几何与代数相结合的综合问题[整理]

几何与代数相结合的综合问题

【考点透视】

几何与代数相结合的综合题是初中数学中涵盖广、综合性最强的题型.它可以包含初中阶段所学的代数与几何的若干知识点和各种数学思想方法，还能有机结合探索性、开放性等有关问题；它既突出考查了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容，如函数、方程、不等式、三角形、四边形、相似形、圆等.

综观全国各地的中考试题，90%左右的压轴题都是几何与代数相结合的综合题.就江苏省十三个大市来说，有十一个大市最后的压轴题都是这样的题型，占分比例都很高.编制这样的综合题，不但考查学生数学基础知识和灵活运用知识的能力；考查学生对数学知识迁移整合能力；考查学生学会将大题分解为小题，逐个击破的能力；考查学生对几何与代数之间的内在联系，多角度、多层面综合运用数学知识、数学思想方法分析问题和解决问题的能力；还考查学生知识网络化、创新意识和实践能力.

几何与代数综合题在中考试题中还有特别重要的功能，它关系到整个试卷的区分度；有利于高一级学校选拔人才.

[典型例题]

例1.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4k-3=0

（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）当Rt△ABC的斜边长a=31，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个

根时，求△ABC的周长.

（2003年江苏省连云港市中考试题）分析：（1）由一元二次方程根的判别式得△=(2k-3)2+4>0即可.（2）由一元二次方程根与系数关系，再由直角三角形的勾股定理建立关于k的一元二次方程，从而求出三角形的另两边之和.

解：（1）证明：△=[-（2k+1）] 2-4×1×(4k-3)=4k2-12k+13=(2k-3)2+4 ∵无论k取什么实数值，总有(2k-3)2+4>0，即△>0，∴无论k取什么实数值时，该方程总有两个不相等的实数根.（2）由一元二次方程根与系数的关系，得b+c=2k+1，bc=4k-3.又在Rt△ABC中，

根据勾股定理，得b2+c2=a2，∴（b+c）2-2bc=()231，即(2k+1)2-2(4k-3)=31，整理得，得k2-k-6=0，解这个方程，得k=-2或k=3.当k=-2时，b+c=-4+1=-3<0，不符合题意，舍去故

k=3，此时b+c=2×3+1=7，故△ABC的周长为7+31.

说明：本题一方面考查学生一元二次方程根的判别式、根与系数关系及直角三角形中的勾股定理重要内容；另一方面又考查学生一元二次方程解出的两根

是否都符合题意，培养学生严谨解题的习惯.

为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，若AD=23，

且AE、AB的长是关于x的方程x2-8x+k=0的两个实数根

（1）求⊙O的半径；

图13-1 （2）求CD的长.

（2003年江苏省宿迁市中考试题）分析：（1）由圆的切割线定理、方程的根与系数关系易求⊙O的半径.（2）由切线长相

等，设CD=CB=x 用勾股定理建立关于x 的一元二次方程即可求出CD 的长.

解：（1）∵AD 是⊙O 的切线， ∴AD 2=AE ·AB 又AD=23 ∴AE ·AB=12 ∵AE 、AB 的长是方程x 2-8x+k=0的两个实数根 ∴AE ·AB=k ∴k=12，把k=12代入方程x 2-8x+k=0，解是x 1=2，x 2=6，∴⊙O 的半径为2)(21=-AE AB （2）∵CB ⊥AB ，AB 经过圆心O CB 切⊙O 于点B ∴CD=CB 在Rt △ABC 中，设CD=x 则由勾股定理得AB 2+BC 2=AC 2 ∴62+x 2=(23+x)2 解得x=23 ∴CD=23.

说明：本题考查了学生的切割线定理、切线长定理、勾股定理、解一元二次方程及根与系数关系等有关基础知识，并能注意运用方程思想去求线段的长.还可讨论下列两个问题:

1、已知：如图13-2，Rt △ABC 中，∠ACB=90°,AB=5，两直角边AC 、BC 的长是关于x 的方程x 2-(m+5)x+6m=0的两个实数根.

（1）求m 的值及AC 、BC 的长（BC>AC ）.

（2）在线段BC 的延长线上是否存在点D ，使得以D 、A 、C 为顶点

的三角形与△ABC 相似？若存在，求出CD 的长；若不存在，请说明理

由.

(2003年江苏省

镇江市中考试题)

2、已知：如图12-3，四边形ABCD 为菱形，AF ⊥AD 交BD 于E ，交BC 于点F.

（1）求证：AD 2=DB DE ?21； （2）过点E 作EG ⊥AF 交AB 于点G ， 若线段BE 、DE （BE0)

的两个根，且菱形ABCD 的面积为63，求EG 的长.

（2003年江苏省无锡市中考试题）

例3.如图13-4，直线y=-

434+x 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N.

（1）求M 、N 两点的坐标；

（2）如果点P 在坐标轴上，以点P 为圆心，

512为半径的圆与直线y=-434+x 相切，求点P 的坐标. （2003年江苏省南京市中考试题）

分析：（1）较简单略；（2）因为⊙P 与直线相切，因此点P 到直线MN 的距离等于圆的半径5

12，从而想到过点P 作MN 的垂线，由于点P 的位置不确定所以想到对P 点的位置进行分类.不妨以点P 在点N 的下方为例，过点P 作PA ⊥MN 于A ，则要求P 点坐标，只要求OP 长，把问题转化为求PN 长，利用△PAN ∽△MON ，使问题得以解决.当点P 在N 点上方时，可以利用三角形全等知点P 到N 的距离与在点N 下方时PN 的长相等，从而求出P 点坐标，不需要再重复上述步骤.当点P 在x 轴上时利用相同的方法可求出P 点的坐标

.

图13-2

图

13-3 4+图13-4

解：（1）∵当x=0时，y=4，当y=0时，-43

4+x =0, ∴x=3. ∴M(3,0)，N （0,4） （2）①当P 1点在y 轴上，并且在N 点的下方时，设⊙P 1与直线y=-

434+x 相切于点A ，连结P 1A ，则P 1A ⊥MN. ∴∠P 1AN=∠MON=90°. ∵∠P 1NA=∠MNO, ∴△P 1AN ∽△MON. ∴MN N P MO A P 11=.在Rt △OMN 中，OM=3，ON=4 ∴MN=5. 又∵P 1A=5

12，∴P 1N=4. ∴P 1点坐标是（0，0）. ②当P 2点在x 轴上，并且在M 点的左侧时，同理可得P 2点坐标是（0，0）.③当P 3点在x 轴上，并且在M 点的右侧时，设⊙P 3与直线y=-43

4+x 相切于点B ，连结P 3B ，则P 3B ⊥MN. ∴OA//P 3B. ∵OA=P 3B ，∴P 3M=OM=3. ∴OP 3=6. ∴P 3点坐标是(6，0). ④当P 4点在y 轴上，并且在点N 上方时，同理可得P 4N=ON=4. ∴OP 4=8. ∴P 4点坐标是 （0，8）.综上，P 点坐标是（0，0），（6，0），（0，8）.

说明：本题不仅考查学生函数与方程，相似三角形，同时也考查了数形结合，分类讨论等思想，其中熟练地进行线段长与坐标的互化也是解题的关键.其实本题若能从轨迹的角度去考虑,就可以避免了分类的遗漏,也可以把问题转化为求一次函数的解析式,只需求出一次函数的图象与坐标轴的交点坐标.

例4.点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PA 交双曲线y=x

1于点A ，连结OA.

（1）如图13-5①，当点P 在x 轴的正方向上运动时，Rt △AOP 的面积大小是否变化？若不变，请求出Rt △AOP 的面积；若改变，试说明理由.

（2）如图13-5②，在x 轴上点P 的右侧有一点D ，过点D 作x 轴的垂线交双曲线于点B ，连结BO 交AP 于点C.设△AOP 的面积为S 1，梯形BCPD 的面积为S 2，则S 1与S 2大小关系是S 1 S 2(填“>”或“<”或“=”)

（3）如图13-5③，AO 的延长线与双曲线x

y 1=的另一个交点为点F ，FH 垂直于x 轴，垂足为点H ，连结AH 、PF ，试证明四边形APFH 的面积为一常数.

(2003年江苏省泰州市中考试题) 分析：（1）因为△AOP 的面积AP OP ?21

，又由于OP 、AP 的长与A 点的坐标有关，若

A 点坐标为(a ，b)，则OP=a ，AP=b ，所以△AOP 的面积ab 2

1=，要探求△AOP 的面积大小是否变化，只需考虑ab 是否变化，由于A （a ，b ）在反比例函数图象上，因此ab=1，所以△AOP 的面积不变.

（2）由（1）知△AOP 的面积与△BOD 的面积是相等的，观察图形发现梯形BCPD

是图13-5①

图13-5②

图13-5③

△BOD 的一部分，因此S 1>S 2.

（3）由于双曲线关于原点对称，故A 、F 关于原点对称，所以四边形APFH 是平行四边形.根据平行四边形的性质得四边形APFH 的面积等于△AOP 的面积的4倍，据（1）知△AOP 的面积是常数，所以四边形APFH 的面积为一常数.

解：（1）设A 点坐标为（a ，b ），则OP=a ，AP=b

∴S △AOP =AP OP ?21

ab 2

1= ∵点A （a 、b ）在函数y=

x 1的图象上 ∴b=a

1， ∴ab=1 ∴S △AOP =.21121=? （2）>

（3）∵A 、F 关于O 点对称 ∴OA=OF.

∵PA ⊥x 轴，HF ⊥x 轴， ∴PA//HF ， ∴PA=HF ，

∴四边形APFH 是平行四边形， ∴

4S △AOP =422

1=?, ∴四边形APFH 的面积为一常数.

说明：本题注重从数量关系和几何图形的变化中去研究问题,从“运动”的角度考查学生的探究能力.它不仅考查了反比例函数的图象与性质，同时考查了数形结合的思想方法,通过点的坐标和线段的长度之间的互化实现了数形结合.

例5.设一次函数221+=x y 的图象为直线l ，l 与x 轴y 轴分别交于点A 、B.

（1）求tan ∠BAO 的值； （2）直线m 经过点P （-3，0），若直线l 、m 与x 轴围成

的三角形和直线l 、m 与y 围成的三角形相似，求直线m 的解析式.

(2003年江苏省常州市中考试题)

分析：（1）较简单略.（2）首先要画出图形，则l 、m 与x 轴、y 轴围成的三角形分别是△AMP 、△MBN.分两种情况讨论：

①当N 在y 轴负半轴上时；已知△AMP ∽△NMB ，则有∠MAP=∠BNM ，这时有

Rt △BOA ∽△Rt △PON 得：OA OB ON OP ==2

1，已知OP=3得ON=6，从而得到N 、P 两点坐标，即可求出直线解析式y=-2x -6.

②当N 在y 轴正半轴上同理可得：y=2x+6，当N 在线段内部时，同理求出ON=6出现矛盾，归纳结论得出两条解析式.

解：（1）tan 2

1=∠BAO (2)设直线m 与直线l 相交于点M.与y 轴相交于点N.则直线l 、m 及x 轴围成的三角形△AMP ；直线l 、m 及y 轴围成的三角形为△MBN. ①当N 在y 轴负半轴上时，由于∠ABN 及∠BMN 均大于∠MAP ，则要使△AMP ∽△MBN 只能是∠MAP=∠BNM ，

此时有Rt △BOA ∽Rt △PON ，则21==OA OB ON OP ，而OP=3，图13-6

则ON=6，∴N （0，-6）又P （-3，0） 则直线m 的解析式为y=-2x -6.

②当N 在y 轴正半轴上且在OB 延长线上时，∵显然

∠APM 及∠MBN 均为钝角，要使△APM ∽△NBM ，则有∠APM=∠MBN ?∠MNB=

∠MAP ?Rt △PON ∽Rt △BOA ，则21==OA OB ON OP .而OP=3，则ON=6，从而N （0，6），则直线m 的解析式为y=2x+6. ③当N 在线段OB 内部时，若要△AMP ∽△NMB ， ?∠BAP=∠BNM ?∠BAP=∠PNO ?Rt △ABO ∽Rt △NPO ?2==OB OA OP ON .而OP=3，则ON=6矛盾，即N 不可能在线段OB 内部，综上所述，满足要求的直线m 的解析式应为y=2x+6或y=-2x -6.

说明：本题设定问题（1）考查了学生的基础知识，

给学习能力较弱的学生建立信心.设定问题（2）首先考查

了学生根据题意画出图形的能力；其次考查了学生常用的数学思想，

一是数形结合思想，二是分类讨论思想. 例6.如图13-7，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a<0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的右侧）,与y 轴的正半轴交于点C ，以AB 为直径的圆经过点C 及抛物线上的另一点D,∠ABC=60°.

(1)求点A 和B 的坐标（用含有字母c 的式子表示）；

(2)如果四边形ABCD 的面积为3，求抛物线的解析式； (3)如果当x>1时，y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围.

（2003年江苏省盐城市中考试题）

分析：（1）已知∠ABC=60°得到含30°的Rt △BOC ，设C （0，C ）解出B 点坐标，再构造含30°的Rt △ABC ，求出A 点坐标.（2）由梯形的有关性质，∠BAC=30°证得上底与腰相等，且S 梯求出C 值.（3）求出抛物线的对称轴、利用图形的直观和函数的增减性求解.

解：（1）C （c,0）∴OC=c ，在Rt △BOC 中，∠ABC=60°，∴BO=c c

OC

3

333==连结AC ∵AB 是直径 ∴∠ACB=90° ∴∠BAC=30° ∴在Rt △AOC 中，AO=c OC 33= ∴A （0,3c ）B ???

? ??

-0,33c （2）∵圆与抛物线都关于抛物线的对称轴对称 ∴四边形ABCD 是等腰梯形 ∴AB+CD=2OA=23c ∵S

四边形ABCD =3， ∴c c ??3221=3 ∴c 2=1 ∵c>0 ∴c=1 ∴A(0,3) B(-

0,33) 设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x+33)将 C （0，1）代入得1=a(-3)(

33) ∴a=-1 ∴抛物线的解析式为：y=-(x-3)(x+33)即y=-x 2+3

32x+1 （3）解法1：∵A （3c ，0），B （-33c ，0）在抛物线上

∴a ()0)3(32=++c c b c a(-33c)2+b(-3

3c)+c=0 ∵c>0 ∴3ac+3b+1=0 013331=+-b ac 消去ac 得：b=32 ∴抛物线的对称轴是x=-a b 2=-a 31 ∵当x>1时，y 随x 的增大而减小 ∴-131

≤a ∴a 3

3-≤ 解法2：∵A(0,3c )，B(-

33c,0) ∴y=a(x+33c)(x-3c) 将点C(0，c)代入得：c=a ·

33c ·(-3c) ∵c>0 ∴c=-a 1 抛物线方程y=a(x-a 33)(x+a 3)即y=ax 2+a x 1332-对称轴方程为x=-a 33 ∵当x>1时，y 随x 的增大而减小 ∴131≤-a

∵a<0 ∴33-

≤a . 说明：本题既考查学生基本运算能力；又考查学生运用几何图形和函数图象的联系分析问题和解决问题的能力；运用了数学中的数形结合思想及待定系数法.还可研究下面问题：

如图13-8，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A(x 1，0)、B （x 2，0）

（x 1<0

过C 点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若D 点在此抛物线上，且AD//CB. ①求D 点的坐标； ②在x 轴下方的抛物线上，是否存在点P 使得△APD 的面积与四边形ACBD 的面积相等？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.

（2003年江苏省连云港市中考试题）

例7.OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=10，OC=6.

（1）如图13-9①，在OA 上选取一点G ，将△COG 沿CG 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E.求折痕CG 所在直线的解析式.

（2）如图13-9②，在OC 上选取一点D ，将△AOD 沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E ′.

①求折痕AD 所在直线的解析式；

②再作E ′F//AB ，交AD 于点F.若抛物线y=h x +-212

1过点F ，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD 的交点的个数.

（3）如图13-9③，一般地，在OC 、OA 上选取适当的点D ′、G ′，使纸片沿D ′ G ′翻折后，点O 落在BC 边上，记为E ″.请你猜想：折痕D ′G ′所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想。

图13-8

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（2003年江苏省苏州中考试题）

分析：（1）较简单略；（2）①直接求D 点坐标困难，先用Rt △ABE ′求出BE ′=8得CE ′=2，由折法设DE ′=OD=S ，DC=6-S ，再用Rt △DCE 求出S=3

10，由A 、D 两点坐标求直线AD 的解析式就水到渠成了.②要想到判断抛物线与直线交点的个数，就应想到一元二次方程根的判别式，要想有一元二次方程，必须有两函数解析式.直线解析式已求,要求抛物线解析式,关键求出h,要求h 就要求F 点的坐标,用已知条件和求得的一些知识就可完成.(3)根据前面两题的设问和解题经验,再有直观图形让你猜想，一般都会猜出一些特殊情形，猜想的过程往往也是验证的过程.添辅助线转化为（2）的情形来解.

解：(1)由折法可知，四边形OCEG 是正方形，∴OG=OC=6，∴G （6，0），C （0，6）.设直线CG 的解析式为y=kx+b ，则0=6k+b ，6=0+b. ∴k=-1，b=6. ∴直线CG 的解析式为：y=-x+6.（2）①在Rt △ABE ′中，BE ′=861022=-，∴CE ′=2..设OD=s ，则DE ′=s ，CD=6-S ，，∴在Rt △DCE ′中，s 2=(6-s)2+22，∴310=

s .则D （0，310）.设AD ：y=k ′x+310.由于它过A （10，0），∴k ′=3

1- ∴AD ：y=31031+-x . ②∵E ′F//AB,E ′(2,6)， ∴F （2，y F ），∵F 在AD 上，∴y F =38310231=+

?-，∴F(2,38).又F 在抛物线上， ∴3

8=h +?-22121，∴h=3. ∴抛物线的解析式为：y=121-x 2+3.将y=31031+-x 代入y=31212+-x ，得031311212=-+-x x .∵△=0311214312=??

? ??-???? ??-?-??? ??∴直线AD 与抛物线只有一个交点.（3）例如可以猜想：（i ）折痕所在直线与抛物线y=121-

x 2+3只有一个交点；或(ii)若作E ″F ′//AB ，交D ′G ′于F ′，则在F ′在抛物线y=121-

x 2+3.验证：（i ）在图13-9①中，折痕为CG .将y=-x+6代入y 121=

x 2+3，得121-x 2+x-3=0.∵△=1-4×(-3)×(121-)=0，∴折痕CG 所在直线的确与抛物线y=12

1-x 2+3只有一个交点.或(ii)在图13-9①中，D ′即C ，E ″即E ，G ′即G ，交点F ′也为G （6，0），∵当x=6时，y=121-

x 2+3=121-×62+3=0，∴G 点在这条抛物线上.

说明：本题首先考查学生的几何折叠知识构造直角三角形.运用勾股定理、求一次函数、二次函数的解析式、点的点标、一元二次方程及根的判别式等知识；

其次多角度考查了学生运用数学思想方法和自主探索能力.；再次考查

学生在学习过程中再发现，再创造的能力，不断提高学生的思维品质。

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例8.如图13-9，矩形OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A 、C 两点的坐标分别为（3

，0）、（0，5）.

（1）直接写出B 点坐标；

（2）若过点C 的直线CD 交AB 边于点D ，且把矩形OABC 的周长分为1:3两部分，求直线CD 的解析式；

（3）在（2）的条件下，试问在坐标轴上是否存在点E ，使以C 、D 、E 为顶点的三角形与以B 、C 、D 为顶点的三角形相似？若存在，请求出E 点坐标；若不存在，请说明理由.

（2003年江苏省淮安市中考试题）

分析：（1）容易略；（2）由于D 点位置不定，必须分两种情况讨论.由已求的B 点坐标，根据矩形的性质求出矩形的周长，再由已知条件，求出D 点坐标，将C 与D 点两点坐标代入y=kx+b 就可求出直线CD 的解析式；

（3）因为由（2）已求以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形，以C 、D 、E 为顶点组成的三角形.若与△CBD 相似，对应顶点未确定，所以△CDE 就必须以顶点C 、顶点E 、顶点D 为直角一一求解.

解：（1）B （3，5） （2）设D （3，m ），（m>0），则BD=5-m ，AD=m ，当CB+BD=3（OC+OA+AD ）时 8-m=3(8+m) 解得：m=-4，不合题意舍去 当3(CB+BD)=OC+OA+AD 时 3(8-m)=8+m 解得：m=4 ∴D(3,4) 设直线CD 的解析式为：y=kx+b 则b=5 3k+b=4 ∴k=31- b=5 ∴直线CD 的解析式为：y=-31x+5 （3）①顶点C 为直角时，过点C 作CE 1⊥CD 交x 轴于点E 1，则∠1+∠2=90°，又∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3 又∠COE 1=∠B=90° ∴△COE 1∽△CDB ∴BD OE CB CO 1= 即1351OE = ∴OE 1=35 ∴E 1(0,3

5-) 在Rt △COE 1中，CE 1=3105212=+OE OC 则3351=≠=BD

BC CD CE ∴△COE 与△CBD 不相似，E 1舍去 ②顶点E 为直角时，过D 作E 2D ⊥y 轴于E 2 则DE 2//BC ，∠CE 2D=∠B=90°， ∴∠3=∠4又CD=CD ∴△BCD ≌△E 2DC ∴E 2C=BD=1 ∴E 2（0，4） ③顶点D 为直角时，过D 作DE 3⊥CD 交x 轴于E 4，交y 轴于E 3 则∠5+∠2=90°，又∠2+∠3=90°，∴∠5=∠3又∠CDE 3=∠B=90°，∴△

CDE 3∽△DBC ∴BD

CD CD CE =3 ∴CD 2=CE 3·BD 在Rt △BDC 中 CD 2=BD 2+BC 2=10 ∴CE 3=10 ∴E 3（0，-5） ∵∠6=∠7=90° ∠3+∠7=90° ∴∠6=∠3 又∠D=

∠DAE 4 ∴△BCD ∽△ADE 4 ∴4AE BD DA BC = ∴AE 4=34 ∴E 4（0,3

5） 在Rt △ADE 4中，DE 4=3104242=+AE AD 则3344=≠=BD

BC CD DE ∴△BCD 与△CDE 4不相似，∴E 4舍去，综上所述，这样的点E 存在，有两点为（0，-5）（0，4）

说明：本题求点的坐标到求直线解析式，牢牢地抓住基础

知识。（1）（2）两题能充分调动学生的解题积极性.第（3）小

题让思维能力较强的学生去积极探索结论的存在性问题.突出

分类讨论的数学思想在解题中的应用.

例9．已知抛物线y=-x 2+(k+1)x+3，当x<1时，y 随着x 的

增大而增大，当x>1时，y 随着x 的增大而减小.

（1）求k 的值及抛物线的解析式；

（2）设抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），抛物线的顶点为P ，试求出A 、

B 、P 三点的坐标，并在下面给定的直角坐标系中画出这条抛物线；

（3）求经过P 、A 、B 三点的圆的圆心O ′的坐标；

（4）设点G （0，m ）是y 轴上的一个动点.

①当点G 运动到何处时，直线BG 是⊙O ′的切线？并求出此时直线BG 的解析式；

②若直线BG 与⊙O ′相交，且另一交点为D ，当m 满足什么条件时，点D 在x 轴的下方？

（2003年江苏省镇江市中考试题）

分析：（1）（2）容易略.（3）欲求圆心O ′的坐标，即应考虑O ′定在线段AB 的中垂线上，又A 、B 是抛物线与x 轴的两交点，所以圆心O ′在抛物线的对称轴上.用相交弦定理即可求出O ′的坐标. （4）由切线的性质与两直角三角形相似就可求出OG 的长，即可求出G 点坐标，由B 、G 两点求解析式.

解：（1）由题意得：1)1(21=-?+-k 解得

抛物线解析式为y=-x 2+2x+3 （2）A （-1，0） B （3，0） P （1，4） （3）∵⊙O ′过A 、B 两点，∴O ′在AB 的垂直平分线上，即在抛物线的对称轴上，设抛物线的对称轴交x 轴于M ，交⊙O ′于N ，则MP ×MN=MA ×MB 4MN=2×2 ∴O ′P=2

5

交y 轴于点E 可求出直线BO ′的解析式为y=4943+-

x ∴E （0，49） ∵BG 是⊙O ′的切线，BO ⊥EG ∴BO 2=OE ·OG ∴OG=4 ∴G （0，-4） 求出直线BG 的解析

式为y=43

4-x ②-4

【习题十三】

1.如图，已知抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴的两个交点分别为A

（x 1，0）、B （x 2，0），且x 1+x 2=4，3

121=x x . （1）求此抛物线的解析式；

（2）设此抛物线与y 轴的交点为C ，过点B 、C 作直线，求

此直线的解析式；

（3）求△ABC 的面积.

(2003年青海省中考试题)

2.如图，在直角坐标系内的梯形AOBC 中，AC//OB ，AC 、OB 的长分别是关于x 的方程x 2-6mx+m 2+4=0的两根，并且S △AOC ：S △BOC =1：5.

（1）求AC 、OB 的长； （2）当BC ⊥OC 时，求OC 的长及OC 所在直线的解析式；

（3）在第（2）问的条件下，线段OC 上是否存在一点M ，过M 点作x 轴的平行经交y 轴于F ，交BC 于D ，过点D 作y 轴的平

行线，交x 轴于E ，使S 矩形FOED =21S 梯形AOBC ，若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由.

(2003年黑龙江省中考试题)

3.已知直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两

点，点A 在点B 的左侧，如图.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象经

过点A 、B ，与y 轴相交于点C.

（1）a 、c 的符号之间有何关系？

（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、

c 互为倒数；

（3）在（2）的条件下，如果b=-4，AB=43，求a 、c 的值.

(2003年上海市中考试题)

4.如图，点A 在y 轴上，⊙A 与x 轴交于B 、C 两点，与y

轴交于点D （0，3）和点E （0，-1）.

（1）求经过B 、E 、C 三点的二次函数的解析式； （2）若经过第一、二、三象限的一动直线切⊙A 于点P （s ，

t ）,与x 轴交点于点M ，连结PA 并延长与⊙A 交于点Q.设点Q 的纵坐标为y ，求y 关于t 的函数关系式，并观察图形写出自变量t 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当y=0时，求切线PM 的解析式，

并借助函数图象，求出（1）中抛物线在切线PM 下方的点的横

坐标x 的取值范围.

（2003年北京市海淀区中考试题）

5.如图，二次函数y=2x 2-2的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C.直线x=m(m>1)与x 轴交于点

D.

（1）求A 、B 、C 三点的坐标；

（2）在直线x=m(m>1)上有一点P （点P 在第一象限），使

得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、D 为顶点的三角形相似，求点P 坐标（用含m 的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=2x 2-2上是否

存在一点Q ，使得四边形ABPQ 为平行四边形？如果存在这样的点Q ，请求出m 的值；

如果不

A x

y O B · ·

存在，请简要说明理由.

（2003年福州市中考试题）

6.已知：如图,在平面直角坐标系中，半径为22的⊙O ′与y 轴交于A 、B 两点，与直线OC 相切于点C ，∠BOC=45°，BC ⊥OC ，垂足为C. （1）判断△ABC 的形状； （2）在BC 上取一点D ，连结DA 、DB 、DC ，DA 交BC 于点E. 求证：BD ·CD=AD ·ED ； （3）延长BC 交x 轴于点G ，求经过O 、C 、G 三点的二次函

数解析式.

（2003年河南省中考试题）

7.已知二次函数y=x 2+bx+c 的顶点M 在直线y=-4x 上，并且图象经过点A （-1，0）.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设此二次函数与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴的交点C ，求经过M 、B 、C 三点的圆O ′的直径长；

（3）设圆O ′与y 轴的另一个交点为N ，经过P(-2，0)、N 两点的直线为l ，则圆心 O ′是否在直经l 上，请说明理由.

（2003年四川省中考试题）

8.如图1，在直角坐标系中,⊙O 1经过坐标原点，分别与x 轴正半轴、y 同正半轴交于点

A 、B.

（1）若点O 到直线AB 的距离为

512，且tan ∠B=43，求线段AB 的长； （2）若点O 到直线AB 的距离为5

12，过点A 的切线与y 轴交于点C ，过点O 的切线交AC 于点D ，过点B 的切线交OD 的延长线于点E ，求

BE CD 11+的值； （3）如图2，若⊙O 1经过点M （2，2），设△BOA 的内切圆的直径为d ，试判断d+AB 的值是否会发生变化.若不变，求出其值；若变化，求其变化范围.

(2003武汉市中考试题)

【习题十三】

答案部分

1.解：①抛物线的解析式为y=-x 2+4x-3.②直线BC 的解析式为y=x-3.③S △ABC 3=.

⌒

图2

）

图1

2.解：（1）∵S △AOC ：S △BOC =1：5，∴AC ：OB=1:5,∴不妨设AC=k ，OB=5k ，由题意，得??

???+=?=+45652m k k m k k .解得：???-=-=???==1111k m k m 或（不合题意，舍去）AC=1，OB=5. （2）∵∠OAC=∠BCO=90°，∠ACO=∠BOC ，∴△OBC ∽△COA.∴OC 2=OB ·AC.∴OC=5或OC=-5（舍去）.∴AC=1，AO=2，∴C （1，2）.∴直线OC 的解析式为y=2x.

（3）存在，M 1??? ??1,21、M 2??

? ??23,43. 3.解：（1）a 、c 同号.或当a>0时，c>0；当a<0时，c<0.

（2）证明：设点A 的坐标为（x 1，0），点B 的坐标为（x 2，0），则0

a c .由题意，得OA ·OB=OC 2，即22||c c a c ==.∵c ≠0，∴c=a

1，即ac=1.所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数. （3）当b=-4时，由（2）知：x 1+x 2=-04>=a

a b ，∴a>0. AB=0B-OA=x 2-x 1=212

214)(x x x x -+，∴AB=a a ac a c a 324164422=-=??? ??-??? ??.∵AB=43，∴3432=a

，得a=21，∴c=2. 4.（1）y=31(x-3)(x+3)=31x 2-1.

（2）过点P 作PF ⊥y 轴于F ，过点Q 作QN ⊥y 轴于N.∴∠PFA=∠QNA=90°,F 点纵坐标为t ，N 点的纵坐标为y. ∵∠PAF=∠QAN ，PA=QA ，∴△PFA ≌△QNA.∴FA=NA.∵AO=1，∴A （0，1）. ∴|t-1|=|1-y|. ∵动切线PM 经过第一、二、三象限，观察图形可得1

（3）当y=0时，Q 点与C 点重合，连结PB.∵PC 为⊙A 的直径，∴∠PBC=90°.即PB ⊥x 轴. ∴s=-3.将y=0代入y=-t+2(1

12AI =.∴AI=4.∴OI=5. ∴I 点的坐标为(0，5). ∵P 点的坐标为（-3，2），∴切线PM 的解析式为y=3x+5.设切线PM 与抛物线y=1312--

x 交于G 、H 两点，因此G 、H 的横坐标分别为211333-、2

11333+.根据图象可得抛物线在切线PM 下方的点的横坐标x 的取值范围是：2

11333211333+<<-x . 5.解：（1）令y=0，得：2x 2-2=0，解得：x=±1.点A 为（-1，0）、点B 为（1，0）；

令x=0，得：y=-2.所以点C 为（0，-2）；

（2）①当△PDB ∽△COB 时，有OB BD OC PD =.∵BD=m-1，OC=2，OB=1，∴1

12-=m PD .∴PD=2(m-1). ∴P 1(m ，2m-2).②当△PDB ∽ △BOC 时，

OC BD OB PD =，∵OB=1，BD=m-1，OC=2，∴211-=m PD ，PD=21-m .∴P 2（m ，212

-m ）. （3）假设抛物线y=2x 2-2上存在一点Q ，使得四边形ABPQ 为平行四边形，∴PQ=AB=2.

点Q 的横坐标为m-2，当点P 1为（m ，2m-2）时，点Q 1的坐标是（m-2，2m-2）.∵点Q 1在抛

物线y=2x 2-2图象上，∴2m-2=2(m-2)2-2 m-1=m 2-4m+4-1 m 2-5m+4=0 m 2-5m+4=0.

m 1=1(舍去)，m 2=4.当P 点坐标为(m ，

212-m ).点Q 2的坐标是(m-2，212-m ).∵点Q 2在抛物线y=2x 2-2的图象上，

212-m =2(m-2)2-2，m-1=4(m-2)2-4. m-1=4m 2-16m+16-4. 4m 2-17m+13=0 (m-1)(4m-13)=0. ∴m 3=1(舍去)，m 4=.413∴m 的值为4、.4

13 6.（1）∵OC 与⊙O ′相切，∴O ′C ⊥OC.又∵BC ⊥OC ，∴O ′在BC 上，即BC 为⊙O ′的直径. ∴∠CAB=90°，∴CA ⊥BA. ∵∠BOC=45°，∴△BOC 为等腰直角三角形. ∴A 为OB 的中点. ∴CA=2

1OB=AB. ∴△ABC 是等腰直角三角形. （2）∵AC=AB ， ∴AC=AB ，∴∠ADC=∠ADB ，又∵∠CAD=∠CBD ，∴△ADC ∽△BDE.∴

DE

DC BD AD =，即BD ·CD=AD ·ED. （3）在Rt △BOC 中，∵⊙O ′的半径为22，∴BC=42,∴OB=2·BC=8，CA=OA=AB=421=OB .∵CA//x 轴，∴C 点坐标为(-4,-4), ∴BC=CG, ∴AC 为△BGO 的中位线,∴OG=2AC=8. ∴G(-8,0), ∴函数解析式为y=

x x 2412+. 7.解：（1）∵二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点在直线y=-4x 上，故可设此二次函数为

y=(x-t)2-4t.∵经过点（-1，0）， ∴二次函数的解析式为y=(x-1)2-4=x 2-2x-3.

（2）由（1），得M （1，-4），B （3，0），C （0，-3）.从而CM=2，CB=23，MB=52.∵CM 2+CB 2=MB 2，∴△MBC 为Rt △，且∠BCM=90°. 故直径长为25.

（3）设⊙O ′与x 轴的另一个交点为Q ，连结MQ ，由BM 是⊙O ′的直径，知∠BQM=90°. ∴Q （1，0）.过O ′作x 轴的垂线，交y 轴于T,交MQ 于S ，则O ′R=MQ 2

1，Q ′S=QB 21，∴圆心O ′的坐标为(2，-2).又CT=CO-O ′R=1，由垂径定理，得TN=1. ∴N 的坐标为（0，-1）. ∴过P 、N 两点的直线l 的函数解析式为y=-

121-x .∴圆心O ′（2，-2）在直线l 上. 8.（1）作OG ⊥AB ，垂足为点G. ∵tan ∠B=

43，设OA=3k ，OB=4k ，∴AB=5k. ∵OA ·OB=AB ·OG=2S △AOB ，即3k ×4k=5k 5

12?.∴k=1. ∴AB=5. ⌒ ⌒

（2）延长BE 到x 轴于点F ，过点O 作OG ⊥AB 于点G. ∵DO=DA ，∴∠DOA=∠DAO ， ∴∠COD=∠DOC. DO=DA=DC. 同理可证：EB=EO=EF. 又∵AC ∥OG ∥BF ， ∴AB AG BF OG BE OG BA BG AC OG CD OG ====2,2. ∴122=+=+AB AG BG BE OG CD OG .即OG

BE CD 211=+.而512=?=AB OB OA OG .∴6

511=+BE CD . （3）d+AB 的值不会发生变化.设△AOB 的内切圆分别切OA 、OB 、AB 于点P 、Q 、T ，则d+AB=OQ+OP+QB+PA=OA+OB.在x 轴上取一点N ，使AN=OB.连结OM 、BM 、AM 、MN. ∵OM 平分∠AOB ，∴∠BOM=∠MON=45°，AM=BM.又∵∠MAN=∠OBM ，OB=AN ，∴△BOM ≌△ANM. ∴∠BOM=∠N=45°.∴∠OMN=90°. ∴OA+OB=ON=4222==+OM MN OM .∴d+AB 的值不会变化，其值为4.

哈尔滨工业大学《代数与几何》期末试题和答案

哈尔滨工业大学《代数与几何》期末试题 （此卷满分50分） 注：本试卷中()R A 、'A 、* A 分别表示A 的秩，A 的转置矩阵、A 的伴随矩阵；E 表示单位矩阵. 一、填空题（每小题2分，共10分） 1．若4阶方阵A 的特征值为0,1,2,3，且A 与B 相似,则行列式2||+=B E . 2．过点(1,2,3)-，垂直于直线 456 x y z ==且平行于平面789100x y z +++=的直线方程为 . 3．设123,,ααα是3维欧氏空间的标准正交基，则模12322-+=ααα . 4．若A 为4阶方阵，且R （A ）=3，则方程组0*=A X 的基础解系含 个线性无 关的解向量. 5．yOz 坐标面上的抛物线20z y x ?=?=? 绕y 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为 . 二、选择题（每小题2分，共10分） 1．设A 是n m ?矩阵，则线性方程组AX =b 有解的充分条件是 【 】 （A ）()R m =A ； （B ）A 的行向量组线性相关； （C ）()R n =A ； （D ）A 的列向量组线性相关. 2．二次型222 123123121323,,)f x x x tx tx tx x x x x x x =+++++（正定的充要条件为 【 】 （A ）1t >； （B ）0t >； （C ）1t >-； （D ）1 2 t > . 3．设462414, 26,41.848?????? ? ? ?=== ? ? ??????? A B C 则A 与B 【 】 （A ）A 与C 相似且合同； （B ）A 与B 相似且合同； （C ）B 与C 相似且合同； （D ）B 与C 相似但不合同. 4．设,αβ是4维非零列向量,T A E =+αβ，则在A 的特征值中,至少有 【 】 （A ）1个1； （ B ）2个1； （ C ）3个1； （ D ）4个1. 5．设1234,,,αααα是3维向量，则下列命题正确的为 【 】 （A ）如果12,αα线性相关,34,αα线性相关，则1324,αααα++线性相关；

中考数学复习检测第2部分专题突破专题十解答题突破—代数几何综合题(涉及二次函数)

2019-2020年中考数学复习检测第2部分专题突破专题十解答题突破—代数几何综合题(涉及二次函数) 类型一以几何图形为背景的综合题 【例1】(xx·苏州一模)如图1①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD ＝6 cm，DC＝8 cm，BC＝12 cm.动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2 cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1 cm.两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)． (1)求线段AB的长． (2)当t为何值时，MN∥CD? (3)设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式． (4)如图1②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由． 图1

【例2】(xx·吉林)如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8 2 cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以 2 cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM＝90°(点M，C位于PQ异侧)．设点P的运动时间为x(s)，△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm2) 图2 备用图 (1)当点M落在AB上时，x＝____________； (2)当点M落在AD上时，x＝____________； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

1．(xx·宁夏)如图3，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒 (0＜x≤3)，解答下列问题： (1)设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值； 图3 (2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由． 2．(xx·梅州)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M 从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN. 图4 (1)若BM＝BN，求t的值； (2)若△MBN与△ABC相似，求t的值； (3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．

一、高等代数与解析几何之间的关系

利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理 一、高等代数与解析几何的关系 代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。 解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。 “如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。” --------拉格朗日 二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学 中国科大： 陈发来，陈效群，李思敏，线性代数与解析几何，高等教育出版社，北京：2011. 南开大学： 孟道骥，高等代数与解析几何（上下册）（第二版），科学出版社，北京：2007. 华东师大： 陈志杰，高等代数与解析几何 (上下册) (第2版)，高等教育出版社，北京：2008. 华中师大： 樊恽，郑延履，线性代数与几何引论，科学出版社，北京：2004. 同济大学： 高等代数与解析几何同济大学应用数学系高等教育出版社 (2005-05出版) 兰州大学，广西大学，西南科技大学，成都理工大学 三、高等代数的特点 1、逻辑推理的严密性； 2、研究方法的公理性； 3、代数系统的结构性。 四、高等代数一些概念的引入 对于刚上大学的一年级新生, 大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导 和应用。通过一些实例，特别是几何实例，引入高等代数的相关概念，一方面可以让学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足点。

一次函数代数几何综合问题

一次函数代几综合问题 一．填空题（共6小题） 1．如图，直线和x轴、y轴分别交于点A、B．若 以线段AB为边作等边三角形ABC，则点C的坐标是． 2．一次函数y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点， 使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为． 3．如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1）， C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段 PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交 于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q， 则点Q的坐标为． 4．如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直 线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴 的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…； 按此作法继续下去，则点A4的坐标为． 5．在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、A n B n C n C n﹣1 按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、A n均在一次函数 y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、C n均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点A n的坐标为． 6．如图，直线1：与x轴、y轴分别相交于点A、B， △AOB与△ACB关于直线l对称，则点C的坐标为．

二．解答题（共24小题） 7．已知一次函数y=2x﹣4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y 轴的距离分别为d1、d2．（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值； （2）直接写出d1+d2的范围，并求当d1+d2=3时点P的坐标； （3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2=4（a为常数），求a的值． 8．在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y=mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上． （1）如图1，当CG=OD时，直接写出点D和点G的坐标，并求直线DG的函数表达式； （2）如图2，连接BF，设CG=a，△FBG的面积为S． ①求S与a的函数关系式； ②判断S的值能否等于等于1？若能，求此时m的值，若不能，请说明理由； （3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，m的值为．

代数和几何相结合

代数和几何相结合 图形的认识，图形与证明，图形的变换，图形与坐标的设计有效变化空间与图形，这部分内容原来有四条线索：图形的认识，图形与证明，图形的变换，图形与坐标。 课程标准修订之后，在这个结构上也略有一定的变化，是三条线索，一个是叫图形的性质，一个是图形与证明，没有图形与证明，一个是图形与变换图形与坐标。第一个问题，在初中阶段，研究的图形有哪些 首先要整体把握要研究的对象，可能从这样几个角度来做一个划分，实际上是做一个分类，大家看可能是对所要认识的对象能够更清楚一些，第一个实际上对分类就是从为纬度上，一维图形，二维图形和三维图形，在第三学段这三维图形都包括了，比如点、线段、直线，这是一维图形，二维图形说就是三角形，四边形，三维图形，因为在初中阶段，虽然不研究立体几何，但实际上还是要初步的了解一些最基本的三维图形整体对的一种把握和认识，比如说柱体，包括球，包括一些锥，尤其在视图这个内容里边，可能还是要初步的了解这些图形，这是一个划分的纬度，从的维数上，一维、二维、三维。 另外还有一个，就是认识这些图形的角度，是直线形还是曲线形。角就是直线形的图形，还有一类曲线形，包括二维和三维的，比如说圆，球，包括锥体，曲线形，这是另外一个将图形划分类别的这样一个角度。还有一个角度，还可以把研究的图形分成基本图形和组合图形，那说基本图形，像这种三角形，四边形，三角形，可能是最基本的图形。 在研究图形的性质，从总的来讲是两类，一类是一个图形之间的，它的对象就是研究这个图形自身的之间的关系，另外一个就是研究图象间的，之间相互的关系。全等是研究很重要的对象，包括相似的关系，另外还有对称性等等的，这些都是在明确了对象之后，进一步要展开几何各种学习里边很重要的内容。 图形与几何里有一块内容是新增加进来的, 就是视图。视图也是认为培养学生空间观念很重要的载体，从刚才说对图形的认识这个角度怎么样看待对视图这块内容的理解。在认识视图的时候，支撑着视图最重要的一件事情就是投影，就是用投影来观察理解一个空间的图形，从整体到局部，然后从局部回到整体这样的一个支撑，数学上称之为投影。中心投影，平行投影，这些在数学里都是挺要紧的，比如说通常所说的中心投影，将来会是摄影的基础，平行投影是会涉及到几何的会更广泛一点，所以这个是通过视图来支撑着对这样一个关系的认识。同时又是空间想象力，或者几何直观能力，或者空间观念的一个重要的载体。 要研究的对象明确了，要研究什么也明确了，接下来就是如何来研究。其实几何不等于证明，但是演绎推理，当然在集合内容的研究过程当中，仍然也是比较重要的一个方法，实际上就是综合，综合几何的这种方法，或者说原来这种欧式几何演绎证明从公理出发，现在把它叫做基本事实出发，经过以三段论为主的方法，展开对图形性质的证明。还有一种方法，就是用变换的手段来认识图形，有平移，轴对称，还有旋转。 另外，就是认识图形的办法，用坐标，通过对点的刻划，进一步对图形的位置，包括它的其一些属性的刻划，当然这个仅仅是一个初步，到了高中还会继续学习，因此概括来讲，认识图形基本方法，一个是演绎的方法，一个是运动变换的方法，还有一个就是运用坐标的，有序数对刻划的三种方法。当然，在这三种方法里面，在初中阶段，在不同的内容里面，各有

代数几何综合题含答案

代数几何综合题 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。 例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作P C P B ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 解：（1） P C P B B O P O ⊥⊥, ∴∠+∠=?∠+∠ ∴∠=∠C P A O P B P B O O P B C P A P B O 90, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=? B O P P A C 90 ∴??B O PP A C ~ ∴ =P O A C B O P A ，∴=+||||||x y x 2 2 ， x y x y x <<∴= -002 2，，∴=-+y x x 122 （2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 , 当x =-1时，y =- 32，∴=CA 3 2

B O a B O Q C A Q O Q A Q B O C A //~,，∴∴=?? 设Q 点坐标为()m ，0，则A Q m =-2 ∴-=∴=m m m 2232 8 7 ， ∴Q 点坐标为()8 7 0， 说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。 练习 1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ；（3分） (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。（4分） B

代数与几何综合题(时间90分钟).

、选择题: 代数与几何综合题 (时间：90分钟) 1.如图2- 5-8所示,在直角坐标系中，△ ABC 各顶点坐标分别为 A (0 , ,3 ) , B (- 1 , 0 )、C (1, 0)中，若厶DEF 各顶点坐标分别为 D( 3 , 0)、E ( 0 , 1)、F (0, — 1),则下列判断正确的是( A . B . C . D . △。丘卩由厶ABC 绕O 点顺时针旋转 △。丘卩由厶ABC 绕O 点逆时针旋转 △。 丘卩由厶ABC 绕O 点顺时针旋转 △。丘卩由厶ABC 绕O 点顺 时针旋转 90°得到; 90°得到; 60°得到; 120°得到 2. 如图( 4(X X 4)^ OAR △ ABQ 均是等腰直角三角形，点 P 、 0)的图象上，直角顶点 A B 均在X 轴上，则点 B 的坐 Vj B Q y 齡 圈 2- 1^ Q 在函 1，0) B 、( . 5 1 ，0) C 、 (3, 0) D 、 1, 0) x A B 图(4) P Q 3. 已知点 A .3,1 , B 0,0 , ,AE 平分/ BAC ,交 BC 占 八、、 E ,则直线AE 对应的函数表达式是 B . y C. y ,3x 1 D. 4 .在平面直角坐标系中, □ ABCD 的坐标分别是(0,0) ,(5,0) 坐标是( ) A. ( 3 , 7) B. C. (7, 3) D. 5..等腰三角形的底和腰是方程 A.8 B.10 的顶点 A 、B 、D ,(2,3) (5 , 3) (8, 2) C.8 或 10 D.不能确定 2 6 3 A . y x 3 B . y — x C . y x D . y x 2 6 .如图，O 为矩形ABCD 的中心，将直角三角板的直角顶点与 O 点重合，转动三角板使两直角边始终与 BC 、AB 相交，交点分别为 M 、N .如果 AB =4, AD =6, O M=X ,ON= y 贝U y 与X 的关系是 D C

初三数学代数几何综合题

代数几何综合题 【题型特征】代数、几何知识相结合的综合题是以几何知识为主体,以代数知识为工具(背景),来确定图形的形状、位置、大小(坐标)的问题.解答时往往需要从代数几何的结合点或在几何图形中寻找各元素之间的数量关系或在代数条件中探讨各个量的几何模型,进行数与形之间的互相转化,使问题得到解决. 为了讲解方便,我们将代数几何综合题按题目叙述的背景分为:坐标系、函数为背景的代数几何综合题和以几何图形为背景的代数几何综合题. 【解题策略】几何图形为背景的代数几何综合题,建立函数表达式的常见思路是:利用图形的面积公式建立函数表达式;或利用勾股定理或解直角三角形知识建立函数表达式;或利用相似三角形的线段成比例建立函数表达式. 类型一坐标系、函数为背景 典例1(2015·湖南怀化)如图(1),在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y. (1)求y与x之间的函数表达式; (2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图(2),求经过G,O,B三点的抛物线的表达式; (3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. (1)

(2) 【全解】 (1)∵AB=OB,∠ABO=90°, ∴△ABO是等腰直角三角形. ∴∠AOB=45°. ∵∠yOC=45°, ∴∠AOC=(90°-45°)+45°=90°. ∴AO⊥CO. ∵C'O'是CO平移得到, ∴AO⊥C'O'. ∴△OO'G是等腰直角三角形. ∵射线OC的速度是每秒2个单位长度, ∴OO'=2x. ∴其以OO'为底边的高为x. ∴点G的坐标为(3,3). 设抛物线表达式为y=ax2+bx,

华南理工大学 线性代数与解析几何 习题答案 (6)

《线性代数与解析几何》勘误表 第1章：行列式 p.13, 例题 4.1: 解的第二个等号后，应加一个负号。 p.15,第三行（等号后）：去掉; p.17, 第7-8行: (t=1,2,…, j-1,j+1,…,n) p.19,倒数第4-5行：假设对于n-1阶范德蒙行列式V_{n-1}结论成立，… p ．20，第2行: D_{n-1}改为V_{n-1} p.20, 第6行,定理5.2中: 去掉“若”字 p.21, 倒数第3行： …展开代入而得, p.24,倒数第1行: (-1)的指数应为“1+2+…+k +1+2+…+k ” 习题1： 第1题（2）答案有误：应为sin2x-cosx^2. 第6题（3）答案有误：（3） n(3n-1)/2, 当n=4k 或者n=4k+3时为偶数,当n=4k+1或4k+2时为奇数. 第10题（4）（5）答案有误：（4）（-1）^{（n-2）(n-1)/2}；（5）(-1)^{n-1}a_n 第11题（6）答案有误： ….,当a\neq 0时，D=(-1)^{n(n-1)/2}a^{n-2}[a^2-(n-1)x^2] p.26, 第12题（2）：改为： (33333) 3222 222111 111=+++++++++y x x z z y y x x z z y y x x z z y （3）： …= ;)1](2 )2)(1([1--+-+ n a n n a (4): …=.0 ∑=-n i i n i b a p.27, 第14题（4）：(此题较难，可以去掉！) 答案有误,应为： n x n )2 )(1( n +=,当yz x 42=。 第15题答案有误：为60(11-2) p ．27, 第16题：去掉条件“若x_1+x_2+x_3+x_4=1,则” 第二章：矩阵 p.32, 第7行： 称其为n 阶对角矩阵，….. p.35, 第5-6行： b_21和b_12互换位置（两处） p.36, 第7行： 去掉“设 A ，B ，C 分别为….矩阵,”在第10行后增加： 当然，这里假定了矩阵运算是有意义的. p.39, 第4行： 就得到一个2*2的分块矩阵。 p.46,第2行: 去掉 ′（3个） p ．46，倒数 4-6行：… 为满秩的（或非奇异的，非退化的）,…为降秩的（或奇异的，退化的），… p.47,倒数第6-7行： 去掉 “,n α”（3处 ）,另： 本页的 ”T j T i αα,”均改

2019届中考数学总复习：代数几何综合问题

2019届中考数学总复习：代数几何综合问题 【中考展望】 代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键． 题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题. 题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口. 【方法点拨】 方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明． 函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等． 函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型． 几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力． 1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现． 2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等． 3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力． 4．解几何综合题应注意以下几点： （1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系； （2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化； （3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法； （4）注意灵活地运用数学的思想和方法． 【典型例题】 类型一、方程与几何综合的问题 1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.

二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)

二次函数与几何综合
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C

中考数学代数几何综合题2

中考数学代数几何综合题2 Ⅰ、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式显现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝1 2 BC·CE； ⑶假如AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB ⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图) ∵A 是BDC 中点，∴HC＝HB ＝1 2 BC ， ∵∠CAE＝900，∴AC 2 ＝CH·CE＝12 BC·CE ⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2 ① ∵AC 2 ＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ② ①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2 ＝17 ∵EC 2 ＝AC 2 ＋AE 2 ，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC ＝AE AC ＝13 2 点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的专门突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就专门关键. 【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分 别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○ 。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。

2019年北京市各城区中考二模数学——代数与几何综合题25题汇总

2 x+2交于C、D两 点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3，).点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P （3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标. y 5] 5(x2+bx+c)过点 数学试卷 2019年北京市各城区中考二模数学——代数与几何综合题25题汇总y 1、（2019年门头沟二模）25．如图25-1，抛物线y=-x2+b x+c与直线y=1 y 作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.（1）求抛物线的解析式；7 2B C B C P E （2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？ 请说明理由.O N A x P B' y ．．．．M P' O N A x P 图1 D D C F C A O E B x A O B x 3、（2019年平谷二模）25.定义：任何一个一次函数y=px+q，取出它的一次项系数p和常数项q，有序数组[p，q]为其特征数.例如：y=2x+5的特征数是[2，，同理， [a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c的特征数。 图25-1 备用图 （1）直接写出二次函数y=x2-5x的特征数是：_______________。 （2）若特征数是[2，m+1]的一次函数为正比例函数，求m的值； 2、（2019年丰台二模）25.如图，经过原点的抛物线y=-x2+bx （ b>2）与x轴的另一交（3）以y轴为对称轴的二次函数抛y=ax2+bx+c的图象经过A(2，m)、B(n，1)两点（其 b 点为A，过点P（1，2）作直线PN⊥x轴于点N，交抛物线于点B.点B关于抛物线对称轴的对 中m﹥0，n<0），连结OA、OB、AB，得到OA⊥OB，S 的特征数． △AOB =10，求二次函数y=ax2+bx+c 称点为C.连结CB，CP. （1）当b=4时，求点A的坐标及BC的长；（2）连结CA，求b的适当的值，使得CA⊥CP； （3）当b=6时，如图△2，将CBP绕着点C按逆时针方向旋转，得到△C B’P’，CP与抛物线对称轴的交点为E，点M为线段B’P’（包含端点）上任意一点，请直接写出线段EM长度的取值范围.4、(2019年顺义二模)25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= 3

九年级数学代数和几何的综合专题

精典专题七代数与几何的综合问题 一、探究与证明 【例1】【问题情境】 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM． 【探究展示】 （1）证明：AM=AD+MC； （2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．

二、探究与计算 【例2】（盐城）（12分）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点P 为边BC 上的任一点，过点P 作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF⊥AB，垂足为F ．求证：PD+PE=CF ． 小军的证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD+PE=CF ． 小俊的证明思路是：如图2，过点P 作PG⊥CF，垂足为G ，可以证得：PD=GF ，PE=CG ，则PD+PE=CF ． 【变式探究】如图3，当点P 在BC 延长线上时，其余条件不变，求证：PD ﹣PE=CF ； 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： 【结论运用】如图4，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C′处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G 、H ，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值； 三、坐标与几何 例3.如图，抛物线y=2 1（x-3）2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）求点A ，B ，D 的坐标； （2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ，求证：∠AEO=∠ADC ； （3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．

代数几何综合题(含答案)

代数几何综合题 x<0，连 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0）() ⊥交过点A的直线a于点C（2，y） 结BP，过P点作PC PB （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标。 2．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，⊙O的直径BD为6，连结CD、AO. (1)求证：CD∥AO； (2)设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若AO＋CD＝11，求AB的长. B

3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2 +2x+m-3=O 的两根，且x 1<0

1、已知抛物线)0(22 >--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。 （1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。 2、如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、y 轴分别相交于 A （－1，0）、 B （3，0）、 C （0，3）三点，其顶点为 D ． （1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积； （3）试判断△BCD 与△COA 是否相似若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由． A B D C o x y

中考数学冲刺拔高：代数几何综合问题--巩固练习(有答案)

中考冲刺：代几综合问题—知识讲解（提高） 【巩固练习】 一、选择题 1. 如图，正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A出发，沿图中所示方向按滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（） A. 2 B. 4－ C． D． 2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的 影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函 数关系的图象大致为（） 二、填空题 3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC 是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________．

4.如图，(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2 的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S2=______________；S n=__________________ (用含的式子表示）． 三、解答题 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）． （1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由； （2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？ （3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．

代数几何综合题含答案

代数几何综合题 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0） ()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 2．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ； (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长. 3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2x+m -3=O 的两根，且x 1<0--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。 （1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。 B

代数几何综合题含答案

，即t DH=﹣﹣（ ，∴，即

，∴t= ，即BM= t=t （t ，∴，即CN=t t=10t t t t t t 化简得：t t= t=． t=秒或t=秒时， °， DE= ，

＜ DFE=，∴∠ == MN ，即MN= BD﹣ （x ﹣

NF= MN MN+x=MN MN= AB BF ×x ＜=（=﹣ y= y=﹣、

争分夺秒 分秒必争 我的人生 我做主 只要认真做事 一切皆有可能 东升求实学校2015 分析：（1）令y=0，解方程x 2 ﹣x ﹣3=0可得到A 点和D 点坐标；令x=0，求出y=﹣3，可确定C 点坐标； （2）根据抛物线的对称性，可知在在x 轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x 轴上方，存在两个点，这两个点分别到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离； （3）根据梯形定义确定点P ，如图所示：①若BC ∥AP 1，确定梯形ABCP 1．此时P 1与D 点重合，即可求得点P 1的坐标；②若AB ∥CP 2，确定梯形ABCP 2．先求出直线CP 2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P 2的坐标． 解：（1）∵y=x 2 ﹣x ﹣3，∴当y=0时，x 2 ﹣x ﹣3=0， 解得x 1=﹣2，x 2=4．当x=0，y=﹣3． ∴A 点坐标为（4，0），D 点坐标为（﹣2，0），C 点坐标为（0，﹣3）； （2）∵y=x 2 ﹣x ﹣3，∴对称轴为直线x= =1． ∵AD 在x 轴上，点M 在抛物线上， ∴当△MAD 的面积与△CAD 的面积相等时，分两种情况： ①点M 在x 轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M 与点C 关于直线x=1对称， ∵C 点坐标为（0，﹣3），∴M 点坐标为（2，﹣3）； ②点M 在x 轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M 点到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离3．当y=4时，x 2 ﹣x ﹣3=3，解得x 1=1+，x 2=1﹣ ， ∴M 点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）． 综上所述，所求M 点坐标为（2，﹣3）或（1+ ，3）或（1﹣ ，3）； （3）结论：存在． 如图所示，在抛物线上有两个点P 满足题意： ①若BC ∥AP 1，此时梯形为ABCP 1． 由点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，可知BC ∥x 轴，则P 1与D 点重合， ∴P 1（﹣2，0）．∵P 1A=6，BC=2，∴P 1A ≠BC ，∴四边形ABCP 1为梯形； ②若AB ∥CP 2，此时梯形为ABCP 2． ∵A 点坐标为（4，0），B 点坐标为（2，﹣3），∴直线AB 的解析式为y=x ﹣6， ∴可设直线CP 2的解析式为y=x+n ，将C 点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3， ∴直线CP 2的解析式为y=x ﹣3．∵点P 2在抛物线y=x 2 ﹣x ﹣3上， ∴x 2 ﹣x ﹣3=x ﹣3，化简得：x 2 ﹣6x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=6， ∴点P 2横坐标为6，代入直线CP 2解析式求得纵坐标为6，∴P 2（6，6）． ∵AB ∥CP 2，AB ≠CP 2，∴四边形ABCP 2为梯形． 综上所述，在抛物线上存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P 的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．

代数与几何综合题 (时间90分钟).

代数与几何综合题 （时间：90分钟） 一、选择题： 1．如图2－5－8所示，在直角坐标系中，△ABC 各顶点坐标分别为A （0， 3 ），B （－1，0）、C （1，0）中，若△DEF 各顶点坐标分别为D （ 3 ，0）、E （0，1）、F （0，－1），则下列判断正确的是（ ） A ．△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转90○ 得到; B ．△DEF 由△AB C 绕O 点逆时针旋转90○ 得到; C ．△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转60○ 得到; D ．△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转120○ 得到 2．如图（4）△OAP 、△ABQ 均是等腰直角三角形，点P 、Q 在函 数4 (0)y x x =>的图象上，直角顶点A 、B 均在x 轴上，则点B 的坐 标 为 （ ） A 、21，0） B 、51，0) C 、（3，0） D 、51，0） ３．已知点)31A ，，()00B ， ，) 3C ，，AE 平分BAC ∠，交BC 于点 E ，则直线AE 对应的函数表达式是（ ） Ａ．23y x = Ｂ．2y x =- Ｃ．31y x =- Ｄ．32y x =- ４.在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C 的 坐标是（ ） A .（3，7） B .（5，3） C .（7，3） D .（8，2） 5．.等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ） A.8 B.10 C.8或10 D.不能确定 ６．如图，O 为矩形ABCD 的中心，将直角三角板的直角顶点与O 点重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB 相交，交点分别为M 、N ．如果AB =4，AD =6，O M =x ,ON=y 则 y 与x 的关系是 A ．23y x = B ．6 y x = C ．y x = D ．32y x = N O A B D C M 第６题图 图(4) y x B A Q P O