22()1()()1()f x x x f x -=----= ∴()f x 为偶函数

例5、解：（1）由f (0) ＝0，12f ?? ???

＝52

，可得a ＝1，b ＝0，∴)(x f ＝2

1x x + （2）任取12,(1,1)x x ∈-，且12x x <， 则1212121222221212()(1)()()11(1)(1)

x x x x x x f x f x x x x x ---=

-=++++，因为12,(1,1)x x ∈-，且12x x <，

∴120x x -<，2

2

121210,10,10x x x x ->+>+>∴12()()f x f x <

()f x 在(1,1)-是增函数

变式训练5、解：当0x >时，0x -< 2211

()1(1)()22

g x x x g x -=--=-+=- 同理0x <时，()()g x g x -=- ∴()g x 为奇函数 巩固练习：

一、选择：1、A 2、D 3、B 4、B 5、C 6、A 7、D 8、D 二、填空：9、9 10、-1 11、[1,7]- 12、(,3]-∞- 三、解答：

13、解：（1）()f x 的对称轴为x a =- 当5a -≥即5a ≤-时，()f x 递减

∴max ()(5)2710f x f a =-=-，min ()(5)2710f x f a ==+

当5a -≤-时，即5a ≥时，()f x 递增，

∴max ()(5)2710f x f a ==+，min ()(5)2710f x f a =-=-

当55a -<-<时，即55a -<<时，()f x 在(5,)a --递减，在[,5]a -递增

∴2

min

()()2f x f a a ==-，max (5)2710(05)()(5)2710(50)

f a a f x f a a -=-<≤?=?=+-≤≤? 综上：模仿变式训练4。

14、解：2

()23f x x x =-+的对称轴为1x = ∴ (0)3f =，令2

232x x -+= 解得1x = 令2

233x x -+= 解得02x x ==或 因为()f x 在[0,]a 上的最大值为3，最小值为2，

∴02a <≤ 即a 的取值范围为(0,2]

高考复习专题：函数的基本性质专题复习

高考复习专题：函数的基本性质专题复习 求函数定义域的常用方法：无论什么函数，优先考虑定义域 1偶次根式的被开方式非负；分母不为0；零指数幂底数不为零；对 数真数大于0且底数大于0不等于1；tanx 定义域? ?? ? ??∈+≠ Z k k x x ,2ππ 2复合函数的定义域：定义域是x 的范围，f 的作用范围不变 1.y=x x x -+||)1(0 2.y= 2 3 2 53 1 x x -+- 3.y= x x x x -+-||2 32 4.y x x = --1 5 1 1 5.(21) log x y -= 6.)3lg(-=x y 7.x x y 2 = 8.2lg 2 1x y = 9. 02 )45() 34lg()(-++=x x x x f 训练： 1、函数y=)34(log 25.0x x -的定义域为__________. 2、f(x)的定义域是[-1，1]，则f(x+1)的定义域是 3、若函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数) (log 2 1 x f 的定 义域是（ ） A ．]2,21[ B ．]2,0( C ．),2[+∞ D ．]2 1 ,0( 4、已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则)(x f 的定义域为 ，(2)x f 的定义域为 5、已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是 （ ）

A.[]052 ， B.[]-14， C.[]-55， D.[]-37， 6、函数1 2 1)(-+ += x x x f 的定义域是 .（用区间表示）． 7、已知函数 1 )(2+=x x f 的定义域是} 2,1,0,1{-，则值域 为 ． 8、函数 ) (x f y =的定义域是[1，2]，则 ) 1(+=x f y 的定义域 是 ． 9、下列函数定义域和值域不同的是（ ） （A ）15)(+=x x f （B ）1)(2+=x x f （C ）x x f 1)(= （D ）x x f = )( 10、已知函数) (x f y = 的图象如图1所示，则函数的 定义域是（ ） (A) [－2,0] (B) ]5,1[]0,2[ - (C) [1,5] (D) ] 5,1[]0,2[ - 11、若函数y=lg(4－a ·2x)的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(0，+∞) B ．(0，2) C ．(-∞，2) D ．(-∞，0) 12、为何值时，函数 347 2+++= kx kx kx y 的定义域为 R ． 一次函数法 1. 已知函数()23{|15}f x x x x N x =-∈∈≤≤，则函数的值域为 二次函数法（配方法） 2. 求下列函数值域： ]5,1[,42∈+-=x x x y y =

函数导入课讲义

学情分析 基础较好，对于知识灵活运用需要训练课题一次函数导入专题 学习目标与考点分析学习目标：1、对于一次函数的性质和图像的熟练运用和把握 2、理解一次函数与二元一次方程组的联系 3、理解一次函数和正比例函数的联系和区别 考点分析：1、一次函数的性质和图像的把握 2、正比例函数的性质和一次函数的区别 学习重点重点：1、一次函数性质和图像的理解 2、正比例函数图像与一次函数图像区别 学习方法讲练结合练习巩固 学习内容与过程 一、知识点梳理 一次函数 （一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

高考数学(精讲+精练+精析)专题2_2 函数的基本性质试题 文(含解析)

专题2.2 函数的基本性质试题 文 【三年高考】 1. 【2016高考新课标2文数】已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2 -2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则 1 =m i i x =∑（ ） (A)0 (B) m (C) 2m (D) 4m 【答案】B 2．【2016高考浙江文数】已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,x f x x ≥∈R .（ ） A.若()f a b ≤，则a b ≤ B.若()2b f a ≤，则a b ≤ C.若()f a b ≥，则a b ≥ D.若()2b f a ≥，则a b ≥ 【答案】B 【解析】由已知可设2(0)()2(0)-?≥?=?

对数函数及其性质(讲义及答案)

对数函数及其性质（讲义） ?知识点睛 一、对数函数的定义 一般地，函数（）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)． 二、对数函数的图象和性质 1.对数函数y = log a x （a>0，且a≠1）的图象和性质： 01 图象 定义域(0，+∞) 值域R 性质 ①过定点(1，0)，即x=1 时，y=0 ②在(0，+∞)上是减函数②在(0，+∞)上是增函数2. ①y = log a x ，②y = log b x ，③y = log c x ，④y = log d x ， 则有0 log b x > log c x > log d x ． 3.反函数 y = log a x 与y =a x互为反函数，其中a>0，且a≠1；互为反

1

3 log x 2 log 0.5 (3x - 2) 4 - x 2 1 a ? 精讲精练 1. 直接写出下列函数的定义域： （1） y = log 3 (x - 2) ； （2） y = ； （3） y = ； （4） y = 1 + ． ln(x +1) 2. （1）已知 f (x ) 的定义域为[0，1]，则函数 y = f (log 1 (3 - x )) 的 2 定义域是 ； （2） 已知函数 f (x ) = log 1 (2 - log 2 x ) 的值域是(-∞，0)，则它 2 的定义域是 ； （3） 函数 f (x ) = log (x 2 + 6x +13) 的值域是 ． 2 3. 已知 a >0，且 a ≠1，则函数 y = a x 与 y = log (-x ) 的图象只可 能是（ ） A ． B ． C ． D ．

高一数学《函数的性质》知识点总结

高一数学《函数的性质》知识点总结 二．函数的性质 函数的单调性 增函数 设函数y=f的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x12时，都有f2)，那么就说f在区间D上是增函数.区间D称为y=f的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x12时，都有f＞f，那么就说f在这个区间上是减函数.区间D称为y=f的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； 图象的特点 如果函数y=f在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f在这一区间上具有单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 函数单调区间与单调性的判定方法 定义法： 任取x1，x2∈D，且x12； 作差f－f； 变形；

定号； 下结论． 图象法 复合函数的单调性 复合函数f[g]的单调性与构成它的函数u=g，y=f的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. ．函数的奇偶性 偶函数 一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=f，那么f就叫做偶函数． ．奇函数 一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=—f，那么f就叫做奇函数． 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 确定f与f的关系； 作出相应结论：若f=f或f－f=0，则f是偶函数；若

f=－f或f＋f=0，则f是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定;由f±f=0或f／f=±1来判定;利用定理，或借助函数的图象判定. 函数的解析表达式 函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. 求函数的解析式的主要方法有： )凑配法 )待定系数法 )换元法 )消参法 0．函数最大值 利用二次函数的性质求函数的最大值 利用图象求函数的最大值 利用函数单调性的判断函数的最大值： 如果函数y=f在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f在x=b处有最大值f； 如果函数y=f在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f在x=b处有最小值f；

(精品)初中数学讲义10函数2老师

教学内容—正反比例函数的图像和性质知识精要

1、掌握正、反比例函数的概念； 2、掌握正、反比例函数的图象的性质； 3、会用待定系数法求正、反比例函数的解析式。 热身练习 一 填空： 1、若正比例函数13 52 )1(---=m m x m y 的图象经过二、四象限，则这个正比例函数的解析式 是 。3y x =- 2、已知点P （1，a ）在反比例函数x k y = （k ≠0）的图像上，其中322++=m m a （m 为实数），则这个函数的图像在第 象限。一、三 3.已知函数y = (m 2 -2)32-+m m x 是反比例函数，且它的图象在第一、三象限，那么m= ；-2 4.反比例函数4 y x =-，当x > 0时y ，这部分图象在第 象限内；当x < 0时，y ，这部分图象在第 象限内；<0,四，>0，二 5.如图，正比例函数kx y =（k ＞0）与反比例函数x y 3 =的图像交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于 B ，CD ⊥x 轴于D ，则ABCD S 四边形＝ 。6 名称 k 图像 取值范围 与x 轴交点 与y 轴交点 增减性 正比例函数()0y kx k =≠ k>0 一、三象限(直线) x 、y 任意实 数 (0,0) (0,0) y 随x 增大而增大 K<0 二、四象限(直线) x 、y 任意实 数 (0,0) (0,0) y 随x 增大而减小 反比例函数()0k y k x = ≠ k>0 一、三象限(双曲线) , 无 无 在每个象限内, y 随x 增大而减小 K<0 一、三象限(双曲线) , 无 无 在每个象限内, y 随x 增大而增大

(完整版)函数的基本性质详细知识点及题型分类(含课后作业)

《函数的基本性质》专题复习 （一）函数的单调性与最值 ★知识梳理 一、函数的单调性 1、定义： 设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的 。 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的 。 2、单调性的简单性质： ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。 3、判断函数单调性的方法步骤： 利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○ 1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1)(x f y =I I )(x f y =

函数性质综合运用(讲义)

函数性质综合运用（讲义） ?课前预习 1.填空： ①如果我们将方程组中的两个方程看作是两个函数，则方程组的解恰好对应 两个函数图象的__________________；方程x2+3x-1=2x+1的根对应两个函数图象交点的__________． 特别地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是二次函数______________的图象与______交点的横坐标．当?＞0时，二次函数图象与x轴有_____个交点；当?=0时，与x轴有_____个交点；当?＜0时，与x轴______交点． ②y=2x+1与y=x2+3x+1的交点个数为__________． 2.借助二次函数图象，数形结合回答下列问题： ①当a＞0时，抛物线开口_____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x 的增大而增大；该二次函数有最____值，是_______； ②当a＜0时，抛物线开口____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x的 增大而增大；该二次函数有最___值，是______． ③已知二次函数y=x2+2x-3．当-5＜x＜3时，y的取值范围为__________；当 1＜x≤5时，y的取值范围为__________． 注：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为 2 4 () 24 b a c b a a --，． ?知识点睛

a b c k ???? ?? ????? ?????? ???????①坐标代入表达式，得方程或不等式表达式与坐标②借助表达式设坐标①判断，，，等字母符号函数图象与性质②借助图象比大小、找范围 ③图象平移：左加右减，上加下减 将方程、不等式转化为函数，函数与方程、不等式数形结合，借助图象分析 ?????????????????? ??????????????? ?? 第一步：设坐标 利用所在函数表达式或坐标间关系横平竖直第二步：坐标相减竖直线段：纵坐标相减，上减下水平线段：横坐标相减，右减左表达线段长①倾斜程度不变借助相似，利用竖直线段长表达斜放置②倾斜程度变化 ? 精讲精练 1. 抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如表所示． y 轴的右侧；③抛物线一定经过点(3，0)； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；⑤一元二次方程ax 2+bx +c =4的解为x =-1或x =2．由表可知，正确的说法有______个． 2. 已知二次函数y =(x -h )2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况 下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A ．5或1 B ．-1或5 C ．1或-3 D ．1或3 3. 已知二次函数y =ax 2-bx -2（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点(-1，0)， 当a -b 为整数时，ab 的值为（ ） A ．34或1 B ．14或1 C ．34或12 D ． 14或34 4. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称 轴为直线x =2．给出下列结论：①4a +b =0；②9a +c ＞3b ；③8a +7b +2c ＞0；④

人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题

O O O O （1） （2） （3） （4） 时间 时间 时间 时间 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题 第一部分 函数及其表示 知识点一：函数的基本概念 1、函数的概念： 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作： A x x f y ∈=，)(。 x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。 说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。 ③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则 3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数： 说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。 ②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 （ ） （A ） (B) (C ) (D) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．x x y y ==,1 B ．1,112 -=+?-=x y x x y C ．3 3 ,x y x y = = D ． 2 )(|,|x y x y == 3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） 4.下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：2 2x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝____ ____ 6.设函数? ??<+≥-=10110 2)(2x x x x x f ，则)9(f = ，)15(f = 7.设函数?? ?<-≥-=5 35 2)(2 x x x x x f ，若)(x f =13，则x= 。 8.函数()1,3,x f x x +?=?-+? 1, 1,x x ≤>则()()4f f = ． 9.下列各组函数是同一函数的有 ①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =； ③0 ()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 10.作出函数(]6,3,762 ∈+-=x x x y 的图象 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0

高中数学函数基本性质专项讲义及练习

专题 函数基本性质 考点精要 会运用函数图像理解和研究函数的性质． 热点分析 主要考查函数的性质及运用 知识梳理 1．函数的单调性： 设函数y=f （x ）的定义域为A ，区间M A ?．如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，设改变量210x x x ?=->，则当21()()0y f x f x ?=->时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是增函数，当21()()0y f x f x ?=-<时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是减函数． 如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性．（区间M 称为单调区间） 函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间内任取x 1，x 2,当x 1 < x 2时判断相应的函数值f （x 1）与f （x 2）的大小． 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是图象观察得到的．对于[]()y f x φ=型复合形式的函数的增减性，可换过换元，令()u x φ=，然后分别根据()u x φ=，()f f u =在相应区间上的增减性进行判断，一般规律是：“同则增，异则减”，即内外层函数的单调性相同（同增或同减）则[]()y f x φ=为增；内外层函数的单调性相反（内增外减或内减外增）则 []()y f x φ=为减．其本质源于复合函数求导的连锁法则以及函数单调性与其导函 数符合的关系． 此外，利用导数研究函数的单调性，更是一种非常重要的方法，是“大规大法”，由导数正负与单调性的关系及两函数和、差、积、商的求导法则可以推出许多判定函数单调性的简单技巧．

高一数学函数的基本性质综合训练

函数的基本性质--综合训练B 组 一、选择题 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =- C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．( -∞C ．(-∞3．函数A ．(∞-C ．[,24 则实数a A ．a ≤ 5． )x 是增函数； (2)23x --的 A ．0 6. 在下图中是（ ） 二、填空题 1．函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2 -+=x x x f ，那么0x <时，

()f x = . 3．若函数2()1 x a f x x bx += ++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则 2(6)(3)f f -+-=__________。 5．若函数2()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为__________。 1][]2,6 2()f b ，且当 0x >时，()y f x =是 奇函数。 3．设函数,且 ()(f x g + 4．设a 为实数，函数1||)(2 +-+=a x x x f ，R x ∈（1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值。

新人教A版新教材学高中数学必修第一册函数的概念与性质函数的基本性质奇偶性奇偶性的应用讲义

学习 目标核心素养 １．会根据函数奇偶性求函数值或解析式．２．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.１．利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养． ２．借助奇偶性与单调性的应用提升逻辑推理、数学运算素养. 用奇偶性求解析式 【例１】（１）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝—x＋１，求f（x）的解析式； （２）设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝错误!，求函数f（x），g（x）的解析式． [思路点拨] （１）错误!错误! 错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! （２）错误!错误! 错误!错误! 错误!错误!错误! [解] （１）设x<0，则—x>0， ∴f（—x）＝—（—x）＋１＝x＋１， 又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数， ∴f（—x）＝—f（x）＝x＋１， ∴当x<0时，f（x）＝—x—１． 又x＝0时，f（0）＝0， 所以f（x）＝错误! （２）∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数， ∴f（—x）＝f（x），g（—x）＝—g（x）．

由f（x）＋g（x）＝错误!，１ 用—x代替x得f（—x）＋g（—x）＝错误!， ∴f（x）—g（x）＝错误!，２ （１＋２）÷２，得f（x）＝错误!； （１—２）÷２，得g（x）＝错误!. 把本例（２）的条件“f（x）是偶函数，g（x）是奇函数”改为“f（x）是奇函数，g（x）是偶函数”，再求f（x），g（x）的解析式． [解] ∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数， ∴f（—x）＝—f（x），g（—x）＝g（x）， 又f（x）＋g（x）＝错误!，１ 用—x代替上式中的x，得 f（—x）＋g（—x）＝错误!， 即f（x）—g（x）＝错误!.２ 联立１２得 f（x）＝错误!，g（x）＝错误!. 利用函数奇偶性求解析式的方法 １“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设. ２要利用已知区间的解析式进行代入. ３利用f x的奇偶性写出—f x或f—x，从而解出f x. 提醒：若函数f x的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0，但若为偶函数，未必有f0 ＝0． 函数单调性和奇偶性的综合问题 [探究问题]

高考数学(精讲 精练 精析)专题 函数的基本性质试题(江苏)(含解析)

专题2 函数的基本性质 【三年高考】 1. 【2016高考江苏11】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1-)上， ,10, ()2 ,01, 5 x a x f x x x +-≤

试题分析：对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为1 1(,)22P '-，而11(,)22 P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲线， 其伴随曲线分别为2222( ,)0y x f x y x y -=++与 2222 (,)0y x f x y x y --=++也表示同一曲线，又曲线2222( ,)0y x f x y x y -=++与曲线 2222 (,)0y x f x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线 y kx b =+上任一点P (,)x y 的伴随点是'P 2222 ( ,)y x x y x y -++，消参后点'P 轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③. 考点：对新定义的理解、函数的对称性. 【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决． 3．【2016高考山东理数改编】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3 ()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时， ()()f x f x -=-；当12x > 时，11 ()()22 f x f x +=- .则f (6)= ． 【答案】2 【解析】 试题分析：当12x > 时，11()()22f x f x +=-,所以当1 2 x >时，函数()f x 是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3 (1)(1)112f f ??=--=---=?? ． 考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数. 【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. 4．【20XX 年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a ?-≤=?->? .

高中数学必修1函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）； 注意： ○ 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○ 2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1

01-数学强基计划-高二-学生版讲义-函数综合练习

函数综合练习 1 、映射、函数的定义； 2 、函数的基本性质（单调性，奇偶性，对称性，周期性） ； 3、基本函数（二次函数，幂函数，指数函数，对数函数）； 4、简单函数方程 5、极限、导数的定义、性质及其应用； 映射：（1）定义域中每个元素都在值域中有象（2）定义域中每个元素只对应一个象（良好定义） 单射：:f A B →，12x x ?≠都有12()()f x f x ≠ 满射：:f A B →，,,..()y B x A s t f x y ?∈?∈= 双射：是单射又是满射 逆映射：只有在:f A B →是双射才存在f 的逆映射，1()()f x y f y x -=?= 函数：定义域和值域元素都是数值的映射。 对于函数:f A B →： 单调性：1212,,x x x x A ?<∈，都有12()()f x f x <12(()())f x f x >，那么就称函数()f x 在区间A 上是单调增（减）函数 奇偶性：如果x A ?∈，都有x A -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；如果x A ?∈，都有x A -∈， 且()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数 周期性：存在非零常数T ，使得x A ?∈，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数 二次函数：2 ()f x ax bx c =++，最值：0a <时，开口向下，在2b a -处取最大值244ac b a -；0a >时，开口向 上，在2b a -处取最小值2 44ac b a -。 幂函数： ()a y x a =∈ 指数函数：(0,1)x y a a a =>≠ 定义域：，值域： + 单调性：01a <<时，单调递减；1a >时，单调 递增。

必修1函数的基本性质专题复习(精心整理)

必修 1 《函数的基本性质》专题复习 （一）函数的单调性与最值 ★知识梳理 1.函数的单调性定义： 设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间 2.函数的最大（小）值 设函数的定义域为 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值； 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。 ★热点考点题型探析 考点1 函数的单调性 【例】试用函数单调性的定义判断函数2()1 f x x =-在区间（1，+∞）上的单调性. )(x f y =A A I ?I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y =I I )(x f y =)(x f y =A A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≤) (0x f )(x f y =A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≥) (0x f )(x f y =

【巩固练习】证明：函数2()1 x f x x = -在区间（0，1）上的单调递减. 考点2 函数的单调区间 1.指出下列函数的单调区间： （1）|1|y x =-； （2）22||3y x x =-++. 2. 已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞，4)上是减函数，求a 的取值范围.

【巩固练习】 1．函数26y x x =-的减区间是（ ）. A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）. A. y =－x +1 B. y C. y = x 2－4x ＋5 D. y =2x 3. 已知函数f (x )在-1∞（，）上单调递减，在[1+∞，） 单调递增，那么f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 . 4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围. 5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞，2)上具有单调性，求a 的取值范围.

高中数学竞赛讲义_几个初等函数的性质

几个初等函数的性质 一、基础知识 1．指数函数及其性质：形如y =a x (a >0, a ≠1)的函数叫做指数函数，其定义域为R ，值域为（0，+∞），当01时，y =a x 为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。 2．分数指数幂：n m n m n n n m n m n n a a a a a a a a 1 ,1,,1 = ===--。 3．对数函数及其性质：形如y =log a x (a >0, a ≠1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞）， 值域为R ，图象过定点（1，0）。当01时，y =log a x 为增函数。 4．对数的性质（M>0, N >0）； 1）a x =M ?x =log a M(a >0, a ≠1)； 2）log a (M N )= log a M+ log a N ； 3）log a （ N M ）= log a M- log a N ；4）log a M n =n log a M ；， 5）log a n M =n 1 log a M ；6）a loga M =M; 7) log a b =a b c c log log (a ,b ,c >0, a , c ≠1). 5. 函数y =x +x a （a >0）的单调递增区间是(]a -∞-,和[)+∞,a ，单调递减区间为[) ,a -和(] a ,0。（请读者自己用定义证明） 6．连续函数的性质：若a 0. 【证明】 设f (x )=(b +c )x +bc +1 (x ∈(-1, 1))，则f (x )是关于x 的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证f (-1)>0且f (1)>0（因为-10， f (1)=b +c +bc +a =(1+b )(1+c )>0， 所以f (a )>0，即ab +bc +ca +1>0. 例2 （柯西不等式）若a 1, a 2,…,a n 是不全为0的实数，b 1, b 2,…,b n ∈R ，则（∑=n i i a 1 2 ）·（ ∑=n i i b 1 2 ） ≥( ∑=n i i i b a 1)2，等号当且仅当存在∈μR ，使a i =i b μ, i =1, 2, …, n 时成立。 【证明】 令f (x )= （∑=n i i a 1 2）x 2 -2( ∑=n i i i b a 1 )x + ∑=n i i b 1 2=∑=-n i i i b x a 1 2)(, 因为 ∑=n i i a 1 2>0，且对任意x ∈R , f (x )≥0， 所以△=4(∑=n i i i b a 1)-4（ ∑=n i i a 1 2）( ∑=n i i b 12)≤0. 展开得（ ∑=n i i a 1 2）( ∑=n i i b 1 2)≥( ∑=n i i i b a 1 )2。 等号成立等价于f (x )=0有实根，即存在μ，使a i =i b μ, i =1, 2, …, n 。